Как найти угол между касательными окружности - AvtoShod.ru

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального , опирающегося на ту же дугу.

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Все вписанные углы , опирающиеся на диаметр, прямые.

Любые два вписанных угла , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

источники:

http://anasta8ia.ru/angles-associated-with-the-circle/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kasatelnaya-k-okruzhnosti

Источник

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.

Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).

Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Пишем:

Короче:

ugol mezhdu kasatelnoj i hordoj i tsentralnyj ugol

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись.

Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).

( displaystyle OB) – радиус.

( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).

Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:

( displaystyle OB=OC) — равные катеты
( displaystyle OA) — общая гипотенуза

( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Источник

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Расскажем подробнее, что такое касательная и секущая.

Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. В этом случае она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной к окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет с окружностью общих точек.

Запишем основные теоремы о касательных. Они помогут нам при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.

Теорема 1.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

На рисунке радиус OA перпендикулярен прямой m.

Теорема 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство:

Дана окружность с центром O.

Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Докажем, что
AB = AC и

Проведем радиусы OB и OC в точки касания.

По свойству касательной, и .

В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC и

Теорема 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Доказательство:

Пусть из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Соединим точку A с центром окружности точкой O. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, AB = AC.

Теорема 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол ACМ на рисунке равен половине угловой величины дуги AC.

Доказательство теоремы здесь.

Теорема 5, о секущей и касательной.

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Доказательство теоремы смотрите здесь.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Касательная к окружности.

Задача 1.

Угол ACO равен $28^{circ}$ , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Bеличина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB— тоже 62 градуса.

Ответ: 62.

Задача 2.

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна $116^{circ}$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AOC равен $180^{circ}-116^{circ}=64^{circ}.$ Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол OAC — прямой. Тогда угол ACO равен $90^{circ}-64^{circ}=26^{circ}.$

Ответ: 26.

Задача 3.

Хорда AB стягивает дугу окружности в $92^{circ}.$ Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведем радиус OB в точку касания, а также радиус OA. Угол OBC равен $90^{circ}.$ Треугольник BOA — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол OBA равен 44 градуса, и тогда угол CBA равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.

Мы могли также воспользоваться теоремой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Задача 4.

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: 24.

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

Задача 5.

Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, COD, DOE и EOA.

Очевидно, что площадь многоугольника $S=S_{AOB} + S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOE}+S_{EOA}.$

Треугольники АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют равные высоты, причем все эти высоты равны радиусу окружности.

$S_{ABCD}=S_{vartriangle AOB}+S_{vartriangle BOC}+S_{vartriangle COD}+S_{vartriangle DOE}+S_{vartriangle EOA}=$

$=displaystyle frac{1}{2}ABcdot r+displaystyle frac{1}{2}BCcdot r+displaystyle frac{1}{2}CDcdot r+displaystyle frac{1}{2}DEcdot r+displaystyle frac{1}{2}AEcdot r=$

$=displaystyle frac{1}{2}cdot rcdot left(AB+BC+CD+DE+EAright)=displaystyle frac{1}{2}Pcdot r=pcdot r,$ где p — полупериметр многоугольника.

По условию, P = 10, S = 5, тогда $r=displaystyle frac{S}{p}=displaystyle frac{5}{5}=1.$

Ответ: 1

Задачи ЕГЭ

1. Угол ACO равен ${27}^circ$ , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B . Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, CA — касательная, A — точка касания.

. Треугольник ACO — прямоугольный, $angle AOC=90{}^circ -angle ACO=90{}^circ -27{}^circ =63{}^circ$ .

Угол — центральный, и он равен угловой величине дуги AB, на которую опирается. Значит, градусная мера дуги AB равна $63{}^circ$ . Это меньшая дуга AB, а большая — с другой стороны от точек A и B, и она больше 180 градусов.

Ответ: 63.

2. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна ${58}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол AOB равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть $58{}^circ .$

AC и BC — касательные, поэтому $angle OAC=angle OBC=90{}^circ$ , поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Сумма углов четырехугольника ACBO равна $360{}^circ .$

$angle ACB=360{}^circ -90{}^circ -90{}^circ -58{}^circ =122{}^circ$

Ответ: 122.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в ${92}^circ$ . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Применим теорему об угле между касательной и хордой.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Значит, угол ABC равен $46{}^circ$ .

Ответ: 46.

4. Через концы A и B дуги окружности с центром О проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен $32{}^circ$ . Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Поэтому меньшая дуга AB окружности равна $64{}^circ$ . Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, угол AOB равен $64{}^circ$ .

Мы могли бы решить задачу и по-другому, рассматривая четырехугольник ACBO, как в задаче 2.

Ответ: 64.

5. Через концы A, B дуги окружности в ${62}^circ$ проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В треугольнике ABC:

$angle ACB=180{}^circ -left(angle BAC+angle CBAright)=$

$=180{}^circ -cup AB=180{}^circ -62{}^circ =118{}^circ$

Ответ: 118.

6. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна $116{}^circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

По условию, DB — диаметр окружности, поэтому дуга AВ, не содержащая точки D, равна $180{}^circ - 116{}^circ = 64{}^circ$ . На эту дугу опирается центральный угол AOB, он равен $64{}^circ$ . Треугольник AOC прямоугольный, так как касательная CA перпендикулярна радиусу ОA, проведенному в точку касания.

$angle ACO=90{}^circ -angle COA=90{}^circ -64{}^circ =26{}^circ .$

Ответ: 26.

Задачи ОГЭ по теме: Касательная к окружности

1. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение:

Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания, поэтому AB и OB перпендикулярны, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора:

${OB}^2={AO}^2-{AB}^2$

${{OB}^2=13}^2-{12}^2=169-144=25;; OB=5$

Ответ: 5.

2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный ${83}^circ$ . Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому угол OКD — прямой. Тогда $angle OKM = 90{}^circ - 83{}^circ = 7{}^circ .$ Треугольник OMK — равнобедренный, его стороны OК и OМ являются радиусами окружности, поэтому $angle OMK =angle OKM= 7{}^circ$

Ответ: 7.

3. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, треугольник AOB — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO:

$AO=sqrt{{AB}^2+{OB}^2}=sqrt{{40}^2+{75}^2}=sqrt{5^2left(8^2+{15}^2right)}=$

Ответ: 10.

4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Решение:

Проведём радиус AH в точку касания. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ABН — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём BH:

$BH=sqrt{{AB}^2-{AH}^2}=sqrt{{left(AC+CBright)}^2-{AH}^2}=sqrt{{85}^2-{75}^2}=$

$=sqrt{5^2left({17}^2-{15}^2right)}=40$

Ответ: 40.

5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом ${72}^circ$ . Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC и треугольник ABC — равнобедренный.

$angle CAB=angle CBA=displaystyle frac{180{}^circ -angle ACB}{2}=54{}^circ$

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, значит, дуга AB равна ${108}^circ$ . Угол AOB — центральный, он равен дуге, на которую опирается, то есть ${108}^circ$ . Треугольник AOB равнобедренный,

$angle OAB=angle ABO=displaystyle frac{180{}^circ -108{}^circ }{2}=36{}^circ$

Ответ: 36.

6. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен ${60}^circ$ , а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Решение:

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC — прямоугольные. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.

OB — OC как радиусы окружности, гипотенуза общая. Значит,

$angle BAO=angle OAC=displaystyle frac{60{}^circ }{2}=30{}^circ$

Из треугольника AOB найдём OB, то есть радиус окружности.

$OB=AOcdot {sin 30{}^circ }=8cdot displaystyle frac{1}{2}=4$

Ответ: 4.

7. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK.

Решение:

По теореме о секущей и касательной, ${AK}^2=ABcdot AC,$

Ответ: 4.

8. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна ${72}^circ$ . Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

$angle ABC = 72{}^circ : 2 = 36{}^circ .$

Ответ: 36.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Касательная к окружности» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Как найти угол между касательными

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол. Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.

Инструкция

Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности — О. Итак, углы АВО и АСО равны 90 градусов, радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 — 102 = 225 – 100 = 125;

Извлеките квадратный корень. Получится 11.18 см. Поскольку угол ВАО представляет собой sin или отношение сторон ВО и АО вычислите его значение: Sin угла ВАО = 10 : 15 = 0.66

Затем, пользуясь таблицей синусов, найдите данное значение, которое соответствует примерно 42 градусам. Таблица синусов используется для решения различных задач – физических, математических или инженерных. Остается выяснить величину угла ВАС, для чего следует величину данного угла удвоить, то есть, получится примерно 84 градусов.

Величина центрального угла соответствует угловой величине дуги, на которую он опирается. Величину угла можно также определить с помощью транспортира, приложив его к чертежу. Так как подобные вычисления относятся к тригонометрии, то можно воспользоваться тригонометрическим кругом. С его помощью можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Как известно, полный круг составляет 360 градусов или 2П радиан. На тригонометрическом круге отображены значения синусов и косинусов основных углов. Стоит напомнить, что значение синуса находится на оси Y, а косинуса на оси Х. Значения синуса и косинуса находятся в промежутке от -1 до 1.

Определить значения тангенса и котангенса угла можно поделив синус на косинус, а котангенса наоборот – косинуса на синус. Тригонометрический круг позволяет определить знаки всех тригонометрических функций. Так, синус — это нечетная функция, а косинус – четная. Тригонометрический круг позволяет понять, что синус и косинус – периодические функции. Как известно, период равен 2П.

Видео по теме

Источники:

угол между двумя касательными

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?

Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.

Найти: ∠KCM

Решение:

Центры окружностей, точки O1 иO2 и их точка касания D лежат на одной прямой.

Проведём радиусы O1A и O2B в точки касания с их общей внешней касательной CM.

$[{O_1}A bot CM,{O_2}B bot CM]$

(как радиусы, проведённые в точки касания), следовательно, O1A∥O2B и четырёхугольник ABO2O1 — прямоугольная трапеция.

Проведём высоту O2F.

Четырёхугольник ABO2F — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Значит, AF=O2B=R-r, O2F=AB=2√Rr.

В прямоугольном треугольнике O1O2F

$[sin angle {O_1}{O_2}F = frac{{{O_1}F}}{{{O_1}{O_2}}} = frac{{R - r}}{{R + r}}]$

Обозначим для удобства ∠O1O2F=α. Тогда

$[sin alpha = frac{{R - r}}{{R + r}},]$

$[cos alpha = frac{{{O_2}F}}{{{O_1}{O_2}}} = frac{{2sqrt {Rr} }}{{R + r}},]$

$[tgalpha = frac{{{O_1}F}}{{{O_2}F}} = frac{{R - r}}{{2sqrt {Rr} }}.]$

∠O1CM=∠O1O2F=α (как соответственные при AB∥FO2 и секущей CO1).

CO1 — биссектриса угла KCM. Значит, ∠KCM=2α.

Если значения синуса, косинуса или тангенса не являются табличными, можно найти синус, косинус или тангенс угла KCM, используя формулы двойного угла.

$[cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha - 1;]$

$[tg2alpha = frac{{2tgalpha }}{{1 - t{g^2}alpha }}.]$

Например,

$[tgangle {rm{KCM}} = frac{{2 cdot frac{{R - r}}{{2sqrt {Rr} }}}}{{1 - {{(frac{{R - r}}{{2sqrt {Rr} }})}^2}}} = frac{{4sqrt {Rr} (R - r)}}{{4Rr - {{(R - r)}^2}}}.]$

Угол KCM равен арктангенсу этой величины.

Источник

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Углы, связанные с окружностью.

Касательная к окружности

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

Свойства касательной к окружности

Задача

Задача 1

Задача 2

Задача 1

Задача 2

Задача 1

Задача 2

Угол между касательной и хордой

Равенство отрезков касательных

Касательная к окружности

Как найти угол между касательными

Не пропустите также: