2019-03-21 
Найти трехзначное число $overline{abc}$ ($a, b$ и $с$ — его цифры), если четырехзначное число $overline{abc1}$ в три раза больше четырехзначного числа $overline{2abc}$.
Решение:
Условие можно записать так:
$a cdot 10^3 + b cdot 10^2 + с cdot 10 + 1 = 3(2 cdot 10^3 + a cdot 10^2 + b cdot 10 + с)$,
где $a, b$ и $c$ — цифры.
Так как число $3c$ должно оканчиваться единицей, то $c = 7$. После этого равенство можно переписать в виде
$a cdot 10^3 + b cdot 10^2 + 7 cdot 10 + 1 = 6 cdot 10^3 + 3a cdot 10^2 + (3b + 2) 10+ 1$.
Поскольку $b$ — цифра, $0 leq b leq 9$, то
$2 leq 3b + 2 leq 29$.
Kроме того, $3b + 2$ должно оканчиваться на 7, т. е. $3b + 2$ равно одному из чисел 7, 17, 27. B результате найдем три значения $b$, из которых только $b = 5$ будет целым. После этого равенство перепишется так:
$a cdot 10^3+ 5 cdot 10^2 + 7 cdot 10 + 1 = 6 cdot 10^3 + (3a+1) 10^2 + 7 cdot 10+1$.
Число $3a + 1$ заключено между 1 и 28 и должно оканчиваться на 5, т. е. нужно рассмотреть три возможности: $3a + 1 = 5$; 15; 25. Только одно из этих уравнений, $3a + 1 = 25$, имеет целое решение $a = 8$.
Убедившись, что при $с = 7$, $b = 5, а = 8$ составленное равенство выполняется, можем считать решение задачи законченным.
Ответ. 857.
-
#1
Найти трехзначное число авс, где а, в, с, цифры, если известно, что четырех значное число авс1 в три раза больше четырехзначного числа 2авс
-
#2
а в кінці книжки відповідей нема?
-
#3
Ну не надо так людям мозг напрягать кстати в Яндексе нема.
-
#4
857, разве в шестом классе такое дают?
[hide=535](1000a + 100b + 10c+1) = 3x(2000+100a+10b+c)
1000a + 100b + 10c+1 = 6000 + 300a + 30b + 3c
700a + 70b +7c = 5999
1000a + 100b + 10c = 8570[/hide]
интересно, многие без гугла шестой класс осилят
Добавлено через 3 минуты
З.Ы. Почему тема сразу не в мусоропроводе?
Останнє редагування: 26.11.09
-
#5
А вот еще задачка:
Стоит дом, в нем три парадных, четыре этажа, на каждом этаже по пять окон, на крыше два слуховых окна. Вопрос: в каком году умерла бабка швейцара?
NRG
Воины света! Воины добра!
-
#6
poma, швейцар какую парадную обслуживал?
-
#8
Автор учебника — житель Питера.
Добавлено через 2 минуты
интересно, многие без гугла шестой класс осилят
Тоже вначале пошарил по гуглю в поисках решения, нашёл только саму задачу, пришлось самому решать, забавно, заодно немного алгебру вспомнил.
Останнє редагування: 26.11.09
-
#9
857, разве в шестом классе такое дают?
***скрытый текст***
интересно, многие без гугла шестой класс осилят
Добавлено через 3 минуты
З.Ы. Почему тема сразу не в мусоропроводе?
это задачка для олимпиады в 6 классе
3_D
свалился с луны
-
#10
сложновато для 6-го, я решил путем перебора
современная программа 6-го класса — это 4-ый при совке
вердикт: не верю!
-
#11
Найти трехзначное число авс, где а, в, с, цифры, если известно, что четырех значное число авс1 в три раза больше четырехзначного числа 2авс
abc = 8,5,7 Числа, соответсвенно, 8571 и 2857
Вах, опоздал с ответом
-
#12
Автор учебника — житель Питера.
Такой загадкой ответил бравый солдат Швейк, когда один умник его замучил задачками. P.S. В Киеве тоже часто говорят «парадное».
-
#13
plebis, я решал немного по-другому, но результат разумеется тот же.
abc принял для простоты как x
тогда (10x+1)/(2000+x)=3
Ну а дальше уже понятно как искать х, расписывать не буду.
Просто думал, может решений несколько, может какое квадратное уравнение, и уже потом исключать разные корни. Оказалось всё проще. Ответ один.
fan
Известный пользователь
-
#14
1000a+100b+10c+1=3(2000+100a+10b+c)
700a+70b+7c=5999
100a + 10b + c= 857
дальше типо логика
3_D
свалился с луны
-
#15
poma, -1! говорят «парадняк»
*стебусь* в Питере «Парадное» — это та сторона фасада здания, где запрещено сливать испражнения из горшков через окно
-
#16
poma, -1! говорят «парадняк»
*стебусь* в Питере «Парадное» — это та сторона фасада здания, где запрещено сливать испражнения из горшков через окно![:)]( "Smile :)")
Два раза был в этом славном городе и ни разу не видел в квартире горшка. Хотя окна были во двор
3_D
свалился с луны
-
#17
Tabarik, это ж типа стеб
есть знакомая (живет в самом центре). так там ни ванной, ни душа. один унитангенс…
-
#18
abc принял для простоты как x
тогда (10x+1)/(2000+x)=3
Пипец. Я все формулы забыл(а может и не знал), путем подбора решил.
