Как найти угловой коэффициент гиперболы

Как найти фокус гиперболы?

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы: c=√a2+b2⇒c=√16+9=√25=5 Следовательно, фокусы имеют координаты F1(−5,0),F2(5,0). Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам r1=|¯F1M| и r2=|¯F2M|.

Как строить гиперболу по уравнению?

Как построить гиперболу?

  1. Сначала находим асимптоты. …
  2. Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . …
  3. Ищем дополнительные точки. …
  4. Изобразим асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях.

Как найти коэффициент К в Гиперболе?

Разберемся, как же определить коэффициент k по графику функции. Из формулы: у = k / x следует, что k = у·х. То есть мы можем взять любую целочисленную точку с удобными координатами и перемножить их – получим k.

Что такое P в параболе?

Определение параболы. где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы. На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

Как составить уравнение параболы по графику?

Алгоритм построения параболы Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c. Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)2 + y₀ Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Что такое фокус параболы?

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение) — геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Как найти действительную полуось гиперболы?

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|. Мнимая полуось гиперболы — число b. В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4.

Как определить график функции?

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика. График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Как найти значение k?

Чтобы определить коэффициент k, необходимо выбрать некоторую точку на прямой и вычислить частное ординаты и абсциссы заданной точки. Прямая проходит через точку M(4; 2), следовательно получим 2 4 = 0,5 . Значит, k=0,5, и данная прямая является графиком линейной функции y=0,5x.

Как найти угловой коэффициент k?

Угловой коэффициент равен отношению количества делений на оси Y к количеству делений на оси Х; в нашем примере угловой коэффициент равен 5/7.

Как вычислить директрису параболы?

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: ε = M F M M d , где точка — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки c прямой .

Как найти вершину параболы квадратичной функции?

Воспользуйтесь формулой для вычисления значения координаты x вершины. Вершина также является точкой симметрии параболы. Формула для нахождения координаты x параболы: x = -b/2a.

Как найти функцию по графику?

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика. График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Как найти с в параболе?

Воспользуйтесь формулой для вычисления значения координаты x вершины. Вершина также является точкой симметрии параболы. Формула для нахождения координаты x параболы: x = -b/2a. Подставьте в нее соответствующие значения для вычисления x.

Что показывает а в параболе?

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая. b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат. с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

Что такое параболический?

Параболический — прил. Имеющий форму параболы [парабола I 1.]. Толковый словарь Ефремовой.

Как узнать что это парабола?

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение) — геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы). Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением.

Свойства гиперболы

1) Область определения и область значений

По аналитическому заданию функции видно, что х ≠-a, поскольку знаменатель дроби не может ровняться нулю. Таким образом получим:

D(f)=(-∞;-а) U (-a;+∞)

Область значений

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Если b=0, то график функции не пересекает ось ОХ;

Если b≠0, то гипербола имеет одну точку пересечения с ОХ:*

x=-(k+ab)/b

3) Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим только 2 простых случая, остальные случаи вы можете рассмотреть аналитически самостоятельно по алгоритму из раздела Свойства функций -> Знакопостоянство

Случай 1: a=0, b=0, k>0

f(x)>0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)<0, при x ∈ (-∞;0)

Случай 1: a=0, b=0, k<0

f(x)<0, при x ∈ (0; +∞)

f(x)>0, при x ∈ (-∞;0)

4) Промежутки монотонности

Аналогично с промежутками знакопостоянства рассмотрим только 2 случая

Случай 1: a=0, b=0, k>0

Функция убывает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

Функция возрастает при

x ∈ (-∞;0) U (0; +∞)

5) Четность и нечетность

Функция является нечетной при a=0, b=0, то есть если имеет вид y=k/x

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

  • Две симметричные ветви.
  • Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

    Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

  • Сокращаем обе дроби в уме или при помощи трехэтажной дроби:
  • Выделяем квадраты в знаменателях:
  • Готово. Можно начертить гиперболу.
  • Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

    Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

    1. Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
    2. Воспользуемся каноническим уравнением
      • Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
        Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
      • Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

    Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

    Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

    Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

    В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

    Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

    на черновике выражаем:

    Уравнение распадается на две функции:

    — определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

    — определяет нижние дуги гиперболы.

    Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

  • Изобразим на чертеже полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), дополнительные C1, C2 и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединяем соответствующие точки у каждой ветви гиперболы.
  • Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

    Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

    Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

    Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

    Мнимая полуось гиперболы — число b.

    В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

    Форма гиперболы

    Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

    Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

    Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

    Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

    Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

    Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

    Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

    Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Фокальное свойство гиперболы

    Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

    Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

    Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

    Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

    Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

    • пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
    • прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
    • прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

    Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

    Запишем это уравнение в координатной форме:

    Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

    , т.е. выбранная система координат является канонической.

    Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

    Директориальное свойство гиперболы

    Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

    ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

    Директориальное свойство гиперболы звучит так:

    Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

    Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

    На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

    можно записать в координатной форме так:

    Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

    Построение гиперболы

    Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

    Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

    В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

    Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

    Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

    По определению эксцентриситет гиперболы равен

    Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

    Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.

    При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

    При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

    При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

    Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

    Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

    Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

    Гипербола и её свойства

    Гипербола и её форма.

    Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
    $$
    frac>>-frac>>=1.label
    $$

    Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

    Рис. 8.6. Гипербола.

    Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

    Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

    Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
    $$
    frac>>-fracx^<2>>>=1.
    $$
    Поэтому, если (b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0), то
    $$
    x=pm frac<sqrt-a^<2>k^<2>>>.
    $$
    Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

    Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

    Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

    Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^<2>) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

    К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

    Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-giperbola

    http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/hyperbola/

    1. Общее уравнение кривых второго
    порядка.

    Всякое уравнение второй степени
    относительно х и у, то есть уравнение
    вида

    ,
    (12.1)

    где
    — постоянные коэффициенты, причем,
    определяет на плоскости линию, которую
    принято называть кривой второго порядка.
    Верно и обратное. Существует четыре
    вида кривых второго порядка: окружность,
    эллипс, гипербола и парабола. Все они
    могут быть получены путем сечения конуса
    плоскостью и потому их еще называюткониками.

    Уравнения кривых можно получить исходя
    из их геометрических свойств как
    некоторого геометрического места точек,
    удовлетворяющего определенным условиям.

    2. Окружность.Окружностью называют
    геометрическое место точек плоскости,
    равноудаленных от данной точки, называемой
    центром.

    Если r– радиус окружности,
    а точка С()
    – ее центр, то уравнение окружности
    имеет вид:

    .
    (12.2)

    Если центр окружности совпадает с
    началом координат, то уравнение окружности
    имеет простейший – канонический вид:
    .

    Пример14.Составить уравнение
    окружности, проходящей через точки

    А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на
    прямой х – у – 3 = 0.

    Решение.

    Найдем координаты точки М – середины
    хорды АВ:

    ,
    то есть М(3; 2).

    Центр окружности находится на
    перпендикуляре, восстановленном из
    середины отрезка АВ. Составим уравнение
    прямой АВ:

    ,
    или х + у – 5 = 0.

    Угловой коэффициент прямой АВ равен
    -1, следовательно угловой коэффициент
    перпендикуляра
    .
    Уравнение перпендикуляра

    у – 2 = 1(х – 3), или х – у – 1 = 0.

    Центр окружности С лежит на прямой х +
    у – 3 = 0 по условию задачи, а также на
    перпендикуляре х – у – 1 = 0, то есть
    координаты центра удовлетворяют системе
    уравнений:

    х– у – 3 = 0

    х – у – 1 = 0.

    Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

    Радиус окружности равен длине отрезка
    СА:

    .

    Уравнение окружности: (х – 2) 2+(у-1)2
    = 10.

    3. Эллипс.Эллипсом называется
    геометрическое место точек плоскости,
    сумма расстояний которых до двух данных
    точек, называемых фокусами, есть величина
    постоянная, равная,
    большая чем расстояние между фокусами.
    Каноническое уравнение эллипса имеет
    вид:

    .
    (12.3)

    Здесь
    — большая полуось эллипса,— малая полуось, причем если расстояние
    между фокусами равно 2с, то.
    Величинаназывается эксцентриситетом эллипса
    и характеризует меру сжатия. Так как с
    <
    ,
    то< 1. Расстояния от некоторой точки М,
    расположенной на эллипсе, до фокусов
    называются фокальными радиус-векторами
    этой точки. Фокальные радиус-векторы
    выражаются через абсциссу точки эллипса
    по формулам:.

    Прямые
    иназываются директрисами эллипса.
    Директрисы эллипса обладают следующим
    свойством: еслиr–
    фокальный радиус-вектор точки М,d– расстояние от этой точки до односторонней
    с фокусом директрисы, то.

    Пример15.Составить уравнение
    эллипса, фокусы которого лежат на оси
    абсцисс, симметрично относительно
    начала координат, зная, что его большая
    ось равна 8, а расстояние между директрисами
    равно 16.

    Решение.

    По условию задачи
    Уравнение директрис;
    расстояние между директрисами,
    отсюда;
    так как,
    то,
    то есть с = 2.

    Так как
    ,
    то.

    Уравнение эллипса:
    .

    Замечание: если в каноническом уравнении
    эллипса
    ,
    то фокусы эллипса лежат на оси ординат
    и;
    уравнения директрис:;
    фокальные радиус-векторы определяются
    по формулам:.

    Пример 16.Составить уравнение
    эллипса, фокусы которого лежат на оси
    ординат симметрично относительно начала
    координат, зная, что расстояние между
    фокусами 2с = 24, эксцентриситет.

    Решение.

    Каноническое уравнение эллипса имеет
    вид:
    .

    По условию задачи с = 12. так как
    ,
    то,
    то есть.

    Так как
    ,
    то.

    Уравнение эллипса:
    .

    4. Гипербола.Гиперболой называется
    геометрическое место точек плоскости,
    для которых абсолютная величина разности
    расстояний до двух фиксированных точек
    той же плоскости, называемых фокусами,
    есть величина постоянная, равная,
    меньшая, чем расстояние между фокусами
    ().

    Каноническое уравнение гиперболы
    имеет вид:

    ,
    (12.4)

    где
    .

    Гипербола состоит из двух ветвей и
    расположена симметрично относительно
    осей координат. Точки
    иназывают вершинами гиперболы. Отрезокназывают вещественной осью гиперболы,
    а отрезок,
    соединяющий точкии,
    — мнимой осью. Гипербола имеет две
    асимптоты, уравнения которых.
    Отношениеназывается эксцентриситетом гиперболы.
    Прямые, заданные уравненияминазывают директрисами гиперболы.
    Фокальные радиус-векторы правой ветви
    гиперболы:.

    Фокальные радиус-векторы левой ветви
    гиперболы:
    .

    Уравнение
    так же является уравнением гиперболы,
    но вещественной осью этой гиперболы
    служит отрезок осиOYдлины.
    Точкиислужат вершинами гиперболы. Ветви
    гиперболы расположены в верхней и нижней
    части координатной плоскости. Две
    гиперболыиназывают сопряженными гиперболами.

    Пример17.Эксцентриситет гиперболы
    равен.
    Составить простейшее уравнение
    гиперболы, проходящей через точку М().

    Решение.

    По определению эксцентриситета, имеем,
    или.

    Но
    ,
    следовательно.
    Так как точка М()
    находится на гиперболе, то.
    Отсюда.

    Таким образом, уравнение искомой
    гиперболы имеет вид:
    .

    Пример 18.Угол между асимптотами
    гиперболы равен 60 о. Вычислить
    эксцентриситет гиперболы.

    Решение.

    Угловой коэффициент асимптоты гиперболы
    .
    Эксцентриситет гиперболы.

    Подставляя значение углового коэффициента,
    получим

    .

    Пример 19.Составить уравнение
    гиперболы, проходящей через точку
    М(9;
    8), если асимптоты гиперболы заданы
    уравнениями.

    Решение.

    Из уравнения асимптоты имеем
    .
    Так как точка М(9; 8) принадлежит гиперболе,
    то ее координаты удовлетворяют уравнению
    гиперболы, то есть.

    Для отыскания полуосей гиперболы, имеем
    систему:

    Решив систему, получим
    Искомое уравнение гиперболы имеет вид:.

    5. Парабола.Параболой называется
    геометрическое место точек плоскости,
    равноудаленных от данной точки, называемой
    фокусом, и от данной прямой , называемой
    директрисой. Если директриса задана
    уравнением,
    а фокус находится в точкеF(),
    то уравнение параболы имеет вид:

    .
    (12.5)

    Эта парабола расположена симметрично
    относительно оси абсцисс.

    Уравнение
    является уравнением параболы, симметричной
    относительно оси ординат.

    Длина фокального радиус-вектора параболы
    определяется по формуле.

    Пример 20.Составить уравнение
    параболы с вершиной в начале координат,
    симметричной относительно осиOYи отсекающей на биссектрисе первого и
    третьего координатных углов хорду
    длиной 8.

    Решение.

    Искомое уравнение параболы имеет вид
    .

    Уравнение биссектрисы у = х. Определим
    точки пересечения параболы и биссектрисы:

    Решив систему, получим О(0; 0) и М(2р;
    2р).

    Длина хорды ОМ =
    .

    По условию имеем: ОМ = 8,
    откуда 2р = 8.

    Искомое уравнение параболы
    .

    Соседние файлы в папке Методичка по МАТЕМАТИКЕ

    • #
    • #
    1. Гипербола и её форма.

      Начать изучение

    2. Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

      Начать изучение

    3. Точки гиперболы и их свойства.

      Начать изучение

    4. Уравнение касательной к гиперболе.

      Начать изучение

    Гипербола и её форма.

    Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
    $$
    frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
    $$

    Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

    гипербола

    Рис. 8.6. Гипербола.

    Утверждение.

    Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

    Доказательство.

    Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

    Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
    $$
    frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
    $$
    Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
    $$
    x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
    $$
    Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

    пересечение прямой и гиперболы

    Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

    Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

    Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

    К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

    Определение.

    Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

    Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
    $$
    h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.nonumber
    $$
    Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
    $$
    h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.nonumber
    $$

    Утверждение.

    Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).

    Отсюда следует важное свойство асимптот.

    Свойство.

    Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

    Доказательство.

    Действительно, хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.


    Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

    Определение.

    Введем число (c), положив
    $$
    c^{2}=a^{2}+b^{2}label{ref10}
    $$
    и (c > 0). Фокусами гиперболы называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.

    фокусы гиперболы

    Рис. 8.8. Фокусы гиперболы.

    Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).

    Утверждение 9.

    Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы (x):
    $$
    r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|.label{ref11}
    $$

    расстояние от точки гиперболы до фокуса

    Рис. 8.9. Расстояние от точки на гиперболе до ее фокусов.

    Доказательство.

    Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.

    Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:

    • для правой ветви гиперболы ((x geq a))
      $$
      r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;nonumber
      $$
    • для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
      $$
      r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;nonumber
      $$

    Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
    $$
    |r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}
    $$

    Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
    $$
    x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
    $$

    Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.


    Точки гиперболы и их свойства.

    Утверждение 10.

    Для того чтобы точка (M) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы (2a).

    Доказательство.

    Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
    $$
    sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}nonumber
    $$
    Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством (c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2}).

    Утверждение 11.

    Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon) (рис. 8.10).

    эксцентриситет и фокусы гиперболы

    Рис. 8.10.

    Доказательство.

    Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M'(x, y)) — точка гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) § 3 гл. II равно
    $$
    d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|.nonumber
    $$

    Из формулы eqref{ref11} мы видим теперь, что (r’/d’=varepsilon).


    Уравнение касательной к гиперболе.

    Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
    $$
    frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}
    $$

    Утверждение 12.

    Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

    Доказательство.

    Доказательство почти не отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса.

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:

    Не пропустите также:

  • Как найти октмо на платежке
  • Как найти экстремум на эпюре изгибающих моментов
  • Одутловатость лица после филлеров как исправить
  • Как найти папку установки программы
  • Out of range на мониторе при запуске windows 7 как исправить через биос

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии