Как найти угол между точками градиента

Производной
функции
в точке
по направлению
называется предел

где

если предел
существует.

Если функция
дифференцируема, то производная по
направлению вычисляется по формуле

(18.31)

где
– направляющие косинусы вектора

В частности, если
– функция двух переменных, то формула
(18.31) производной по направлению примет
вид:

(18.32)

где
– угол между вектороми осьюОх.

Градиентомфункциив точкеназывается вектор

(18.33)

или, то же самое,

Связь между
градиентом функции и производной по
направлению устанавливает формула

где
– угол между векторамии

Градиент функции
указывает направление наибыстрейшего
возрастания функции. Наибольшее значение
производной
достигаемое в направление градиента,
равно

В
частности, если
– функция двух переменных, то

Пример
1. Найти
производную функции
в точкепо направлению вектораобразующего с положительным направлением
осиОх
угол

Решение.
Используя
формулу (18.32),
вычислим
частные производные функции z
в точке A:

Так
как
то

Пример
2. Найти
производную функции
в точкепо направлению к точке

Решение.
Найдем вектор

Его направляющие
косинусы равны:

Найдем
значения частных производных функции
u
в точке

Тогда
по формуле (18.31) получим:

Пример
3. Найти
длину и направление (указать направляющие
косинусы) градиента функции
в точке

Решение.
Вычислим
частные производные функции u
в точке М.

Используем
формулу (18.33) при условии, что частные
производные вычисляем в заданной точке

Тогда

Вычисляем
длину полученного вектора:

Используем
тот факт, что направляющие косинуса
равны координатам единичного вектора
направления, определяемого вектором
дроби. Поэтому

Задания

I уровень

1.1.Найдите
производную функциив точкепо направлению вектора

1)

2)

3)

4)

1.2.Найдите
производную функциив точкепо направлению вектора

1.3.Найдите
величину и направление градиента функциив точке

1)

2)

3)

4)

5)

II уровень

2.1.Найдите
производную указанной функции в точкепо направлению к точке

1)

2)

3)

4)

2.2.Найдите
величину и направление градиента функциизаданной неявно, в точке

1)

2)

3)

4)

2.3.Найдите
угол между градиентами функциив точкахи

2.4.Найдите
производную функциив точкев направленииперпендикулярном к линии уровня,
проходящей через эту точку.

III уровень

3.1. Найдите
градиент функциив точкахи

3.2.Определите,
в каких точках градиент функцииудовлетворяет условию:

1) параллелен оси
Оу;

2) перпендикулярен
оси Оу;

3) равен нулю.

3.3.Выясните,
в каких точках градиент функцииудовлетворяет условию:

1) перпендикулярен
прямой
2)
равен нулю.

3.4.Определите,
в каких точках выполнено равенствоесли

3.5.Найдите
градиент функциизаданной неявно уравнением:

1)
2)3)

3.6.Определите
направление наибыстрейшего возрастания
функции:

1)
2)

3)
4)

18.8. Экстремумы функций двух переменных

Функция
имеет в точкелокальный максимум (минимум),
если существует такая-окрестность
точкиМ₀, что для всех точекиз этой окрестности (отличных отМ₀)
выполняется неравенство

Максимум и минимум
функции называются ее экстремумами(локальными), а точкаМ₀, в
которой достигается экстремум, называетсяточкой экстремума.

Необходимое
условие экстремума: если
в точке
дифференцируемая функцияимеет экстремум, то ее частные производные
в этой точке равны нулю:

(18.34)

Точки, в которых
частные производные существуют и равны
нулю, называются стационарными.

Точки из области
определения функции, в которых частные
производные равны нулю или не существуют,
называются критическими точками.

Не всякая критическая
точка является точкой экстремума.

Достаточное
условие экстремума. Пусть– стационарная точка дважды непрерывно
дифференцируемой функцииОбозначим:

Тогда:

1) если
то функция имеет в точкеМ₀локальный экстремум (максимум прии минимум при);

2) если
то в точкеМ₀функция не имеет
экстремума;

3) если
то в точкеМ₀функция может
иметь локальный экстремум, а может и не
иметь его (нужны дополнительные
исследования).

Допустим, что
функция f(x;y) определена на
некотором множестве

Число Сназываютнаибольшим значением функции(глобальный максимум) на множестве
D, если

записывают так:

Число сназываютнаименьшим значением функции(глобальным минимумом) на множествеD, если

записывают так:

Теорема
Вейерштрасса. Непрерывная на
замкнутом ограниченном множествефункциядостигает на этом множестве своего
наибольшего и наименьшего значений.

Для нахождения
наибольшего и наименьшего значений
функции в области
нужно:

1) найти критические
точки функции, принадлежащие D, и
вычислить значение функции в них;

2) найти наибольшее
и наименьшее значения функции на границах
области

3) сравнить все
полученные значения функции и выбрать
из них наибольшее и наименьшее.

Если область
определения функции не является
замкнутой, то для нахождения наибольшего
и наименьшего значений функции необходимо:

1) найти критические
точки функции, принадлежащие D;

2) исследовать
найденные критические точки на экстремум
(локальный);

3) вычислить значения
функции в точках локального максимума
(минимума) и отобрать среди них наибольшее
(наименьшее).

Пример
1. Исследовать
на экстремум функцию

Решение.
Находим частные производные первого
порядка:

Приравниваем их
к нулю, чтобы найти стационарные точки:

Решая
систему уравнений, получим:
т. е.

Вычисляем
значения частных производных второго
порядка в точке М₀:

Тогда
Следовательно, в точкеэкстремума нет.

Пример
2. Найти
экстремум функции

Решение.
Частные
производные первого порядка:

Стационарные
точки:

Частные производные
второго порядка:

Тогда

Получаем:

Поскольку
то в точкефункция имеет минимум:

Пример
3. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в областиограниченной прямыми

Решение.
1) Вычислим частные производные и найдем
критические точки:

Получим:
– критическая точка, принадлежащая
области

Вычислим в ней
значение функции:

2)
Исследуем функцию z
на границе области
(рис. 18.4).

Рис. 18.4

Уравнение
границы AB:
Подставляем число –3 вместох
в аналитическое задание функции:
где

Исследуем
полученную функцию, как функцию одной
переменной, на наибольшее значение.

Найдем критические
точки:

Получаем
– критическая точка, при этом

Вычисляем
значение функции в точке
и на концах отрезка:

Уравнение
границы BC:
На этом участке уравнение функции имеет
вид:где

Поскольку
то дляполучаем критическую точкуТогда

Уравнение
границы AC:
ТогдагдеКритическая точкапринадлежащая

Вычисляем
значение функции для

3)
Из всех полученных значений z
выбираем наименьшее и наибольшее:

Задания

Соседние файлы в папке Часть 3

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Найдём градиент скалярного поля [math]U[/math] в точке [math]M[/math] и модуль:

[math]mathbf{grad}U=frac{partial{U}}{partial{x}},mathbf{i}+frac{partial{U}}{partial{y}},mathbf{j}+frac{partial{U}}{partial{y}},mathbf{k}=frac{3}{2}x^2,mathbf{i}+18y^2,mathbf{j}+9sqrt{6},z^2,mathbf{k}[/math]

[math]left.{mathbf{grad}U}right|_M=frac{3}{2}{!left(sqrt2right)!}^2,mathbf{i}+18{!left(frac{1}{sqrt2}right)!}^2,mathbf{j}+9sqrt6{left(frac{1}{sqrt3}right)!}^2,mathbf{k}=3,mathbf{i}+9,mathbf{j}+3sqrt6,mathbf{k}[/math]

[math]left|left.{mathbf{grad}U}right|_Mright|=sqrt{3^2+9^2+{!left({3sqrt6}right)!}^2}=sqrt{9+81+54}=sqrt{144}=12[/math]

Найдём градиент скалярного поля [math]V[/math] в точке [math]M[/math] и модуль:

[math]mathbf{grad}V=frac{partial{V}}{partial{x}},mathbf{i}+frac{partial{V}}{partial{y}},mathbf{j}+frac{partial{V}}{partial{y}},mathbf{k}=frac{2x}{yz^2},mathbf{i}-frac{x^2}{y^2z^2},mathbf{j}-frac{2x^2}{yz^3},mathbf{k}[/math]

[math]left.{mathbf{grad}V}right|_M=frac{2sqrt2}{frac{1}{sqrt2}left(frac{1}{sqrt3}right)^2},mathbf{i}-frac{left(sqrt2right)^2}{left(frac{1}{sqrt2}right)^2left(frac{1}{sqrt3}right)^2},mathbf{j}-frac{2left(sqrt2right)^2}{frac{1}{sqrt2}left(frac{1}{sqrt3}right)^3},mathbf{k}=12,mathbf{i}-12,mathbf{j}-12sqrt6,mathbf{k}[/math]

[math]left|left.{mathbf{grad}V}right|_Mright|=sqrt{12^2+{!left(-12right)!}^2+{!left(-12sqrt6right)!}^2}=sqrt{12^2cdot8}=24sqrt2[/math]

Вычислим скалярное произведение градиентов полей [math]U[/math] и [math]V[/math] в точке [math]M[/math]

[math]leftlangle{left.{mathbf{grad}U}right|_M,,left.{mathbf{grad}V}right|_M}rightrangle=3cdot12+9cdot(-12)+3sqrt6cdotleft(-12sqrt6right)=36-108-216=-288[/math]

Вычислим значение косинуса угла между градиентами

[math]cosalpha=frac{leftlangle{left.{mathbf{grad}U}right|_M,,left.{mathbf{grad}V}right|_M}rightrangle}{left|left.{mathbf{grad}U}right|_Mright|cdotleft|left.{mathbf{grad}V}right|_Mright|}=frac{-288}{12cdot24sqrt2}=-frac{1}{sqrt2}[/math]

Следовательно, искомый угол [math]alpha[/math] есть

[math]alpha=arccos!left(-frac{1}{sqrt2}right)=pi-arccosfrac{1}{sqrt2}=pi-frac{pi}{4}=frac{3pi}{4}=135^circ[/math]

Также смотрите ещё примеры

viewtopic.php?f=35&t=313

viewtopic.php?f=35&t=3289

Мне дан такой градиет $%U=frac{x}{y^2+z^2}$% и такие точки $%A(3,0,1)$% и $%B(1,-1,0)$%.

Я так понял начинаем с того, что расписываем градиент по компонентам:

$%gradU = (frac{partial U}{partial x}i,frac{partial U}{partial y}j,frac{partial U}{partial z}k)$%

Тогда в моём случае это нечто такое:

$%gradU = frac{1}{z^2+y^2}-frac{2xy}{(y^2+z^2)^2}-frac{2xz}{(z^2+y^2)^2}$%

Далее обращаемся к точкам:

$%grad|_A = i-0-6k = i-6k$%

$%|grad|_A|= sqrt{1+36}=sqrt{37}$%

$%grad|_B = i+2j-0 = i+2j$%

$%|grad|_B|= sqrt{1+4}=sqrt{5}$%

Дальше мы должны искать скалярное произведение…

И после найдём угол.

Так нужно действовать или это только для нахождения угла между градиентами скалярных полей ?