Как найти треугольник по теореме косинусов - AvtoShod.ru

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около треугольника, т. е.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

1) Угол острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим т. е. откуда

2) Угол тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Из прямоугольного треугольника как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Поскольку то откуда

3) Для справедливость равенства докажите самостоятельно, В силу доказанного откуда

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция позволяет решить две следующие задачи:

зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы можно решить еще три задачи (рис. 153):

зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны и угол Найти два других угла округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов откуда При помощи калькулятора (таблиц). находим Тогда По теореме синусов откуда

Ответ:

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом то, зная вначале мы нашли бы острый угол А затем, используя формулу получили бы, что

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника где — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: По теореме синусов откуда Тогда Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Решение:

Способ 1. Из формулы следует, что Найдем . Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Из по теореме Пифагора откуда

Тогда
Способ 2. Используем формулу из которой Так как то
Ответ:

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу где — боковая сторона, — высота, проведенная к основанию

Заменив в формуле получим — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из находим откуда
Из по теореме Пифагора

По основному тригонометрическому тождеству
Тогда

Справедливость теоремы для случаев, когда или тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон теорема косинусов запишется так:

Замечание. Если , то по теореме Пифагора Так как то Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов). Из равенства следует формула

Для углов получим:

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

По теореме косинусов

Используя записанную выше формулу, можно сразу получить:

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

Так, из формулы с учетом того, что следует:

если то и угол острый;
если то и угол тупой;
если то и угол прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как то угол тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD — острый, откуда — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из
(1)
Из Поскольку cos то

(2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

• зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
• зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану треугольника со сторонами а, b и с можно найти по формуле

Доказательство:

Рассмотрим — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину:

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Отсюда следует, что
Утверждение доказано.

Аналогично:

Формула медианы позволяет:

зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов

Отсюда б) Пусть По теореме косинусов то есть Отсюда или так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь —
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Решение:

Пусть в стороны АВ = 6, ВС = 10 и (рис. 171).
Поскольку то откуда
Так как и по условию — тупой, то . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Решение:

Обозначим стороны треугольника Пусть — медиана (рис. 172).
По формуле медианы откуда По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: а также по двум сторонам и углу между ними: Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами можно найти по формуле где — полупериметр треугольника.

Доказательство:

(рис. 183). Из основного тригонометрического тождества следует, что Для синус положительный. Поэтому Из теоремы косинусов откуда

Тогда

Так как

Теорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Дано: (рис. 184).

Найти :

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов

2) По следствию из теоремы косинусов

3) Угол находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол
Замечание. Нахождение угла по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Дано: (рис. 185).

Найти:

Решение:

1) Угол

2) По теореме синусов (sin и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: (рис. 186).

Найти: и радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

2) Зная угол находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол

4) Угол

5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле где

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов затем нахождение по косинусу угла его синуса и, наконец, использование теоремы синусов для нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:

Тогда

Радиус R описанной окружности найдем из формулы Имеем:
Ответ:
Способ 2. Так как поскольку то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Проведем (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Так как СН = 8. Площадь трапеции

Ответ: 76.

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Решение:

Пусть Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому
Так как в четырехугольнике АВМС , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. где R — радиус. Из по теореме косинусов Из по теореме синусов откуда

Ответ:
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Решение:

Построим симметричный относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку то вокруг четырехугольника можно описать окружность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник вписан в эту окружность, По теореме синусов откуда
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Решение:

Способ 1. Так как (диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диаметр Тогда

Пусть СО = х. По теореме косинусов из находим

из находим

По свойству вписанного четырехугольника Поскольку то откуда находим Тогда .

Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Способ 3. Достроим до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда
Ответ:

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Решение:

Пусть и
— радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда

Отсюда Применим формулу Герона:

С другой стороны, Из уравнения находим = 2. Откуда (см), (см), (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отрезок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Доказательство:

По теореме косинусов из и (см. рис. 194) следует:

(1)

(2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на

Сложим почленно полученные равенства:

Из последнего равенства выразим
Теорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Разделив сторону с в отношении получим:

По теореме Стюарта

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и (рис. 196). Нужно доказать, что Выразим и через и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому откуда откуда

По формуле биссектрисы треугольника

Из условия следует: Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Отсюда (второй множитель при положительных больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е. (рис. 197).

