Как найти угловую скорость звена

В положении механизма, указанном на рис.1, определить аналитически и построить на чертеже :

1. положение мгновенных центров скоростей всех звеньев, совершающих плоское движение;
2. скорости всех, точек механизма, расположенных в местах соединения звеньев (шарнирах);
3. угловые скорости всех звеньев;
4. ускорение точки А;
5. ускорений других точек механизма методом полюса;
6. угловые ускорения звеньев;
7. касательное и нормальное ускорения точки В;
8. установить характер движения точки В (ускоренное, замедленное, мгновенная остановка).

Дано:

= 30 об./мин.

Определить:

1) = ?
2) = ?
3) = ?
4) = ?

Решение:

I. Определим скорости точек и угловые скорости звеньев механизма (метод мгновенного центра скоростей, мцс)

1.1 Определим угловую скорость ведущего кривошипа OA:

C1: вектор оси — оси вращения кривошипа OA (см. рис.1),

1.2 Рассмотрим кривошип OA:

   

C2: в сторону вращения кривошипа OA (см. рис.1)

1.3 рассмотрим уголковый шатун BAF

Точка — мгновенный центр скоростей шатуна BAF
ось — мгновенная ось вращения шатуна BAF.

(1)  

Примечание: Так как на Рис.1 звенья механизма изображены в масштабе, то величины (размеры) мгновенных радиусов точек, а именно: и берутся с рисунка.

C3: вектор скорости по направляющей в сторону поворота шатуна (вниз).
Определим скорость точки B
Угловая скорость шатуна BAF:

(2)  

C4: Вектор , т.к. шатун относительно оси поворачивается по часовой стрелке.

(3)  

Примечание: Величина так-же берётся с Рис.1.
Из (3) получаем

C5: вектор и направлен в сторону вращения шатуна BAF.

1.4 Рассмотрим шатун «BE»

Точка — мгновенный центр скоростей шатуна «BE»
Ось — мгновенная ось вращения шатуна «BE»

(4)  

Из (4) получаем:

C6: Вектор и направлен по направляющей вверх (см. Рис.1).
Угловая скорость шатуна BE:

(5)  

Примечание: Величину берём из рис. 1 с учётом масштаба.

C7: вектор угловой скорости шатуна BE (от нас),
т.к. «отсюда» видим вращение по часовой стрелке относительно оси

1.5 Определим скорость точки M:

а) метод «мгновенного центра скоростей»:
Точка M шатуну BAF, точка — мгновенный центр скоростей BAF, — мгновенный радиус точки M.

(6)  

Из (6) получаем:

C8: Вектор скорости и направлен в сторону вращения шатуна BAF
б) метод «полюса»: точка А — полюс

(7)  

Где — вращательная скорость точки M относительно «полюса» A, вектор направлен перпендикулярно

= 0.342 (величина угла взята с рис.1)
Сравним = 0.68 m/c (мцс) и «метод полюса» = 0.73 m/c : погрешность расчёта составляет

II. Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма. (методом «полюса»)

2.1 Ускорение точки A, принадлежащей кривошипу OA, который вращается вокруг неподвижной оси

(8)  

(9)  

где и — вращательное и осестремительное ускорения точки A около оси соответственно.

(10)  

С учётом (9) и (10) из (8) получим:

(11)  

(12)  

тогда их (11) с учётом (12) получим

C9: направлен из точки A к оси (см.рис.2).

2.2 Рассмотрим шатун BAF

а) определяем ускорение точки F

(13)  

где и — вращательное и осестремительное ускорения точки F вокруг «полюса» A, соответственно.

(14)  

C10: Вектор осестремительного ускорения направлен от точки F к «полюсу» A (см.рис.2)

C11: Для вектора вращательного ускорения известна только линия действия (л.д.), (направление также выбираем условно см.рис.2)

C12: Для вектора — (ускорения «ползуна» F) известна только линия действия (л.д.) — направляющая «OF» (направление также выберем условно)

(15)  

Спроектируем векторное равенство (13) на оси координат «XFY»:

на ось :

(16)  

на ось :

(17)  

C13: (см.рис.2)

, где величину этих углов берём с чертежа (см.рис.2)

Далее перепишем (16) и (17), подставляя числовые значения:

(18)  

(19)  

Из уравнения (16) получим:

C14: Получили, что , следовательно, условное направление надо поменять на противоположное (см.рис.2)

Из уравнения (17) получим:

C15: Так как , то условное направление верно! (см.рис.2).

Определим угловое ускорение шатуна BAF:

(20)  

Направление определяем из векторного произведения
(см.рис.2)

C16: Вектор и, так как , то шатун «BAF» вращается замедленно ! (см.рис.1)

б) Определим ускорение точки (метод «полюса»):

(21)  

где (см. пункт I.)

C17: Вектор направлен по от точки B к «полюсу» A (см.рис.2).
С учётом (20) получим, что:

(22)  

C18: Вектор (см.рис.2).
Спроектируем векторное равенство (21) на оси :
на ось

(23)  

на ось

(24)  

угол берём с чертежа (см.рис.2).
Перепишем (23) и (24), подставляя числовые значения:

(25)  

(26)  

Далее находим абсолютную величину ускорения точки B:

(27)  

Направление вектора определяется направляющими косинусами по отношению к осям BXY.

(28)  

Соотношение (27) и (28) представляют вектор по величине (27) и направлению (28)

2.3 Рассмотрим шатун «BE»

Запишем для — вектора ускорения точки шатуну «BE» (по методу «полюса») векторное равенство:

(29)  

Спроецируем (29) на оси координат и (см. рис.2)

(30)  

(31)  

Далее перепишем (30) и (31), подставляя числовые значения, получим

(32)  

(33)  

Здесь также значение угла берём с чертежа (см.рис.2)

Из (32) определим величину вектора ускорения точки E

Из (33) определим величину вектора вращательного ускорения точки «E» около «полюса» B:

(34)  

Определим величину углового ускорения шатуна BE с учётом (34)

Направление вектора определим из векторного произведения:

(35)  

C19: Так как получили (34), что , то следует условное направление вектора изменить на противоположное (рис.2), тогда чтобы удовлетворить векторное произведение (35), вектор (см. рис.1), а поскольку получили, что , то, значит, характер вращения шатуна «BE» — ускоренный.

Ответ: