Свойства углов параллелограмма:
1. Противоположные углы равны
2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
β — тупой угол
Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):
Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:
Формулы соотношения острого и тупого углов:
Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 05 ноября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как найти острый угол параллелограмма
Параллелограмм — это плоская геометрическая фигура, образуемая пересечением двух пар параллельных между собой прямых линий. Все свойства этого четырехугольника обуславливаются именно этим его отличительным свойством — параллельностью противоположных сторон. Из нее вытекают, в частности, попарное равенство длин сторон и одинаковость противолежащих углов. Эти свойства значительно упрощают вычисление величин углов в вершинах фигуры.
Инструкция
Если требуется вычислить величину острого (α) угла в параллелограмме, величина хотя бы одного из углов (β) которого известна, то исходите из того, что сумма всех четырех углов обязана быть равна 360°. Поскольку одно из основных свойств этой фигуры заключается в одинаковости противоположных вершин, то для вычисления величин углов в паре неизвестных сторон разделите пополам разность между 360° и удвоенной величиной известного угла: α=(360°-2*β)/2.
Если нужно определить величину острого угла (α) в параллелограмме, в котором известны длины смежных сторон (А и В) и меньшей из диагоналей (d), то рассмотрите треугольник, образованный этими тремя отрезками. Косинус нужного вам угла будет равен соотношению между суммой возведенных в квадрат длин сторон, из которых вычтена возведенная в квадрат длина диагонали, и удвоенным произведением этих же двух сторон — это вытекает из теоремы косинусов. Тригонометрическая функция, которая по значению косинуса угла восстанавливает его величину в градусах, называется арккосинусом. Ее и примените к соотношению, полученному с помощью теоремы косинусов: α=arccos((А²+В²-d²)/(2*А*В)).
Если, как и в предыдущем варианте, известны длины смежных сторон (А и В), а вместо короткой диагонали дана величина длинной (D), то алгоритм немного усложнится. Напротив длинной диагонали лежит тупой угол параллелограмма, поэтому сначала вычислите его величину по формуле из предыдущего шага, а затем примените формулу из первого шага. В общем виде формулу можно записать так: α=(360°-2*arccos((А²+В²-D²)/(2*А*В)))/2.
Если кроме длин смежных сторон параллелограмма (А и В) известна его площадь (S), то этого достаточно для вычисления величины острого угла (α). Синус этого угла рассчитайте из соотношения между площадью и произведением длин сторон, а затем примените к результату функцию арксинус — она работает аналогично арккосинусу: α=arcsin(S/(А*В)).
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
|
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Как выглядит параллелограмм На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями. Элементы параллелограмма, указанные на рисунке: Свойства параллелограмма
Признаки параллелограммаЧетырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
Как найти площадь параллелограмма
Как найти стороны параллелограмма
Как найти диагонали параллелограмма
Как найти периметр параллелограмма
Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:
Трапеция, описанная вокруг окружности | Описание курса | Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны |
Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!
Главная 
Учёба 
Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ
Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ
Введите стороны параллелограмма (a,b) и диагональ (d).
Формула расчёта углов параллелограмма зная длину сторон и диагональ:
cos(α)=(a2+b2-d2)/(2*a*b), β=(360-α*2)/2.
Косинус α равен, сторона (a) в квадрате, плюс сторона (b), в квадрате, и минус диагональ (d), в квадрате. Разделённое на сторону (a), умноженное на сторону (b) и умноженное на два. Угол β — вычитаем из 360 градусов угол α умноженный на два, всё это делим на два.
| Сторона параллелограмма (a) | ||
| Сторона параллелограмма (b) | ||
| Диагональ параллелограмма (d) |
Площадь параллелограмма
Периметр параллелограмма
Найти длину стороны параллелограмма зная диагональ и сторону
Вычислить высоту параллелограмма зная длину стороны и угол
Найти диагональ параллелограмма зная стороны и угол
Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!
Нет комментариев.
Оставить комментарий
Заполните все поля.
Ваше имя:
| Оценка |
У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.
- Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту - Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр - Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
- Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ - Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ
Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту
Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = h / b
где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α= S / ab
где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр
Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = (2h + a) / P
где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.
Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ
Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:
cos α = (a² + b² — d²) / 2ab
где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.
Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ
Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab
где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.
Свойства параллелограмма
У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.
Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.
Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.