Доказательство:

Из по теореме косинусов
Так как (по свойству вписанного четырехугольника) и откуда
Аналогично из получим Тогда Теорема доказана.

Запомните:

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:
Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы:
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Пусть — стороны треугольника и с — большая сторона. Если , то треугольник тупоугольный, если то треугольник остроугольный, если , то треугольник прямоугольный.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
Формула Герона:
Формула медианы:

Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Углы и расстояния в пространстве
Подобие треугольников
Решение прямоугольных треугольников
Параллелограмм

Источник

Теорема косинусов отлично помогает в решении треугольников. Решение треугольника – это нахождение всех его сторон и углов. Но если нам даны только стороны треугольника, как определить углы в нем? Вот тогда и приходит на помощь теорема косинусов. Это общий случай теоремы Пифагора, подходящий для треугольника с любым углом, не только с углом 90⁰.

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему. Для этого нарисуем треугольник ABC и докажем, что:

Если рассматривать стороны треугольника, как векторы, то будет справедливо равенство:

В теореме в квадрате, значит возведем векторное равенство в квадрат, получим:

$[overrightarrow{BC}^2=overrightarrow{AB}^2+overrightarrow{AC}^2-2overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC} eqno (2)]$

Так как, $overrightarrow{BC}^2={BC}^2$ , $overrightarrow{AC}={AC}^2$ , а скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть .

Подставим все в формулу (2):

Что и требовалось доказать.

Следствие теоремы косинусов

Проведем высоты :

Обратим внимание, что . То есть – это проекция стороны на сторону треугольника . Если угол А острый, то , если угол А тупой, то косинус угла А будет отрицательным и . То есть из теоремы косинусов вытекает важное следствие:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон “” удвоенное произведение одной из них на проекцию другой на эту сторону. Знак надо брать, если угол тупой, а знак , если угол острый.

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Найдите , если дано: $angle B = 60^{circ}$ , , .

Решение: Так как нам известен угол между сторонами и и известна сторона – мы сможем найти сторону , если воспользуемся теоремой косинусов.

Из теоремы косинусов $AC^2={AB}^2+{BC}^2-2AB cdot {BC} cos {angle B}$ выразим сторону .

Получим:

${BC}^2-2AB cdot {BC} cos {angle B}-AC^2+{AB}^2 = 0$

Обозначим

Тогда

$x^2-2AB cdot cos {angle B} cdot x-AC^2+{AB}^2=0$

Получаем квадратное уравнение. Подставим в него значения и решим:

$x^2-2 cdot 8 cdot frac{1}{2} x-{(4 sqrt 7)}^2+8^2=0$

Находим дискриминант:

Тогда $x_1=frac{8+16}{2}=frac{24}{2}=12$ .

$x_2=frac{8-16}{2}=frac{-8}{2}=-4$ – не может быть длиной стороны треугольника.

Ответ: 12.

Задача 2

В треугольника ABC , $angle C=120^{circ}$ , . Найдите

Решение: Нарисуем треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Запишем теорему косинусов для сторону так как нам дан угол между двумя другими сторонами:

$[AB^2={AC}^2+{BC}^2-2AC cdot {BC} cos {angle 120^{circ}} eqno (1)]$

Так как , то из формулы (1), получим:

$AB^2=2{AC}^2-2{AC}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}$

Сделаем замену: :

$AB^2=2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}$ ,

перенесем ${AB}^2$ в правую часть равенства и получим квадратное уравнение:

$2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}-{AB}^2=0$ ,

Подставим значения:

$2{x}^2-2{x}^2 cdot cos {angle 120^{circ}}-{(6sqrt{3})}^2=0$

$cos {angle 120^{circ}}=-frac{1}{2}$

$2{x}^2+{x}^2-108=0$

$3{x}^2=108$

${x}^2=36$

Так как , значит, .

Ответ: 6

Задача 3

Решите треугольник ABC, если известно, что $angle A=30^{circ}$ , , $angle C=45^{circ}$ .

Решение: Решить треугольник – это значит, найти все его стороны и все углы. Нам два угла даны, значит, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна $180^{circ}$ получим:

$angle B = 180^{circ}-30^{circ}-45^{circ}=105^{circ}$ .

Обозначим неизвестные стороны треугольника: , .

Выразим сторону треугольник по теореме косинусов:

$[AB^2={x}^2+y^2-2{xy} cdot cos {45^{circ}}eqno (1)]$

Выразим сторону треугольника по теореме косинусов:

$y^2={x}^2+{AB}^2-2{x}cdot{AB} cdot cos {30^{circ}}$

или

$[y^2={x}^2+16-8{x}cdot cos {30^{circ}} eqno (2)]$

Решим уравнения (1) и (2) совместно, записав их в систему уравнений:

$[left{ begin{aligned} AB^2={x}^2+y^2-2{xy} cdot cos {45^{circ}}\ y^2={x}^2+16-8{x}cdot cos {30^{circ}}.\ end{aligned} right.]$

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ y^2={x}^2+16-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Преобразуем второе уравнение системы:

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ -16={x}^2-y^2-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Сложим первое и второе уравнения системы и запишем получившееся уравнение вместо второго уравнения, получим:

$[left{ begin{aligned} 16={x}^2+y^2-{xy} cdot sqrt{2}\ 0=2{x}^2-xy sqrt{2}-4{x}cdot sqrt{3}.\ end{aligned} right.]$

Из второго уравнения выразим :

$xy sqrt{2}=2x^2-4x sqrt{3}$

$y=frac{2x^2-4x sqrt{3}}{x sqrt{2}}$

$y=frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}}$

Итак, мы выразили из второго уравнения системы, теперь возьмем и подставим его в первое уравнение и сделаем необходимые преобразования.

$16=x^2+(frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}})^2-x sqrt{2}(frac{2x-4sqrt{3}}{sqrt{2}})$ , раскрываем скобки и умножим левую и правую части уравнения на 2:

$32=2x^2+4x^2-16x sqrt{3}+16 cdot 3-2x(2x-4 sqrt{3})$

$2x^2-8x sqrt{3}+48-32=0$

$2x^2-8x sqrt{3}+16=0$

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

$x^2-4x sqrt{3}+8=0$ .

Получили квадратное уравнение. Решим его.

Находим дискриминант:

$D=b^2-4ac=(4 sqrt{3})^2-4 cdot 8 cdot 1=16 cdot 3 - 32=48-32=16$

Тогда корни уравнения:

$x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}-4}{2}=2 sqrt{3}-2$

$x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{4 sqrt{3}+4}{2}=2 sqrt{3}+2$ .

Оба значения подходят – они положительны. Находим, :

$y_1= frac{2(2 sqrt{3}-2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{-4}{sqrt{2}}$ – отрицательное значение нам не подходит.

$y_2= frac{2(2 sqrt{3}+2)-4 sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{4}{sqrt{2}}=2 sqrt{2}$ .

Таким образом, получаем следующие значения , .

Вы можете самостоятельно сделать проверку и убедиться в том, что данные значения верны.

Ответ: , .

Теорема косинусов для треугольника очень помогает в решении геометрических задач, однако некоторые задачи усложняются, если не знать еще одну теорему – синусов. Например, третью задачу мы могли решить гораздо проще – используя теорему синусов, с помощью которой мы бы довольно быстро получили тот же результат для . Однако, с ней мы бы получили лишь приближенное значение . Теорема косинусов дает нам точный результат. Однако, в дальнейшем, когда вы выучите две теоремы – рекомендуем решать задачи, используя их обе.

Источник

Теорема косинусов и теорема Пифагора. В этой статье мы рассмотрим теорему косинусов и как она используется для нахождения элементов треугольника. А так же разберём её взаимосвязь с теоремой Пифагора.

Знать эту теорему НЕОБХОДИМО. Что мы можем найти, используя её?

Если нам будут известны две стороны и угол между ними, мы без труда найдём третью сторону. Для этого нужно просто подставить в формулу известные величины. Для других сторон всё то же самое:

Можно ли использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны, если известны любые две стороны и угол, не лежащий между этими сторонами? Например, нам известны стороны a и b и угол альфа. Тогда из формулы

мы можем найти сторону «с». Приводим к виду:

То есть, мы получаем квадратное уравнение с переменной «с» (все остальные величины нам известны). Решив его, получим искомую сторону.

Мы можем найти любой угол, если нам известны все три стороны треугольника:

Разумеется, что учить все эти формулы не нужно, так как достаточно понимать сам смысл Теоремы косинусов. А косинус любого угла не трудно выразить используя простые алгебраические преобразования.

*Если вы вычисляете косинус тупого угла, то имейте ввиду, что должно получиться отрицательное значение, так как косинус угла от 90 до 180 градусов отрицателен. Если при решении в задачах получите положительное значение, то ищите ошибку.

Следующий вопрос: а если нам дана сторона и любые два угла, что делать? В этом случае теорема косинусов не используется, а на помощь приходит теорема синусов, её мы рассмотрим в одной из следующих статей, не пропустите!

Если вы будете в совершенстве владеть теоремами Пифагора, косинусов, синусов и свойствами подобия треугольников, то для вас не возникнет никаких сложностей с решением треугольников (в большинстве задач).

Следующий факт знают все, но всё же о взаимосвязи теоремы косинусов с теоремой Пифагора сказать стоит. Посмотрите на исходный рисунок, если угол альфа равен 90 градусов, то получим:

То есть, по сути, теорема Пифагора это как бы частный случай теоремы косинусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Покажем то же самое, но с другими обозначениями:

По теореме косинусов:

Так как угол С равен 90, то

Напомню, что зная любые две стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда можем найти третью. А далее без труда можем найти значение любой тригонометрической функции острого угла в нём. Можете изучить статью об этом.

Получить материал статьи в формате PDF

На этом всё. Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса:

a² = b² + c² – 2b.c.cosα
b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

Либо

Например:

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

две его стороны равны;
углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Источник

При решении задач по геометрии из ЕГЭ и ОГЭ по математике довольно часто возникает необходимость, зная две стороны треугольника и угол между ними, найти третью сторону. Или же, зная все стороны треугольника, найти его углы. Для решение этих задач вам потребуется значение теоремы косинусов для треугольника. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, как формулируется, доказывается и применяется на практике при решении задач данная теорема.

Формулировка теоремы косинусов для треугольника

Теорема косинусов для треугольника связывает две стороны треугольника и угол между ними со стороной, лежащей против этого угла. К примеру, обозначим буквами , и длины сторон треугольника ABC, лежащие соответственно против углов A, B и C.

Тогда имеет теорема косинусов для этого треугольника может быть записана в виде:

На рисунке для удобства дальнейших рассуждений угол С обозначен углом . Словами это можно сформулировать следующим образом: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.»

Понятно, что если бы вы выражали другую сторону треугольника, например, сторону , то в формуле нужно было бы брать косинус угла A, то есть лежащего против искомой стороны в треугольнике, а справа в уравнении на своих местах стояли бы стороны и . Выражение для квадрата стороны получается аналогично:

Доказательство теоремы косинусов для треугольника

Доказательство теоремы косинусов для треугольника проводят обычно следующим образом. Разбивают исходный треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, а дальше играются со сторонами полученных треугольников и теоремой Пифагора. В результате после долгих нудных преобразований получаю нужный результат. Мне лично этот подход не по душе. И не только из-за громоздких вычислений, но ещё и потому что в этом случае приходится отдельно рассматривать случай, когда треугольник является тупоугольным. Слишком много трудностей.

Я предлагаю доказать эту теорему с помощью понятия «скалярного произведения векторов». Я сознательно иду на этот риск для себя, зная, что многие школьники предпочитают обходить эту тему стороной, считая, что она какая-то мутная и с ней лучше не иметь дела. Но нежелание возиться отдельно с тупоугольным треугольником во мне всё же пересиливает. Тем более, что доказательство в результате получается удивительно простым и запоминающимся. Сейчас вы в этом убедитесь.

Заменим стороны нашего треугольника следующими векторами:

Согласно правилам сложения векторов имеем: . Действительно, по правилу треугольника вектор, равный сумме двух векторов, отложенных последовательно один за другим, — это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго. Переносим в правую часть равенства с противоположным знаком, в результате чего получаем следующее векторное выражение: .

Теперь возьмём скалярный квадрат обеих частей полученного выражения. В результате чего получим:

$[ overrightarrow{c}^2=left(vec{a}-vec{b}right)^2=overrightarrow{a}^2-2overrightarrow{a}overrightarrow{b}+overrightarrow{b}^2. ]$

Я напоминаю, что по определению скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Из этого определения также следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Действительно, ведь угол между вектором и им же самим равен нулю, то есть соответствующих косинус равен 1. То есть остаётся только квадрат длины вектора. Исходя из этого мы сразу получаем выражение для теоремы косинусов:

Что и требовалось доказать. Причём данное доказательство хорошо ещё тем, что позволяет лучше запомнить саму формулу. Ведь теперь становится понятным, откуда берётся этот хвост . Как раз из скалярного произведения. Ну и, как я уже говорил, это доказательство справедливо для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных. То есть угол может быть острым, тупым или прямым. И не требуется рассматривать доказательство для каждого из этих случаев, что не может не радовать.

Кстати, в случае, когда угол прямой, мы получаем , и выражение принимает следующий вид: . Что мы получили? Правильно! Это запись теоремы Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так что ниточки постепенно сплетаются. То есть, как обычно говорят, теорема косинусов для треугольника есть обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, не обязательно прямоугольного.

Примеры решения задач с использованием теоремы косинусов для треугольника

Надо сказать, что даже если вы не поняли приведённое выше доказательство, это не страшно, если ваша цель состоит в сдаче ЕГЭ или ОГЭ по математике. Специфика этих экзаменов состоит в том, что само доказательство теоремы косинусов у вас никто на них не спросит. Эти экзамены фактически вообще не проверяют знание теоретического материла из школьного курса математики. Важно лишь, чтобы вы знали, как эта теорема формулируется и умели применять её на практике для решения задач.

Используя теорему косинусов для треугольника, можно найти третью сторону, зная две стороны треугольника и угол между ними. Или же, зная длины всех сторон треугольника, найти величину всех его углов. Рассмотрим на примерах, как это делается.

Пример 1. В треугольнике ABC сторона AC равна 3, сторона CB равна 2, а угол C равен 60°. Найдите длину стороны AB.

Используем теорему косинусов для треугольника ABC. Квадрат стороны равен сумме квадратов сторон и за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Поскольку $costheta = frac{1}{2}$ , то в результат получаем:

$[ c^2=2^2+3^2-2cdot 2cdot 2cdot 3frac{1}{2} = 7. ]$

Значит, . Понятно, что отрицательное решение мы не берём, потому что длина отрезка — это число положительное.

Пример 2. В треугольнике ABC сторона AB равна , сторона AC равна 5, сторона BC равна 3. Найдите угол C.

Искомый угол на рисунке обозначен . Вновь запишем теорему косинусов для треугольника ABC. Поскольку все обозначения у нас сохранились, то и формула, выражающая теорему косинусов для этого треугольника, останется прежней:

Подставим теперь в эту формулу все величины, которые даны. В результате получаем следующее выражение:

$[ left(sqrt{19}right)^2 = 3^2+5^2-2cdot 3cdot 5costheta. ]$

После всех вычислений и преобразований получаем следующее простое выражение:

$[ -15=-30costhetaLeftrightarrow costheta = frac{1}{2}. ]$

Какой должна быть величина острого угла , чтобы его косинус был равен $frac{1}{2}?$ Смотрим в таблицу, которую можно найти в этой статье, и получаем ответ: $theta=60^{circ}$ .

Вот так решаются задачи по геометрии с использованием теоремы косинусов для треугольника. Если вы собираетесь сдавать ОГЭ или ЕГЭ по математике, то этот материал вам нужно освоить обязательно. Соответствующие задачи почти наверняка будут на экзамене. Потренируйтесь самостоятельно в их решении. Выполните следующие задания:

В треугольнике ABC сторона AB равна 4 см, сторона BC равна 6 см, угол B равен 30°. Найдите сторону AC.
В треугольнике ABC сторона AB равна 10, сторона BC равна 8, сторона AC равна 9. Найдите косинус угла A.

Свои ответы и варианты решения пишите в комментариях. Удачи вам!

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник

Теорема синусов

Теорема косинусов

Формула Герона

Решение треугольников

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Пример №4

Пример №5

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Теорема Стюарта

Пример №9

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Теорема и доказательство

Теорема косинусов

Доказательство теоремы косинусов

Следствие теоремы косинусов

Задачи на теорему косинусов

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

Следствие верхней части формулы cos α

Доказательство теоремы косинусов

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

Теорема синусов

Формулировка теоремы косинусов для треугольника

Доказательство теоремы косинусов для треугольника

Примеры решения задач с использованием теоремы косинусов для треугольника

Не пропустите также: