Как найти угол вписанного четырехугольника формула - AvtoShod.ru

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Вписанный четырехугольник. Задание 6

При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что

1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:

2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:

Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:

1 .Задание B7 (№ 27871)

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°

Ответ: 122°

2 . Задание B7 (№ 27927)

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°

3 . Задание B7 (№ 27928)

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:

А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.

Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°

Сумма углов четырехугольника

Свойства

Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат.
Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

источники:

http://ege-ok.ru/2012/03/23/vpisannyiy-chetyirehugolnik-zadanie-6

http://colibrus.ru/summa-uglov-chetyrehugolnika/

Источник

Сумма углов четырехугольника

Обновлено 01.02.2022

Свойства

Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат.
Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.

Такие четырехугольники называют вписанными.
Если сумма трех углов четырехугольника равна 270°,
то четвертый угол прямой — 90°.
∠A + ∠B + ∠С = 270°, ⇒ ∠D = 90°(прямой угол).
Виды четырехугольников: квадрат, прямоугольник,
параллелограмм, ромб, трапеция.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360°.
α + β + γ + δ = 360°.
Все углы вписанного четырёхугольника являются вписанными
в окружность, а также, равны половине дуг, на которые опираются.
◡ABC = 180°, ⇒ ∠ADC = 90°.
◡BCD = 180°, ⇒ ∠BAD = 90°.
Формула суммы углов четырехугольника:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = (n-2) · 180°,
где n — количество сторон четырехугольника.
Сумма трех углов четырехугольника равна 300°,
значит четвертый угол равен 60 градусам.
Сумма внешних и внутренних углов четырехугольника равна 720°.
Все углы имеют одинаковую градусную меру — 90°,
только у квадрата и у прямоугольника.
Сумма углов четырехугольника равна сумме углов фигур,
из которых состоит четырехугольник.
∠DCA + ∠ADC + ∠CAD + ∠ACB + ∠CBA + ∠BAC = 360°.

Следствия

Если в четырехугольнике известны три угла,
но неизвестен четвертый угол, то его можно найти,
так: вычесть из 360 сумму всех трех известных углов,
так мы найдем четвертый угол.
∠A = 360° — (∠B + ∠C + ∠D).
Если три угла четырехугольника равны
90 градусов, то четвертый угол равен тоже 90.
Чтобы на рисунке измерить углы,
и найти их градусную меру, нужно
воспользоваться транспортиром.
Сумма углов четырехугольника
не может быть равна 180 градусам.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D ≠ 180°.
Чтобы найти сумму углов
четырехугольника, нужно сложить все углы.
Сумма двух углов четырехугольника равна 180 градусам,
только, в том случае, если этот четырехугольник вписан в окружность.

Источник

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Центр окружности, описанной около четырехугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Признаки вписанного четырехугольника

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции можно вписать в окружность.

Свойства вписанного четырехугольника

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равняется сумме произведений его противолежащих сторон.
Диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы, произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
Диагонали вписанного четырехугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Сумма квадратов противолежащих сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^{circ}$ .

Использование свойств и признаков вписанного четырехугольника при решении геометрических задач.

Задача 1. Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Докажите, что .

Решение. Рассмотрим четырехугольник .

$angle ADF+angle AEF=90^{circ}+90^{circ}=180^{circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника можно описать окружность и по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу .

Рассмотрим четырехугольник .

$angle BEC=angle CDB=90^{circ}$ .

Следовательно, вокруг четырехугольника можно описать окружность и по свойству вписанного четырехугольника $angle ECB+angle EDB =180^{circ}$ .

$angle EDB +angle ADE = 180^{circ}$ — свойство смежных углов.

Следовательно, $angle ECB+180^{circ}-angle ADE =180^{circ}$ .

ч.т.д.

Задача 2. В остроугольном треугольнике проведены высоты и . На них из точек и опущены перпендикуляры и соответственно. Докажите, что прямые и параллельны.

Решение. Рассмотрим четырехугольник .

$angle EFD=angle EGD=90^{circ}$ .

Рассмотрим четырехугольник .

$angle AEC=angle ADC=90^{circ}$ .

— соответственные углы, образованные при пересечении прямых и секущей .

Следовательно, прямые и параллельны.

ч.т.д.

Источник

Свойства вписанных и описанных четыехугольников

Содержание:

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Вписанный в окружность четырехугольник является таким четырехугольником, каждая из вершин которого принадлежит описанной около него окружности.

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке

Источник: www.treugolniki.ru

Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Теорема 1

Какой-либо четырехугольник может быть вписан в некую окружность при условии, что его противолежащие углы в сумме дают 180°.

Теорема 2

В том случае, когда противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°, данный четырехугольник может быть вписан в окружность.

противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°

Источник: www.treugolniki.ru

На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:

(left. begin{array}{l} angle A + angle C = {180^o}\ angle B + angle D = {180^o} end{array} right} Leftrightarrow ABCD) треугольник вписан в окружность.

Следствие 1

Не каждый параллелограмм допустимо вписывать в окружность, лишь прямоугольники — в том числе квадраты.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:

(R = frac{1}{2}BD)

Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:

(R = frac{1}{2}sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.)

Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:

(R = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}})

Следствие 2

Допустимо вписать в окружность лишь такую трапецию, которая является равнобедренной.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:

ABC, ABD, ACD или BCD.

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Описанным четырехугольником называют такую геометрическую фигуру с четырьмя углами, каждая из сторон которой является касательной к окружности. Данная окружность считается вписанной в рассматриваемый четырехугольник.

Теорема 3

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность при условии, что его противолежащие стороны в сумме равны.

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что в данном случае соблюдено условие:

AB+CD=BC+AD

На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.

Теорема 4

Центральная точка окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы данной геометрической фигуры.

Центральная точка окружности

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:

В результате:

(angle BAO = angle DAO)

(angle ABO = angle CBO) и так далее.

Теорема 5

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника, расположены на сторонах с началом, совпадающим с одной вершиной, и находятся на одинаковом удалении от данной вершины.

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника

Источник: www.treugolniki.ru

Рассмотрим рисунок. Заметим, что:

BM=BK;

CK=CF;

DF=DN.

Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.

Записанные равенства вытекают из того факта

Источник: www.treugolniki.ru

Запишем следующие соотношения:

(OM bot AB);

(OK bot BC);

(OF bot CD);

(ON bot AD).

Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:

(S = p cdot r)

Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.

Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.

Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:

p=AD+BC

p=AB+CD.

Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:

({S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r;)

({S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.)

В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

(r = frac{S}{p}.)

В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};)

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.)

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Теорема 6

Если четырехугольник вписан в некую окружность, то его противолежащие углы в сумме дают .

четырехугольник вписан в некую окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:

(angle A+angle C=180^o;)

(angle B+angle D=180^o.)

Представим доказательства. По условию:

(angle A) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;

(angle C) — угол, который опирается на дугу DAB.

Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:

(angle A = frac{1}{2} cup BCD,)

(angle C = frac{1}{2} cup DAB.)

В результате:

(angle A + angle C = frac{1}{2} cup BCD + frac{1}{2} cup DAB = frac{1}{2}( cup BCD + cup DAB) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Аналогичным образом запишем, что:

(angle B + angle D = frac{1}{2}( cup CDA + cup ABC) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Теорема доказана.

Теорема 7

Если имеется такой четырехугольник, в котором противолежащие углы в сумме составляют (180^o), то около него можно описать окружность.

Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.

Сумма его противолежащих углов равна: (angle B+angle D=180^o).

Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.

В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».

Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.

В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют (180^o):

(angle B+angle E = 180^o.)

Согласно данным из условия задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Таким образом:

(angle D=angle E.)

С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:

(angle ADC=angle DEC+angle DCE.)

В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.

угол D не равен углу E

Источник: www.treugolniki.ru

Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:

(angle B+angle E=180^o)

Согласно условию задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Тогда:

(angle D=angle E.)

Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.

Таким образом: (angle AEC=angle EDC+angle DCE.)

В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.

Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.

Теорема 7

Около четырехугольника допустимо описать окружность лишь в том случае, когда его противолежащие углы в сумме составляют 180 градусов.

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:

(R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.)

Примечание

Формулу радиуса окружности, которая описана около четырехугольника, ввел индийский математик Ватассери Парамешвара в XV веке.

Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:

(S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.)

В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:

(p={tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).)

С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:

(4SR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.)

Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.

Источник

Вписанный четырехугольник. Задание 6

При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что

1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:

2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:

Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:

1 .Задание B7 (№ 27871)

Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°

Ответ: 122°

2 . Задание B7 (№ 27927)

3 . Задание B7 (№ 27928)

Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:

Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Сумма углов четырехугольника

Свойства

Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат.
Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

http://colibrus.ru/summa-uglov-chetyrehugolnika/

Источник

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанный четырехугольник. Задание 6

Сумма углов четырехугольника

Свойства

Сумма углов четырехугольника

Свойства

Следствия

Признаки вписанного четырехугольника

Специальные случаи

Свойства вписанного четырехугольника

Использование свойств и признаков вписанного четырехугольника при решении геометрических задач.

Свойства вписанных и описанных четыехугольников

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Вписанный четырехугольник. Задание 6

Центральные и вписанные углы

Центральный угол и вписанный угол

Свойства центральных и вписанных углов

Примеры решения задач

Сумма углов четырехугольника

Свойства

Не пропустите также: