Как найти трение при движении по наклонной

В этой главе…

• Постигаем гравитацию
• Изучаем влияние наклона плоскости
• Учитываем силы трения
• Измеряем дальность полета под действием силы тяжести

Сила гравитационного притяжения — вот основная тема этой главы. В главе 5 было показано, что для ее преодоления требуется применять силу. В этой главе будет представлены способы влияния гравитационного притяжения и трения на движение объектов по наклонным плоскостям. Кроме того, будет показано, как гравитация влияет на траекторию полета объекта.

Разбираемся с гравитацией

На поверхности Земли сила гравитационного притяжения ​( mathbf{F_g} )​ (или сила тяжести) постоянна и равна ​( mmathbf{g} )​, где ​( m )​ — это масса объекта, a ​( mathbf{g} )​ — ускорение свободного падения под действием силы тяжести, равное 9,8 м/с².

Ускорение — это вектор, а значит, он имеет величину, направление и точку приложения (подробнее об этом см. главу 4). Уравнение ( mathbf{F_g}=mmathbf{g} ) интересно тем, что ускорение свободного падения объекта ​( g )​ не зависит от массы объекта.

Поскольку ускорение свободного падения не зависит от массы объекта, то более тяжелый объект падает нисколько не быстрее, чем более легкий объект. Сила тяжести сообщает свободно падающим телам одинаковое направленное вниз ускорение ( mathbf{a} ) (на поверхности Земли равное ( mathbf{g} )), независимо от их массы.

Сказанное выше относится к объектам вблизи поверхности Земли, а в главе 7 рассматриваются другие ситуации вдали от Земли (например, на орбите Луны), где сила тяжести и ускорение свободного падения имеют другие значения. Чем дальше вы находитесь от центра Земли, тем меньше сила тяжести и ускорение свободного падения. В примерах этой главы ускорение свободного падения направлено вниз. Но это не значит, что оно влияет только на движение предметов вертикально вниз. Здесь рассматриваются также примеры движения объектов под углом к вертикали.

Движемся по наклонной плоскости

В курсе физики часто упоминаются наклонные плоскости и рассматривается движение объектов по ним. Взгляните на рис. 6.1. На нем показана тележка, которая скатывается по наклонной плоскости. Тележка движется не строго вертикально, а вдоль плоскости, наклоненной под углом ​( theta )​ к горизонтали.

Допустим, что угол ( theta ) = 30°, а длина наклонной плоскости равна 5 метрам. До какой скорости разгонится тележка в конце наклонной плоскости? Сила тяжести сообщит тележке ускорение, но учтите, что вдоль наклонной плоскости ускорение будет отличаться от ускорения свободного падения. Дело в том, что разгон вдоль наклонной плоскости будет выполнять только компонента силы тяжести вдоль этой наклонной плоскости.

Чему равна компонента силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости, если на тележку действует направленная вертикально сила тяжести ( mathbf{F_g} )? Взгляните на рис. 6.2, на котором показаны упомянутые выше угол ( theta ) и вектор силы ( mathbf{F_g} ) (подробнее о векторах см. главу 4). Для определения компоненты силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости, нужно определить угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью. Для этого потребуются элементарные сведения из геометрии (подробности см. в главе 2), а именно то, что сумма углов треугольника равна 180°. Угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и основанием наклонной плоскости равен 90°, а угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен ( theta ). Поэтому, глядя на рис. 6.2 , можно легко определить угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью: 180°-90°-( theta ) или 90°-( theta ).

Вычисляем углы

Преподаватели физики используют особый способ вычисления углов между векторами и наклонными плоскостями. Однако читателям книги можно раскрыть этот “секрет” определения угла ( theta ). Для начала обратите внимание на то, что если ( theta ) стремится к 0°, то угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью стремится к 90°. И наоборот, если ( theta ) стремится к 90°, то угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью стремится к 0°. На основании этого простого наблюдения можно предположить, что угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью равняется 90°-( theta ). Как видите, для определения взаимосвязи между углами бывает полезно попробовать поменять значения некоторых углов от 0° до 90°.

Ищем компоненту вектора силы F_g вдоль наклонной плоскости

Итак, зададимся вопросом: чему равна компонента вектора силы ( mathbf{F_g} ) вдоль наклонной плоскости? Теперь мы знаем, что угол между вектором силы ( mathbf{F_g} ) и наклонной плоскостью равняется 90°-​( theta )​. Значит, компонента вектора силы вдоль наклонной плоскости ( F_{g,накл} ) равна:

Если вы добросовестно учили тригонометрию, то вам наверняка должно быть известно (а если нет, то обратитесь к главе 2), что:

(Часто это знать совсем не обязательно, и может сгодиться предыдущее уравнение.)

Следовательно:

Полученное выражение можно легко проверить следующим образом. Когда ​( theta )​ стремится к 0°, то значение компоненты силы вдоль наклонной плоскости ( F_{g,накл} ) стремится к 0, поскольку наклонная плоскость стремится к горизонтальному положению. А когда ​( theta )​ стремится к 90°, то значение компоненты силы вдоль наклонной плоскости ( F_{g,накл} ) стремится к ​( F_g )​ поскольку наклонная плоскость стремится к вертикальному положению. Итак, если вдоль наклонной плоскости на тележку с массой 800 кг действует сила ​( F_gsintheta )​, то каким будет ускорение тележки? Это легко определить по известной формуле:

Следовательно:

Задача упрощается, если вспомнить, что ​( F_g=mg )​ и тогда:

Итак, теперь нам известно, что ускорение тележки вдоль наклонной плоскости равно ​( a=gsintheta )​. Это соотношение справедливо для любого объекта, ускоряющегося под действием силы тяжести, если не учитывать силы трения.

Вычисляем скорость вдоль наклонной плоскости

Логично было бы поинтересоваться: а какова скорость тележки в конце наклонной плоскости? Для этого нам потребуется следующее уравнение, которое было выведено в главе 3:

Поскольку начальная скорость ​( v_0 )​ = 0, а длина наклонной плоскости ​( s )​ = 5 м, то получим:

Итак, скорость тележки в конце наклонной плоскости ( v_1 ) = 7 метров в секунду. Хотя это не такая уж и большая скорость для автомобиля, но все же не рекомендуется проводить такие эксперименты в домашних условиях. Имейте в виду, что на самом деле скорость будет несколько ниже, поскольку часть энергии расходуется на вращение колес, движение других частей автомобиля, трение и т.д.

Разбираемся с ускорением

Блиц-вопрос: а какую скорость в конце наклонной плоскости приобретет кубик льда при скольжении без трения? Ответ: он будет иметь такую же скорость, что и тележка в предыдущем примере, т.е. 7 м/с. Ускорение любого объекта, движущегося без трения вдоль наклонной плоскости под углом ​( theta )​, равно ​( gsintheta )​. Как видите, имеет значение не масса объекта, а компонента ускорения свободного падения вдоль наклонной плоскости. Если нам известно ускорение движения кубика льда и пройденное расстояние ​( s )​, то получим значение скорости по известной формуле:

Итак, масса не входит в формулу для определения конечной скорости.

Преодолеваем трение

Трудно представить себе повседневную жизнь без трения. Без трения автомобили не могли бы ездить, люди — ходить, а руки — брать любые предметы. Трение создает проблемы, но без него жизнь была бы просто невозможной.

Трение возникает из-за взаимодействия между поверхностными неровностями. Поверхность состоит из множества микроскопических выступов и впадин. При соединении двух поверхностей эти выступы одной поверхности и впадины другой поверхности сцепляются и препятствуют свободному проскальзыванию.

Допустим, что ваши сбережения хранятся в виде огромного золотого слитка, который показан на рис. 6.3, и некий злоумышленник задумал украсть его, но не может нести такой огромный слиток в руках, а может только тащить его волоком. Этот воришка стремится приложить силу к слитку, чтобы ускорить его и сбежать от преследующей его полиции. Однако благодаря силе трения вор не сможет развить большого ускорения.

Определим количественно влияние силы трения на движение объектов. Результирующая сила на слиток и создаваемое ею ускорение определяется как разность приложенной силы ​( F_п )​ и силы трения ​( F_{трение} )​ вдоль оси X:

Эта формула выглядит очень просто, но как определить силу трения? Как будет показано ниже, она зависит от нормальной силы.

Вычисляем силу трения и нормальную силу

Сила трения ( F_{трение} ) всегда противодействует приложенной силе, которая вызывает движение. Причем сила трения пропорциональна приложенной силе.

Как показано на рис. 6.3, слиток золота давит на горизонтальную поверхность с силой, равной весу слитка, ​( mg )​. А поверхность с той же силой действует на слиток. Эту силу называют нормальной силой (или силой нормального давления), ​( F_н )​.(Нормальной называется компонента силы со стороны поверхности, направленная по нормали к поверхности, т.е. перпендикулярно к поверхности.) Нормальная сила по величине не всегда совпадает с силой тяжести, поскольку нормальная сила всегда перпендикулярна поверхности, по которой движется объект. Иначе говоря, нормальная сила — это сила взаимодействия поверхностей разных объектов, и чем она больше, тем сильнее трение.

В примере на рис. 6.3 слиток скользит вдоль горизонтальной поверхности, поэтому нормальная сила равна весу объекта, т.е. ​( F_н=mg )​ Итак, у нас есть нормальная сила, которая равна силе давления слитка на горизонтальную поверхность. Для чего она нам нужна? Для определения силы трения.

Разбираемся с коэффициентом трения

Сила трения определяется характеристиками поверхностей соприкасающихся материалов. Как физики теоретически описывают их? Никак. У физиков есть множество общих уравнений, которые предсказывают общее поведение объектов, например ​( sum!F=ma )​ (см. главу 5). Однако у физиков нет полного теоретического понимания механизмов взаимодействия поверхностей материалов. Поэтому поверхностные характеристики материалов известны, в основном, из опыта.

