Как найти учетную ставку процента

При антисипативном
способе начисления процентов сумма
по­лучаемого дохода рассчитывается
исходя из суммы, получаемой по прошествии
интервала начисления (т. е. из наращенной
сум­мы). Эта сумма и считается величиной
получаемого кредита (или ссуды). Так как
в данном случае проценты начисляются
в начале каждого интервала начисления,
заемщик, естественно, получает эту сумму
за вычетом процентных денег. Такая
операция называ­ется дисконтированием
по учетной ставке, а также коммерческим
или банковским учетом.

Дисконт — это
доход, полученный по учетной ставке, т.
е. раз­ница между размером кредита и
непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%}
— простая
годовая учетная ставка;

d —
относительная величина учетной ставки;

Dς — сумма
процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма
процентных денег;

S
— сумма, которая должна быть возвращена;

Р — сумма,
получаемая заемщиком.

Тогда, согласно
определениям, имеем следующие формулы:

(2.1)

D
ς =dS;

(2.2)

D
= n D ς,
= n d S;

(2.3)

P=S-D=S(1-nd)
= S[1-(
ð /K)d].

(2.4)

Преобразуя последнее
выражение, получаем формулу для
опре­деления наращенной суммы:

90

(2.5)

Из этой формулы
легко видеть, что в отличие от случая
простых ставок ссудного процента простые
учетные ставки не могут при­нимать
любые значения. Именно для того, чтобы
выражение (2.5) имело смысл, необходимо,
чтобы знаменатель дроби в правой части
был строго больше нуля, т. е. (1 —
nd) > 0, или
d < 1/n. Прав­да, со значениями d, близкими
к предельным, вряд ли можно встретиться
в жизни.

На практике учетные
ставки применяются главным образом при
учете (т. е. покупке) векселей и других
денежных обяза­тельств. Вопрос
получения дохода по векселям будет
подробно рассмотрен в разделе 2.8.

Из приведенных
формул можно вывести еще две формулы
для определения периода начисления и
учетной ставки при прочих заданных
условиях:

(2.6)

(2.7)

Пример
7

Кредит выдается
на полгода по простой учетной ставке
20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком,
и величину дисконта, если требуется
возвратить 30 000 000 руб. Решение По формуле
(2.4) получаем

Р = 30 000 000 (1 — 0,5 •
0,2) = 27 000 000 (руб.). Далее

D
= S
— Р = 30 000 000 — 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример 8

Кредит в размере
40 000 000 руб. выдается по простой учетной
ставке 25% годовых. Определить срок, на
который предоставляет­ся кредит, если
заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение

Расчет проводится
по формуле (2.6):

п
= (40 000 000 — 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.

91

Пример 9

Рассчитать учетную
ставку, которая обеспечивает получение
9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается
в ссуду на полгода.

Решение

По формуле (2.7):

d=(10000000-9000000)/(10000000-0,5)
=0,2=20%.

2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного
интервала начисления доход (т. е.
на­численные за данный интервал
проценты) не выплачивается, а присоединяется
к денежной сумме, имеющейся на начало
этого интервала, для определения
наращенной суммы применяют фор­мулы
сложных процентов. Сложные ссудные
проценты в настоя­щее время являются
весьма распространенным видом применяе­мых
в различных финансовых операциях
процентных ставок.

Пусть

i_с
— относительная величина годовой
ставки сложных ссудных процентов;

kн.с — коэффициент
наращения в случае сложных процен­тов;

j —
номинальная ставка сложных ссудных
процентов (ее определение будет дано в
дальнейшем).

Если за интервал
начисления принимается год, то по
прошест­вии первого года наращенная
сумма в соответствии с формулой (1.7),
составит

S1=P(1+
i_c).

Еще через год это
выражение применяется уже к сумме S₁:

S₂ = S₁ ( l +
i_c) = P (l + i_c)²

и так далее.
Очевидно, что по прошествии п лет
наращенная сум­ма составит

S=P(1+i_c)ⁿ

(3.1)

Множитель наращения
k н.с
соответственно будет равен

k_н.с
= (1 + i_с)ⁿ
(3.2)

При начислении
простых процентов он составил бы по
форму­лам (1.5) и (1.7):

k_н
= (1 + n i).

92

Сравнивая два
последних выражения для коэффициентов
нара­щения, можно видеть, что чем
больше период начисления, тем больше
разница в величине наращенной суммы
при начислении простых и сложных
процентов.

Эту разницу можно
наглядно представить с помощью графи­ков,
изображенных на рис. 1. Здесь, как и на
всех последующих рисунках, по горизонтальной
оси откладываются годы, по верти­кальной
— тысячи рублей. Первоначальная сумма
составляет 1000 руб., процентная ставка
— 30% годовых. Верхняя линия соответ­ствует
наращению денежной массы в случае
применения сложной процентной ставки.
Она представляет собой пример
экспоненци­ального роста (чем больше
п, тем круче кривая уходит вверх), в то
время как нижняя линия (соответствующая
случаю простых про­центов) является
прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда
возникает возможность выбора межцу
низкой сложной процентной ставкой и
более высокой простой, следует отдавать
предпочтение первому варианту.
Естественно, если в на­шем распоряжении
более или менее значительный период
време­ни. Сумма, наращенная по сложной
процентной ставке, уже через небольшое
(в зависимости от разницы в величине
процентных ставок) количество интервалов
начисления превысит сумму, на­ращенную
по простой ставке (см. рис. 1). Подробно
этот вопрос рассматривается в разделе
2.5.

Рис. 1. Наращение
вложенной суммы по простои и сложной
процентным ставкам (i = i_с= 30%)

Если срок ссуды п
в годах не является целым числом,
множи­тель наращения определяют по
выражению:

93

k_н.с.=(1+i_c)^na(1+_nbi_c),

(3.3)

где n = n_а
+ n_b

n_а
— целое число лет;

n_b
— оставшаяся дробная часть года.

На практике в
данном случае часто предпочитают
пользоваться формулой (3.1) с соответствующим
нецелым показателем степени. Но нужно
иметь в виду, что с точки зрения сущности
начисления процентов этот способ
является приблизительным, и погрешность
при вычислениях будет тем больше, чем
больше значения входя­щих в формулу
величин. Наибольшее расхождение мы
получим при n_b= 1/2, как раз в том
случае, когда очень удобно применить
формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах
есть операция извлече­ния квадратного
корня (т. е. возведения в степень 1/2).
Следует учитывать, что приблизительный
метод дает меньший, чем в дей­ствительности,
результат.

Таким образом, в
современной ситуации, когда номиналы
де­нежных сумм достаточно велики, от
этого метода лучше отказать­ся вовсе.
В конце раздела будет приведен пример,
позволяющий оценить разницу в результатах
при двух способах вычисления множителя
наращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь,
что уровень ставки сложных процентов
будет разным на различных интервалах
начисления.

Пусть n1, п2, …, пN—
продолжительность интервалов начисле­ния
в годах; i1, i2, …,
iN — годовые
ставки процентов, соответст­вующие
данным интервалам. Тогда наращенная
сумма в конце первого интервала начисления
в соответствии с формулой (1.7), составит

S₁
= Р(1+
n₁i₁).

В конце второго
интервала:

S₂=P(l+n₁i₁)(l+i₂)

и т.д.

При N интервалах
начисления наращенная сумма в конце
всего периода начисления составит

(3.4)

Если все интервалы
начисления одинаковы (как и бывает
обыч­но на практике) и ставка сложных
процентов одна и та же, фор­мула (3.4)
принимает вид:

94

S_N=
P(1 +тi)^N.

(3.5)

Начисление сложных
процентов может осуществляться не один,
а несколько раз в году. В этом случае
оговаривается номи­нальная ставка
процентов у — годовая ставка, по которой
опреде­ляется величина ставки
процентов, применяемая на каждом
ин­тервале начисления.

При т равных
интервалах начисления и номинальной
процент­ной ставке
j эта
величина считается равной
j/m.

Если срок ссуды
составляет п лет, то, аналогично формуле
(3.1), получаем выражение для определения
наращенной суммы:

S_mn=P(1+j/m)^mn,

(3.6)

где тп — общее
число интервалов начисления за весь
срок ссуды.

Если общее число
интервалов начисления не является целым
числом (mn
— целое число интервалов начисления,
I — часть ин­тервала начисления), то
выражение (3.6) принимает вид:

S=P(1+j/m)^mn(1+Ij/m).

(3.7)

Для целого числа
периодов начисления используется
формула сложных процентов (3.1), а для
оставшейся части — формула про­стых
процентов (1.7).

В России в
настоящее время наиболее распространенным
явля­ется начисление процентов по
полугодиям, поквартальное и еже­месячное
(иногда интервалом начисления может
являться и день). Такие проценты,
начисляемые с определенной периодичностью,
называются дискретными.

В мировой практике
часто применяется также непрерывное
на­числение сложных процентов (т. е.
продолжительность интервала начисления
стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для
вычисления наращенной суммы служит
сле­дующее выражение:

(3.8)

Для расчетов можно
использовать известную в математике
фор­мулу:

где е= 2,71828…

Из этой формулы
следует:

95

Тогда для наращенной
суммы получаем

S=
Ре^jn

(3.9)

Здесь

k_н.с=e^jn

(3.10)

Значения наращенной
суммы
S можно
вычислять с помощью финансового
калькулятора или находя значения е^jn
и других тре­буемых величин в специальных
таблицах.

Очевидно, что
непрерывный способ начисления процентов
да­ет максимальную величину наращенной
суммы при прочих рав­ных условиях (т.
е. при одинаковых
n,j, Р).

Аналогично случаю
простых процентов полученные формулы
можно преобразовывать, выражая одни
величины через другие, в зависимости
от того, что известно, а что требуется
найти.

Так, из формулы
(3.1) получаем

(3.11)

Напомним, что, как
и в случае простых процентов, определение
современной величины суммы S
называется
дисконтированием.

Коэффициент
дисконтирования а является величиной,
обрат­ной коэффициенту наращения, т.
е. k_н.с*
а = 1.

Формула (3.11), а
также соответствующие формулы для
случая простых ставок ссудного процента
и для учетных ставок дают лег­ко
понять, что текущий финансовый эквивалент
будущей денежной суммы тем ниже, чем
отдаленнее срок ее получения и чем выше
норма доходности.

Также из формулы
(3.1) имеем

(3.12)

Из формулы (3.6):

(3.13)

Применяя операцию
логарифмирования к обеим частям фор­мулы
(3.1), получаем

(3.14)

Подобным же образом
из формулы (3.6) получаем формулу:

96

(3.15)

Если нет специального
калькулятора, значения логарифмов также
находят по таблицам.

Существует несколько
правил, позволяющих быстро рассчитать
срок удвоения первоначальной суммы для
конкретной процент­ной ставки.

Правило
«72»:

Правило «69» (более
точное):

Здесь, однако,
следует иметь в виду, что при выводе
этих правил используются математические
формулы, дающие верный резуль­тат не
для любых значений входящих в них
величин. Например, выражение 1/х <= х (х
> 0) неверно при х < 1.

Данные правила
дают весьма точный результат при
небольших значениях i_с(%).
До i_c(%)
= 100(%) отклонения достаточно малы и ими
можно пренебречь. При процентной ставке,
равной, напри­мер, 120%, погрешность
(для правила «69») составляет 5,2% (для
правила «72» она будет больше) и растет
с ростом i_c.
При этом срок удвоения, полученный по
правилу «69», будет больше, чем в
действительности, а по правилу «72» —
меньше.

В качестве примера
найдем срок удвоения капитала при
годо­вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле
(3.14) и по правилам «б9» и «72».

а) n =
ln 2/ln 1,2 =
3,8 года, или

n
= 72/20 = 3,6 года, или

n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) л =
ln 2/ln 2,1 =
0,93 года, или

n
= 72/110 = 0,65 года, или

n
= 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным
зна­чением — 18 дней).

Следующие примеры
иллюстрируют использование получен­ных
формул.

