Как найти угол между коллинеарными векторами

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Как найти угол между векторами

Вы будете перенаправлены на Автор24

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $overline<α>$ и $overline<β>$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline<α>=overline$ и $overline<β>=overline$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^circ$.

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Скалярное произведение двух данных векторов $overline<δ>$ и $overline<β>$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$overline<δ>cdot overline<β>=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Готовые работы на аналогичную тему

Обозначение: $overline<δ>cdot overline<β>$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $overline<δ>$ и $overline<β>$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

Из теоремы 1 мы знаем, что $overline<δ>cdot overline<β>=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline<δ>|$ и $|overline<β>|$, окончательно получим

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Найти косинус угла между векторами $overline<δ>$ и $overline<β>$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$overline<δ>cdot overline<β>=1cdot 3+(-2)cdot 0+2cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

В результате, получим

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overline<δ>хoverline<β>|=|overline<δ>||overline<β>|sin⁡∠(overline<δ>,overline<β>)$
2. $overline<δ>хoverline<β>⊥overline<δ>$, $overline<δ>хoverline<β>⊥overline<β>$
3. $(overline<δ>хoverline<β>,overline<δ>,overline<β>)$ и $(overline,overline,overline)$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Определение
1. Упорядоченная
совокупность из n действительных
чисел (а₁, а₂,
…, а_n)
называется n-мерным
вектором ā(а₁, а₂,
…, а_n).
Числа а₁, а₂,
…, а_n называются
координатами вектора.

Два n-мерных
вектора (а₁, а₂,
…, а_n)
и (b₁, b₂,
…, b_n)
считаются равными, если равны их
соответствующие координаты:

,
().

Вектор,
все координаты которого равны нулю,
называется ноль-вектором и
обозначается .

Определение
2. Суммой
(разностью) двух n-мерных
векторов (а₁, а₂,
…, а_n)
и (b₁, b₂,
…, b_n)
называется n-мерный
вектор, координаты которого равны суммам
(разностям) соответствующих координат
исходных векторов:

=(a₁b₁; a₂b₂;
…; a_nb_n).

Определение 3. Произведением n-мерного
вектора (а₁, а₂,
…, а_n)
на число k называется n‑мерный
вектор, координаты которого равны
произведениям координат вектора на
числоk:

k · =(ka₁; ka₂;
…; ka_n).

Для
геометрических векторов (n<4)
эти операции эквивалентны правилу
параллелограмма или треугольника и
растяжению (сжатию) вектора.

Свойства
операций над векторами:

1) +=+—
коммутативность,

2) +(+)=(+)+—
ассоциативность,

3) k·()=k·k·                   —
дистрибутивность,

4)
(k₁k₂)·= k_1
· k₂·,

5)
(k₁·k₂)·=k₁·(k₂·),

6)
1·=,

7)
0·=,

 k·=,

9) k·=.

Определение
4. Совокупность
всех n-мерных
векторов с введенными на ней операциями
сложения и умножения на число
называется n-мерным
линейным векторным пространством и
обозначается Eⁿ.

2) Скалярное произведение. Угол между векторами.

Определение
1. Скалярным
произведением двух n-мерных
векторов (а₁, а₂,
…, а_n)
и (b₁, b₂,
…, b_n)
называется число, равное сумме попарных
произведений соответствующих координат.

·=а₁·b₁+a₂·b₂+…+a_n·b_n.

Свойства
скалярного произведения:

1. ·=·—
коммутативность;

2. ·(+)=·+·—
дистрибутивность;

3. k·(·)=(k·)·,

4. ·=², ²=0.

Определение
2. Длиной n-мерного
вектора называется величина:

.

Определение
3. Углом
между двумя ненулевыми n-мерными
векторами называется угол, косинус
которого вычисляется по формуле

.

3) Условие коллинеарности и ортогональности векторов.

Определение
1. Два n-мерных
вектора  и называются
коллинеарными, если найдется числотакое,
что=·.