А из опыта известно, что нормальная сила непосредственно связана с силой трения. Оказывается, что с большой точностью эти две силы пропорциональны друг другу и их можно связать с помощью константы ​( mu )​ следующим образом:

Согласно этому уравнению, чтобы определить силу трения, нужно умножить нормальную силу на некую постоянную величину, т.е. константу ​( mu )​. Такая константа называется коэффициентом трения, и именно она характеризует свойства сцепления шероховатостей данных поверхностей.

Величина коэффициента трения находится в диапазоне от 0 до 1. Значение 0 возможно только в идеализированном случае, когда трение отсутствует вообще. А значение 1 соответствует случаю, когда сила трения максимальна и равна нормальной силе. Это значит, что максимальная сила трения для автомобиля не может превышать его веса.

Обратите внимание, что уравнение ​( F_{трение}=mu F_н )​ не является соотношением между векторами, поскольку эти векторы направлены в разные стороны. Например, на рис. 6.3 они перпендикулярны друг другу. Действительно, нормальная сила ( mathbf{F_н} ) всегда перпендикулярна поверхности, а сила трения ​( mathbf{F_{трение}} )​ — параллельна. Эти направления определяются их природой: нормальная сила ( mathbf{F_н} ) определяет степень сжатия поверхностей, а сила трения ( mathbf{F_{трение}} ) — степень противодействия скольжению вдоль поверхностей.

Сила трения не зависит от площади соприкосновения двух поверхностей. Это значит, что слиток с той же массой, но вдвое длиннее и вдвое ниже исходного будет испытывать точно такую же силу трения при скольжении по поверхности. При этом увеличивается вдвое площадь соприкосновения, но уменьшается вдвое давление, т.е. величина силы, которая приходится на единицу площади.

Итак, мы получили предварительные сведения и готовы вычислить силу трения? Не так быстро. Оказывается, что коэффициент трения бывает двух типов.

Знакомимся со статическим и кинетическим трением

Два разных коэффициента трения соответствуют двум разным типам трения: статическому трению (или трению покоя) и кинетическому трению (или трению скольжения).

Дело в том, что эти типы трения соответствуют двум разным физическим процессам. Если две поверхности не движутся относительно друг друга, то на микроскопическом уровне они взаимодействуют более интенсивно, и этот случай называется трением покоя. А когда поверхности уже скользят относительно друг друга, то микроскопические неровности не успевают вступить в интенсивное взаимодействие, и этот случай называется трением скольжения. На практике это значит, что для каждого из этих двух типов трения используются свои коэффициенты трения: коэффициент трения покоя ​( mu_п )​ и коэффициент скольжения ( mu_с ).

Изучаем статическое трение

Трение покоя сильнее трения скольжения, т.е. коэффициент трения покоя ( mu_п ) больше коэффициента трения скольжения ( mu_с ). Это можно упрощенно объяснить следующим образом. В состоянии покоя соприкасающиеся поверхности интенсивно взаимодействуют на микроскопическом уровне, а при скольжении поверхности успевают вступить в интенсивное взаимодействие только на более крупном макроскопическом уровне.

Трение покоя возникает тогда, когда нужно привести в движение покоящийся объект. Именно такую силу трения нужно преодолеть для начала скольжения объекта.

Предположим, что в примере на рис. 6.3 коэффициент трения покоя между слитком и поверхностью равен 0,3, а масса слитка равна 1000 кг (очень приличный слиток). Какую силу должен приложить воришка, чтобы сдвинуть слиток? Из предыдущих разделов нам уже известно, что:

Поскольку поверхность горизонтальна, то нормальная сила направлена противоположно силе тяжести слитка и имеет ту же величину:

где ​( m )​ — масса слитка, a ​( g )​ — ускорение свободного падения, вызванное силой притяжения со стороны Земли. Подставляя численные значения, получим:

Итак, воришке потребуется приложить силу 2940 Н, чтобы сдвинуть с места неподвижный слиток. Довольно большая сила! А какая сила потребуется ему, чтобы поддерживать скольжение слитка? Для ответа на этот вопрос нужно рассмотреть трение скольжения.

Поддерживаем движение вопреки трению скольжения

Сила трения скольжения, возникающая из-за скольжения двух соприкасающихся поверхностей, не так велика, как сила трения покоя. Но это совсем не значит, что коэффициент трения скольжения можно легко вычислить теоретически, даже если нам известен коэффициент трения покоя. Оба коэффициента трения приходится определять из опыта.

Именно из опыта известно, что трение покоя больше трения скольжения. Представьте себе, что вы разгружаете неподвижный ящик на наклонной плоскости, но он вдруг начинает скользить вниз. Достаточно заблокировать его движение ногой и с большой вероятностью ящик останется в состоянии покоя, если аккуратно убрать ногу. Именно так, в состоянии покоя, проявляется трение покоя, а в процессе движения ящика — трение скольжения.

Пусть слиток на рис. 6.3 имеет массу 1000 кг, а коэффициент трения скольжения ​( mu_c )​ равен 0,18. Какую силу должен приложить воришка, чтобы сдвинуть с места неподвижный слиток? Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться следующей формулой:

Подставляя численные значения, получим:

Воришке потребуется приложить силу 1764 Н, чтобы поддерживать скольжение слитка. Не такая уж и маленькая сила, если, конечно, воришке не помогают его верные друзья. Однако это не так уж и легко, и полиция быстро сможет догнать этого воришку. Зная законы физики, полицейские вряд ли захотят прилагать лишние усилия: “Слиток-то мы нашли, а вот домой тащите его сами”.