Пример 10

Первоначальная
вложенная сумма равна 200 000 руб. Опреде­лить
наращенную сумму через пять лет при
использовании про­стой и сложной
ставок процентов в размере 28% годовых.
Решить

97

этот пример также
для случаев, когда проценты начисляются
по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение

По формуле (1.7) для
простых процентных ставок имеем

S
= 200 000 (1 +5 *0,28)
= 480 000 (руб.). По формуле (3.1) для сложных
процентов:

S = 200 000 (1 + 0,28)⁵
= 687 194,7 (руб.). По формуле (3.6) для начисления
по полугодиям:

S=
200000(1 + 0,14)¹⁰
= 741 444,18
(руб.). Из той же формулы для поквартального
начисления:

S=200 000 (1 + 0,07)²⁰= 773 936,66 (руб.). По формуле (3.9) для непрерывного
начисления:

S = 200 000 е^1,4
= 811 000 (руб.).

Пример 11

Первоначальная
сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить
наращенную сумму через 2,5 года, используя
два способа начис­ления сложных
процентов по ставке 25% годовых.

Решение

По формуле (3.3)
получаем S=50000000(1 +0,25)2(1 +0,125) =87890625 (руб.).

Для второго способа
используем формулу (3.1) с нецелым
по­казателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25)2’5 =
87 346 390 (руб.).

Отчетливо видно
расхождение: при использовании
приблизи­тельного метода упущенная
выгода могла бы составить около 550 000
руб.

Пример 12

Определить
современную (текущую, настоящую,
приведенную) величину суммы 100 000 000 руб.,
выплачиваемую через три года, при
использовании ставки сложных процентов
24% годовых.

Решение

Воспользуемся
формулой (3.11):

Р = 100 000 000/0 + 0,24)³
== 52 449 386 (руб.).

Учетная ставка подразумевает под собой два основных понятия:

• Это процентная ставка, по которой Центральный банк России предоставляет кредиты коммерческим банкам. На практике это показатель называют «ставкой рефинансирования». Этот показатель является основой для разрешения спорных вопросов по начислению штрафных мероприятий в отношении стороны, нарушившей условия договора. Так же ставка рефинансирования используется в законодательстве при расчете выплат между сторонами.
• Это цена, по которой приобретается вексель до наступлений сроков уплаты по нему.

24 марта 2017 года советом директоров Центрального банка России было принято решение об установлении учетной ставки на уровне 9,75%. А в соответствии с постановлением Центрального банка РФ от 31 декабря 2015 года о том, что ставка рефинансирования полностью соответствует учетной ставке и не устанавливается самостоятельно, ставка рефинансирования, на сегодняшний день так же составляет 9,75%.

Стоит отметить, что учетная ставка в виде ставки рефинансирования до 1 января 2016 года носила только справочный характер и применялась для расчетов штрафов и дополнительных выплат между физическими и юридическими лицами. Но уже в 2016 году стала приняться как мощный рычаг управления финансовыми потоками страны и регулятором экономической стабильности.

Стоит отметить, что с 01 января 2016 года происходит постоянное снижение ставки рефинансирования в России.

Виды учетной ставки

В экономической литературе выделяют три основных вида учетной ставки, которые рассчитываются по индивидуальным формулам, исходя из условий расчета.

Простая учетная ставка

Данный вид ставки предполагает одну и туже сумму взимаемого процента на протяжении действия всего договора. Это говорит о том, что база для начисления процента остается всегда неизменной, на протяжении всего периода расчетов.

Формула простой учетной ставки:

P=S-S*n*d=S(1-nd)

где:

• P – сумма выплаты;
• S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
• n – учетная ставка, выраженная в долях;
• d – число периодов до уплаты.

Сложная учетная ставка

Сложная учетная ставка отличается тем, что база для начисления процентов, каждый раз меняется. Причиной изменений является наращенные процента за прошедший период. Другими словами, накопленные проценты по вкладу становятся частью суммы, на которую начисляют проценты

Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P=S(1-〖d)〗^n

где:

• P – сумма выплаты;
• S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
• n – учетная ставка, выраженная в долях;
• d – число периодов до уплаты.

Номинальная учетная ставка

Пусть годовая ставка сложных процентов равна f, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке f/m. Ставка f называется поминальной.

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

P=S(1-〖f/m)〗^mn

где:

• P – сумма выплаты;
• S – общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс проценты);
• n – учетная ставка, выраженная в долях;
• m – число периодов в году;
• f – номинальная ставка.

Принимая решение, о виде ставки используется метод сопоставления ставок разных государств. Таким образом, можно сделать вывод, что решение по учетной ставке в государстве принимается не только после анализа экономического положения в стране, но и на мировой арене.

При осуществлении вклада в иностранную валюту, учетная ставка – это первое на что стоит обратить внимание. Именно она, как индикатор, поможет определить стабильность национального денежного знака.

Темпы роста или снижения учетной ставки подскажут насколько государство настроено на борьбу с инфляцией (обесцениванием денег) в стране.

А сравнение учетной ставки нескольких стран поможет определиться между выбором иностранной валюты для вклада или кредита.

Регулирование учетной ставки

Формирование учетной ставки является сильным рычагом Центрального банка РФ по контролю деятельности каждого коммерческого банка страны. Изменение этого показателя контроль резервов банков России.

Существует два способа контроля коммерческих банков:

• Снижение учетной ставки. В случае, когда учетная ставка теряет свой процент, коммерческие банки начинают наращивать свои резервы, за счет уменьшения расходов на ссуды от ЦБ РФ, что приводит к увеличению сумм по операциям со своими клиентами.
• Повышение учетной ставки. Данная процедура имеет противоположный эффект. При росте процента учетной ставки приводит к сокращению резервов и соответственно, сокращение выдаваемых сумм по проводим операциям с клиентами коммерческих банков.

За счет сокращения банковских операций по заему денежных средств, снижается уровень инфляции, когда как снижение уровня учетной ставки усиливает уровень инфляции, что происходит из-за большего доступа к ссудам от государства. Однако понижение процента от ЦБ РФ приносит экономическую стабильность в стране, за счет увеличения доходов населения, через приобретение банковских кредитов.

Таким образом, изменения учетной ставки, как в ту, так и в другую сторону приносит различный экономический эффект, поэтому любые решения, касаемые учетной ставки, принимаются после тщательного анализа всех экономических показателей.

Так, например, в США в 1929-1933 гг. (первый экономический кризис в США) показатель учетной ставки уменьшился в восемь раз, а в 1957-1958 гг. (второй экономический кризис в США) – в четыре раза. В после кризисное время этот же показатель возрос в семь раз, а к 1981 году учетная ставка возросла уже в семнадцать раз, по сравнению этого процента в кризисное время.

При детальном анализе мировой практики экономического регулирования странами, за счет регулирования процента учетной ставки, выделяются два направления кредитно-денежной политики. И выбрав одно из этих направлений, правительство страны определяет свои действия по отношению к состоянию экономики государства.

1. Первое направление объединяет в себе следующие действия: Центральный банк содействует увеличению числа денежных знаков в оборотных банковских операциях, числа выдаваемых кредитов за счет снижения процента учетной ставки. Однако оборотной стороной этой «медали» – это увеличение цен товаров на рынке, рост инфляции национальной валюты и как следствие обесценивание денег. Такое направление кредитно-денежной политики получило название «дешевые деньги».
2. Второй направление сводится к ограничению числа денежных знаков в обращении, способствует сокращению числа выдаваемых кредитов. Как результат происходит снижение цен на товары и услуги, а так же контроль уровня инфляции. В такой ситуации происходит увеличение уровня национальной валюты и покупательной способности населения страны. Однако такая политика приводит к росту процента кредитов в коммерческих банках, поэтому они становиться малодоступными. Это направление получило название «дорогих денег».

Из-за несовершенства данного способа регулирования денежно-кредитной политики государств в развитых странах предпочитают не использовать его. В таких странах регулирование происходит за счет прямого контроля ставок по кредитам в коммерческих банках.

Похожие статьи

1. Целевой кредит
2. Тезаврация
3. Срочный вклад
4. Бланковый кредит
5. Таможенные платежи

Еще одним важнейшим параметром любой финансовой операции является процентная (учетная) ставка. Кроме технической функции, выполняемой этим показателем в ходе расчетов, он используется для оценки доходности – одного из фундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (или прочитать) выражения, подобные следующим: «на этой сделке я заработал 50%» или «менеджеры нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже 100%» и т.п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполне корректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительно меньше, чем может показаться на первый взгляд. Из содержания предыдущей лекции можно сделать вывод, что любое упоминание о процентных ставках требует массу оговорок и уточнений. Попытаемся понять смысл первого выражения. Во-первых следует уточнить, к какому промежутку времени относится полученный доход – месяцу, году или длительности самой сделки. В последнем случае необходимо знать, чему равна эта длительность. Так как ничего не известно ни о сумме ни о длительности сделки, то ее результат «50% дохода» невозможно сравнить с доходностью какой-то другой операции, чтобы сделать вывод об уровне ее эффективности. Если в ответ на это выражение кто-нибудь заявит: «А я имею 25% годовых по своему банковскому депозиту», то определить, который же из этих двух инвесторов оказался более удачливым, будет практически невозможно.

Сталкиваясь с упоминанием о процентных ставках, финансист должен выяснить о каких процентах – простых или сложных, дискретных или непрерывных, – идет речь. Далее необходимо точно определиться с временной базой – рассчитываются ли годовые проценты или какие-то еще, если проценты годовые, то возникает вопрос, каким образом определяется длительность операции и продолжительность года. В случае начисления сложных процентов должно быть оговорено количество начислений процентов в течение года. В результате может оказаться, что методика определения доходности, используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что «принята на вооружение» другой стороной. Однако в этом уже не будет никакой трагедии, так как, зная особенности обеих этих методик, финансисты достаточно быстро приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. То есть, своевременно задавая необходимые вопросы, финансист тем самым
предотвращает возможные неприятные последствия использования несогласованных терминов. Вряд ли в обозримом будущем удастся заставить всех рассчитывать доходность по какой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том, чтобы вынудить своего контрагента применять единственный «правильный» способ, а в том, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно понимает под термином «доходность» его собеседник, и после этого решить, каким образом можно унифицировать расчеты. Вопросы определения доходности заслуживают отдельного разговора, поэтому здесь будут рассмотрены наиболее общие моменты расчета уровня процентных ставок в отдельных финансовых операциях и нахождения эквивалентных им значений.

Вначале рассмотрим способы расчета величины процентных (учетных) ставок, когда заданы другие параметры финансовой операции. Преобразовав формулы декурсивного и антисипативного наращения простых процентов, получим выражения (12) и (13) в табл. 2.1). Например, чему будет равна простая процентная ставка по ссуде, выданной на 90 дней в размере 350 тыс. рублей, и возвращенной по истечении срока в сумме 375 тыс. рублей (временная база 360 дней)? Подставив эти данные в формулу (12), получим:

Вексель номиналом 1 млн. рублей учтен в банке за 60 дней до его погашения в сумме 900 тыс. рублей. По какой простой учетной ставке было произведено его дисконтирование? Используем для расчетов формулу (13):

Очевидно, что даная методика может (и должна) использоваться при анализе любых финансовых операций, а не только в процессе банковского кредитования. Например, иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная по курсу 20 руб. за 1 единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50 коп. Определить доходность этой операции по годовой простой процентной ставке ( коммерческие проценты ). Из формулы (12) получаем:

Аналогичный подход к расчету доходности используется и на фондовых рынках. Например, Центральным Банком России была рекомендована следующая формула расчета доходности ГКО:

( 14)

где – номинал облигации;

– цена ее приобретения;

– срок до погашения.

По сути дела она повторяет формулу (12) применительно к точным процентам (временная база 365 дней). Например, облигация номиналом 10 тыс. рублей была приобретена за 8,2 тыс. рублей за 40 дней до погашения. Ее годовая доходность, рассчитанная как простая процентная ставка, составит:

Точно такой же результат можно получить, применив формулу (12).

Не следует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном договоре, с доходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае процентная ставка является реальным параметром финансовой операции, однозначно определяющим величину платежа, который должен последовать в случае исполнения договора. Доходность же – это производная величина, не определяющая, а определяемая теми денежными потоками, которые порождает кредитный договор (ценная бумага или другой финансовый инструмент). В первой лекции данного курса подчеркивался абстрактный характер понятия «прибыль предприятия». То же самое можно сказать о доходности – в явной форме она не присутствует в ходе осуществления финансовой операции. Рассчитывая доходность финансовой операции, инвестор получает субъективную оценку ее величины, зависящую от целого ряда предпосылок, таких как способ начисления процентов, выбор временной базы и т.п. Эти предпосылки не являются объективными и неизбежными – при всем уважении к Центральному банку инвестор может определить доходность купленной им ГКО по ставке сложных, а не простых процентов, не нарушив при этом ни физических ни юридических законов (и поступив совершенно правильно с позиции финансовой теории).

Рекомендация вычислять доходность по методике наращения простых процентов используется на данном рынке как соглашение его участников (точно такое же как соглашение о подсчете точной временной базы). Выполнение условий этого соглашения гарантирует участникам рынка сопоставимость результатов их расчетов, т.е. помогает избежать путаницы, но не более этого. Степень соответствия того либо иного метода расчета доходности идеалу в данном контексте не имеет значения – это предмет научных дискуссий. Используя неправильную или несовершенную методику расчета доходности, инвестор имеет все шансы достаточно быстро разориться, точно так же как и предприятие, завышающее прибыль, вследствие неправильного калькулирования издержек. Но конечной причиной банкротства станет отсутствие у него денег для покрытия обязательств, до этого момента ни один кредитор не сможет вчинить иск о банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности, которой пользуется его должник.

Для финансового менеджмента сложные проценты имеют неизмеримо большую ценность, чем простые. Очевидно, что при использовании методики расчета простых процентов значение доходности искажается уже из-за того, что данная методика не учитывает возможности реинвестирования полученных доходов. Пэтому при прочих равных условиях безусловно предпочтительным является расчет доходности как ставки сложных процентов. Рассмотрим методику определения величины этой ставки, когда известны другие параметры финансовой операции. В результате преобразования исходных выражений наращения ( дисконтирования ) по сложным процентам, получим (см. (15) – (19) в табл. 2.1).

В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году):

Этот результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставку простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчета доходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче того, кто купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простые проценты? Тогда последнему следует срочно разучивать новую формулу и точно так же богатеть.

Однако, в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходность как сложную номинальную ставку (16), то ее уровень резко снизится, при получим:

При расчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее уровень будет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью простой процентной ставки:

Чтобы не запутаться в обилии методов расчета процентных ставок не обязательно зазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять, каким образом она получена. Кроме этого, следует помнить, что любому значению данной ставки может быть поставлено в соответствие эквивалентное значение какой-либо другой процентной или учетной ставки. В предыдущей лекции был приведен подобный пример эквивалентности между простыми процентной и учетной ставками (5). Эквивалентными называются ставки, наращение или дисконтирование по которым приводит к одному и тому же финансовому результату. Например, в условиях последнего примера эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3% и сложная процентная ставка 511,6%, т.к. начисление любой из них позволяет нарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. рублей до 10 тыс. рублей за 40 дней.
Приравнивая между собой множители наращения ( дисконтирования ), можно получить несложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства эти формулы представлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 2.2 помещены простые процентная ( ) и учетная ( ) ставки. В заголовках строк этой таблицы указаны все рассмотренные в данном пособии ставки. На пересечении граф и столбцов приводятся формулы эквивалентности соответствующих ставок. В таблицу не включены уравнения эквивалентности простых процентных и сложных учетных ставок, вследствие маловероятности возникновения необходимости в таком сопоставлении.

Знание уравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного измерения доходности к другому. Например, доходность облигаций по простой процентной ставке составила за полгода 60%. По формуле (21) найдем, что в пересчете на сложные проценты это составляет 69%. Доходность векселя, дисконтированного по простой учетной ставке 50% за 3 месяца до срока погашения, в пересчете на простую процентную ставку составит 57,14% (34), если же по процентной ставке принята точная временная база (365 дней), то применив формулу (36), получим = 57,94%).

