Как найти удлинение стержня при растяжении

1. Определение
   внутренних сил в растягиваемых и
   сжимаемых стержнях.

2. напряжения
   при растяжении (сжатии) прямого стержня.
   Понятие о допускаемом напряжении.

3. Определение
   деформаций и перемещений. Закон Гука.

4. Опытное
   изучение свойств материалов.

Растяжение
и сжатие – это простой и часто встречающийся
случай напряженного состояния элементов
конструкции и деталей машин.

В
таких условиях работает буксировочный
канат или трос подъемного механизма,
колонна здания.

Чистое
(центральное) растяжение или сжатие
возникает в элементе конструкции, если
внешняя нагрузка вызывает в нем только
одно
внутреннее усилие,
которое сопротивляется этой внешней
нагрузке, — нормальную
продольную силу.

При
определении значений внутренних
нормальных сил, действующих в поперечных
сечениях стержней, примем следующее
правило
знаков:

—
нормальная сила положительна, если
сопротивляется растяжению стержня;

—
нормальная сила отрицательна – если
сопротивляется сжатию.

Для
определения значений внутренней
нормальной силы в любом из поперечных
сечений используется метод
сечений.

Пусть
прямой стержень постоянной толщиной в
одном конце закреплен, а к его другому
торцу приложена растягивающая его вдоль
оси стержня внешняя сила F.

Какое
по величине внутреннее продольное
усилие возникает в некотором поперечном
сечении стержня n—n?

Прежде
всего, отметим, что под действием
закрепления и внешней силы стержень
растягивается (деформируется), но никуда
не движется, т.е. остается в равновесии.

Удобно
вначале мысленно «снять» со стержня
закрепление. Заменим его влияние на
стержень эквивалентно действующей
внешней силой. Эта сила равна реакции
закрепления.

Т.е.
в закреплении возникает некоторое
усилие, благодаря которому верхний край
стержня остается неподвижным. Это усилие
называют реакцией
закрепления на внешнюю нагрузку,
передающееся на это закрепление через
деформируемый стержень.

Незакрепленный
стержень, теперь уже под действием двух
внешних воздействий: известной силы и
неизвестной пока реакции также никуда
не движется, т.е. находится в равновесии.

Определить
величину реакции поможет математическая
формулировка этого факта.

Проведем
координатную ось Оz,
для удобства совпадающую с осью стержня.
Стержень никуда не движется под действием
силы и реакции в частности, не движется
и вдоль оси, потому что проекции этих
внешних сил на ось уравновешивают друг
друга.

Такого
рода факт в механике формулируется
уравнением
общего равновесия стержня:
суммарная проекция на ось Оz
всех
действующих на стержень внешних сил,
равна нулю:

При
построении уравнений общего равновесия
механики принято использовать следующее
правило
знаков:

• Проекция
  усилия на ось положительна, если ее
  направление совпадает с выбранным
  направлением этой оси;

• И
  наоборот – проекция отрицательна, если
  направлена в противоположную сторону.

Эпюры
– графики
внутренних усилий, напряжений, перемещений,
деформаций, возникающих в элементах
конструкций и деталях машин под
воздействием внешней нагрузки.

Напряжения
при растяжении (сжатии) прямого стержня

Предположим,
растягивающую брус внешнюю силу удалось
распределить равномерно по его торцам.

Опыты
показывают. Что в этом случае каждое
продольное волокно бруса подвержено
только растяжению и в любом его поперечном
сечении внутренние силы действуют
только по нормали к этим сечениям.

Поперечные
сечения бруса, плоские до деформации,
под действием внешних сил перемещаются
параллельно своему начальному положению
и остаются постоянными.

Растягивающие
стержень внешние силы не всегда удается
распределить по площади стержня
равномерно.

Но
опыты показывают, что поведение поперечных
сечений растягиваемых стержней,
расположенных на некотором расстоянии
от места приложения внешней нагрузки,
уже не зависит от способа приложения
этих сил и всегда соответствует гипотезе
плоских сечений.

При
рассмотрении деформаций растяжения
или сжатия, а также при рассмотрении
последующих простых деформаций нами
будет рассматриваться принцип
Сен-Венана,
названный по имени французского ученого
XIX
века, который заключается в том, что
внутренние
силовые факторы, возникающие в результате
действия внешних сил, распределяются
по сечениям рассматриваемого тела
равномерно.

Рассмотрим
стержень, подверженный действию
продольных сил

Если
на поверхность призматического стержня
нанести сетку линий параллельных и
перпендикулярных оси стержня, и приложить
к нему растягивающую силу, то можно
убедиться в том, что линии сетки и после
деформации останутся взаимно-перпендикулярными,
но расстояние между ними изменятся.

Все
горизонтальные линии, например, cd,
переместятся вниз, оставаясь горизонтальными
и прямыми.

Можно
предположить, что и внутри стержня будет
происходить то же самое, т.е. поперечные
сечения стержня плоские и нормальные
к его оси до деформации, останутся
плоскими и нормальными к оси и после
деформации.
Эту
гипотезу называют гипотезой
плоских сечений (гипотезой Бернулли).

Продольная
сила N
есть равнодействующая нормальных
напряжений в поперечном сечении:

поскольку

,
то

,
отсюда

В
частном случае, когда на стержень
действует одна внешняя сила, из уравнения
равновесия получим:

И
вместо общей формулы получим частный
вид формулы для растяжения:

Эти
формулы справедливы и для сжатия, с той
только разницей, что сжимающие напряжения
считаются отрицательными.

Кроме
того, сжатые стержни помимо расчета на
прочность рассчитываются также и на
устойчивость.

Очевидно,
что эти напряжения в реальных условиях
нельзя создавать больше или много меньше
определенной величины. Поэтому вводится
понятие допускаемого
напряжения:

—условие
прочности.

Определение
деформаций и перемещений. Закон Гука.

Опыты
показывают, что при растяжении длина
стержня увеличивается, а поперечные
размеры уменьшаются, при сжатии –
наоборот.

Для
многих материалов при нагружении до
определенных пределов опыты показали
следующую зависимость между относительным
удлинением стержня
и напряжением:

,
где

—
абсолютное удлинение стержня

—
длина образца до деформации

—
длина образца после деформации

Эта
зависимость носит название закона
Гука и
формулируется следующим образом:
линейные
деформации прямо пропорциональны
нормальным напряжениям.

—
коэффициент, зависящий от материала,
т.е. его способность сопротивляться
деформированию. Он характеризует
жесткость материала, т.е. его способность
сопротивляться деформированию.

Для
ст.3
.

Для
других материалов значение
можно найти в справочниках.

Имея
ввиду, что для стержня постоянного
сечения:

,
а

Можно
получить формулу для определения полного
(абсолютного) удлинения (укорочения)
стержня:

Между
продольным удлинением
и поперечным существует зависимость:

Здесь
—коэффициент
поперечной деформации (коэффициент
Пуассона),который
характеризует способность материала
к поперечным деформациям.

При
пользовании этой формулой удлинение
считается положительным, а укорочение
– отрицательным.

Для
всех материалов
.

Для
стали при упругих деформациях можно
принимать
=0,3.

Зная
можно определить полное поперечное
сужение или расширение стержня:,
где— поперечный размер стержня до деформации

—
поперечный размер стержня после
деформации.

В
стержнях переменного сечения напряжения
в поперечных сечениях можно считать
распределенными равномерно (если угол
конусности
)
и определять их по той же формуле, что
и для стержня постоянного сечения.

Для
определения деформаций стержня
переменного сечения, в поперечных
сечениях которого действует продольная
сила N,
найдем сначала удлинение
элемента длиной,
которое является дифференциалом полного
удлинения.

Согласно
закону Гука, имеем:

Полное
удлинение стержня получим, интегрируя
выражение в пределах
:

,
если
и— величины постоянные, то

Чтобы
воспользоваться этой формулой, необходимо
знать закон изменения
в зависимости от.

Для
ступенчатых стержней интегрирование
заменяется суммирование, и полное
изменение длины бруса определяется как
алгебраическая сумма деформаций его
отдельных частей, в пределах которых
:

Например,
для стержня изображенного на схеме,
имеем:

Определим
теперь удлинение стержня постоянного
сечения под действием силы тяжести,
которая представляет собой нагрузку,
равномерно распределенную вдоль стержня.

Удельный
вес материала обозначим через
.

Рассмотрим
деформацию элемента
,
выделенного на расстоянииот нижнего конца.

Удлинение
элемента равно:

Интегрируя
это выражение в пределах, получим

Это
выражение можно представить в другом
виде, если учесть, что сила тяжести бруса
равна:
или,
тогда получим—формула по
определению перемещения с учетом
собственного веса при известной длине

Следовательно,
удлинение бруса постоянного сечения
от собственной силы тяжести в два раза
меньше удлинения от действия силы,
равной силе тяжести и приложенной к его
концу.

Опытное
изучение свойств материалов

Для
изучения свойств материалов и установления
значения предельных (по разрушению или
по пластическим деформациям) производят
испытания образцов материала вплоть
до разрушения. По виду деформации
различают испытания на растяжение,
сжатие, кручение и изгиб.

Испытания
производят при статической и ударной
(испытание на усталость и выносливость)
нагрузках на ГМС – 50.

Цель
испытания на растяжение – определение
механических характеристик материала.

При
проведении испытания автоматически
записывается диаграмма зависимости
между растягивающей силой и удлинением
образца.

Условия
и порядок выполнения работы

1. Стальной
   стержень ступенчатого сечения находится
   под действием внешней силы и собственного
   веса.

1. Необходимо
   построить эпюры:

• нормальных
  продольных сил

• нормальных
  напряжений

• перемещения
  сечений стержня относительно жесткой
  заделки.

Площадь
большего поперечного сечения стержня
в 2 раза превышает меньшую.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При растяжении возникает удлинение стержня – разница между длиной стержня до и после погрузки. Эта величина еще называется абсолютной деформацией.

$Delta l = l-l_0$

Как показывают опыты, удлинение зависят от значения продольной силы, от площади сечения и от длины стержня.

При этом отмечено, что при увеличении силы или длины стержня удлинения увеличивается пропорционально.

При изменении площади удлинения, наоборот, обратно пропорционально площади сечения. Есть

$Delta l = frac{N l}{E A}$,

где Е — определенный коэффициент пропорциональности.

Записав по другому, получим

$frac{N}{A} = frac{Delta l}{l} E$

Введем следующее понятие.

Относительная деформация (относительное удлинение) – отношение удлинения к начальной длине стержня.

$epsilon=frac{Delta l}{l}$

Тогда, учтя что N/A = $sigma$, получим зависимость между напряжениями и относительными деформациями

  — закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в материале, пропорциональна напряжений. Открытый закон в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.

Величина E называется модуль упругости (модуль Юнга). Это величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению или сжатию. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

Модуль упругости численно равен напряжению, которые могли бы возникнуть при единичных относительных деформациях (при $epsilon$ = 1).

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2^.10⁵ МПа,

медь, Е = 1^.10⁵ МПа,

алюминий, Е = 0,7^.10⁵ МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓ_i

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tº_к-tº_н) — изменение температуры между значениями начальным (tº_н) и конечным (tº_к).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.

Методология
расчетов стержней на растяжение (сжатие)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид
деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная
сила 
(растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю.

ПОСТРОЕНИЕ
ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ N

Рисунок

 
       Продольная сила — это внутреннее усилие, которое возникает между
отдельными частями элемента под действием внешних сип (центрально-сжимающих или
центрально-растягивающих).

     
Для определения продольной силы используется метод сечений. Растяжение
обозначается плюсом (+), сжатие минусом (-). (рис. 1).

     
В соответствии с методом сечений; разрезаем, отбрасываем, заменяем,
уравновешиваем:

    1. Скачок в эпюре N равен приложенной в этом сечении
сосредоточенной силе.
    2. В сечении ‘А’ (заделка) есть реакция Ra, которую
можно найти из формулы: 

Но проще идти со свободного конца, и затем найти реакцию Ra по эпюре в точке А:
Ra = P.

Рисунок 1

При центральном растяжении (сжатии) в поперечном
сечении возникают нормальные напряжения:

где N — продольная сила;

      
F — площадь поперечного сечения.

Эти
напряжения распределены по поперечному сечению равномерно (рис. 2). 

 
Рисунок 2

Проверка прочности центрально растянутого стержня
выполняется по условию: 

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные
и поперечные размеры (рис. 3). 

Рисунок 3 

При растяжении: 

Длина бруса меняется на  (удлинение), Ширина
бруса меняется на  (сужение). При сжатии: 

 (укорочение)

 (увеличение)
Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным
напряжением и относительной деформацией: 

или, если представить в другом виде:

где Е — модуль продольной упругости.

Это физическая постоянная материала, характеризующая его
способность сопротивляться упругому деформированию.

EF — жесткость поперечного сечения бруса при
растяжении-сжатии.

        Деформация бруса (растяжение или сжатие) вызывает перемещение
поперечных сечений.

Рассмотрим три случая нагружения при растяжении.

В первом случае при растяжении бруса сечение n-n
перемещается в положение n1-n1 на величину . Здесь: перемещение
сечения равно деформации (удлинению) бруса  = l. 

Рисунок 4 

Во втором случае растяжения (рис. 5)

Рисунок 5

I-ый
участок бруса деформируется (удлиняется) на величину l1, сечение n-n
перемещается в положение n1-n1 на величину лев = l1.

II-ой
участок бруса не деформируется, так как здесь отсутствует продольная сила N,
сечение m-m перемещается в положение m1-m1 на величину 

В третьем случае рассмотрим деформации бруса при схеме нагружения, представленной
на рисунке (рис. 6).

Рисунок 6

В этом примере: перемещение сечения n-n (лев)
равно удлинению 1-ого участка бруса: 

Сечение m-m переместится в положение m1-m1 за счет деформации 1-ого участка
бруса, а в положение m2-m2 за счет своего собственного удлинения: 

Суммарное перемещение сечения m-m: 

В данном случае:

Рисунок 7 

С использованием эпюры N получаем такой же результат (снимаем N с эпюры) (рис. 8).

Рисунок 8 

Перемещение конца консоли можно получить, используя
только внешние силы (2Р,Р). Тогда

Для решения статически неопределимых задач необходимо
получить столько дополнительных уравнений, сколько имеется лишних неизвестных
(т.е. сколько раз статически неопределима задача).

Эти дополнительные уравнения получают из
рассмотрения деформации системы — составляют условие совместности деформаций
(рис. 9). 

Рисунок 9 

В этой системе мы можем взять следующие условия
совместности деформаций: 
 (перемещение
сечения А равно нулю, т.к. в этом сечении — заделка),  (то
же). 

 (т.е. общее удлинение бруса
равно нулю) 

Нам нужно выбрать только одно условие. Допустим, мы
выбрали . Тогда отбросим заделку В’ и заменим ее
реакцией Rb, которая должна обеспечить неподвижность этого сечения (рис. 9).

Получили необходимое дополнительное уравнение, из которого определяем Rb

Строим эпюру N.

В статически неопределимых задачах эпюры внутренних
усилий (у нас это — эпюра N) всегда двузначные, т.е. переходят с плюса на минус
(или наоборот).

Пример решения работы

Условие задачи:

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с
размерами см; см, см и площадью
поперечного сечения нижнего участка см2, а
верхнего – см2 нагружен
внешними осевыми силами кН и кН. Построить
эпюры продольных сил и нормальных
напряжений . Оценить
прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а
допускаемый коэффициент запаса . Найти
удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи:

Рисунок
10

Решение задачи:

Определяем
значение опорной реакции , возникающей
в заделке

Учитывая, что , направим
опорную реакцию вниз. Тогда из
уравнения равновесия находим:

кН.

Строим
эпюру продольных сил 

Разбиваем длину стержня на три участка. Границами
участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется
размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному
сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Отбросим
(или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. б). Само сечение 1 – 1
мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает
рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня
противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней
продольной силой , направленной
от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет
только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная
сила уравновесит
внешнюю силу . Поэтому
очевидно, что

кН.

Сечение 2 – 2. Внешняя
сила растягивает
рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает
(напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию
задачи, . Чтобы
уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя
сила , противодействующая
сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

кН.

Сечение 3 – 3. Отбросим
теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная
сила должна
уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она
направлена к сечению и равна:

кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не
изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае
продольная сила также
противодействует сжатию. Она равна:

кН.

При построении эпюры продольных сил будем
пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая
в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она
противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует
его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая
часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию
сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для
стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на
растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении
нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению
и равна кН. В любом
сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия,
поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводим
тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. д). Вычисленные значения
продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой
вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила
остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями
соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть
ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в
соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах
приложения внешних сил на эпюре имеет место
скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению
соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как
это видно из рис. д, никак не сказывается на характере эпюры .

Строим
эпюру нормальных напряжений 

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном
сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и – продольная
сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное
напряжение равно

кН/см2,

во втором –

кН/см2,

в третьем –

кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. е). В
пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра
напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет
место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит
изменение размеров поперечного сечения стержня.

Оцениваем
прочность стержня

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное
напряжение , которое в
нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым
напряжением . Напомним,
что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного
напряжения , то есть от
напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как
пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций.
Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

кН/см2.

Условие прочности имеет вид . В нашем
случае

кН/см2
> кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не
обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на
втором участке, равную см2, нам
необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках
стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь
поперечного сечения стержня на втором участке:

см2.

Принимаем на втором участке см2.

Вычисляем
удлинение всего стержня 

При переменных по длине стержня значениях продольной
силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина
соответствующего участка стержня.

Тогда

см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.

Задания для решения работы

Условие задачи:

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2)
находится под действием внешних осевых сил и .
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений .
Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см²,
а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи:

Рисунок
11

Исходные данные к задаче: