2.5.7. Как найти угол между прямыми?
Новая картинка за очередным поворотом:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается
МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом
между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед 
или
отрицательно ориентированный «малиновый» угол 
. Если прямые
перпендикулярны, то за угол между ними можно принять любой из 4 углов.
…что-то не понятно? Срочно изучаем Приложение Тригонометрия!
Однако ещё раз: чем отличаются углы 
? Ориентацией (направлением «прокрутки» угла).
Напоминаю, что отрицательно ориентированный угол «прокручивается» по часовой стрелке и записывается со знаком «минус».
Следует отметить, что ориентацию угла часто не принимают во внимание, и рассматривают «просто угол», который 
.
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют три основные формулы.
Способ первый. Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе
координат: 
Если 
, то прямые перпендикулярны (
либо 
).
Если 
, то прямые не перпендикулярны и ориентированный угол 
между ними можно вычислить с помощью
формулы:
Знаменатель этой формулы – в точности, скалярное произведение направляющих векторов: 
,
которое равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. …надеюсь, не забыли.
Задача 83
Найти угол между прямыми 
, заданными в декартовой системе координат.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:
И с помощью обратной функции (см. Приложение Тригонометрия) легко найти сам угол, при этом используем нечётность арктангенса:
Ответ: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью
калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного, вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи «первым номером» идёт прямая 
и «открутка» угла началась именно с неё. Если очень хочется получить положительное значение, то нужно
поменять прямые местами, то есть коэффициенты 
взять из второго уравнения 
, а коэффициенты 
– из первого уравнения 
. Короче
говоря, начать нужно
с прямой 
.
Скрывать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.
Способ второй, он удобен, когда прямые заданы уравнениями с
угловым коэффициентом: 
(в декартовых координатах).
Если 
, то прямые перпендикулярны (
либо 
).
Если 
, то ориентированный угол 
между ними можно найти с помощью формулы:
, и на самом деле это частный случай предыдущей формулы.
К слову, из равенства 
следует полезная взаимосвязь угловых
коэффициентов перпендикулярных прямых: 
, которая используется в некоторых
задачах.
Решим Задачу 83 вторым способом, для этого перепишем прямые в нужном виде:
Таким образом, угловые коэффициенты: 
, и алгоритм похож:
1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Используем формулу:
Ответ: 
И третий способ состоит нахождении угла между направляющими векторами прямых с помощью скалярного произведения: 
, но здесь не принимается во внимание ориентация угла (по любому получится 
). Кроме того, он может оказаться тупым, и тогда придётся делать оговорку, что угол между
прямыми – это меньший угол, и из 
радиан (не из 
!) вычитать получившийся арккосинус.
Какой способ выбрать? Ориентируйтесь на вашу задачу, методичку или ситуацию.
Задача 84
Найти угол между прямыми 
.
Самостоятельно, всеми тремя способами! Решение и ответ в конце книги.
И по просьбам учащихся ещё один пункт:
2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?
2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Содержание:
В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.
Угол между двумя прямыми в пространстве
Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые 
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. 
— угол между скрещивающимися прямыми 
и 
(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если 
то углом между прямыми 
и 
будет угол между прямыми 
и 
, где 
(рис. 6.1,6).
Итак,
Если 
, то 
. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.
Угол между прямой и плоскостью в пространстве
Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой 
и плоскостью 
, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):
- выбирают точку
прямой ; - проводят из точки перпендикуляр к плоскости ;
- проводят через точки плоскости и прямую .
прямой 
;
;
и 
прямую 
.Прямую 
называют проекцией прямой 
на плоскость 
а.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая 
перпендикулярна 
, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой 
и плоскостью 
обозначают 
или 
или 
. Читают: «угол между прямой 
и плоскостью 
».
Угол между двумя плоскостями, пространства
Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.
Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например
(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
(рис. 6.3).
Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.
Теорема 1
Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.
Доказательство:
Выберем точки 
и 
(рис. 6.4), принадлежащие прямой 
— линии пересечения плоскостей 
и 
, — и построим два линейных угла для плоскостей 
и 
. Для этого проведем плоскости 
и 
, которые пересекут плоскости 
и по прямым 
и 
, 
и 
. Прямые 
и 
лежат в плоскости 
и перпендикулярны прямой 
, значит 
и 
. Если к плоскости 
применить параллельный перенос, который переводит точку 
в точку 
, то прямая 
совпадет с прямой 
, а прямая 
— с прямой 
. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости 
и 
совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.
Пример №1
Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и 
см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.
Дано: 
— отрезок,
Найти: углы, образованные отрезком 
с плоскостями 
и 
.
Решение:
и 
— проекции точек 
и 
на плоскости 
и 
соответственно. Поскольку 
, 
(или 
) — прямая пересечения этих плоскостей, то 
, 
.
Итак, 
и 
— прямоугольные, у которых: 
(по условию).
Из 
Из 
Ответ. 30°; 45°.
Почему именно так?
В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: 
Расстояния в пространстве
Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками 
и 
называется длина отрезка 
(рис. 6.14). Расстояние от точки 
до прямой 
равно длине перпендикуляра 
, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки 
с концами в точке 
и произвольной точке 
прямой, отличной от 
, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.
Рассмотрим плоскость 
и точку 
, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки 
до плоскости следует выбрать длину перпендикуляра 
, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки 
, где 
— произвольная точка плоскости, отличная от 
, будут наклонными и поэтому их длина больше чем 
.
Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.
Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.
Расстояние от точки 
до отрезка 
(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр 
из точки 
к прямой 
; 2) если основание 
этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку , то искомое расстояние равно длине отрезка 
(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка 
или 
(в зависимости от того, какая из точек — 
или 
— лежит ближе к точке 
) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры 
равны между собой, а каждый отрезок с концами 
и 
на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра 
.
Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.
Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.
Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)
Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.
Доказательство:
Пусть имеем две параллельные плоскости 
и 
(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр 
, проведенный из произвольной точки 
одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра 
, 
и 
параллельных плоскостей
и 
параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок 
с концами в данных плоскостях 
и 
, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра 
.
А это вытекает из того, что перпендикуляр 
, к плоскости 
меньше наклонной 
к этой плоскости. Теорема доказана.
Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.
Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.
Теорема 4
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.
Доказательство:
Действительно, пусть 
и 
— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые 
и 
, соответственно параллельные 
и 
, так, что прямая 
пересекается с прямой 
, а прямая 
. Через прямые 
и 
и 
и 
которые попарно пересекаются, проводим плоскости 
и 
.
Плоскости 
и 
— параллельные. Произвольные прямые 
, которые пересекают прямую 
и перпендикулярны плоскости 
, лежат в одной плоскости. Назовем ее 
. Эта плоскость пересекает плоскость 
по прямой 
, параллельной 
. Пусть точка 
— точка пересечения прямых 
, 
и некой прямой 
, а точка 
— точка пересечения той же прямой 
и 
. Тогда прямая 
, перпендикулярная плоскости 
, перпендикулярна и плоскости 
, поскольку 
. Отсюда вытекает, что 
и 
.
Отрезок 
— общий перпендикуляр к плоскостям 
и 
, а следовательно, и к прямым 
и 
. Докажем, что он единственный. Пусть прямые и 
имеют другой общий перпендикуляр 
. Проведем через точку 
прямую 
, параллельную 
. Прямая 
перпендикулярна прямой , а следовательно, и 
.
Поскольку она перпендикулярна прямым 
и
, которые проходят через точку 
, то она перпендикулярна плоскости 
. Тогда параллельна прямой 
. Имеем, что через прямые 
и , как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые 
и 
. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Пример №2
Отрезок 
перпендикулярен плоскости треугольника 
, стороны 
, 
и 
которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки 
до стороны 
, если 
.
Решение:
Пусть 
— высота данного остроугольного треугольника 
(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
и длина 
будет расстоянием от точки 
до стороны 
. Определим ее из прямоугольного треугольника 
(поскольку 
), то 
). Для этого предварительно найдем 
.
Из формулы для площади треугольника 
.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: 
Тогда 
и
.
Ответ. 20 см.
Пример №3
Прямая 
перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке 
. Докажите, что расстояния от точки 
до всех сторон ромба равны между собой.
Доказательство:
Пусть 
— ромб и 
— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда 
— центр вписанной в ромб окружности. Пусть 
— точки касания сторон к окружности. Тогда 
. Поскольку 
, то по теореме о трех перпендикулярах 
. Итак, 
— расстояния от точки 
до сторон ромба. Из равенства треугольников 
вытекает, что 
. Ч.т.д.
Пример №4
Точка 
не лежит в плоскости прямоугольного треугольника 
и находится на расстояниях 
и 
от прямых, содержащих катеты 
и 
(рис. 6.23). 
— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник 
-прямоугольник.
Доказательство:
Поскольку отрезки 
и 
— расстояния от точки 
соответственно до прямых 
и 
, то 
и 
. По условию 
, поэтому 
и 
— проекции наклонных 
и 
на плоскость 
и 
(по теореме о трех перпендикулярах). Однако 
по условию, поэтому 
— прямоугольник. Ч.т.д.
- Подобие треугольников
- Решение прямоугольных треугольников
- Параллелограмм
- Теорема синусов и теорема косинусов
- Квадрат и его свойства
- Трапеция и ее свойства
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
[{Large{text{Скрещивающиеся прямые}}}]
Заметим, что если две прямые лежат в одной плоскости, то, как и в планиметрии, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны, либо совпадать. Значит, и угол между такими прямыми ищется так же, как и в планиметрии (напомним, что угол между параллельными прямыми считается равным (0^circ)). А если через две прямые нельзя провести одну плоскость?
Поэтому к трем видам взаимного расположения прямых в плоскости (пересекаются, параллелельны или совпадают) в пространстве добавляется еще один вид: скрещивающиеся прямые.
Определение
Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Угол (alpha) между прямыми — это угол (0^circleqslant
alphaleqslant
90^circ).
Теорема 1: признак скрещивающихся прямых
Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda). Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S), не лежащей на прямой (l), то прямые (l) и (s) скрещиваются (рис. 1).
Доказательство
Необходимо доказать, что через прямые (l) и (s) нельзя провести плоскость. Предположим, что это не так, то есть проведем через эти прямые плоскость (pi). Т.к. плоскость (pi) содержит прямую (l) и точку (S), то она совпадает с плоскостью (lambda) по следствию 1 из аксиом. Значит, т.к. прямая (s) лежит в плоскости (pi), то она лежит и в плоскости (lambda), что противоречит условию. Чтд.
Теорема 2
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой (рис. 2).
Доказательство
Пусть прямые (a) и (b) скрещиваются. Проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P) (как в предыдущей теореме). Через точку (P) проведем прямую (pparallel b). Т.к. прямые (a) и (p) пересекаются (в точке (P)), то через них проходит единственная плоскость (назовем ее (pi)). Прямая (b) параллельна плоскости (pi) по признаку параллельности прямой и плоскости.
Построенная таким образом плоскость (pi) единственна. Любая другая плоскость, проходящая через прямую (a), будет уже пересекать прямую (p), а следовательно, будет пересекать прямую (b). Чтд.
[{Large{text{Угол между скрещивающимися прямыми}}}]
Определение
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными двум скрещивающимся прямым.
Таким образом, можно определить следующий алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (рис. 2):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b) (по алгоритму, приведенному в теореме 2);
Шаг 2. В этой плоскости найти угол между прямыми (a) и (p) ((pparallel b)). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
[{Large{text{Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве}}}]
Определение
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ).
Таким образом, перпендикулярными могут быть как и пересекающиеся прямые (лежащие в одной плоскости), так и скрещивающиеся прямые (не лежащие в одной плоскости).
Утверждение 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой прямой:
[aparallel b, aperp c Longrightarrow bperp c]
Утверждение 2
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются (то есть либо параллельны, либо скрещиваются):
[aperp c, bperp c Longrightarrow acap b=varnothing]
Определение
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Следствие 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (рис. 3).
(Данное утверждение напрямую следует из утверждения 1.)
Верно и обратное утверждение:
Следствие 2
Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны (рис. 3).
Теорема 3: признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство
Пусть прямая (aperp x,aperp y), причем прямые (x, yin pi).
Предположим, что прямая (a) уже проходит через точку (O) пересечения прямых (x) и (y) (если это не так, то проведем через точку (A) прямую (a’), параллельную (a); если (a’) будет перпендикулярна плоскости, то и (a) будет ей перпендикулярна по следствию 1).
Проведем через точку (O) в плоскости (pi) некоторую прямую (z). Проведем также прямую, пересекающую прямые (x, y, z) в точках (X, Y,
Z) соответственно. На прямой (a) по разные стороны от плоскости (pi) отметим точки (A, B) так, чтобы (AO=OB).
Рассмотрим (triangle AXB). Т.к. (XO) – высота (по условию) и медиана (по построению), то (AX=XB). Аналогично для (triangle AYB): (AY=YB). Таким образом, (triangle AXY=triangle BXY) по трем сторонам. Отсюда (angle AXY=angle BXY).
Значит, по двум сторонам и углу между ними (triangle AXZ=triangle
BXZ). Значит, (AZ=BZ). Теперь (triangle AZB) – равнобедренный, причем (ZO) – медиана (по построению). Значит, (ZO) – высота, то есть прямая (a) перпендикулярна прямой (z).
Т.к. прямую (z) мы выбрали произвольно, то это значит, что прямая (a) перпендикулярна любой прямой из плоскости (pi), проходящей через точку (O). Но это значит, что прямая (a) перпендикулярна вообще любой прямой из плоскости, т.к. для любой прямой (z’), не проходящей через точку (O), существует параллельная ей прямая (z), проходящая через точку (O). А раз (aperp z, zparallel z’
Rightarrow aperp z’) (по утверждению 1).
Следствие 3
Через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.
Следствие 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.