Тянем груз в гору и боремся с трением

В предыдущих примерах со слитком описывалось трение на горизонтальной поверхности. А как определить силу сопротивления со стороны трения на наклонной плоскости?

Допустим, что, собираясь на рыбалку, вы решили захватить с собой холодильник массой 100 кг. Единственный способ погрузить его в багажник автомобиля — это втащить холодильник по наклонной плоскости, как показано на рис. 6.4. Пусть наклонная плоскость расположена под углом 30°, коэффициент трения покоя равен 0,2, а коэффициент трения скольжения — 0,15. Хорошая новость заключается в том, что вам помогают два друга, а плохая — в том, что каждый из вас способен приложить силу не более 350 Н.

Ваши друзья растеряны? “Не стоит беспокоиться, немного физики — и все будет в порядке”, — можете ответить им вы, доставая калькулятор. Итак, нам нужно вычислить минимальную силу, которую нужно приложить, чтобы втащить холодильник вверх по наклонной плоскости в багажник автомобиля вопреки силе трения и силе тяжести.

Вычисляем компоненту силы тяжести

Для этого нужно внимательно изучить схему на рис. 6.4. Сила тяжести действует на холодильник и направлена вертикально вниз. Сумма углов треугольника, образованного вектором силы тяжести, наклонной плоскостью и ее основанием, равна 180°. Угол между вектором силы тяжести и основанием наклонной плоскости равен 90°, а угол между наклонной плоскостью и ее основанием — ​( theta )​. Поэтому угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести равен:

Компонента силы тяжести, действующая вдоль наклонной плоскости, равна:

Таким образом, минимальная сила, с которой нужно толкать холодильник вверх по наклонной плоскости, равна сумме силы трения, ​( F_{трение} )​, и этой компоненты ( F_{g,накл} ), т.е.:

Определяем силу трения

Следующий вопрос: чему равна сила трения, ( F_{трение} )? Какой коэффициент трения нужно использовать для ее определения: покоя или скольжения? Поскольку коэффициент трения покоя больше коэффициента трения скольжения, то для оценки минимально необходимой силы имеет смысл учесть коэффициент трения покоя. Ведь после того как холодильник удастся сдвинуть с места, для скольжения придется прикладывать меньшую силу. Итак, с учетом коэффициента трения покоя, получим для силы трения

Для определения этой силы трения нам потребуется вычислить нормальную силу, ( F_н ) (более подробно эта сила описывается выше в этой главе). Она равна компоненте силы тяжести, которая направлена перпендикулярно (т.е. по нормали, откуда и происходит ее название) к наклонной плоскости. Как мы уже выяснили, угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести равен 90°-​( theta )​(рис. 6.5).

С помощью тригонометрических соотношений (см. главу 2) получим:

Чтобы проверить справедливость этого выражения, попробуйте устремить угол ​( theta )​ к нулю, при котором нормальная сила ​( F_н )​ становится равной ​( mg )​, что и следовало ожидать. Теперь получаем:

После подстановки численных значений получим:

Итак, три человека должны приложить минимально необходимую силу 660 Н, т.е. по 220 Н каждый, что меньше максимально возможной силы 350 Н. С радостным призывом “Приступим!” вы приступаете к работе, втаскиваете холодильник на самый верх наклонной плоскости. Допустим, что из-за несогласованности действий кто-то из вас перестал прикладывать силу. Как результат, холодильник после непродолжительной остановки неожиданно заскользил вниз, а после достижения основания продолжил движение по полу до полной остановки.

Вычисляем путь скольжения холодильника до полной остановки

Допустим, что наклонная плоскость и пол имеют одинаковые коэффициенты трения скольжения. Каким будет путь скольжения холодильника до полной остановки? Пусть сначала холодильник скользит из состояния покоя до основания наклонной плоскости длиной 3 м, как показано на рис. 6.6. Во время такого скольжения холодильник разгоняется и вполне может столкнуться с автомобилем на расстоянии 7,5 м. О, Боже! Неужели они столкнутся? Нужно немедленно достать калькулятор и приступить к расчетам.

Вычисляем ускорение скольжения

При скольжении вниз действующие на холодильник силы направлены иначе, чем при скольжении вверх. Теперь вы и ваши друзья уже не прилагают свои силы, а холодильник скользит только под действием компоненты силы тяжести, направленной вдоль наклонной плоскости. А ей противодействует лишь сила трения. Чему же равна результирующая сумма этих сил? Из предыдущих разделов уже известно, что компонента силы тяжести вдоль наклонной плоскости равна:

А нормальная сила равна:

Это значит, что сила трения скольжения равна:

Результирующая сила, которая действует на холодильник в направлении движения и определяет его ускорение, равна:

Обратите внимание на то, что сила трения, ​( F_{трение} )​, имеет отрицательный знак, т.е. она направлена противоположно компоненте силы тяжести вдоль наклонной плоскости, которая приводит в движение холодильник. После подстановки численных значений получим:

Поскольку масса холодильника равна 100 кг, то он скользит с ускорением 363 Н/100 кг = 3,63 м/с² вдоль наклонной плоскости длиной 3 м. Для вычисления конечной скорости холодильника, ​( v )​, в конце наклонной плоскости нужно использовать следующую известную нам формулу:

После извлечения квадратного корня и подстановки численных значений получим:

Такой будет скорость холодильника в конце наклонной плоскости.