авс1 =3*2авс
Какое число, умножив на 3 даст последним знаком единицу? 7, значит 2 на ум пошло
ав71=3*2ав7
В числе «в» уже двойка лежит. в+2=7. Какое число надо умножить на 3, чтобы получить последний знак 5? 3 — значит 1 на ум пошло.
а571=3*2а57
В знаке «а» уже есть единица. а+1=5. Только восьмерка, помноженная на 3 даст последним знаком 4.
Типа такого, чтобы не гуглить и не вспоминать формул…
Вопрос задан 28.02.2019 в 17:05.
Предмет Алгебра.
Спрашивает Емелин Егор.
найти трёхзначное число авс если знаем что оно равно ав+вс+са
Ответы на вопрос
Отвечает Смирнов Валентин.
a*10+b*1+b*10+c*1+c*10+a*1=a*100+b*10+c*1
долго и мучительно сворачиваем
выражаем одно через другое
для удобства можно пробовать a=1 и a=2 так как число в любом случае не может быть больше 99+99+99 = 297
в итоге получим
a=1
b=0
c=9
искомое число 109
Последние заданные вопросы в категории Алгебра
Алгебра 26.05.2023 10:51 15 Соловьёва Оля.
Ответов: 1
Алгебра 26.05.2023 10:09 27 Бабуев Соёл.
Ответов: 2
Алгебра 26.05.2023 10:49 19 Воевода Андрей.
Ответов: 2
Алгебра 26.05.2023 09:47 10 Крамной Павел.
Ответов: 2
Алгебра 26.05.2023 09:00 25 Черепанов Дима.
Ответов: 3
Алгебра 26.05.2023 09:32 17 Темненко Ростик.
Ответов: 1
Алгебра 26.05.2023 09:08 4 Gareev Ilsur.
Ответов: 1
Алгебра 26.05.2023 09:18 14 Медведев Захар.
Ответов: 1
Алгебра 26.05.2023 09:18 6 Русинова Александра.
Ответов: 2
Алгебра 26.05.2023 09:54 13 Комова Виктория.
Ответов: 3
Формулировка задачи: Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на N; сумма цифр числа A + K делится на N. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.
Пример задачи 1:
Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 8; сумма цифр числа A + 1 делится на 8; в числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a — сотни, b — десятки, c — единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 8. Попробуем подобрать такое число A + 1, чтобы сумма его цифр также делилась на 8.
Заметим, что сумма цифр числа A + 1 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 8. Это могут быть числа 8, 16, 24, … . В противном случае она не будет делиться на 8. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если c < 9 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:
A + 1 = ab(c + 1)
Сумма его цифр a + b + c + 1 отличается от суммы изначального числа A на 1. Поэтому данный вариант не подходит.
Вариант 2. Если c = 9 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:
A + 1 = a(b + 1)0
Сумма цифр этого числа равна
a + b + 1 + 0 = a + b + 1
Сумма цифр числа A при c = 9 равна:
a + b + 9
Суммы чисел отличаются на 8, поэтому данный вариант подойдет.
Вариант 3. Если c = 9, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:
A + 1 = (a + 1)00
Сумма цифр нового числа равна:
a + 1 + 0 + 0 = a + 1
Сумма цифр числа A при c = 9 и b = 9 равна:
a + 9 + 9 = a + 18
2 суммы отличаются на 17 (18 — 1). Такой вариант не подойдет.
Вариант 4. Если c = 9, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 1 будет равно:
A + 1 = 1000
Сумма цифр этого числа равна:
1 + 0 + 0 + 0 = 1
Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 и c = 9 равна:
9 + 9 + 9 = 27
Получается, что 2 этих числа отличаются на 26 (27 — 1). Этот вариант не подойдет.
Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c = 9 и b < 9.
Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 8, нужно чтобы она была равна 8, 16 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку c = 9, b < 9, a > 0, сумма цифр числа A уже превышает 9. Значит сумма цифр числа A должна быть равна 16 или 24.
При поиске подходящего числа нужно учитывать, что a + c должно быть кратно b, то есть делиться нацело на него.
Пусть сумма цифр числа A равна 16. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 16 – 9 = 7, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:
- a = 1 и b = 6; (1 + 9) / 6 – не целое число, значит не подходит;
- a = 2 и b = 5; (2 + 9) / 5 – не целое число, значит не подходит;
- a = 3 и b = 4; (3 + 9) / 4 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 349;
- a = 4 и b = 3; (4 + 9) / 3 – не целое число, значит не подходит;
- a = 5 и b = 2; (5 + 9) / 2 = 7 – целое число, значит число A может быть равно 529;
- a = 6 и b = 1; (6 + 9) / 1 = 15 – целое число, значит число A может быть равно 619;
- a = 7 и b = 0; (7 + 9) / 0 – деление на 0, значит не подходит.
Пусть сумма цифр числа A равна 24. Так как c = 9, на два остальных разряда остается a + b = 24 – 9 = 15, при этом a не может быть равно 0, так как число автоматически перестанет быть трехзначным, и b < 9. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 8 и a = 7; (7 + 9) / 8 = 2 – целое число, значит число A может быть равно 789;
- b = 7 и a = 8; (8 + 9) / 7 – не целое число, значит не подходит;
- b = 6 и a = 9; (9 + 9) / 6 = 3 – целое число, значит число A может быть равно 969;
- b = 5 и a = 10 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 10 двухзначное;
- b = 4 и a = 11 – не подходит, см. выше;
- b = 3 и a = 12 – не подходит, см. выше;
- b = 2 и a = 13 – не подходит, см. выше;
- b = 1 и a = 14 – не подходит, см. выше;
- b = 0 и a = 15 – не подходит, см. выше.
В ответе можно указать любое из чисел 349, 529, 619, 789, 969.
Ответ: 349 или 529 или 619 или 789 или 969
Пример задачи 2:
Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на 5; сумма цифр числа (A + 4) делится на 5; число A больше 350 и меньше 400. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a — сотни, b — десятки, c — единицы. Пусть сумма цифр a + b + c делится нацело на 5. Попробуем подобрать такое число A + 4, чтобы сумма его цифр также делилась на 5.
Заметим, что сумма цифр числа A + 4 должна отличаться от суммы цифр числа A на число, кратное 5. Это могут быть числа 5, 10, 15, 20, 25, … . В противном случае она не будет делиться на 5. Рассмотрим все возможные варианты:
Вариант 1. Если c < 6 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно:
A + 4 = ab(c + 4)
Сумма его цифр a + b + c + 4 отличается от суммы изначального числа A на 4. Поэтому данный вариант не подходит.
Вариант 2. Если c ≥ 6 и b < 9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно:
A + 4 = a(b + 1)(c – 6)
Разряд единиц получен следующим образом:
c + 4 – 10 = c – 6
То есть к c мы прибавляем 4 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c – 6.
Сумма цифр этого числа равна
a + b + 1 + c – 6 = a + b + c – 5
Она отличается от суммы числа A на 5, поэтому данный вариант подходит.
Вариант 3. Если c ≥ 6, b = 9, a < 9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно:
A + 4 = (a + 1)0(c – 6)
Сумма цифр нового числа равна:
a + 1 + 0 + c – 6 = a + c – 5
Сумма цифр числа A при b = 9 равна:
a + 9 + c
Получается, что 2 этих числа отличаются на 14 (9 — (-5)). Такой вариант не подойдет.
Вариант 4. Если c ≥ 6, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 4 будет равно:
A + 4 = 100(c – 6)
Сумма цифр этого числа равна:
1 + 0 + 0 + c – 6 = c – 5
Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна:
9 + 9 + c = c + 18
Получается, что 2 этих числа отличаются на 23 (18 — (-5)). Этот вариант не подойдет.
Делаем вывод: цифры числа abc должны соответствовать правилу c ≥ 6 и b < 9. При этом нужно учитывать третье условие в задаче: число A больше 350 и меньше 400. Таким образом, a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6.
Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 5, нужно чтобы она была равна 5, 10, 15, 20 или 25 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку a = 3, 5 ≤ b < 9, c ≥ 6, сумма цифр числа A уже превышает 14 (берем минимальные значения 3 + 5 + 6). При этом сумма цифр числа A не может превышать 20 (берем максимальные значения 3 + 8 + 9). Значит сумма цифр числа A должна быть равна 15 или 20.
Пусть сумма цифр числа A равна 15. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 15 – 3 = 12. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 5 и c = 7, число A равно 357;
- b = 6 и c = 6, число A равно 366;
- b = 7 и c = 5 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию;
- b = 8 и c = 4 – не подходит, так как c ≥ 6 по условию.
Пусть сумма цифр числа A равна 20. Так как a = 3, на два остальных разряда остается b + c = 20 – 3 = 17. Рассмотрим возможные варианты:
- b = 5 и c = 12 – не подходит, так как в одном разряде помещается только 1 цифра, а число 12 двухзначное;
- b = 6 и c = 11 – не подходит, см. выше;
- b = 7 и c = 10 – не подходит, см. выше;
- b = 8 и c = 9, число A равно 389.
В ответе можно указать любое из чисел 357, 366, 389.
Ответ: 357 или 366 или 389
Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами – как решать».
При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
Предложите другой способ решения задачи «Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:
Найти трёхзначное число авс если знаем что оно равно ав + вс + са.
Вы находитесь на странице вопроса Найти трёхзначное число авс если знаем что оно равно ав + вс + са? из категории Алгебра.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.