[{Large{text{Расстояния}}}]
Определение
Пусть (aperp beta), причем (acap beta=H). Пусть (Ain a, Bin
beta):
Отрезок (AH) называется перпендикуляром к плоскости (beta).
Отрезок (AB) называется наклонной к плоскости (beta).
Отрезок (BH) называется проекцией наклонной (AB) на плоскость (beta).
Расстояние от точки до плоскости
Длина перпендикуляра (AH) к плоскости (beta) равна расстоянию от точки (A) до плоскости (beta) (рис. 4).
Расстояние между параллельными плоскостями
Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
Заметим, что расстояние между пересекающимися плоскостями равно нулю.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Длина общего перпендикуляра (h) к обеим скрещивающимся прямым (a) и (b) и есть расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
То есть (hperp a, hperp b).
Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, удобно найти расстояние между одной из них и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
[{Large{text{Теорема о трех перпендикулярах (ТТП)}}}]
ТТП
Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta). Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta). Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.
Доказательство
1. Докажем, что из (xperp AB) следует, что (xperp BH).
Заметим, что т.к. (AHperp beta), то (AH) перпендикулярна любой прямой из плоскости (beta).
Проведем прямую (x’parallel x) через точку (B). Рассмотрим плоскость ((AHB)). Прямая (x’) перпендикулярна этой плоскости, т.к. перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AB) и (AH) из этой плоскости. Но т.к. (xparallel x’), то и (xperp(AHB) Rightarrow
xperp BH).
2. Случай, когда из перпендикулярности проекции следует перпендикулярность наклонной, доказывается аналогично.
Замечание
Данная теорема является очень важным и незаменимым инструментов во многих задачах стереометрии.
[{Large{text{Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями}}}]
Определение
Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ((0^circ;90^circ)).
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным (0^circ). Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен (90^circ).
Замечание
Таким образом, чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку (A) на этой прямой и провести перпендикуляр (AH) к плоскости. Если (B) – точка пересечения прямой с плоскостью, то (angle ABH) и есть искомый угол (рис. 4).
Определение
Двугранный угол – это геометрическая фигура, образованная прямой (a) (называемой ребром) и двумя полуплоскостями (называемыми гранями), общей границей которых является прямая (a).
Будем считать, что данные полуплоскости не принадлежат одной плоскости (т.к. в этом случае двугранный угол представляет собой просто плоскость с прямой из этой плоскости).
Если отметить по одной точке на каждой полуплоскости, а также две точки на прямой (a) (как показано на рисунке), то двугранный угол можно обозначить как (ABCD).
Замечание
Прямая (a) в данном случае является аналогом вершины плоского угла, а полуплоскости – аналогом сторон плоского угла.
Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла.
Определение
Если к ребру (a) двугранного угла провести перпендикулярную плоскость (через любую точку), то она пересечет грани двугранного угла по лучам. Угол, образованный данными лучами, называется линейным углом данного двугранного угла.
Замечание
Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла, которым соответствуют четыре линейных угла.
Градусная мера угла между данными плоскостями — это градусная мера меньшего из четырех линейных углов. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ([0^circ;90^circ]).
Для того, чтобы найти угол между плоскостями (alpha) и (beta), можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку (A) в плоскости (alpha).
Провести (AHperp h), где (h) — линия пересечения плоскостей.
Провести (AB) перпендикулярно плоскости (beta).
Тогда (AB) – перпендикуляр к плоскости (beta), (AH) – наклонная, следовательно, (HB) – проекция. Тогда по ТТП (HBperp h).
Следовательно, плоскость, проходящая через прямые (AH) и (BH), и есть плоскость, перпендикулярная ребру (h) двугранного угла. Значит, (angle AHB) — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла равна градусной мере угла между плоскостями.
Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник (triangle AHB). Как правило, находить (angle AHB) удобно из него.
[{Large{text{Перпендикулярность плоскостей}}}]
Определение
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ).
Теорема 4: признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство
Пусть прямая (a) лежит в плоскости (alpha) и перпендикулярна плоскости (beta). Докажем, что тогда плоскости (alphaperp beta).
Пусть плоскости пересекаются по прямой (h). Тогда (aperp h) (т.к. (a) перпендикулярна любой прямой из плоскости (beta), а (h), очевидно, лежит в (beta)). Проведем через точку пересечения прямых (a) и (h) прямую (b) в плоскости (beta). Углы, образованные при пересечении прямых (a) и (b) – линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями (alpha) и (beta). Но (aperp b), значит, углы, образованные ими, равны (90^circ). Чтд.
План урока:
Перпендикулярность прямых
Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Задачи на перпендикулярность
Перпендикулярность прямых
Напомним, что планиметрии две прямые перпендикулярны, если угол между ними – прямой (то есть его величина составляет 90°).
