Как найти углы закручивания

Внутренний крутящий момент в сечении вала М_к   (может быть обозначен буквой Т, Мz)   вычисляется с помощью метода сечений, при этом моменты учитываются по одну сторону от сечения.

где М_i – внешний активный или реактивный крутящий момент; правило знаков для внутренних крутящих моментов устанавливается произвольно.

Для вала с круглым (в т.ч. в виде кольца) поперечным сечением касательные напряжения определяются по формуле:

где   — это полярные моменты инерции для сплошного и кольцевого сечений соответственно, ρ – координата произвольной точки сечения, D, d – наружний и внутренний диаметры сечения.

Максимальные касательные напряжения действуют в точках поверхностного слоя при ρ=ρ_max

Условие прочности по допускаемым напряжениям

где —  это допускаемое касательное напряжение.

Угол закручивания (рад) на силовом участке вала при постоянных значениях крутящего момента и поперечного момента инерции для данного участка вычисляется следующим образом

где G – модуль сдвига

Относительный угол закручивания (рад/м) для силового участка

Условие жесткости при кручении вала с круглым поперечным сечением записывается в виде

где   допускаемый относительный угол закручивания.

Для вала с прямоугольным поперечным сечением эпюры касательных напряжений имеют вид.

В характерных точках сечения

угол закручивания на силовом  участке вала

где α, η, β – коэффициенты, зависящие от отношения a/b (или h/b  — отношение большей стороны прямоугольника к меньшей)

Если вал с эллиптической формой поперечного сечения и полуосями a и b, то его характерные эпюры касательных напряжений будут выглядеть следующим образом.

Касательные напряжения в характерных точках сечения

Угол закручивания на силовом участке вала

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ:

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

Угол закручивания

Кручение пустотелых валов круглого сечения

Трубчатое сечение бруса в условиях кручения оказывается наиболее рациональным, так как материал из центральной зоны сечения, слабо напряженной, удален в область наибольших касательных напряжений. Вследствие этого прочностные свойства материала используются значительно полнее, чем в брусьях сплошного круглого сечения, и при всех прочих равных условиях применение трубчатого сечения вместо сплошного позволяет экономить материал.

Теория расчета бруса сплошного круглого сечения полностью применима и к пустотелым валам. Изменяются лишь геометрические характеристики сечения:

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

Здесь: Wк=α∙h∙b2– момент сопротивления при кручении,

            Iк=β∙h∙b3 – момент инерции при кручении.

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

Значения коэффициента γ<1 берутся из той же таблицы, что и значения α и β.

Для
круглого стержня диаметром d
касательные напряжения в произвольной
точке поперечного сечения, находящейся
на расстоянии ρ от центра сечения,
определяются формулой

, (3.4)

где

– полярный момент инерции круглого

сечения.

Максимальные
касательные напряжения в точках, наиболее
удаленных от центра сечения, имеют
значение

,
(3.5)

где
– полярный момент сопротивления круглого
сечения. При этом напряжения по сечению
изменяются по закону треугольника.

Полный
угол закручивания φ на участке стержня
длиной l
при постоянном крутящем моменте
определяется по формуле

, (3.6)

где
G
– модуль сдвига, МПа.

Если
стержень имеет несколько участков, в
пределах которых изменяется по тому
или иному закону, то полный угол
закручивания (угол взаимного поворота
концевых сечений стержня) определяется
из выражения

. (3.7)

Интегрирование
выполняется по длине каждого участка,
а суммирование – по всем участкам
стержня.

Для
валов, у которых нет неподвижных сечений,
для построения эпюры угловых перемещений
принимают какое-либо сечение за условно
неподвижное. Например, углы закручивания
удобно отсчитывать в обе стороны от
сечения, к которому подводится мощность.

3.3. Расчеты на прочность и жесткость

При
кручении размеры сечения для стержня
постоянного поперечного сечения
подбираются из условия прочности по
расчетной формуле

, (3.8)

где
maxT_k
– наибольший крутящий момент по
абсолютному значению.

Если
дополнительно ставится условие жесткости
φ_max
≤[ φ
] , то подобранное сечение проверяется
на жесткость согласно выражению

,

где
[φ] – допускаемое значение для угла
закручивания;

–расчетная длина,
для которой задан допускаемый угол
закручивания.

В
том случае, когда допускаемый угол
закручивания задан в градусах, при
подстановке в формулу (3.3) его следует
перевести в радианы.

