Как найти указанные пределы онлайн с решением

Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )

Возьмем из (X) последовательность точек, отличных от (x_0) :
(x_1 ;, ; x_2 ;, ; x_3 ;, …, ; x_n ; , ; … tag{1} )
сходящуюся к (x^*).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
( f(x_1) ;, ; f(x_2) ;, ; f(x_3) ;, …, ; f(x_n) ; , ; … tag{2} )
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если для
любой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{xto x_0}{ f(x)} = A $$

Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left{ f(x_n) right} )
имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )
существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| < delta ),
выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon )

Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| < delta): |f(x)-A| < varepsilon )

Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| < delta ) можно записать в виде ( 0 < |x-x_0| < delta )

<>Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon — delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке ( varepsilon — delta )» — определением предела функции по Коши.

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любой сходящейся
к (x_0) последовательности (1), элементы (x_n) которой больше (меньше) (x_0), соответствующая
последовательность (2) сходится к (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{x to x_{0+}} f(x) = A ; left( lim_{x to x_{0-}} f(x) = A right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon — delta )»:

Определение число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого
( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех (x), удовлетворяющих неравенствам
( x_0 < x < x_0 + delta ; (x_0 -delta < x < x_0 ) ) , выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon ).

Символические записи:

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 < x < x_0 + delta ): |f(x)-A| < varepsilon )

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < varepsilon )

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема
Функция (f(x)) имеет в точке (x_0) предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Кроме рассмотренных понятий предела функции при ( x to x_0 ) и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to infty ), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to infty} f(x) = A $$

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to +infty ; (x to -infty) ) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы (x_n) которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to +infty} f(x) = A ; left( lim_{x to -infty} f(x) = A right) $$

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции (f(x)) и (g(x)) имеют в точке (x_0) пределы (B) и (C). Тогда функции ( f(x) pm g(x) ; , ; f(x) cdot g(x) ) и
( frac{f(x)}{g(x)} ) (при ( C neq 0 ) ) имеют в точке (x_0) пределы, равные соответственно ( B pm C ; , ; B cdot C ), и ( frac{B}{C} ).

Теорема. Пусть функции ( f(x) ; , ; g(x) ) и ( h(x) ) определены в некоторой окрестности точки (x_0), за исключением, быть
может, самой точки (x_0), и функции ( f(x) ; , ; h(x) ) имеют в точке (x_0) предел, равный (A), т.е.
$$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} h(x) = A $$

Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leqslant g(x) leqslant h(x) ).
Тогда $$ lim_{x to x_0} g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} g(x) = 0 $$ или (infty ), (f(x)) и (g(x))
дифференцируемы в окрестности (x_0) , и ( g'(x) neq 0 ) в окрестности (x_0) ,
и существует $$ lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac{0}{0} ) и ( frac{infty}{infty} ).

$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$

$$ lim_{x to infty} left( 1+ frac{1}{x} right)^x = e $$