Однако в стереометрии угол измеряется и между скрещивающимися двумя прямыми в пространстве, у которых общих точек нет. Если он составляет 90°, то прямые также именуются перпендикулярными.
Как же проверить, перпендикулярны ли скрещивающиеся прямые или нет? Для этого может быть использована специальная теорема, которую можно считать признаком перпендикулярности прямых.
Действительно, пусть есть прямые m, n и p, причем р||n и m⊥n. Требуется показать, что также m⊥p. Для этого выберем в пространстве какую-нибудь точку К и проведем через нее две такие прямые m’ и n’, что m’||m и n’||n:
По определению угла между прямыми из того факта, что m⊥n, вытекает, что и m’⊥n’. Так как p||n и n||n’, то в силу транзитивности параллельности, можно сделать вывод, что и р||n’. Но тогда угол между m’ и n’ одновременно является углом между m и p. А разm’⊥n’, то и m⊥p, ч. т. д.
Проиллюстрируем это правило на примере простого кубика:
Ребра ВС и AD параллельны как стороны квадрата АВСD. В свою очередь ВС⊥СG. Тогда по доказанной теореме можно утверждать, что и AD⊥CG.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Из реальной жизни мы знаем, что палку в землю можно вставить так, что она будет стоять строго вертикально. В таких случаях говорят, что палка располагается перпендикулярно земле. Также гвоздь, «ровно» забитый в стену, оказывается перпендикулярным стене. Колонны, которые архитекторы используют при строительстве, также перпендикулярны плоскости пола в этих зданиях.
По аналогии и в геометрии прямая может быть перпендикулярна плоскости. На рисунке такая ситуация будет выглядеть так:
Сформулируем строгое определение:
Так, на следующем рисунке перпендикулярны прямая m и плоскость α. Это значит, что m перпендикулярна каждой прямым, находящимся в α:
Ясно, что прямая m, перпендикулярная плоскости α, должна пересекать ее. Действительно, если бы это было не так, то m либо полностью лежала бы в α, либо была бы ей параллельна. В обоих случаях в α можно было бы построить прямую n, параллельную m. В этом случае m и n уже не были бы перпендикулярны, а значит, что m уже не будет перпендикулярна к α.
Сформулируем две теоремы, связанные с перпендикулярностью прямой и плоскости.
Действительно, пусть есть прямые m и n, и m||n. Также есть плоскость α, и α⊥m. Проведем в α какую-нибудь прямую р:
По определению перпендикулярности (опр. 2) ясно, что m⊥p. Тогда по теор. 1 и n⊥p, ведь m||n. Прямая р была выбрана произвольно, поэтому получается, что n перпендикулярно любой произвольной прямой в α. Это как раз и значит, что n⊥α.
Теперь перейдем ко второй теореме, которая по сути обратна первой:
Для доказательства выберем на n точку К, не находящуюся в плоскости α. Через нее можно построить прямую р, параллельную m. Нам надо показать, что р и n – это одна и та же прямая. Пусть это не так, тогда р будет перпендикулярна α по теор. 2. Если n и р – различные прямые, то они должны пересекать α в разных точках, которые мы обозначим буквами Н и Т соответственно:
Прямая ТН будет перпендикулярна и n, и р. Тогда в ∆ТНК есть два прямых угла, ∠Н и∠Т, что невозможно. Значит, на самом деле прямые n и p совпадают. Так как p||m, то и n||m, ч. т. д.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Заметим,что проверять перпендикулярность прямой и плоскости с помощью определения неудобно, ведь в любой плоскости находится бесконечно большое количество прямых. Поэтому на практике используется более простой признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Доказательство. Пусть есть прямые m, n и р, причем m⊥n и m⊥p. При этом n и р пересекаются в какой-нибудь точке О, и через них проходит плоскость α.Надо продемонстрировать, что m также будет перпендикулярна и любой произвольной прямой k, принадлежащей α:
Если k||nили k||р, то k⊥m по теор. 1. Тогда надо рассмотреть случай, когда k пересекается с n и р. Проведем через О прямую k’, параллельную k.
Далее на прямой m отложим точки А и В так, чтобы ОА = АВ. Также проведем прямую s, пересекающую р, n, k’ в точках Р, L и Q соответственно:
В результате такого построения прямые n и р оказались серединными перпендикулярами для отрезка АВ. Тогда по свойству серединного перпендикуляра мы можем прийти к выводу, что
Теперь мы можем сравнить ∆АРQ и ∆BPQ, которые также оказываются равными:
Отсюда вытекает, что отрезки АQ и BQ одинаковы, поэтому ∆АВQ – равнобедренный. Теперь заметим, что в ∆АВQ отрезок OQ представляет собой медиану, ведь О – середина АВ. Но медиана в равнобедренном треугольнике – это ещё и высота, поэтому АВ⊥OQ. Это как раз и значит, что k’⊥m. Наконец, отсюда по теор. 1 выходит, что и k⊥m, ч. т. д.
