Рассмотрим
кривую, уравнение которой имеет вид
Уравнение
касательной к данной кривой в точке
имеет вид:
(34)
Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярную к касательной в этой
точке.
Уравнение
нормали к данной кривой в точке
имеет вид:
(35)
Длина
отрезка касательной, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
касательной,
проекция этого отрезка на ось абсцисс
называется подкасательной.
Длина
отрезка нормали, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
нормали,проекция
этого отрезка на ось абсцисс называется
поднормалью.
Пример
17
Написать
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой равна
.
Решение:
Найдем
значение функции в точке
:
Найдем
производную заданной функции в точке
Уравнение
касательной найдем по формуле (34):
Уравнение
нормали найдем по формуле (35):
Ответ:
Уравнение
касательной :
Уравнение
нормали :.
Пример
18
Написать
уравнения касательной и нормали, длины
касательной и подкасательной, длины
нормали и поднормали для эллипса
в
точке
,
для которой.
Решение:
Найдем
как производную функции, заданной
параметрически по формуле (10):
Найдем
координаты точки касания
:
и значение производной в точке касания
:
Уравнение
касательной найдем по формуле (34):
Найдем
координаты
точки
пересечения
касательной с осью:
Длина
касательной равна длине отрезка
:
Согласно
определению, подкасательная
равна
Где
угол
– угол между касательной и осью
. Поэтому,
— угловой коэффициент касательной,
равный
Таким
образом, подкасательная
равна
Уравнение
нормали найдем по формуле (35):
Найдем
координатыточки
пересечения нормали с осью
:
Длина
нормали равна длине отрезка
:
Согласно
определению, поднормаль
равна
Где
угол
– угол между нормалью и осью
. Поэтому,
— угловой коэффициент нормали, равный
Поэтому,
поднормаль
равна:
Ответ:
Уравнение
касательной :
Уравнение
нормали :
Длина
касательной
;
подкасательная;
Длина
нормали
; поднормаль
Задания
7. Написать
уравнения касательной и нормали:
1. К параболе в точке, абсцисса которой
.
2.
К окружности
в точках пересечения её с осью абсцисс
.
3.
К циклоиде
в точке, для которой
.
4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:
а)
оси Оx; б) прямой
.
10.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.
Условие
монотонности функции:
Для
того, чтобы дифференцируемая на
функция
не возрастала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .
(36)
Для
того, чтобы дифференцируемая на
функция
не убывала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.
(37)
Промежутки,
на которых производная функции сохраняет
определенный знак, называются промежутками
монотонности
функции
Пример
19
Найти
промежутки монотонности функции
.
Решение:
Найдем
производную функции
.
Найдем
промежутки знакопостоянства полученной
производной. Для этого
разложим полученный
квадратный трехчлен на множители:
.
Исследуем
знак полученного выражения, используя
метод интервалов.
Таким
образом, получаем согласно (36), (37),что
заданная функция возрастает на
и убывает на
.
Ответ:
Заданная
функция
возрастает на
и убывает на
.
Определение
Функция
имеет в точке
локальный
максимум (минимум),
если существует такая окрестность
точки
,
что для всехвыполняется условие
().
Локальный
минимум или максимум функции
называетсялокальным
экстремумом.
Необходимое
условие существования экстремума.
Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
Если функцияимеет
в точкеэкстремумом, то производная
в точке
либо равна нулю, либо не существует.
Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если производнаяв точке
либо равна нулю, либо не существует.
Достаточные
условия наличия экстремума в критической
точке
.
Пусть
точка
является критической.
Первое
достаточное условие экстремума:
Пусть
функция
непрерывна в некоторой окрестности
точки
и дифференцируема в каждой точке
.
Точка
является локальным максимумом, если
при переходе через
производная
функции меняет знак с плюса на минус.
Точка
является локальным минимумом, если при
переходе через
производная
функции меняет знак с минуса на плюс.
Пример
20
Найти
экстремумы функции
.
Решение:
Найдем
производную заданной функции
Приравнивая
в полученной производной к нулю числитель
и знаменатель, найдем критические точки:
Исследуем
знак производной, используя метод
интервалов.
Из
рисунка видно, что при переходе через
точку
производная меняет знак с плюса на
минус. Следовательно, в точке—
локальный максимум.
При
переходе через точку
производная меняет знак с минуса на
плюс.
Следовательно,
в точке
—
локальный минимум.
При
переходе через точку
производная не меняет знак. Следовательно,
критическая точкане является экстремумом заданной
функции.
Ответ:
—
локальный максимум,
—
локальный минимум.
Второе
достаточное условие экстремума:
Если
первые
производные функции
в точке
равны нулю, а
-ная
производная функциив точке
отлична от нуля, то точка
является экстремумом функции
,
причем,
если
,
(38)
то
-локальный
минимум
если
,
(39)
то
-локальный
максимум.
Пример
21
Найти
экстремумы функции, пользуясь второй
производной
.
Решение:
ОДЗ:
.
Найдем
первую производную заданной функции
Найдем
критические точки функции:
Точку
мы не рассматриваем, так как функция
определена только в левой окрестности.
Найдем
вторую производную
Находим
Таким
образом, на основании (39) делаем вывод
о том, что при
— локальный максимум.
Ответ:
—
локальный максимум.
Задания
8.
Исследовать
на возростание и убывание функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
Исследовать
на экстремумы функции:
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Вывод уравнения нормали к графику функции
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Замечание 1
Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.
Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:
$k_{норм}=- frac{1}{k_{к}}= -1 frac{1}{f’(x_0)}$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:
$y – y_0 = — frac{1}{f’(x_0)} cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.
Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:
- Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
- Затем нужно определить производную.
- Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
- Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.
Напомним также как выглядит само уравнение касательной:
$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.
Пример 1
Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.
Решение:
Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.
Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.
Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:
$y-4=-frac{1}{4} cdot (x – 2)$
Уравнение нормали найдено.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Рассмотрим график функции в декартовой системе координат
(рис. 10.2). Возьмем на графике точку
и точку
. Проведем через эти точки прямую
. Эта прямая называется Секущей. Ее уравнением будет
, а угловой коэффициент этой прямой равен тангенсу угла наклона секущей:
Если то секущая MN поворачивается вокруг точки
и переходит в касательную с угловым коэффициентом
Если , то секущая MN поворачивается вокруг точки М и в пределе переходит в касательную с угловым коэффициентом
.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению производной функции в этой
точке: .
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.
Значение производной в точке
равно тангенсу угла наклона касательной (рис. 10.3).
Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания (рис. 10.3).
Уравнение касательной к кривой в точке
запишем как уравнение прямой, которая проходит через заданную точку:
.
Уравнение нормали к кривой в точке
запишем так:
.
Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
.
Решение. 1) Найдем значение функции, если :
.
2) Найдем первую производную функции: .
3) Найдем значение производной, если :
.
4) Запишем уравнение касательной, которая проходит через данную точку :
или
.
Ответ. Уравнение касательной: .
Пример 2. Напишите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой
.
Решение. 1) Найдем значение функции, если :
.
2) Найдем первую производную функции: .
3) Найдем значение производной, если :
.
4) Запишем уравнение нормали, которая проходит через данную точку :
или
.
Ответ. Уравнение нормали: .
Рассмотрим задачу о свободном падении тела и найдем мгновенную скорость его движения.
Из физики мы знаем, что , где H – высота падения, G – ускорение свободного падения, T – время падения.
За время тело проходит расстояние
, а за время
– расстояние
. Приращение аргумента (времени T) будет равно
, откуда
.
Приращение функции будет равно:
Найдем предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента T , если ΔT Стремится к нулю:
.
В левой части равенства мы получили значение производной функции , а в правой части значение мгновенной скорости тела в момент времени T0.
Физический смысл производной. Производная функции в точке
есть мгновенная скорость изменения функции в точке
, т. е. скорость протекания процесса, который описывается зависимостью
.
Например, если дана функция , то ее производная будет
, тогда значение производной в точке
будет
, а значение производной в точке
будет
. Это значит, что в точке
функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента
, а в точке
изменяется в 6 раз быстрее (т. е. различная скорость изменения функции или протекания процесса). В этом и состоит физический смысл производной.
Операция нахождения (взятия) производной функции называется Дифференцированием функции.
Ответьте на вопросы
1. Что показывает угловой коэффициент K в уравнении прямой ?
2. Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой в точке ?
3. Как найти угловой коэффициент нормали к кривой в точке ?
4. В чем состоит геометрический смысл производной?
5. В чем состоит физический смысл производной?
< Предыдущая | Следующая > |
---|
to continue to Google Sites
Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more
Касательная и нормаль к графику функции
Основные формулы
Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной
Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓
Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓
Определения
Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.
Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.
Касательная TM0, нормаль M0N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .
Полезные формулы из аналитической геометрии
Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.
Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :
Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.
Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.
Примеры решения задач
Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
Находим значение функции при :
.
Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.
Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .
Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M0(1;1).
Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.
Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .
Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.
Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.
Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.
Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .
Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .
Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.
Подставляя , находим производную y по x в точке .
.
Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).
Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.
Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.
Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .
Пример 3
Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .
Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.
Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.
Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.
Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.
Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.
Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .
Пример 4
Найти угол между кривыми и .
Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.
Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .
Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.
Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.
Вывод формулы для угла между кривыми
Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .
Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .
Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.
В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .
На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .
При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.
1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).
2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:
.
Этот случай изображен на рисунке ⇑.
3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).
Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021
Вывод уравнения нормали к графику функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.
Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:
Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:
$y – y_0 = — frac<1> cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.
Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:
- Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
- Затем нужно определить производную.
- Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
- Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.
Напомним также как выглядит само уравнение касательной:
$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.
Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.
Решение:
Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.
Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.
Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:
Уравнение нормали найдено.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021
Геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми
Касательная и нормаль к кривой
Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.
Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:
а уравнение нормали:
Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.
Решение. Находим значение функции в заданной точке:
Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:
а тогда уравнение касательной запишется в виде:
или после упрощения:
$$y-4=-frac<1><-3>(x-0) Rightarrow x-3 y+12=0$$
Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$
Уравнение нормали: $x-3y+12=0$
Угол между кривыми
Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_<1>x+b_<1>$ и $y=k_<2>x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:
Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.
Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:
Таким образом, искомая точка $x=1$.
Далее находим производные заданных функций в найденной точке:
Итак, искомый тангенс:
Ответ. $operatorname phi=frac<1><7>$
http://spravochnick.ru/matematika/vyvod_uravneniya_normali_k_grafiku_funkcii/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_10.php