Рассмотрим
два коллинеарных вектора и.
Так как они коллинеарны, то=·,
или (a_1, a_2, …, a_n)=( b_1, b_2, …,  b_n ).
Следовательно, a₁= b_1, a₂= _2, …, a_n= b_n.

Выражая
из этих равенств ,
получим

 —
условие коллинеарности.

Для
того чтобы два вектора были коллинеарными,
необходимо и достаточно, чтобы
их координаты были
пропорциональны.

Найдем угол между
коллинеарными векторами.

.

Определение
2. Два
ненулевых n-мерных
вектора иназываются
ортогональными, или перпендикулярными,
если угол между ними равен 90°.

,

 —
условие ортогональности.

4) Системы векторов.

Пусть
дана система n-мерных
векторов .

Определение
1. Линейной
комбинацией системы векторов называется
выражение вида

,

где с₁, с₂,
…, с_k —
некоторые числа.

Определение
2. Выпуклой
линейной комбинацией системы векторов
называют линейную комбинацию, в которой
все коэффициенты неотрицательны и сумма
всех коэффициентов равна единице.

; ,;.

Определение
3. Вектор разлагается
по системе векторов,
если его можно представить в виде
линейной комбинации векторов этой
системы.

.

5) Ранг и базис системы векторов и всего пространства.

  Определение
1. Рангом
системы векторов называется максимальное
число линейно
независимых векторов системы.

.

            Определение
2. Базисом
системы векторов называется максимальная
линейно независимая подсистема данной
системы векторов.

            Теорема. Любой
вектор системы можно представить в
виде линейной
комбинации векторов
базиса системы. (Всякий вектор системы
можно разложить по векторам базиса.)
Коэффициенты разложения определяются
для данного вектора и данного базиса
однозначно.

            Доказательство. Пусть
система  имеет
базис .

            1
случай.
Вектор  —
из базиса. Следовательно, он равен одному
из векторов базиса, допустим .
Тогда =.

            2
случай.
Вектор  —
не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим
систему векторов .
Данная система является
линейно зависимой, так как  —
базис, т.е. максимальная линейно
независимая подсистема. Следовательно,
найдутся числа с₁,
с₂,
…, с_k,
с,
не все равные нулю, такие, что

= .

Очевидно,
что  (если с=0, то
базис системы является линейно зависимым).

.

Докажем,
что разложение вектора по базису
единственно. Предположим противное:
имеется два разложения вектора по
базису.

=,

=.

Вычитая
эти равенства, получим

.

Учитывая
линейную независимость векторов базиса,
получим

.

Следовательно,
разложение вектора по базису единственно.

Количество
векторов в любом базисе системы одинаково
и равно рангу системы векторов.

Ранг
и базис n‑мерного
линейного

векторного
пространства

            Теорема
1. Ранг n-мерного
пространства равен его размерности: r=n.

            Доказательство. На
основании теоремы
Штейница ранг
не превышает n.
С другой стороны, в пространстве имеется
система из n линейно
независимых единичных векторов,
следовательно, ранг не меньше n.
Значит, базис содержит nвекторов.

            Следствие
1. Любой
базис n-мерного
пространства состоит из n линейно
независимых n-мерных
векторов.

            Следствие
2. Любая
система в n-мерном
пространстве, содержащая больше
чем n векторов,
линейно зависима.

            Следствие
3. Любой
вектор пространства можно однозначно
разложить по векторам любого базиса.
Коэффициенты разложения для данного
вектора и данного базиса определяются
единственным образом. Коэффициенты
разложения называются координатами
данного вектора в этом базисе.

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

• #
• #
• #

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−110)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).

Пример 3

Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Пример 4

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin⁡(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).

a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.

∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.

∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.

∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).

a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.

∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.

∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.

∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”

Вопросы
занятия:

· 
вспомнить, что называется углом между векторами;

· 
повторить такое действие над векторами, как скалярное произведение;

· 
повторить, как находится скалярное произведение векторов, если даны координаты
этих векторов.

Материал
урока

И
начнём мы наше повторение с понятия угла между векторами. Давайте вспомним как
мы вводили это понятие.

Изобразим
произвольные векторы:

Теперь
давайте рассмотрим, как определить угол между коллинеарными сонаправленными
векторами. Если мы отложим эти векторы от одной точки, то они будут лежать на
одной прямой. Поскольку они направлены в одну сторону, то нетрудно увидеть, что
угол между сонаправленными векторами равен нулю.

Поскольку
любой нулевой вектор сонаправлен с любым вектором, то, значит и угол между
векторами, один из которых нулевой – равен нулю.

Теперь
давайте рассмотрим случай, когда нам необходимо определить угол между
противоположно направленными векторами. Отложим их от одной точки. Нетрудно
увидеть, что в таком случае, угол между ними равен 180°.

Если
же угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными.

Когда
мы повторяли тему угол между прямыми, то говорили, что углом между прямыми
будет острый угол, который получается при пересечении этих прямых.

Для
векторов это определение не совсем верно. Угол между векторами может быть как
острым, так и тупым, но не больше 180°.

Рассмотрим
несколько примеров.

Пример.

Прежде
чем перейти к повторению скалярного произведения, давайте ещё раз вспомним
действия, которые можно совершать над векторами. Вектора можно складывать (по
правилу треугольника или параллелограмма), вектора можно вычитать. Вектор можно
умножить на число.

Сегодня
мы с вами повторим как же перемножать вектора.

Произведению
векторов мы давали такое определение.

Определение.

Скалярным
произведением двух векторов называется произведение их длин на
косинус угла между ними.

Теперь
давайте вспомним важное замечание.

Замечание.

Результатом
скалярного произведения векторов является число, в отличии от сложения, вычитания
и умножения вектора на число. При этих операциях результатом всегда является
вектор.

Отдельно
рассматривается случай, когда скалярное произведение равно нулю. Мы знаем, что
произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Поскольку
в произведении у нас присутствуют длины векторов, то скалярное произведение
равно нулю тогда, когда хотя бы один из векторов – нулевой.

Если
же оба вектора ненулевые, то должен быть равен нулю косинус угла между ними.

Вспоминая
таблицу значений косинуса для некоторых углов из промежутка от 0° до 180°,
нетрудно увидеть, что косинус равен нулю для угла в 90°. То есть скалярное произведение
будет равно нулю в случае ненулевых векторов только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.

Поскольку
в произведении присутствуют длины векторов, то очевидно, что произведение
первых двух множителей всегда больше нуля. Но косинус углов из промежутка от 0°
до 180° может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то
есть скалярное произведение векторов может быть и положительным и
отрицательным. Положительным оно будет тогда, когда угол между векторами не
более 90°, а отрицательным – тогда, когда угол между векторами лежит в
промежутке от 90° до 180°. Обратите внимание, что ни в один из промежутков мы
не включили угол 90°. Потому что если угол между векторами равен 90°, то
скалярное произведение таких векторов равно нулю.

Теперь
давайте попробуем найти скалярное произведение сонаправленных векторов.

Теперь
давайте попробуем найти скалярное произведение противоположно направленных
векторов.

Теперь
давайте вспомним как вычисляется скалярное произведение вектора на самого себя.
Такое произведение называют скалярным квадратом. Очевидно, что каждый
вектор сонаправлен сам себе, то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины.

Рассмотрим
пример.

Пример.

Поскольку
каждый вектор имеет координаты в координатной плоскости, то давайте вспомним,
как найти скалярное произведение векторов через их координаты.

Повторим
теорему.

Теорема.

Доказательство.

Теперь
давайте рассмотрим пару ненулевых векторов.

Читают
эту формулу так. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их
соответствующих координат.

Вспомним
следствия из доказанной теоремы.

Следствие
1.

Следствие
2.

Рассмотрим
пример.

Пример.

Итоги
урока

Сегодня
на уроке мы вспомнили, что называется углом между векторами. Вспомнили такое
действие над векторами как скалярное произведение. Повторили как находится скалярное
произведение векторов, если даны координаты этих векторов.