Надо также рассмотреть и второй случай, когда изначально m НЕ проходит через О. В таком случае мы можем провести через О прямую m’, чтобы m’||m:
В этом случае по аналогии с предыдущим доказательством получаем, что m’⊥k. Тогда по теор. 1 и m⊥k, ч. т. д.
Покажем, как можно применить доказанный признак. Снова рассмотрим куб:
Докажем, что, например, ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Действительно,DH⊥AD и DH⊥CD. Значит, в плоскости АВСD есть две пересекающиеся прямые (это AD и CD), каждая из которых перпендикулярна DH. По доказанному признаку (теор. 4) этого достаточно для того, чтобы DH⊥ABCD. Аналогично можно показать, что ребра BF, AE, СG также перпендикулярны АВСD.
Докажем ещё несколько важных и вместе с тем очевидных теорем.
Действительно, пусть есть прямая m и точка K. Здесь мы рассмотрим случай, когда K не находится на m. Тогда через m и K можно построить единственную плоскость α:
Дальше выполним следующие построения:
1) Проведем в плоскости α через К прямую n, такую, что n⊥m. Она пересечет m в какой-то точке Т.
2) Построим через m плоскость β, не совпадающую с α. То есть m окажется границей между α и β.
3) Через точку Т уже в плоскости β построим прямую р так, чтобы р⊥m.
4) Построим плоскость γ, проходящую пересекающиеся прямые р и n (эта плоскость будет единственной).
В итоге мы получили плоскость γ, в которой располагаются две прямые, р и n, каждая из которых перпендикулярна m. Тогда и вся плоскость γ будет перпендикулярна прямой m по теор. 4. То есть γ удовлетворяет условию теоремы.
В случае, когда точка К находится непосредственно на прямой m, плоскости α и β будут просто двумя различными плоскостями, проходящими через m. В каждой из них через К можно будет построить перпендикуляры к m, которые и будут играть роль прямых pи n.
Осталось убедиться, что γ – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы. В самом деле, пусть через некоторую точку К можно построить хотя бы две несовпадающие плоскости, перпендикулярные прямой m:
Обозначим буквами Т и Р точки, где m пересекает эти две плоскости. Тогда по опр. 2 получится, что РК⊥m и KT⊥m. Теперь рассмотрим ∆KPT. У него сразу два прямых угла – это ∠Р и ∠Т. Треугольник с двумя прямыми углами существовать не может, значит, на самом деле через K нельзя провести две плоскости, перпендикулярных m.
Прямым следствием из только что доказанной теоремы является следующее утверждение:
Действительно, пусть существуют такие плоскости α и β и прямая m, что m⊥α, m⊥β. Предположим, что α и β пересекаются по какой-нибудь прямой n. Тогда получается, что через каждую точку, принадлежащую n, проведены сразу 2 плоскости, перпендикулярные m, а это невозможно по теор. 5. Значит, α и β не пересекаются, то есть они параллельны.
Следующее утверждение часто называют теоремой о прямой, перпендикулярной плоскости:
Возьмем произвольные плоскость α и точку К. Далее в α выберем какую-нибудь прямую m. Мы можем провести через К такую плоскость β, что β⊥m (по теор. 5):
Прямую, по которой пересекутся α и β, обозначим буквой n. Теперь мы можем в плоскости β опустить перпендикуляр из К на n. Этот перпендикуляр обозначим буквой р.
Получается, что р⊥n,но также и р⊥m (ведь m⊥β, а р находится в β). Тогда по признаку перпендикулярности (теор. 4) получаем, что р⊥α, то есть р – это как раз искомая прямая.
Осталось показать, что р – единственная такая прямая. Действительно, пусть через К построили две прямых, каждая из которых перпендикулярна α. Тогда, по теореме 3, они окажутся параллельными. Но при этом у них будет общая точка K, а параллельные прямые общих точек не имеют. Поэтому р – единственная прямая, удовлетворяющая условию теоремы.
Задачи на перпендикулярность
Прежде, чем смотреть решение задач, постарайтесь решить их самостоятельно.
Задание. Ребра ВС и AD в тетраэдре АВСD перпендикулярны. M и N – это середины ребер АВ и АС. Докажите, что MN⊥AD.
Решение.MN по определению оказывается средней линией в ∆АВС. Это значит, что MN||ВС. Тогда, по теор. 1, можно утверждать, что и АD⊥MN, ч. т. д.
Задание. Диагонали квадрата, чья сторона имеет длина а, пересекаются в точке О. Через О проведена прямая ОК, перпендикулярная плоскости квадрата, причем отрезок ОК имеет длину b. Найдите расстояние от какой-нибудь вершины квадрата до точки К.
Решение.
Обозначим вершины квадрата буквами А, В, С и D. Найдем длину его диагонали, например, АС. Для этого используем теорему Пифагору и прямоугольный ∆АСD:
Точка пересечения диагоналей квадрата одновременно является серединой каждой диагонали, то есть отрезок ОС вдвое короче АС:
Теперь заметим, что если ОК перпендикулярна плоскости квадрата, то также ОК⊥ОС (опр. 2). Значит, ∆КОС – прямоугольный, и для него справедлива теорема Пифагора:
Аналогично можно показать, что расстояние и до других вершин вычисляется по такой же формуле.
Задание. В кубе найдите угол между прямыми АС и DH:
Решение. Заметим, что DH⊥АD и DH⊥CD, при этом AD и CD находятся в плоскости грани АВСD. Тогда по теор. 4 получаем, что DH перпендикулярна этой грани. В свою очередь из опр. 2 вытекает, что DH перпендикулярна любой прямой, принадлежащей грани, в том числе и АС. То есть угол между этими прямыми составляет 90°.
Ответ: 90°.
Задание. Ребро куба имеет длину, равную единице. Какова длина его диагонали FD?
Решение. Предварительно найдем длину диагонали FC (эта диагональ называется не диагональю куба, а диагональю грани ВСGF). Ее можно найти из прямоугольного ∆FCG:
Далее заметим, что СD⊥BC и CD⊥CG, то есть по теор. 4 ребро CD перпендикулярно всей грани BCGF. Это значит, что и ∠FCD– прямой, а ∆FCD – прямоугольный. Применим и к нему теорему Пифагора:
Задание. Какой угол в кубе с единичным ребром образуют диагональ куба и его ребро?
Решение. Используем рисунок предыдущей задачи и полученные в ней результаты. Нам надо найти ∠FDC. Мы уже рассчитали длины всех сторон в ∆FDC:
Тогда ∠FDC легко найти с помощью теоремы косинусов:
Примечание. Несложно показать, что ровно такой же угол диагональ куба образует и со всеми остальными ребрами куба. Также можно показать, что это угол никак не зависит от длины ребра.
Задание. Отрезок PQ и плоскость α параллельны. Через точку P и Q построены прямые, перпендикулярные α. Они пересекают α в точках Р1 и Q1. Докажите, что отрезки PQ и P1Q1 одинаковы.
Решение. По условию РР1⊥α и QQ1⊥α. Тогда по теор. 3 можно утверждать, что РР1||QQ1. Это значит, что отрезки РР1 и QQ1, в том числе и точки Р, Р1, Q, Q1 располагаются в одной плоскости. Тогда РQQ1P1– это плоский четырехугольник.
Заметим, что PQ||P1Q1, ведь если бы они пересекались, то точка их пересечения была бы общей для PQ и α, и тогда PQ и α не были бы параллельны. С учетом того факта, что и РР1||QQ1, получаем, что в четырехугольнике РQQ1P1 противоположные стороны параллельны. То есть он представляет собой параллелограмм.
Так как РР1⊥α и QQ1⊥α, то
Получается, что все углы в РQQ1P1 – прямые, то есть это прямоугольник. Из этого вытекает, что PQиP1Q1 – одинаковые отрезки, ч. т. д. Попутно мы также убедились, что также РР1 и QQ1 одинаковы.
Задание. Есть плоскости α и β, параллельные друг другу. Прямая m перпендикулярна α. Верно ли, что также m перпендикулярна и β?
Решение.
Пусть α и m пересекаются в точке Р. Заметим, что m обязательно должна пересекаться и с β в какой-нибудь точке М. Действительно, m не может полностью принадлежать β, ведь тогда бы точка Р также находилась в β, то есть существовала бы общая точка Р у параллельных плоскостей, что невозможно. Если бы m и β были параллельны, то тогда в β можно провести такую прямую m’, что m’||m. Раз m пересекает α, то и m’ должна пересекаться с α (по теор. 3 из этого урока). Но m’ с α не может пересечься, так как m’ находится в β и потому общих точек с α не имеет. Это противоречие показывает, что m пересекает β в точке, обозначенной нами как М.
Предположим, что утверждение в условии ошибочно и на самом деле β и m не перпендикулярны. Тогда через М можно провести третью плоскость γ, перпендикулярную m (по теор. 5). Проанализируем расположение плоскостей α, β и γ. Раз α⊥m и γ⊥m, то по теор. 6 можно утверждать, что α||γ. По условию α||β. Тогда в силу транзитивности параллельности и β||γ. Но это невозможно, ведь уβ и γ есть общая точка М. Значит, на самом деле β и m всё же перпендикулярны, ч. т. д.
Задание. Прямые AD, АС, АВ попарно параллельны. Известно, что
BC = 26
AB = 24
BD = 25
Найдите длину отрезка CD.
Решение. В задаче есть сразу три прямоугольных треугольника: ∆АВС, ∆АВD и ∆АСD. Для каждого из них можно записать теорему Пифагора, что позволит найти длины отрезков АС, АD и СD. Начнем с ∆АВС:
Теперь можно найти и длину CD c помощью ∆АСD:
Задание. На прямой m отмечена точка М. Через точку M проведены плоскость α и прямая n, причем m⊥α и m⊥n. Докажите, что n обязательно принадлежит α.
Решение. Так как m и n пересекаются, то через них можно построить плоскость β:
Так как у α и β есть общая точка М, то они должны пересекаться по некоторой прямой р. При этом р находится в α, а m⊥α, то m⊥n (по опр. 2). Тогда получается, что в плоскости β через точку M проходят две прямые, n и p, которые перпендикулярны m. Но в одной плоскости через точку прямой можно построить строго один перпендикуляр к ней. То есть n и p совпадают. Это значит, что n, как и p, полностью находится в α, ч. т. д.
Задание. Отрезок АВ не пересекает плоскость α, а отрезок СD принадлежит α. Известно, что отрезки АС и BD перпендикулярны α. Также известны длины:
AC = 3
BD = 2
CD = 2,4
Какова длина АВ?
Решение.
Если АС⊥α и BD⊥α, то АС||BD (по теор. 3). Это значит, что через АВ и СD можно провести плоскость, то есть АВСD – плоский четырехугольник. При этом∠С и ∠D прямые (по опр. 2). Построим отдельно этот четырехугольник и проведем некоторые построения:
Опустим из В перпендикуляр ВК на АС. Так как в четырехугольнике СDBK три угла прямые (∠С, ∠D и ∠K), то и четвертый угол также прямой, то есть СDBK – прямоугольник. Это значит, что
В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикулярных прямых в пространстве, а также о том, что перпендикулярны могут быть также прямая и плоскость. На основе простейших теорем о перпендикулярности возможно определять длину диагонали в кубе и углы, которые образует его диагональ с ребрами куба.
Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность плоскостей
Угол между двумя пересекающимися прямыми измеряется так же, как и в планиметрии ( так как через эти прямые можно провести плоскость ). Итак, углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Угол между двумя параллельными прямыми принимается равным 0 или 180°.
Угол между двумя скрещивающимися прямыми а и b определяется следующим образом: через любую точку С проводят лучи a’и b’ так, что a || a’ и b|| b’. Тогда угол между a’ и b’ принимается равным углу ab. Другими словами, прямые a и b переносятся в новое положение параллельно самим себе до пересечения. В частности, точка C может быть взята на одной из прямых a или b, которая в этом случае будет неподвижной.
Итак, углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Перпендикулярность прямых в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если угол между ними равен 900
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано: a || b, ac
Доказать: bc
Доказательство:
Через т. М (Ма, М
и М
с) проведем прямые МА||a и МС||c. Так как а
с (по условию), то
АМС = 90º. По условию a||b и МА||a (по построению) значит, b||MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и с параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90º
b
c, что и требовалось доказать.
Определение:
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.
(Возможна запись: аα или α
а).
Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.
аα
a
b, a
c, a
d.
Теорема:
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: a||b, аα
Доказать: bα
Доказательство:
Проведем в плоскости α произвольную прямую с. Так как аα, то а
с (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярная с. Так как с – произвольная прямая, то и перпендикулярна α (по определению). Что и требовалось доказать.
Теорема (обратная):
Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Теорема:
Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Дано:
mα, n
α, m
n = 0,1
m, 1
n
Доказать:
1α.
Доказательство:
Проведем прямую р так, чтобы Ор и р||1. 1
n и р||1
p
n и p
m. Пусть Р и Р1 — точки прямой р такие, что ОР = ОР1. Тогда m и n — оси симметрии и значит, α — плоскость симметрии ля этих точек, а следовательно, р
α. p
α и р||1
1
α. Что и требовалось доказать.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:
- Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
- Если две плоскости a и b перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
- Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Дано:
α, Аα.
Доказать:
! с|A
c, c
α.
Доказательство:
-
- Проведем в плоскости α произвольную прямую а; построим плоскость β
α, проходящую через т. А β
α=b В плоскости β через А проведем прямую с|c
α (c
β по построению с
а, т.к. β
α). Значит, с и есть искомая прямая.
- Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с1
α, тогда с||c1, что не возможно т.к. с
с1=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к плоскости α.
- Проведем в плоскости α произвольную прямую а; построим плоскость β
Что и требовалось доказать.