Квадрат — это прямоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. У квадрата четыре стороны и четыре внутренних угла. А это означает, что надо поделить 360 градусов на 4 и получится величина внутреннего угла, равная 90о.
Если величину выражать в радианах, то величина внутреннего угла равна (pi/2). Если же вас интересует внешний угол, то он будет равен 360-90=270о. Или в радианах (2pi-pi/2=3pi/2) радиан. Еще углы квадрата называют прямыми. Когда задают вопрос — чему равен угол в квадрате, то речь также может идти о о центральном угле (угол с вершиной в центре квадрата и сторонами угла, идущими к вершинам). Такой угол тоже равен девяносто градусов. Но, скорее всего вас интересует все таки величина внутреннего угла при вершине квадрата, поэтому на вопрос: чему равен угол в квадрате самый надежный ответ: угол в квадрате равен 90о. Если у вас возникают вопросы — задавайте их в комментариях к этой публикации.
Похожие публикации: угол, квадрат, математика
Квадрат. Формулы и свойства квадрата
Определение.
Квадрат — это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.
Основные свойства квадрата
Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Все четыре угла квадрата прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:
AC = BD
6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
| AC┴BD | AO = BO = CO = DO = | d | |
| 2 |
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата
Определение.
Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.
Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.
Формулы определения длины диагонали квадрата
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
d = a·√2
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:
d = √2S
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:
4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:
d = 2r√2
7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:
d = Dв√2
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
Периметр квадрата
Определение.
Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.
Формулы определения длины периметра квадрата
1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:
P = 4a
2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:
P = 4√S
3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:
P = 2d√2
4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:
P = 4R√2
5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:
P = 2Dо√2
6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:
P = 8r
7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:
P = 4Dв
8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:
Площадь квадрата
Определение.
Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.
Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.
Формулы определения площади квадрата
1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:
S = a2
2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:
S = 2R2
5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:
S = 4r2
7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:
S = Dв2
8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
Окружность описанная вокруг квадрата
Определение.
Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:
4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:
R = r √2
7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:
8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:
Окружность вписанная в квадрата
Определение.
Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.
Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат
1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:
2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:
3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:
4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:
5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:
6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:
7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:
8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:
Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр.
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата
Свойства квадрата
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата
Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:
Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Рис. 1. Квадрат
Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.
Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.
Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата
Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.
Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.
Квадрат – это равносторонний прямоугольник.
Квадрат – это ромб с прямыми углами.
Свойства квадрата:
1. Длины всех сторон равны.
Рис. 3. Квадрат
AB = BC = CD = AD
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
Рис. 4. Квадрат
AB||CD, BC||AD
3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.
Рис. 5. Квадрат
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.
5. Диагонали квадрата равны между собой.
Рис. 6. Квадрат
AC = BD
6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 
Рис. 7. Квадрат
AC ┴ BD
7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 8. Квадрат
BO = OD = AO = OC
8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.
Рис. 9. Квадрат
∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°
9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.
Рис. 10. Квадрат
∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°
10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Рис. 11. Квадрат
△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,
△AOB = △BOC = △COD = △AOD
11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.
Рис. 12. Квадрат
Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:
Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.
Формула диагонали квадрата:
, 
, 
, 
, 
.
Формула радиуса вписанной окружности квадрата:
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.
.
Формула радиуса описанной окружности квадрата:
.
Формула периметра квадрата:
, 
, 
.
Формула площади квадрата:
, 
, 
, 
, 
.
Квадрат
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
3 989
|
Из Евклидовой геометрии известно, что сумма углов многоугольника равна 180*(n-2), где n-число углов. Поскольку квадрат имеет четыре угла, то сумма углов квадрата равна 180*(4-2)=360 градусов. Все углы квадрата равны, так что величина одного угла квадрата равна 360/4=90 градусов. Это простое доказательство, однако еще проще запомнить, что квадрат — это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусов.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Прямоугольник на плоскости с равными сторонами является квадратом и все углы(всего четыре) у него прямые. Любой угол в таком квадрате равен 90 градусам.
В Неевклидовой геометрии требования к квадрату не такие жесткие — это всего-лишь четырехугольник, у которого равные стороны и углы не обязательно 90 градусов, а могут быть больше или меньше (главное, чтобы все они были равны между собой) и в зависимости от того, на какой поверхности расположен этот квадрат — выпуклой или вогнутой, эти углы могут иметь разные величины. Величина углов в таких квадратах может быть разной, например 120 градусов, 72 градуса
gudroni 8 лет назад Угол в квадрате равен девяносто градусам. Если вы конечно имеете виду именно это. Странно, что вы вообще об этом спрашиваете, ведь это слишком очевидные вещи, которым учат с младших классов, и такую информацию знает каждый.
Galina7v7 5 месяцев назад Угол при вершине, причём любой в квадрате равен 90 градусам. Квадрат это правильная фигура, в которой все стороны равны между собой, а все углы тоже равны и равны 90 градусам. Сумма углов любого четырёхугольника равна 180 градусам, а учитывая, что углов 4 и они равны между собой, то каждый из углов равен 90 градусам.
Вся сумма углов у квадрата всегда будет равна полной окружности, т.е. 360 градусов, а раз в квадрате все стороны одинаковые и углы тогда тоже одинаковые, так как они прямые, не будь тогда эта геометрическая фигура квадратом, то сумму всех углов надо разделить поровну, т.е. 360/4=90 Итак это 90 градусов…
Polerol 8 лет назад Квадрат — это по определению такая геометрическая фигура, в которой все углы одинаковы и равны 90 градусов. Это определение надо просто запомнить. Еще, если возникнет сомнение чему же равен угол в квадрате, можно вспомнить что сумма всех его углов это 360, делим на 4 и получаем те же 90 градусов.
Смотря, каков исходный угол. Если он равен, например, 30 градусов, то в квадрате это будет 900 градусов. Так как 30^2=900. Соответственно, 90 градусов в квадрате это 8100. И так далее. Только, обычно в квадрат возводят не сами углы, а их тригонометрические функции.
Delledi 8 лет назад Квадрат — это фигура стороны и углы которого все равны. Угол в квадрате составляет 90 градусов. Этот вопрос так же есть в игре Школа Аватарии в разделе математика и из предложенных вариантов ответов нужно выбрать правильный — угол квадрата равен 90 ГРАДУСОВ,
Leather-Radish 8 лет назад Квадрат — это фигура, которая состоит из четырех сторон, каждая из которых равна и примыкает к другой стороне под углом в 90 градусов. Правильным ответом на игровой вопрос «Школа Аватарии», в разделе «математика» следует считать ответ: 90 градусов.
Агафья 8 лет назад Квадрат потому и называется квадратом, что все углы у него одинаковой величины и составляют 90 градусов. Квадрат представляет собой частный вид прямоугольника, где из названия видно, что все углы в нём прямые, то есть 90 градусов.
Leona-100 8 лет назад Из школьного курса геометрии мы знаем, что угол в квадрате будет равен 90 градусам. Все углы в сумме дают 360 градусов. Так как в квадрате 4 угла, делим 360 градусов на 4 и получаем 90 градусов. Это и будет правильным ответом.
Сумма углов любого прямоугольника — 360 градусов. Отсюда, зная, что углов у квадрата четыре и все они равны, делим 360 на 4, получаем 90 градусов. Это и будет ответом на вопрос о величине угла в квадрате — 90 градусов.
GREENka 8 лет назад 90 градусов.все углы равны. углы прямые. в сумме дают 360 градусов.
Дендра 8 лет назад 90 градусов, 100 градов, пи пополам радианов. Знаете ответ? |
Смотрите также: Чему равен угол ∠B в треугольнике ∆ABC, если (см)? Внутри треугольника расположены два квадрата (см.). Чему равен угол α? Чему равен угол ∠A в треугольнике ∆AED, если (см)? Чему равен угол ∠ОАЕ, если конверт вписан в окружность (см)? Чему равен угол Y, если A=36°, а B=50°+50° (см)? Чему равен угол ∠A, если углы ∠B и ∠C равны 37° и 23° (см)? Дан треугольник ABC, где 2BC=AC и угол C=74°, (см). Чему равен угол CDF? Правильный пятиугольник, правильный треугольник и …(см) Чем равен угол х? Стереометрия. Чему равен угол между ромбом и параллелограммом? Чему равен угол α между касательными, проведенными к окружностям (см.ниже)? |
Содержание материала
- Пример
- Видео
- Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
- Вычисление диагонали квадрата по известной площади
- Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности
- Признаки квадрата
Пример
Возьмем, к примеру, квадрат 6 на 6, то есть со стороной, равной шести сантиметрам.
По первому способу: пусть диагональ будет равна С, а боковая сторона — А.
Тогда получим, что С=√А^2+А^2 или С=√2А^2.
Запишем в числовом виде: С =√36 + 36. Получили √72, а это 3√8 или 6√2.
А теперь найдем ту же диагональ, но уже по второму способу: С = А√2 или в числовом виде: 6√2
Теперь видно, насколько второй способ быстрее, легче и самое главное — эффективнее, особенно в таких легких задачках, ведь на экзамене дорога каждая минута!
Видео
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
 |
(3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ: 
Вычисление диагонали квадрата по известной площади
Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.
Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.
S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.
Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.
Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности
Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.
Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.
И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.
Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
 |
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
 |
(12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
Из (13) следует, что
 |
(14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Смотрите также:
- Площадь квадрата онлайн