3.4. Построение эпюр т и φ

Пример.
Из условия прочности и жесткости
определить диаметр вала при заданном
расположении зубчатых колес для съема
мощности N₂,
N₃,
N₄.
Подводимая мощность – N₁
(рис. 3.1) . принять допускаемое напряжение
равным [τ]
= 30 Н/мм², G
=0,8 10⁵
Н/мм² при допускаемом угле закручивания
φ на 1 м длины вала – [φ] = 0,25 град/м; N₁
= 90 кВт; N₃
= 30 кВт; N₄
= 20 кВт; n=250
об/мин. Построить эпюры крутящих моментов
Т_к
и углов закручивания вала φ.

Решение:

Угловая
скорость вала согласно (3.3) равна

Вращающие
моменты:

Из
условия равновесия вала ∑
T_i
= 0 находим Т₂:

Т₂+Т₁+Т₃+Т₄=0;

Т₂=Т₁—Т₃—Т₄=3460
–1150-770=1540 Н∙м

Мощность
N₂
снимается с вала:

N₂
= Т₂
ω = 1540 26 = 40000 Вт = 40 кВт.

Строим
эпюру крутящих моментов – эТ_к

Сделаем
сечение I
– I
в любом месте первого участка и из
условия равновесия левой от сечения
части получим значение

Уравнение
равновесия Т₂+
= 0,

откуда

= —T₂= — 1540 Н∙м

Момент
считаем отрицательным в соответствии
с принятым правилом знаков. Сделав
сечение II
– II
на втором участке, из условия равновесия
левой части получим: Т₂+Т₁+=
0,

откуда

=Т₁ –Т₂ = 3460 –
1540 = 1920 Н∙м

Аналогично
проведя сечение III
– III на третьем участке, составляя
уравнение равновесия для отсеченной
левой части, получим момент

Т₂ +Т₁
+Т₃ +=
0

=Т₁ –Т₂ —Т₃
= 3460 – 1540 – 1150 = 770 Н∙м

Таким
образом, крутящий момент в любом сечении
вала равен алгебраической сумме внешних
моментов, расположенных по одну сторону
от этого сечения. Величину крутящего
момента на различных участках вала
изображают графически, построив эпюры
крутящих моментов. Для этого от оси
абсцисс, располагаемой под схемой вала
(рис. 3.1) откладываем ординаты, изображающие
в выбранном масштабе величину крутящего
момента на каждом участке с учетом его
знака (положительные – вверх). Так как
величина Т_к
в пределах участка не зависит от положения
сечения, эпюра Т_к
имеет форму
трех прямоугольников (рис. 3.1). Отметим,
что в местах приложения внешних моментов
ординаты эпюры скачкообразно изменяются
на величину приложенного здесь внешнего
сосредоточенного момента.

Z

l₀=
0,5 M
l₁ =
2 M
l₂
=1
M
l₃
=1
M
l₄
=0,5
M

Т₂ 1 Т₁ 2 Т₃ 3 Т₄

1 2 3

1920

770

ЭТ_k
,Н·М

-1540

A B C D E

эφ,град

К 0,334 L
0,125 M
0,041 N

Рис. 3.1

Условие
прочности при кручении имеет вид

,

откуда

Принимаем
d=70
мм.

Вычисление
углов закручивания имеет серьезное
практическое значение: оно необходимо
для проверки жесткости вала. Практикой
выбраны допустимые пределы для угла
φ, которые нельзя превышать, чтобы не
допустить нарушения в работе машины.

Эти
пределы таковы: [φ] = 0,3° на метр длины
вала ; при переменных нагрузках [φ] =
0,25°; для ударных нагрузок [φ] = 0,15°.

Из
условия жесткости

,

В
качестве окончательного значения
принимаем d
= 90 мм.

Пользуясь
формулой (3.6) для определения деформаций,
определим угловые перемещения сечений
стержня φ
и построим эпюры этих перемещений.
Поскольку вал не имеет неподвижных
сечений (вал – вращающийся стержень),
то для построения эпюры угловых
перемещений примем какое либо сечение
за условно неподвижное, например, сечение
А
в точке приложения момента Т_2.

Определим
поворот сечения В по отношения к сечению
А
– φ_ва:

Примем
следующее правило знаков для углов
поворота сечений: углы φ – положительны,
когда сечение поворачивается (если
смотреть вдоль оси справа налево) против
часовой стрелки. В данном случае φ_ва
будет отрицательным. В принятом масштабе
отложим ординату φ_ва
(рисунок 3.1).

Полученную
точку К
соединяем с точкой А
, так как в пределах участка углы
изменяются по законам прямой линии (
формула 3.6), в которую абсцисса сечения
С
входит в первой степени.

Вычислим
теперь угол поворота сечения С
по отношению к сечению В.
Учитывая принятое правило знаков для
углов закручивания, получаем

Угол
поворота сечения С относительно сечения
А
равен

,

так как
,(отметим, что
суммарное значение угла φ может получиться
положительным, отрицательным и в частном
случае равным нулю). Полученную величину
в принятом масштабе откладываем вниз
от оси опоры, получим точку L
. соединяем точку L
с точкой К,
далее аналогично определяем угол
поворота сечения D
относительно С
:

Аналогично
выполненным ранее вычислениям угол
поворота сечения D
относительно А
равен

Отложив
эту величину в принятом масштабе вниз,
получим точку М.
Соединяя М
с L
, получим эпюру φ на участке DС
. На участке DE
скручивания не происходит, так как
крутящий момент на этом участке равен
нулю, поэтому там все сечения поворачиваются
на столько же, на сколько поворачивается
и сечение D.
Участок МN
эпюры φ здесь горизонтален.

Полный
угол закручивания между концевыми
сечениями равен алгебраической сумме
углов закручивания для всех участков:

Соседние файлы в папке ДМ 3

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сопротивление материалов

Деформация кручения



Напряжения и деформации при кручении

Исследование отдельных участков и слоев цилиндрического бруса, нагруженного скручивающим (вращающим) моментом, дает основание полагать, что в поперечных сечениях этого бруса нормальные напряжения (направленные вдоль оси) отсутствуют, а возникают только касательные напряжения, модули которых расположены в плоскости исследуемого сечения.
Этот вывод опирается и на гипотезу о не надавливании волокон, предполагающую, что если брус представить в виде многочисленных цилиндрических продольных волокон, то при деформациях разного рода эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (не давят друг на друга).

Как показали многочисленные опыты и исследования, эта гипотеза справедлива в определенном интервале деформаций, и погрешностями в расчетах, связанными с ее применением, можно пренебречь.

На рис. 1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа₁, а сечения волокна b — дуге bb₁. Этот сдвиг (т. е. длины дуг) можно определить, зная угол φ закручивания исследуемого сечения относительно центральной оси:
дуга аа₁ = rφ; дуга bb₁ = Rφ,
где: r — расстояние от волокна а до оси кручения, R — радиус сечения круглого бруса, φ — полный угол закручивания бруса.

Так как радиусы сечений при кручении бруса остаются прямыми (принятое предположение), то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения, т. е. чем дальше от оси расположено продольное волокно, тем сильнее сдвинется его сечение относительно центральной оси.

Относительный сдвиг сечения произвольного продольного волокна b может быть определен по формуле:
γ_р = rφ / l,
где φ / l = φ₀ — относительный угол закручивания (для любого сечения круглого однородного бруса эта величина является постоянной). Тогда:
γ_р = φ₀r.

Поскольку мы пришли к выводу, что при кручении в поперечных сечениях бруса возникает только деформация сдвига, то можно применить формулу, описывающую закон Гука при сдвиге:

τ_r = Gγ_р = Gφ₀r.

Здесь τ_r — касательное напряжение в сечении волокна, G — коэффициент пропорциональности между относительным углом закручивания и величиной касательного напряжения, возникающего в сечении волокна, который называют модулем упругости второго рода.
Модуль упругости имеет такую же размерную единицу, как и напряжение (Па) и характеризует физические свойства материала бруса. Для разных материалов модуль упругости устанавливается опытно-экспериментальным путем и приводится в справочниках в виде таблиц, применяемых при расчетах.

На основании приведенной формулы Гука для сдвига при кручении можно сделать вывод, что для центрального волокна бруса (т. е. расположенного на оси закручивания в центре сечения) касательные напряжения равны нулю: если r = 0, то τ = 0.

Максимального значения касательные напряжения достигают в сечениях волокон, наиболее удаленных от оси закручивания бруса, т. е. на внешней поверхности бруса: если r = R, то τ = τ_max.

Так как касательные напряжения в сечениях волокон бруса находятся в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до оси кручения, то эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 4).
Исходя из схемы распределения напряжений, можно сделать вывод, что в круглых валах наиболее напряженными являются внешние слои, а внутренние почти не испытывают нагрузки. По этой причине многие валы машин и механизмов изготавливаются трубчатой формы (пустотелыми), что позволяет сэкономить дорогостоящий металл при незначительной потере прочности конструкции.

Если брус имеет по всей длине одинаковый диаметр (все сечения одинаковы по размерам и форме), и к каждому сечению приложен одинаковый крутящий момент, то касательные напряжения в каждом продольном волокне этого бруса будут одинаковы по величине.

***



Определение угла закручивания и напряжений

Чтобы вывести формулы, определяющие угол закручивания и напряжения в поперечных сечениях бруса, рассечем его на расстоянии l₁ от заделки (рис. 1), и рассмотрим полученное сечение (рис. 4 ).

Выделим в сечении бесконечно малую площадку dS на расстоянии r от оси кручения. Сила dQ, действующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу r и может быть определена по формуле:

dQ = τ_rdS.

Интегрированием определим крутящий момент (момент внутренних сил), возникающих в этой площадке, относительно оси кручения бруса:

М_кр = ∫_s dQ r = ∫_sτ_r dS r = ∫_sG φ₀ r dS = G φ₀ ∫_sr² dS = G φ₀ I_r,

где I_r — полярный момент инерции сечения (для круглого бруса I_r = πD⁴ / 32 = 0,1D⁴).


Из полученной зависимости найдем относительный угол закручивания : φ₀ = М_кр / (GI_r).

Полный угол закручивания сечения φ (рад) цилиндрического участка бруса длиной l может быть определен по формуле: φ = М_крl / (GI_r).

Произведение модуля упругости G на полярный момент инерции сечения I_r называют жесткостью сечения.

Итак, можно сделать вывод, что полный угол закручивания круглого цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении. Следует оговориться, что эта зависимость справедлива лишь до определенного предела, когда нагрузка и деформация пропорциональны.

Если цилиндрический брус (вал) состоит из нескольких участков, имеющих разный диаметр сечений (ступенчатый вал) или изготовленных из разного материала (составной вал), то полный угол закручивания такого бруса может быть определен, как сумма углов закручивания каждого отдельного участка.

Выведем теперь формулу для определения напряжений, возникающих в сечениях цилиндрического бруса при кручении.

τ_r = Gφ_or = GM_крr / (GI_r) = М_крr / I_r.

Как мы уже определили ранее, при r = R касательные напряжения достигают максимального значения:

τ_max = М_крR / I_r = М_кр / (I_r / R) = М_кр / W_r,

где W_r = I_r / R — момент сопротивления сечения кручению (или полярный момент сопротивления).
Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения. Единица измерения момента сопротивления кручению — м³.

***

Моменты сопротивления кручению круглых валов

В технических расчетах наиболее часто приходится иметь дело с круглыми или трубчатыми брусьями (валами), поэтому определим величину момента сопротивления кручению для круглого вала и для вала, имеющего кольцевое сечение (труба).

Из последней формулы видно, что если полярный момент инерции кольцевого сечения можно определить, как разность между осевыми моментами инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручения кольцевого сечения подобным образом рассчитать нельзя.

Эти формулы применяют при решении задач и выполнении расчетов на прочность для скручиваемых валов.

***

Материалы раздела «Деформация кручения»:

• Понятие о кручении цилиндрического бруса (вала)
• Построение эпюр крутящих моментов
• Деформации и напряжения, возникающие при кручении
• Расчеты на прочность и жесткость при кручении
• Расчет цилиндрических винтовых пружин

Формула Журавского при изгибе



   Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М_z. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) М_z связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

   Условимся считать M_z положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент М_z принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

   Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

2. расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;

3. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

4. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

а) ортогональность и
Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

   Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что

где J_p—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

   Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

   Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJ_p стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (M_z через нее выражается) тем меньше, чем больше DJ_p, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

В случае, если по длине стержня М_z и DJ_p постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где W_р — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

   Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

где — допускаемое напряжение на кручение.

   Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45^o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

   Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с^-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

Отсюда

кНм,

где учтено, что .

   Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max M_z.

   Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение W_p=d^з/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства

,

откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

   Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

Дальше…