Таблица
2.2.
Эквивалентность простых ставок

	Простая процентная ставка ( )	Простая учетная ставка ( )
Сложная процентная ставка ( )	( 20) ( 21)	( 22) ( 23)
Сложная номинальная процентная ставка ( )	( 24) ( 25)	( 26) ( 27)
Сила роста ( )	( 28) ( 29)	( 30) ( 31)
Простая учетная ставка ( )	( 32) ( 33)	—
Простая учетная ставка ( )	( 34) ( 35)	—
Простая учетная ставка ( )	( 36) ( 37)	—

Например, предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между получением кредита на 5 месяцев под сложную номинальную ставку 24% (начисление процентов поквартальное) и учетом в банке векселя на эту же сумму и с таким же сроком погашения. Небходимо определить простую учетную ставку, которая сделает учет векселя равновыгодной операцией по отношению к получению ссуды. По формуле (26) получим .

Кроме формул, приведенных в табл. 2.2 и 2.3, следует отметить еще одно полезное соотношение. Между силой роста и дисконтным множителем декурсивных процентов существует следующая связь:

( 38)

,

По мере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера применения непрерывных процентов будет расширяться, так как при этом становится возможным использовать более мощный математический аппарат. Особенно наглядно это проявляется в случае непрерывных процентных ставок. В обыденной практике финансистов данный способ пока еще не занял должного места, что в какой-то мере объясняется его непривычностью, может быть чересчур «отвлеченным» характером. Однако трезвый анализ показывает, что предположение о непрерывности реинвестирования начисленных процентов не такое уж абстрактное и нереальное. В самом деле, как для простых, так и для сложных процентов факт непрерывности их начисления ни у кого не вызывает сомнений (годовая ставка 36% означает 3% в месяц, 0,1% в день и т.д., то есть можно начислять проценты хоть за доли секунды). Но точно такой же аксиомой для финансов является признание возможности мгновенного реинвестирования любых полученных сумм. Что же мешает совместить два этих предположения? В теории сумма начисленных процентов может (и должна) реинвестироваться сразу по мере ее начисления, т.е. непрерывно. В данном утверждении ничуть не меньше логики, чем в предположении, что реинвестирование должно производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 раз в год считается более «естественным» чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичность привязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзя реинвестировать начисленные сложные проценты, скажем 39 раз в год или 666 раз за период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее всего, будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже было отмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков (например, дивидендных или купонных выплат) и определение доходности финансовых операций это далеко не одно и то же.
Если привычнее и удобнее выплачивать купон по облигации 2 раза в год, то так и следует поступать. Но, определять доходность этой операции более логично по ставке непрерывных процентов.

Например, по вкладу в размере 10 тыс. рублей начисляется 25 простых процентов в год. В конце 1 года вклад возрастет до 12500 рублей. Доходность, измеренная как по простой (формула 12), так и сложной (15) процентной ставке i, составит 25% годовых. Однако, измеряя доходность по номинальной ставке (16) при m = 2, получим лишь 23,61%, т.к. в этом случае будет учтена потерянная вкладчиком возможность реинвестирования процентов хотя бы 2 раза в год. Если же измерить доходность по силе роста (19), то она окажется еще ниже – всего 22,31%, т.к. теоретически он мог реинвестировать начисленные проценты не 2 раза в год, а непрерывно.

Какой годовой учетной ставкой при ежеквартальной  капитализации можно заменить в контракте простую процентную ставку 10% (К=365), не изменяя финансовых последствий.

Срок операции – 420 дней.

Решение:

При наращении сложных процентов по учётной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле:

f – номинальная учётная ставка,

m – число периодов начисления процентов в течение года;

n – число лет.

При наращении по простой процентной ставке наращенная сумма определяется по формуле:

Так как S и P не изменились, то приравняем множители наращения и решим уравнение относительно f:

Итак, простую процентную ставку в контракте можно заменить годовой учётной ставкой:

f = 0,094 или 9,4%.