Вычисляем путь скольжения по полу

Как на основе данных, полученных в предыдущем разделе, определить путь скольжения холодильника по полу? Столкнется ли холодильник с автомобилем?

Итак, нам известно, что холодильник начинает движение по полу со скоростью 4,67 м/с. Вопрос: какое расстояние он пройдет до полной остановки? Теперь в горизонтальном направлении на него действует только сила трения, а компонента силы тяжести по горизонтали равна нулю. Поэтому холодильник постепенно замедляется и рано или поздно остановится. Но уцелеет ли при этом стоящий поодаль автомобиль? Как обычно, сначала вычисляем суммарную силу ​( F )​, действующую на холодильник в направлении движения и определяющую его ускорение. В данном случае она равна силе трения:

Поскольку холодильник движется вдоль горизонтальной поверхности, то нормальная сила ​( F_н )​ равна силе тяжести ( F_g ), действующей на холодильник:

т.е. суммарная сила равна:

После подстановки численных значений получим:

Именно такая сила сопротивления действует на холодильник и… терроризирует всю округу! Итак, насколько длинным будет тормозной путь холодильника? Подставим численные значения и получим:

Здесь отрицательный знак обозначает замедление холодильника (см. главу 2).

По формуле:

найдем тормозной путь холодильника:

Поскольку конечная скорость ​( v_1 )​, равна 0, то эта формула упрощается и принимает вид:

Вот это да! Холодильник проедет расстояние 7,4 м и остановится всего в 10 см от автомобиля, который находится на расстоянии 7,5 м от основания наклонной плоскости. Можно расслабиться и понаблюдать за вашими друзьями, которые охвачены паникой и с ужасом в глазах ожидают столкновения холодильника и автомобиля.

Как гравитация влияет на свободное падение объектов

В главе 7 сила гравитационного притяжения (или сила тяжести) описывается в космическом масштабе, а здесь она рассматривается только вблизи поверхности Земли. В физике часто встречаются задачи с учетом силы тяжести. Этот раздел посвящен тому, как сила тяжести влияет на свободное падение объектов, и его следует рассматривать, как переходный между материалом предыдущей главы и материалом главы 7.

Стреляем вверх: максимальная высота

Зная ускорение свободного падения и начальную скорость объекта, можно легко вычислить дальность его полета. Эти знания могут пригодиться при подготовке праздничных фейерверков!

Предположим невероятное: на день рождения друзья подарили вам пушку, способную разгонять ядро весом 10 кг до начальной скорости 860 м/с. С изумлением рассматривая ее, гости начали спорить: а на какую максимальную высоту эта пушка способна выстрелить? Поскольку вы уже владеете всеми необходимыми знаниями, то можете быстро дать ответ на этот вопрос.

Нам известна начальная скорость ядра, ​( v_0 )​, и ускорение свободного падения ​( g )​ под действием силы тяжести. Как определить максимальную высоту подъема ядра? В точке максимального подъема ядра его скорость будет равна нулю, а затем оно начнет обратное движение вниз. Следовательно, для вычисления максимальной высоты подъема ядра, ​( s )​, можно использовать следующую формулу, в которой конечная скорость ​( v_1 )​ равна нулю:

Отсюда получим:

Подставляя численные значения для начальной скорости ​( v_0 )​ = 860 м/с², ускорения свободного падения под действием силы тяжести ​( g )​ = —9,8 м/с² (минус обозначает направление ускорения, противоположное направлению перемещения), получим:

Ого! Ядро улетит на высоту 38 км. Совсем неплохо для пушки, подаренной на день рождения. Интересно, а сколько же времени придется его ждать обратно?

Время подъема ядра

Итак, сколько времени потребуется для того, чтобы ядро поднялось на максимальную высоту? В примере из главы 4, где мяч для игры в гольф падал с вершины обрыва, для вычисления дальности его полета использовалось следующее уравнение:

Однако это уравнение представляет собой всего один из многих возможных вариантов поиска ответа на заданный вопрос.

Нам известно, что в точке максимального подъема скорость ядра равна 0. Поэтому для определения времени полета до максимальной высоты можно использовать следующее уравнение:

Поскольку ​( v_1 )​ = 0 и ​( a )​ = ​( -g )​, то:

Иначе говоря, получим:

После подстановки численных значений получим:

Итак, ядру потребуется 88 с, чтобы достичь максимальной высоты. А каково общее время полета?

Общее время полета

Сколько времени потребуется ядру, чтобы достичь максимальной высоты 38 км и вернуться обратно к пушке, если на подъем ему потребовалось 88 с? Общее время полета вычислить очень просто, поскольку обратный путь вниз симметричен прямому пути вверх. Это значит, что скорость ядра в каждой точке обратного пути вниз равна по величине и имеет противоположное направление по сравнению с прямым путем вверх. Поэтому время падения равно времени подъема и общее время полета равно удвоенному времени подъема:

Итак, общее время полета равно 176 с, или 2 минуты и 56 секунд.

Стреляем под углом

В предыдущих разделах пушка стреляла вертикально вверх. Попробуем теперь поразить цель, стреляя ядром из пушки под углом, как показано на рис. 6.7.

Разбиваем движение ядра на компоненты

Как характеризовать движение ядра при стрельбе под углом? Поскольку любое движение всегда можно разбить на компоненты по осям X и Y, а в данном примере сила притяжения действует только вдоль оси Y, то задача упрощается. Разобьем начальную скорость на компоненты (подробнее об этом рассказывается в главе 4):

Эти компоненты независимы, а сила притяжения действует только в направлении оси Y. Это значит, что компонента ​( v_x )​ остается постоянной, а меняется только компонента ​( v_y )​:

Теперь легко определить координаты ядра в любой момент. Например, координата ядра по оси X выражается формулой:

Поскольку сила тяжести влияет на движение ядра по вертикали, то координата ядра по оси Y выражается формулой:

Из предыдущего раздела нам уже известно, что общее время полета ядра по вертикали равно:

Теперь, зная время, можно легко определить дальность полета ядра по оси X:

Итак, для вычисления дальности полета ядра по горизонтали нужно знать начальную скорость ядра, ​( v_0 )​, и угол, ​( theta )​, под которым сделан выстрел.

Определяем максимальную дальность полета ядра

При каком угле выстрела ( theta ) ядро улетит на максимальное расстояние по горизонтали? Из тригонометрии известно, что ​( 2sinthetacostheta=sin2theta )​.

Тогда:

и расстояние ​( s )​ будет максимальным при максимальном значении ​( sin2theta=1 )​, т.е. при ​( theta )​ = 45°.

В таком случае:

Совсем неплохо для пушки, подаренной на день рождения!

Динамика и кинематика — это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Основная формула динамики

Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:

F¯ = m*a¯

Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.

В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:

M = I*α

Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — угловое ускорение.

Формулы кинематики

Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:

a = Δv/Δt;

v = v₀ ± a*t;

S = v₀*t ± a*t²/2

Здесь v₀ — значение начальной скорости тела, S — пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак «+» следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак «-«. Это важный момент.

Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:

α = Δω/Δt;

ω = ω₀ ± α*t;

θ = ω₀*t ± α*t²/2

Здесь α и ω — угловые ускорение и скорость, соответственно, θ — угол поворота вращающегося тела за время t.

Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:

a = α*r;

v = ω*r

Здесь r — радиус вращения.

Движение по наклонной плоскости: силы

Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.

Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения качения и/или скольжения;
• натяжение нити;
• сила внешней тяги.

Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.

Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.

Методика решения

Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна силе реакции опоры. Все эти показатели могут иметь различные параметры.

Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:

F_f = µ*N

Где N — реакция опоры, µ — коэффициент трения, не имеющий размерности.

Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:

F = m*g*sin(φ) — µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) = m*a

Здесь φ — это угол наклона плоскости к горизонту.

Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.

В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:

F = m*g*sin(φ) — F_r = m*a

Где F_r — сила трения качения. Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F_r создает следующий момент:

M = F_r*r = I*α

Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.

Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.

Задача на движение бруска по наклонной плоскости

Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45^o. Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.

Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:

m*g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) = m*a =>

a = g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с²

Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

S = a*t²/2

Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:

t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с

Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.

Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром

Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30^o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.

Запишем соответствующие уравнения:

m*g*sin(φ) — F_r = m*a;

F_r*r = I*α = I*a/r

Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:

I = 1/2*m*r²

Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F_r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:

F_r*r = 1/2*m*r²*a/r = >

F_r = 1/2*m*a;

m*g*sin(φ) — 1/2*m*a = m*a =>

a = 2/3*g*sin(φ)

Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.

Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:

S = a*t²/2 =>

t = √(2*S/a)

Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:

v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))

Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.

1. Тело на гладкой наклонной плоскости

Напомним: когда говорят о гладкой поверхности, подразумевают, что трением между телом и этой поверхностью можно пренебречь.

На тело массой m, находящееся на гладкой наклонной плоскости, действуют сила тяжести m и сила нормальной реакции (рис. 19.1).

Удобно ось x направить вдоль наклонной плоскости вниз, а ось y – перпендикулярно наклонной плоскости вверх (рис. 19.1). Угол наклона плоскости обозначим α.

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид

? 1. Объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 2. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 3. Чему равен модуль силы нормальной реакции?

? 4. При каком угле наклона ускорение тела на гладкой плоскости в 2 раза меньше ускорения свободного падения?

? 5. При каком угле наклона плоскости сила нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести?

При выполнении следующего задания полезно заметить, что ускорение тела, находящегося на гладкой наклонной плоскости, не зависит от направления начальной скорости тела.

? 6. Шайбу толкнули вверх вдоль гладкой наклонной плоскости с углом наклона α. Начальная скорость шайбы v₀.
а) Какой путь пройдет шайба до остановки?
б) Через какой промежуток времени шайба вернется в начальную точку?
в) С какой скоростью шайба вернется в начальную точку?

? 7. Брусок массой m находится на гладкой наклонной плоскости с углом наклона α.
а) Чему равен модуль силы, удерживающей брусок на наклонной плоскости, если сила направлена вдоль наклонной плоскости? Горизонтально?
б) Чему равна сила нормальной реакции, когда сила направлена горизонтально?

2. Условие покоя тела на наклонной плоскости

Будем теперь учитывать силу трения между телом и наклонной плоскостью.

Если тело покоится на наклонной плоскости, на него действуют сила тяжести m, сила нормальной реакции и сила трения покоя _тр.пок (рис. 19.2).

Сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости вверх: она препятствует соскальзыванию бруска. Следовательно, проекция этой силы на ось x, направленную вдоль наклонной плоскости вниз, отрицательна:

F_{тр.пок x} = –F_тр.пок

? 8. Объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 9. На наклонной плоскости с углом наклона α покоится брусок массой m. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен μ. Чему равна действующая на брусок сила трения? Есть ли в условии лишние данные?

? 10. Объясните, почему условие покоя тела на наклонной плоскости выражается неравенством

μ ≥ tgα.

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что сила трения покоя удовлетворяет неравенству F_тр.пок ≤ μN.

Последнее неравенство можно использовать для измерения коэффициента трения: угол наклона плоскости плавно увеличивают, пока тело не начинает скользить по ней (см. лабораторную работу 4).

? 11.Лежащий на доске брусок начал скользить по доске, когда ее угол наклона к горизонту составил 20º. Чему равен коэффициент трения между бруском и доской?

? 12. Кирпич массой 2,5 кг лежит на доске длиной 2 м. Коэффициент трения между кирпичом и доской равен 0,4.
а) На какую максимальную высоту можно поднять один конец доски, чтобы кирпич не сдвинулся?
б) Чему будет равна при этом действующая на кирпич сила трения?

Сила трения покоя, действующая на тело, находящееся на наклонной плоскости, не обязательно направлена вдоль плоскости вверх. Она может быть направлена и вниз вдоль плоскости!

? 13. Брусок массой m находится на наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен μ, причем и μ < tg α. Какую силу надо приложить к бруску вдоль наклонной плоскости, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости:
а) вниз? б) вверх?

3. Движение тела по наклонной плоскости с учетом трения

Пусть теперь тело скользит по наклонной плоскости вниз (рис. 19.3). При этом на него действует сила трения скольжения, направленная противоположно скорости тела, то есть вдоль наклонной плоскости вверх.

? 15. Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на тело, и объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 16. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 17. Брусок скользит по наклонной плоскости вниз. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,5. Как изменяется со временем скорость бруска, если угол наклона плоскости равен:
а) 20º? б) 30º? в) 45º? г) 60º?

? 18. Брусок начинает скользить по доске, когда ее наклоняют на угол 20º к горизонту. Чему ранен коэффициент трения между бруском и доской? С каким по величине и направлению ускорением будет скользить брусок вниз по доске, наклоненной на угол 30º? 15º?

Пусть теперь начальная скорость тела направлена вверх (рис. 19.4).

? 19. Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на тело, и объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 20. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 21. Брусок начинает скользить по доске, когда ее наклоняют на угол 20º к горизонту. Брусок толкнули вверх по доске. С каким ускорением он будет двигаться, если доска наклонена на угол: а) 30º? б) 15º? В каком из этих случаев брусок остановится в верхней точке?

? 22.Шайбу толкнули вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v₀. Угол наклона плоскости α, коэффициент трения между шайбой и плоскостью μ. Спустя некоторое время шайба вернулась в начальное положение.
а) Сколько времени двигалась шайба вверх до остановки?
б) Какой путь прошла шайба до остановки?
в) Сколько времени после этого шайба возвращалась в начальное положение?

? 23. После толчка брусок двигался в течение 2 с вверх по наклонной плоскости и затем в течение 3 с вниз до возвращения в начальное положение. Угол наклона плоскости 45º.
а) Во сколько раз модуль ускорения бруска при движении вверх больше, чем при движении вниз?
б) Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью?

Зацените!! Езда Электро-Велосипеда по воде

Дополнительные вопросы и задания

24. Брусок соскальзывает без начальной скорости с гладкой наклонной плоскости высотой h (рис. 19.5). Угол наклона плоскости равен α. Какова скорость бруска в конце спуска? Есть ли здесь лишние данные?

25. (Задача Галилея) В вертикальном диске радиуса R просверлен прямолинейный гладкий желоб (рис. 19.6). Чему равно время соскальзывания бруска вдоль всего желоба из состояния покоя? Угол наклона желоба α, в начальный момент брусок покоится.

26. По гладкой наклонной плоскости с углом наклона α скатывается тележка. На тележке установлен штатив, на котором на нити подвешен груз. Сделайте чертеж, изобразите силы, действующие на груз. Под каким углом к вертикали расположена нить, когда груз покоится относительно тележки?

27. Брусок находится на вершине наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 50 см. Коэффициент трения между бруском и плоскостью 0,3.
а) С каким по модулю ускорением будет двигаться брусок, если толкнуть его вниз вдоль плоскости?
б) Какую скорость надо сообщить бруску, чтобы он достиг основания плоскости?

28. Тело массой 2 кг находится на наклонной плоскости. Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,4.
а) При каком угле наклона плоскости достигается наибольшее возможное значение силы трения?
б) Чему равно наибольшее значение силы трения?
в) Постройте примерный график зависимости силы трения от угла наклона плоскости.
Подсказка. Если tg α ≤ μ, на тело действует сила трения покоя, а если tg α > μ – сила трения скольжения.

Лабораторная
работа № 129

Изучение динамики поступательного движения твердого тела по наклонной плоскости

Цель
работы –
экспериментальное определение работы
силы трения при скольжении груза по
наклонной плоскости.

1. Теоретическая часть

Рис.1. Брусок на
наклонной плоскости

На брусок массой
m,
находящийся на наклонной плоскости,
действуют несколько сил (рис.1) – сила
тяжести
,
сила нормальной реакции опорыи сила трения.
Под действием этих сил брусок может
двигаться или находиться в состоянии
покоя.

Рассмотрим
сначала состояние покоя, когда
равнодействующая всех сил равна нулю:

(1)

где
– сила трения покоя. Введем оси координат
так, как показано на рис. 1. Посколькуто проекция уравнения (1) на осьдает

Откуда

Т.о. в состоянии
покоя сила трения покоя уравновешивает
скатывающую силу

Если увеличивать
угол наклона
то при некотором его предельном значенииэтот баланс нарушится, и брусок начнет
соскальзывать с наклонной плоскости.
В момент начала соскальзывания сила
трения покоя
принимает
максимальное значение, равное силе
трения скольжения

.

По закону Амонтона
— Кулона сила трения скольжения по модулю
равна

,

где 
– коэффициент
трения.

Скольжение бруска
по наклонной плоскости описывается
уравнением динамики

(2)

Проекция уравнения
(2) на ось y
дает

или

.

Поэтому

.

На
рис.2 показана зависимость сил трения
покоя и трения скольжения от угла наклонаКаждая их этих зависимостей имеет свою
область определения. Для функцииона лежит в пределах.
Область определения функциилежит в интервале.
Вне этих областей обе функции не имеют
физического смысла.

Рис.2. Зависимости
ив функции от угла

Как видно из рис.
2, с ростом угла
сила трения покоя изменяется по
синусоидальному закону, а сила трения
скольжения изменяется по закону косинуса.
Пересечение этих двух функций происходит
при угле,
при достижении которого брусок начнет
скользить вниз по наклонной плоскости.
Значениенаходится из равенства

,

откуда можно найти
коэффициент трения

(3)

Измерив длину пути
l
бруска по наклонной плоскости и угол
ее наклона
,
можно определить работу силы трения
по предельному углуи соответствующему коэффициенту трения

.
(4)

Теперь заставим
брусок массы m₁
скользить не вниз, а вверх по наклонной
плоскости. Для этого (см. рис. 3) привяжем
к бруску конец нити, перекинутой через
блок; на другом конце нити привяжем груз
массы m₂,
при опускании которого нить будет тянуть
брусок вверх по наклонной плоскости с
ускорением а.

Рис. 3. Схема системы
наклонная плоскость – брусок-груз.

На длине пути l
вдоль наклонной плоскости (координата
)
брусок массойm₁,
при перемещении из т. 1- состояния покоя
в т. 2 приобретает некоторую скорость
и соответственно кинетическую энергиюКинетическая энергия может быть
рассчитана как суммарная работа всех
сил, приложенных к бруску:

(5)

где

.
–работа скатывающей силы,

так как

-работа силы
натяжения нити.

Далее будем
считать, что нить и блок невесомы, поэтому
натяжение нити по обе стороны от блока
одинаково: Т₁
= Т₂
= Т.
Уравнение движения (второй закон Ньютона)
груза m₂
в проекции на ось у
дает

откуда имеем
значение Т

Высота опускания
груза по законам кинематики равна:

Поэтому ускорение
груза можно выразить через измеряемые
величины — высоту h
и время 
спуска груза m₂
—

Все тела
рассматриваемой системы связаны
нерастяжимой нитью и, следовательно,
движутся с одинаковой скоростью и
ускорением. Поэтому скорость бруска
массы m₁
в конце отрезка пути длиной
l
(положение 2) равна

.

С учетом измеренных
и рассчитанных величин уравнение (5)
перепишется в виде

,

или

откуда

. (6)

Учтем, что длина
участка 1-2 подъема бруска по наклонной
плоскости равна высотеопускания груза (),
тогда из (5) получимвыражение
для определения работы силы трения
по
кинематическим параметрам (углу наклона

,длине

и времени
)перемещения
бруска по наклонной плоскости

. (7)

Приборы и
пренадлежности:

1. Лабораторная
установка.

2. Набор грузов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #