Как найти точку вращения физика

Содержание:

Вращательное движение тела:

До сих пор мы изучали прямолинейное движение тел, хотя в природе и технике часто совершаются более сложные движения тел — криволинейные, когда траекторией тела является кривая линия. Любую кривую линию всегда можно представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов (рис. 18).

Поэтому, изучив движение материальной точки по окружности, сможем в дальнейшем изучать и любые другие криволинейные движения. Кроме того, из всех возможных криволинейных движений в технике широко применяется вращательное движение деталей машин и механизмов, например вращение шестерён машин и станков, деталей, обрабатываемых на токарных станках, валов двигателей, колес машин, фрез, свёрл и т. п. Любая точка этих деталей движется по окружности. Эти две особенности и обусловили обязательное изучение движения по окружности, а именно — равномерное движение тела по окружности.

Движение материальной точки по круговой траектории с постоянной по значению, но изменяющейся по направлению скоростью, называют равномерным движением по окружности.

Предположим, что тело равномерно движется по окружности из точки А в точку В (рис. 19). Тогда пройденный им путь — это длина дуги

где — скорость движения тела по окружности; — пройденный телом путь (длина дуги);  — время движения тела.

Направление скорости проще всего определить на опыте.

Опыт:

К вращающемуся точильному кругу, прикоснемся железным стержнем. Увидим, что искры из-под стержня летят по касательной к окружности этого круга (рис. 20).

Результат будет таким же в любой точке этого круга. Но каждая искра — это раскалённая частичка, оторвавшаяся от круга и летящая с такой же скоростью, какую она имела в последний момент движения вместе с кругом.

Итак, скорость материальной точки при движении по окружности направлена по касательной к ней в любой точке круга (рис. 21), а с учётом представления кривой на рисунке 18 этот вывод можно распространить на любые криволинейные движения (рис. 22). 

Опыт:

Закрепим на горизонтальной оси О фанерный диск (рис. 23), на котором проведен радиус ОА. Напротив точки А поставим указатель В и будем медленно и равномерно вращать диск. Увидим, что точка А с каждым оборотом диска снова появляется напротив указателя В, т. е. совершает движение, повторяющееся через определенный интервал времени.

Движения, при которых определенные положения материальной точки повторяются через одинаковые интервалы времени, называют периодическими движениями.

Равномерное движение по окружности — это периодическое движение. Периодическое движение характеризуют такими величинами, как период обращения и частота обращения.

Период обращения — это интервал времени, в течение которого материальная точка совершает один оборот при равномерном движении по окружности.

Обозначается период обращения большой латинской буквой Т.

Если за время материальная точка при равномерном движении по окружности совершает N оборотов, то период обращения определяется формулой:

Единицей периода обращения в СИ является одна секунда (1 с).

Если период обращения равняется 1 с, то материальная точка при равномерном движении по окружности осуществляет один оборот за 1 с.

Частота обращения определяется числом оборотов, которое материальная точка совершает за единицу времени при равномерном движении по окружности

Обозначается частота обращения малой латинской буквой .

* В научной и учебной литературе частоту обращения еще обозначают малой греческой буквой (ню).

Если за время материальная точка совершила N оборотов, то, чтобы определить частоту обращения , нужно N поделить на , т. е.:
 а так как = ТN , то .
Из последней формулы видно, что частота обращения и период обращения связаны обратно пропорциональной зависимостью, а для определения единицы частоты обращения нужно единицу разделить на единицу периода обращения, т. е. на секунду.

Единицей частоты обращения в СИ является единица, разделённая на секунду .  это частота обращения, при котором за 1 с материальная точка совершает 1 полный оборот, двигаясь равномерно по окружности. В технике такую единицу иногда называют одним оборотом в секунду , часто применяют также единицу один оборот в минуту .

Движение точки по окружности

Движения, происходящие в природе и технике, могут отличаться по изменению значения скоростей и по изменению направления скоростей. Так, например, при движении точки вдоль прямой линии в одном направлении направление скорости не меняется, хотя ее значение может быть различным. В этом случае движение считается неравномерным.

Но движения могут быть и криволинейными, например, точки могут двигаться по окружностям. На рисунке 18 изображена траектория движения точек нити или ленты между круглыми барабанами. Такие траектории можно представить в виде отрезков прямых линий и окружностей разных размеров. Понятно, что такие движения могут быть и равномерными, каждая точка все время будет иметь одинаковую скорость по значению, хотя направление скорости от точки к точке траектории может меняться.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности, когда это движение равномерно, т. е. значение скорости остается постоянным (рис. 19). Точка, двигаясь по окружности радиуса R, за определенное время переходит из точки А в точку В. При этом отрезок OA поворачивается на угол — угловое перемещение точки. Такое движение можно характеризовать угловой скоростью:

где (греческая буква «омега») — угловая скорость; (греческая буква «фи») — угловое перемещение.

Угловое перемещение определяется в радианах (рад.). 1 радиан — это такое перемещение, когда траектория движения точки — длина дуги окружности АВ — равна длине радиуса R.

Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения по окружности, при котором за 1 с осуществляется угловое перемещение 1 рад.

При определении угловой скорости слово «рад» обычно не пишут, а просто обозначают 1/с (имеется в виду рад/с).

Движение точки по окружности (и вращение твердого тела) характеризуют также такие величины, как период и частота вращения.

Период вращения (Т) — это время, на протяжении которого точка (тело) совершает один полный оборот по окружности. Период вращения:

где t — время вращения, N — количество выполненных оборотов.

Период вращения Т измеряется в секундах. Период равен 1 с, если точка (тело) осуществляет один оборот в секунду. Частота вращения (вращательная частота):

где N — количество совершенных оборотов за время t .

Частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).

Частота вращения  определяет количество оборотов точки (тела) вокруг центра (оси вращения) за 1 с.

Еще Архимед установил, что для всех окружностей любого радиуса отношение длины окружности к его диаметру является величиной постоянной. это число обозначили греческой буквой («пи»).

Таким образом, длина окружности

За один оборот материальная точка осуществляет угловое перемещение 2 рад.

Движение по окружности характеризуется привычным для нас понятием скорости как пути, который проходит точка за единицу времени. В данном случае эта скорость называется линейной. Если учитывать, что за один оборот (время Т) точка проходит путь  то линейная скорость равномерного движения точки по окружности или

Вращение твердого тела

Твердые тела состоят из большого количества частичек. Абсолютно твердыми наукой считаются тела, расстояние между точками которых не изменяется во время явлений, которые с ними происходят. Однако следует иметь в виду, что абсолютно твердых тел в природе нет.

Как упоминалось в § 3, движения твердых тел бывают поступательные и вращательные. Твердые тела могут вращаться вокруг любых осей, в том числе и тех, которые проходят через их центры.

В случае а (рис. 20) ось вращения проходит через центр шара (например, вращаются колеса транспортных средств или Земля в своем суточном вращении вокруг оси). В случае в ось проходит через край шара. В случае в шар находится на определенном расстоянии от оси (например, Земля движется вокруг Солнца или Луна вокруг Земли). В некоторых случаях даже Землю и Луну можно считать материальными точками, а в некоторых случаях это сделать невозможно. Подумайте, в каких?

Что же является наиболее характерным для вращательного движения твердых тел? Очевидно, что при этом все точки этих тел в своем движении описывают окружности, центры которых находятся на осях вращения.

Понятно также, что разные точки тел за одно и то же время проходят по своим траекториям разные расстояния — чем дальше от оси вращения лежат точки, тем больше эти расстояния. Но за одно и то же время угловое перемещение всех точек одинаково. Следовательно, и угловая скорость  для всех точек данного тела также будет одинаковой.

Для характеристики вращательного движения твердых тел используют такие же понятия, что и для движения точки по окружности: период вращения Т — время одного полного вращения; вращательная частота (частота вращения) — количество полных вращений за единицу времени; угловая скорость со. Кроме основной единицы частоты вращения об/с, используют об/мин, об/ч и т. п.

Период вращения Земли вокруг- Солнца равен в среднем 365 суток, а период вращения Луны вокруг Земли в среднем 28 суток. Изучая физику, астрономию, вы узнаете, что небесные тела, например планеты Солнечной системы, движутся не по окружностям, а по так называемым эллипсам.

Динамика вращательного движения

При просмотре фильмов-боевиков вы могли наблюдать, что при резком вращении руля автомобиля машина опрокидывается. В цирке мотоциклисты катаются по поверхности стен.
Проведем такой опыт. Нальем воду в ведро и раскрутим его в вертикальной плоскости. При определенной скорости вращения вода не выливается из ведра.

Из приведенных выше примеров можно сделать заключение, что существует сила, которая опрокинет машину при резком повороте, удержит мотоциклиста на стене и не даст вылиться воде из ведра при вращении.
Откуда появляется эта сила? От чего зависит ее величина?
Для этого вспомним о возникновении центростремительной силы в теле при равномерном вращательном движении:

По третьему закону Ньютона:

и при вращении появляется также центробежная сила. 
Вот эта центробежная сила опрокинет резко разворачивающуюся машину, удержит воду в ведре при вращении и т.д.

На рисунке 4.12 показаны силы, действующие на тело, которое совершает вращательные движения по кругу радиусом . В точке 1, из-за того что центробежная сила направлена противоположно силе тяжести , вес тела уменьшается:

В точке 3 сила тяжести тела и центробежная сила направлены вниз, т.е. в одном направлении. В этом случае вес тела растет:

Центробежную силу нужно учитывать при вращении тела и в случаях поворота в ходе движения. 
Кроме того, на поворотах дороги под воздействием центробежной силы наблюдается отклонение тела от вертикального положения. Чтобы это не приводило к авариям, велосипедисты или мотоциклисты должны двигаться с небольшим уклоном в сторону от центра вращения (рис. 4.13а).
Для уравновешивания этой силы специально для автомобилей на поворотах строят участки дороги с уклоном с одной стороны (рис. 4.13б). Для трамваев и поездов рельсы на поворотах дороги с внешней стороны круга делаются чуть выше.

• Заказать решение задач по физике

Пример

При движении по кругу тело опускается вниз. При каком радиусе круга тело не упадет с точки . Скорость тела в точке равна 30 м/с.
Дано:

Найти:

Решение:

Чтобы тело не упало из точки должно  выполняться следующее условие: 

Ответ: 90 м.

Кинематика вращательного движения

При криволинейном движении материальной точки ее мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке.
Движение тела (МТ) по окружности является частным случаем криволинейного движения по траектории, лежащей в одной плоскости.

Одним из простейших и широко распространенных видов такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Это такое движение, при котором тело (МТ) за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Подчеркнем, что при подобном движении скорость точки постоянно меняет свое направление.

Для описания движения по окружности используется ряд физических величин. Рассмотрим некоторые из них.

Удобным параметром для определения положения материальной точки М, совершающей движение по окружности радиусом R с центром в начале координат, является угол поворота (рис. 25)

радиус-вектора точки М. Он отсчитывается от оси Ох против хода часовой стрелки и связан с декартовыми координатами соотношениями:

По теореме Пифагора можно найти, что координаты х и у материальной точки в декартовой системе координат удовлетворяют соотношению

Скорость с которой материальная точка движется по окружности, называется линейной скоростью (рис. 26).

Проходимый точкой путь s (длина дуги окружности) равен, как и для всякого равномерного движения, произведению модуля скорости v и промежутка времени движения

Модуль угловой скорости — это отношение угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Угловая скорость  со является величиной векторной. Она направлена вдоль оси вращения материальной точки, и ее направление определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения конца буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело (рис. 27).

Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью v угловая скорость является величиной постоянной и ее модуль равен отношению угла поворота к промежутку времени за который этот поворот произошел:

Здесь n — частота вращения — физическая величина, численно равная числу оборотов N материальной точки в единицу времени:

Единица частоты вращения в СИ — секунда в минус первой степени Время совершения одного оборота называется периодом вращения Т.

Следовательно, 

В СИ период измеряется в секундах (1с).

При совершении полного оборота период определяется по формуле    

Модуль постоянной линейной скорости тела (МТ), движущегося по окружности, вычисляется по формуле

Проекции скорости (см. рис. 25) с течением времени изменяются по закону

Модуль угловой скорости определяется соотношением

Следовательно, соотношение между модулями линейной и угловой скорости имеет вид

Поскольку (докажите самостоятельно), где — угол поворота радиус-вектора в момент начала движения, то кинематический закон движения МТ но окружности имеет вид

При движении МТ по окружности с постоянной по модулю скоростью ее направление непрерывно изменяется и, следовательно, движение МТ происходит с ускорением, которое называется центростремительным или нормальным Ускорение направлено по радиусу к центру окружности и характеризует быстроту изменения направления скорости с течением  (см. рис. 26). Его модуль определяется формулой

Нормальное ускорение в любой момент времени перпендикулярно скорости

Как и при прямолинейном равноускоренном движении, ускорение называемое тангенциальным (касательным), совпадает с направлением скорости или направлено противоположно ей и поэтому изменяет только модуль скорости. Следовательно, при движении по окружности с непостоянной по модулю скоростью (например, математический маятник) или при любом криволинейном движении полное ускорение можно представить в виде векторной суммы нормального ускорения и тангенциального ускорения направленного по касательной к окружности в данной точке (рис. 28):

Полное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории (см. рис. 28).

Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

где  — нормальное ускорение, с которым точка двигалась бы по дуге
окружности радиусом r, заменяющей траекторию в окрестности рассматриваемой точки. Этот радиус r называют радиусом кривизны траектории.

В этой главе…

• Переходим от поступательного движения к вращательному движению
• Вычисляем тангенциальную скорость и тангенциальное ускорение
• Выясняем связь между угловым ускорением и угловой скоростью
• Разбираемся с моментом силы
• Поддерживаем вращательное движение

Эта и следующая главы посвящены вращательному движению объектов самой разной природы: от космических станций до пращи. Именно такое движение стало причиной того, что наша планета имеет круглую форму. Если вам известны основные свойства прямолинейного движения и законы Ньютона (они подробно описываются в двух первых частях этой книги), то вы сможете быстро овладеть основами вращательного движения. Даже если вы позабыли некоторые сведения из прежних глав, не беда, ведь к ним всегда можно вернуться в случае необходимости. В этой главе представлены основные понятия вращательного движения: угловая скорость угловое ускорение, тангенциальное ускорение, момент силы и т.п. Однако довольно слов, приступим к делу!

Переходим от прямолинейного движения  к вращательному

Для такого перехода нужно изменить уравнения, которые использовались ранее для описания прямолинейного движения. В главе 7 уже упоминались некоторые эквиваленты (или аналоги) из мира прямолинейного и вращательного движения.

Вот как выглядят основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

• ​( v=Delta{s}/Delta{t} )​, где ​( v )​ — это скорость, ​( Delta{s} )​ — перемещение, a ( Delta{t} ) — время перемещения;
• ( a=Delta{v}/Delta{t} ), где ( a ) — это ускорение, ( Delta{v} ) — изменение скорости, a ( Delta{t} ) — время изменения скорости;
• ​( Delta{s}=v_0(t_1-t_0)+{}^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 )​, где ​( v_0 )​ — это начальная скорость, ​( t_0 )​ — это начальный момент времени, a ​( t_1 )​ — это конечный момент времени;
• ​( v^2_1-v^2_0=2aDelta{s} )​, где ​( v_1 )​ — это конечная скорость.

По аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения:

• ​( omega=Delta{theta}/Delta{t} )​, где ​( omega )​ — угловая скорость, ​( Delta{theta} )​ — угол поворота, ( Delta{t} ) — время поворота на угол ( Delta{theta} );
• ​( alpha=Delta{omega}/Delta{t} )​, где ​( alpha )​ — угловое ускорение, ​( Delta{omega} )​ — изменение угловой скорости, ​( Delta{t} )​ — время изменения угловой скорости;
• ​( theta=omega_0(t_1-t_0)+{}^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 )​, где ​( omega_0 )​ — это начальная скорость;
• ​( omega^2_1-w^2_0=2as )​, где ​( omega_1 )​ — это конечная скорость.

Разбираемся с параметрами вращательного движения

В физике движение принято разделять на поступательное и вращательное. При поступательном движении любая прямая, связанная с движущимся объектом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям. Тангенциальным движением называется часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, а радиальным (или нормальным) движением — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной, т.е. вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного поступательного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

Допустим, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ​( omega )​, равной 21,5( 21,5pi )​ радиан в секунду. С какой скоростью едет мотоцикл? Чтобы дать ответ на этот вопрос, достаточно воспользоваться простой формулой связи линейной и угловой скорости.

Вычисляем линейную скорость вращательного движения

Скорость тангенциального движения материальной точки принято называть линейной скоростью вращательного движения. На рис. 10.1 приведен пример вращения мячика для игры в гольф по окружности с радиусом ​( mathbf{r} )​ и линейной скоростью ( mathbf{v} ). Скорость ( mathbf{v} ) является векторной величиной, т.е. обладает величиной и направлением (подробнее о векторах рассказывается в главе 4), перпендикулярным радиус-вектору ( mathbf{r} ).

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением ​( v=romega )​, которое легко интуитивно понять. При одинаковой угловой скорости, чем дальше материальная точка от центра окружности вращения, тем больше ее линейная скорость.

Попробуем получить уже упомянутую выше формулу связи линейной и угловой скорости ( v=romega ). Длина окружности ​( L )​ радиуса ​( r )​ выражается известной формулой ​( L=2pi r )​, а полный угол, который охватывает окружность, равен ​( 2pi )​ радиан. Соответственно, длина дуги окружности длиной ​( Delta s )​, охватывающая угол ​( Deltatheta )​, равна:

Из формулы прямолинейного движения

путем подстановки выражения для ​( Delta s )​ получим:

Поскольку:

где ​( omega )​ — угловая скорость, ​( Delta{theta} )​— угол поворота, ​( Delta{t} )​ — время поворота на угол ( Delta{theta} ), то:

Теперь можно легко и просто дать ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущего раздела, т.е. определить скорость мотоцикла по угловой скорости вращения его колес. Итак, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ( omega ), равной 21,5​( pi ) радиан в секунду. Пусть радиус колеса ​( r )​ равен 40 см, тогда достаточно использовать следующую формулу:

Подставляя в нее значения, получим:

Итак, скорость мотоцикла равна 27 м/с или 97 км/ч.

Вычисляем тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называется скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения. Эта характеристика вращательного движения очень похожа на линейное ускорение прямолинейного движения (см. главу 3). Например, точки на колесе мотоцикла в момент старта имеют нулевую линейную скорость, а спустя некоторое время после разгона ускоряются до некоторой ненулевой линейной скорости. Как определить это тангенциальное ускорение точки колеса? Переформулируем вопрос: как связать линейное ускорение

где ​( a )​ — это ускорение, ​( Delta v )​ — изменение скорости, a ​( Delta t )​ — время изменения скорости, с угловым ускорением

где ( Deltaomega ) — изменение угловой скорости, ( Delta t ) — время изменения угловой скорости?

Как мы уже знаем, линейная и угловая скорости связаны равенством

Подставим это выражение в предыдущую формулу линейного ускорения:

Поскольку радиус остается постоянным, то его можно вынести за скобки:

Поскольку угловое ускорение ​( alpha=Deltaomega/Delta t )​, то:

Итак, получаем следующую формулу связи между линейным и угловым ускорением:

Иначе говоря, тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Вычисляем центростремительное ускорение

Центростремительнным ускорением называется ускорение, необходимое для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения. Как связаны угловая скорость и центростремительное ускорение? Формула для центростремительного ускорения уже приводилась ранее (см. главу 7):

Теперь, используя известную формулу связи линейной и угловой скорости ​( v=romega )​, получим:

По этой формуле можно определить величину центростремительного ускорения по известной угловой скорости и радиусу. Например, для вычисления центростремительного ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, удобно использовать именно эту формулу.

Луна делает полный оборот вокруг Земли за 28 дней, т.е. за 28 дней Луна проходит ​( 2pi )​ радиан. Отсюда получаем угловую скорость Луны:

Чтобы получить значение угловой скорости в привычных единицах, следует преобразовать дни в секунды:

После подстановки этого значения в предыдущую формулу получим:

Средний радиус орбиты Луны равен 3,85·10⁸ м. Подставляя эти значения угловой скорости и радиуса в формулу центростремительного ускорения, получим:

Зная это ускорение и массу Луны, которая равна 7,35·10²² кг, можно определить центростремительную силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите:

Используем векторы для изучения вращательного движения

В предыдущих разделах этой главы угловая скорость и угловое ускорение рассматривались как скаляры, т.е. как параметры, характеризующиеся только величиной. Однако эти параметры вращательного движения, на самом деле, являются векторами, т.е. они обладают величиной и направлением (см. главу 4). В этом разделе рассматривается величина и направление некоторых параметров вращательного движения.

Определяем направление угловой скорости

Как нам уже известно, вращающееся колесо мотоцикла имеет не только угловую скорость, но и угловое ускорение. Что можно сказать о направлении вектора угловой скорости? Оно не совпадает с направлением линейной тангенциальной скорости, а… перпендикулярно плоскости колеса!

Эта новость всегда приводит к некоторому замешательству среди новичков: угловая скорость ​( omega )​, оказывается, направлена вдоль оси вращающегося колеса (рис. 10.2). Во вращающемся колесе единственной неподвижной точкой является его центр. Поэтому начало вектора угловой скорости принято располагать в центре окружности вращения.

Для определения направления вектора угловой скорости ( omega ) часто используют правило правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление тангенциальной скорости, то вытянутый большой палец укажет направление вектора угловой скорости ( omega ).

Теперь угловую скорость можно использовать так же, как и остальные векторные характеристики движения. Направление вектора угловой скорости можно найти по правилу правой руки, а величину — по приведенной ранее формуле. То, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, часто вызывает некоторые трудности у начинающих, но к этому можно быстро привыкнуть.

Определяем направление углового ускорения

Если вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, то куда направлен вектор углового ускорения в случае замедления или ускорения вращения объекта? Как известно (см. предыдущие разделы), угловое ускорение определяется формулой:

где ​( alpha )​ — угловое ускорение, ​( Deltaomega )​ — изменение угловой скорости, ​( Delta t )​— время изменения угловой скорости.

В векторной форме оно имеет следующий вид:

где ​( mathbf{alpha} )​ — вектор углового ускорения, а ​( Deltamathbf{omega} )​ — изменение вектора угловой скорости. Отсюда ясно, что направление вектора углового ускорения совпадает с направлением изменения вектора угловой скорости.

Если вектор угловой скорости меняется только по величине, то направление вектора углового ускорения параллельно направлению вектора угловой скорости. Если величина угловой скорости растет, то направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.3.

А если величина угловой скорости падает, то направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.4.

Поднимаем грузы: момент силы

В физике большое значение имеет не только время, но и место приложения силы. Всем когда-либо приходилось пользоваться рычагом для перемещения тяжелых грузов. Чем длиннее рычаг, тем легче сдвинуть груз. На языке физики применение силы с помощью рычага характеризуется понятием момент силы.

Приложение момента силы неразрывно связано с вращательным движением объектов. Если приложить силу к краю карусели, то карусель начнет вращательное движение. Чем дальше точка приложения силы, тем легче раскрутить карусель до заданной угловой скорости (параметры вращательного движения описываются в главе 1 1 ).

В верхней части рис. 10.5 показаны весы-качели с грузом массы ​( m_1 )​ на одном конце и грузом большей массы ​( m_2=2m_1 )​ посередине. Чтобы уравновесить весы-качели, нужно сместить груз с большей массой ​( m_2 )​ к другому концу весов, как показано в нижней части рис. 10.5. Как известно из опыта, размещение груза в точке вращения весов не приводит к уравновешиванию весов. Чтобы уравновесить весы, нужно сдвинуть груз с большей массой ( m_2=2m_1 ) к другому концу весов на расстояние вдвое меньшее, чем расстояние от точки вращения до второго груза с массой ​( m_1 )​.

Знакомимся с формулой момента силы

Для уравновешивания весов важно не только, какая сила используется, но и где она прикладывается. Расстояние от точки приложения силы до точки вращения называется плечом силы.

Предположим, что нам нужно открыть дверь, схематически показанную на рис. 10.6. Как известно из опыта, дверь практически невозможно открыть, если прилагать силу вблизи петель (см. схему А на рис. 10.6). Однако, если приложить силу посередине двери, то открыть ее будет гораздо проще (см. схему Б на рис. 10.6). Наконец, прилагая силу у противоположного края двери по отношению к расположению петель, ее можно открыть с еще меньшим усилием (см. схему В на рис. 10.6).

На рис. 10.6 расстояние от мест расположения петель до точки приложения силы и есть плечо силы. Моментом силы называется произведение прилагаемой силы ​( F )​ на плечо силы ​( l )​:

Момент силы в системе СИ измеряется в Н·м, а в системе СГС — в дин·см (подробнее эти системы единиц измерения описываются в главе 2).

Вернемся к примеру на рис. 10.6, где требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н. В случае А (см. рис. 10.6) плечо силы равно нулю и произведение этого плеча на силу любой величины (включая и силу 200 Н) даст нулевой момент силы. В случае Б (см. рис. 10.6) плечо силы равно половине ширины двери, т.е. плечо силы ​( l )​ равно 0,5 м и момент силы будет равен:

В случае В (см. рис. 10.6) плечо силы равно ширине двери, т.е. плечо силы ( l ) равно 1 м и момент силы будет равен:

Итак, увеличение вдвое длины плеча при той же силе дает нам такое же увеличение момента силы. До сих пор сила прилагалась перпендикулярно к линии, соединяющей точку приложения силы и точку вращения. А что будет с моментом силы, если дверь будет немного приоткрыта и направление силы уже будет не перпендикулярным?

Разбираемся с направлением приложенной силы и плечом силы

Допустим, что сила приложена не перпендикулярно к поверхности двери, а параллельно, как показано на схеме А на рис. 10.7. Как известно из опыта, таким образом дверь открыть невозможно. Дело в том, что у такой силы нет проекции, которая бы могла вызвать вращательное движение. Точнее говоря, у такой силы нет ненулевого плеча для создания вращательного момента силы.

Размышляем над тем, как создается момент силы

Момент силы из предыдущего примера требуется создавать всегда для открытия двери независимо от того, какую дверь приходится открывать: легкую калитку изгороди или массивную дверь банковского сейфа. Как вычислить необходимый момент силы? Сначала нужно определить плечо сил, а потом умножить его на величину силы.

Однако не всегда все так просто. Посмотрите на схему Б на рис. 10.7. Как видите, сила прилагается под некоторым углом ​( theta )​. Как в таком случае определить плечо силы? Если бы угол ( theta ) был прямым, то мы могли бы воспользоваться уже известно нам формулой:

Однако в данном случае угол ( theta ) не является прямым.

В таком случае нужно просто помнить следующее правило: плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из предполагаемой точки вращения на прямую, относительно которой действует сила.

Попробуем применить это правило определения плеча силы для схемы Б на рис. 10.7. Нужно продлить линию, вдоль которой действует сила, а потом опустить на нее перпендикуляр из точки вращения двери. Из полученного прямоугольного треугольника легко определить искомое плечо силы:

Если угол ( theta ) равен нулю, то никакого момента силы не возникает (см. схему А на рис. 10.7).

Итак, получаем для момента силы для схемы Б на рис. 10.7:

Например, если требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н, приложенной под углом ( theta ) = 45°, то создаваемый момент этой силы будет равен:

Как видите, этот момент силы 140 Н·м меньше, чем момент силы 200 Н·м, созданный под прямым углом на схеме В на рис. 10.6.

Определяем направление момента силы

Учитывая все приведенные выше сведения о моменте силы, у читателя вполне может возникнуть подозрение, что момент силы обладает направлением. И это действительно так. Момент силы является векторной величиной, направление которой определяется по правилу правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление силы, то вытянутый большой палец укажет направление вектора момента силы.

На рис. 10.8 показан пример силы ​( mathbf{F} )​ с плечом ( mathbf{l} ) и соответствующего вектора момента сил ( mathbf{M} ).

Уравновешиваем моменты сил

В жизни нам часто приходится сталкиваться с равновесными состояниями. Как равновесное механическое состояние определяется с точки зрения физики? Обычно физики подразумевают под равновесным состоянием объекта то, что он не испытывает никакого ускорения (но может двигаться с постоянной скоростью).

Для поступательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех сил, действующих на объект равна нулю:

Иначе говоря, результирующая действующая сила равна нулю.

Вращательное движение также может быть равновесным, если такое движение происходит без углового ускорения, т.е. с постоянной угловой скоростью.

Для вращательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех моментов сил, действующих на объект, равна нулю:

Как видите, это условие равновесного вращательного движения аналогично условию равновесного поступательного движения. Условия равновесного вращательного движения удобно использовать для определения момента силы, необходимого для уравновешивания неравномерно вращающегося объекта.

Простой пример: вешаем рекламный плакат

Предположим, что у входа в магазин нужно повесить большой и тяжелый рекламный плакат, как показано на рис. 10.9. Хозяин магазина пытался сделать это и раньше, но у него ничего не выходило, поскольку он использовал очень непрочный болт.

Попробуем определить силу, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, показанную на рис. 10.9. Пусть плакат имеет массу 50 кг и висит на шесте 3 м от точки опоры шеста, а массу шеста в данном примере будем считать пренебрежимо малой. Болт находится в 10 см от точки опоры шеста.

Согласно условиям равновесия, сумма всех моментов сил должна быть равна нулю:

Иначе говоря:

где ​( mathbf{M_п} )​ — это момент силы со стороны плаката, а ( mathbf{M_б} ) — это момент силы со стороны болта.

Чему равны упомянутые моменты? Момент силы со стороны плаката можно легко определить по формуле:

где ​( m )​ = 50 кг — это масса плаката, ​( mathbf{g} )​ — ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения (силы тяжести), ​( mmathbf{g} )​ — сила тяжести плаката, а ​( l_п )​ = 3 м — это плечо силы тяжести плаката.

Подставляя значения, получим:

Обратите внимание, что здесь перед ускорением свободного падения под действием силы гравитационного притяжения стоит знак “минус”. Это значит, что вектор ускорения свободного падения направлен вниз, т.е. в сторону, противоположную выбранному направлению оси координат.

Момент силы со стороны болта определяется формулой:

где ( mathbf{F_б} ) — это искомая сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, а ( l_б ) = 0,1 м — это ее плечо.

Подставляя полученные выражения для моментов сил в формулу:

получим, что:

Отсюда с помощью простых алгебраических преобразований получим искомую силу:

Как видите сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, направлена противоположно вектору ускорения свободного падения, т.е. вверх.

Подставляя значения, получим искомый ответ:

Более сложный пример: учитываем силу трения при расчете равновесия

Рассмотрим теперь другую более сложную задачу, в которой для расчета равновесия системы объектов нужно учесть силу трения. Предположим, что работник магазина решил использовать переносную лестницу для монтажа рекламного плаката, как схематически показано на рис. 10.10.

Пусть лестница длиной ​( l_л )​ = 4 м стоит под углом ​( theta )​ = 45° к поверхности тротуара, работник имеет массу ​( m_р )​ = 45 кг и находится на ней на расстоянии ( l_р ) = 3 м от нижнего конца лестницы, лестница имеет массу (m_л ) = 20 кг, а коэффициент трения покоя между поверхностью тротуара и концами лестницы равен ​( mu_п )​ = 0,7. Вопрос: будет ли такая система объектов находиться в состоянии равновесия? Попросту говоря, достаточной ли будет сила трения, чтобы лестница вместе с рабочим не соскользнула и упала?

Итак, для ответа на этот вопрос нам нужно учесть следующие силы, действующие на лестницу:

• ​( mathbf{F_с} )​ — нормальная сила со стороны стены;
• ( mathbf{F_р} ) — вес рабочего;
• ( mathbf{F_л} ) — вес лестницы;
• ( mathbf{F_{тр}} ) — сила трения между поверхностью тротуара и концами лестницы;
• ( mathbf{F_т} ) — нормальная сила со стороны тротуара.

Согласно условиям равновесного поступательного движения, сумма всех сил, действующих на лестницу, должна быть равна нулю:

Это значит, что сумма всех сил вдоль горизонтальной оси, а именно нормальной силы со стороны стены ( mathbf{F_с} ) и силы трения между поверхностью тротуара и концами лестницы ( mathbf{F_{тр}} ), должна быть равна нулю, то есть:

или

Перефразируя поставленный выше вопрос о достаточности силы трения, получим: выполняется ли условие

Кроме того, сумма всех сил вдоль вертикальной оси, а именно веса рабочего ( mathbf{F_р} ), веса лестницы ( mathbf{F_л} ) и нормальной силы со стороны тротуара ( mathbf{F_т} ), должна быть равна нулю, то есть:

или

Согласно условиям равновесного вращательного движения, также необходимо равенство нулю всех моментов сил, действующих на лестницу:

Пусть предполагаемой точкой вращения является нижний конец лестницы, тогда должна быть равна нулю сумма моментов сил, создаваемых весом рабочего ​( mathbf{M_р=[L_р!times! F_р]} )​, весом лестницы ( mathbf{M_л=[L_л!times!F_л]} ) и нормальной силой со стороны стены ( mathbf{M_с=[L_с!times! F_с]} ):

или

или

Поскольку ​( L_р=l_р )​, ​( L_л=l_л/2 )​ (центр тяжести лестницы находится посередине лестницы), ( L_с=l_л ), ​( alpha=360^{circ}-theta )​, ( beta=360^{circ}-theta ) и ​( gamma=theta )​, то получим:

или

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными сил ( mathbf{F_с} ) и ( mathbf{F_т} ):

Зададимся вопросом: соблюдается ли условие

Из системы двух уравнений получим:

Итак, остается выяснить, соблюдается ли условие:

После подстановки значений получим:

Поскольку ​( mu_т )​ = 0,7, то упомянутое условие соблюдается, и лестница с рабочим не упадет.

Расскажу вам о вращательном движении.

На первый взгляд может даже показаться, что вращательное движение нарушает законы механики.

В чем же нарушение и каких законов? Ну, скажем, закон инерции. Ведь всякое тело, если на него не действуют уравновешенные силы, должно или покоиться, или двигаться равномерно и прямолинейно. Но вот я даю боковой толчок этому глобусу, и он начинает вращаться. Если бы не трение, он, вероятно, вращался бы вечно, как вращается земной шар, никем не подталкиваемый. Как же быть с первым законом Ньютона? Или есть два закона инерции: одни для прямолинейного, а другой для вращательного движения?

Не торопитесь, мы сейчас выясним, в чем тут дело, и убедимся, что беспокоиться за законы Ньютона не приходится.

Вращательное движение отличается от поступательного. Однако есть в них и много общего, и весьма полезно сопоставить эти два вида движения. Много путаницы в головах учащихся происходит оттого, что в курсе физики средней школы не строго разграничивают механику материальной точки и механику материального тела. Скажите, вы помните, что называется поступательным движением?

– Конечно. Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково.

– А как вы это понимаете?

– Я понимаю это так, что все точки тела в каждый момент времени имеют одинаковую по модулю и направлению скорость. Все точки описывают одинаковые траектории.

– Вот именно. Поэтому и можно рассматривать поступательное движение тела как движение одной точки, вернее, заменить движение тела движением его центра масс. Если на такое тело (материальную точку) не действуют другие тела, т. е. если оно не испытывает на себе действия неуравновешенных сил, то оно покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Вращение тела характеризуют угловой скоростью, показывающей, на какой угол оно повернется за единицу времени. В технике угловую скорость часто выражают числом оборотов в минуту. Если угловая скорость постоянна, то мы говорим, что тело вращается равномерно. Если угловая скорость равномерно возрастает, то вращение называют равноускоренным. Сходство законов поступательного и вращательного движения поразительное. Только буквенные обозначения различны, а формулы получаются совершенно одинаковые. Вот первая параллель:

Все задачи по кинематике как вращательного, так и поступательного движения решаются по этим формулам аналогично.

– Это все понятно. Но как же быть с законом Ньютона?

– Не торопитесь, слушайте дальше. Рассмотрим движение одной материальной точки. Если хотите, вы можете представить себе ее как маленький тяжелый шарик. Можно сделать так, чтобы он двигался по окружности? (Катим маленький шарик от шарикоподшипника по столу.)

– Конечно, нет, он катится по прямой.

Можно, конечно, вести шарик по окружности, поддерживая его все время пальцами. Но стоит только убрать руку, как он будет продолжать движение по прямой линии.

– Итак, материальная точка может двигаться по окружности только под действием силы. Я вел шарик рукой, можно было бы привязать к нему веревочку или катить его внутри желобка. Как только прекратится действие силы, шарик начнет двигаться прямолинейно и равномерно.

В твердом теле не одна точка, а множество. Как вы думаете, они (точки) свободны или связаны?

– На них действует сила сцепления.

– Верно. Они-то и удерживают точки на круговой орбите. Не будь этих сил, материальные точки вращающегося тела разлетелись бы, как грязь слетает с вращающихся колес.

Есть еще одно сходство между поступательным и вращательным движением. При поступательном движении все точки тела движутся в данный момент времени с одинаковой линейной скоростью v. Если тело вращается, тоо все точки вращающегося тела движутся с одинаковой угловой скоростью ω.

Например, угловые скорости всех точек вращающейся спицы AB (рис. 59) одинаковы, а линейные различны.

На уроке физики вам говорили. Что равномерное движение точки по окружность есть в то же время движение с ускорением. Это ускорение называется центростремительным ускорением. Оно не характеризует изменение скорости по модулю, а характеризует только изменение направления скорости. Тут нелегко разобраться.

Я бы отстаивал определение равномерного вращательного движения только по угловой скорости. Тогда те параллельные формулы, о которых я говорил, будут всем понятны. Да и в технике, когда речь идет о равномерном вращении маховика или ротора электрического генератора или двигателя, подразумевают постоянной угловую скорость. Постоянное число оборотов якоря генератора обеспечивает постоянное напряжение в сети; постоянное число оборотов маховика обеспечивает плавный ход машины и экономичность ее работы. Это постоянство стараются поддержать, регулируя работу машины.

Теперь проведем параллель динамическую. По второму закону Ньютона ускорение, получаемое телом, вычисляется из формулы a = F/m. При вращении тела изменение угловой скорости будет зависеть от силы. Теперь скажите, все ли равно, где приложить силу при завинчивании, скажем, гайки: к концу рукоятки гаечного ключа или к самой гайке?

Вращающее действие силы, или момент силы, – вот что здесь важно, вот что является аналогом силы поступательного движения. Параллель найдена: силе в поступательном движении соответствует момент силы во вращательном движении. Так продолжим нашу сравнительную табличку.

– Я еще не написал формулу второго закона Ньютона, потому что об этом законе следует сказать подробнее. В формулу закона Ньютона входит масса m. Что она характеризует?

– Инертность тела.

– Правильно. Теперь подумайте, характеризует ли масса инертность вращающегося тела?

– Инертность вращающегося тела характеризуется не массой, а особой величиной, называемой моментом инерции, в которую входит как составная часть и масса. Момент инерции обозначается буквой I. Он зависит от массы тела и распределения этой массы, т. е. от формы тела. Тела различной формы имеют различные моменты инерции.

Простейший случай — движение материальной точки по окружности. Момент инерции такой точки равен произведению массы точки на квадрат расстояние ее от оси вращения, т. е. I = mr². Если массу отнести от оси вращения на расстояние, вдвое большее, то инертность этой массы, или устойчивость вращательного движения, будет больше в четыре раза. Вот почему маховые колеса делают большими. Но слишком увеличивать радиус нельзя. С увеличением радиуса колеса увеличивается линейная скорость точек обода колеса: v = ωr. Учитывая, что центростремительное ускорение есть a = v²/r, получаем отсюда: a = ω²r. Это означает, что с увеличением радиуса колеса растет центростремительное ускорение точек его обода. Создающая это ускорение сила сцепления молекул может оказаться недостаточной для удержания их на круговом пути, и тогда колесо разрушится.

Каждое тело можно представить состоящим из множества точек. Для вычисления момента инерции тела надо суммировать моменты инерции отдельных точек. Эта задача вам пока не под силу. Скажу только, что для диска и сплошного цилиндра, вращающихся вокруг собственной оси, I = ½ mr². В телах такой формы разные точки тела находятся на разных расстояниях от оси вращения, начиная от 0 и до r. Момент инерции тонкого круглого кольца (есть сходство с ободом маховика) I = mr². Обо всем этом вы узнаете из курса теоретической механики, когда будете учиться в техникуме или институте. Сейчас же вы должны понять, что во вращательном движении роль массы играет момент инерции и закон динамики вращательного движения, аналогичный второму закону Ньютона, примет вид: M = Iα. Теперь мы можем закончить сравнительную таблицу, включив в нее формулы для основного уравнения динамики, импульса и кинетической энергии:

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Движение тела как целого можно характеризовать только такими величинами, которые в данный момент времени для всех его точек одинаковы. Поэтому вращательное движение твердого тела характеризуют не линейными, а угловыми величинами: углом поворота Δφ, угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Угловой скоростью вращения твердого тела называется вектор ω, численно равный первой производной от угла поворота по времени

 или ,

и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против часовой стрелки. Также направление вектора угловой скорости можно определить по правилу буравчика.

Линейная скорость v произвольной точки М вращающегося тела определяется по формуле Эйлера

,

где r — радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки О оси вращения тела. Модуль вектора линейной скорости пропорционален расстоянию до оси вращения:

Угловым ускорением вращения твердого тела называется вектор ε, численно равный модулю второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени

,

и направленный в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, если движение ускоренной и в противоположную сторону от вектора угловой скорости, если движение замедленное. Если тело вращается равномерно, то ε = 0.

Вектор ускорения каждой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно разбить на две составляющие: нормальное (центростремительное) и тангенциальное. Вектор нормального ускорения направлен к оси вращения, а по модулю определяется по формуле 

.

Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к окружности, а по модулю определяется по формуле

.

Отсюда модуль полного ускорения определяется по формуле

.

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через R_i, модули линейных скоростей – через v_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина, зависящая от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси. Это величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м²).

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой. Теорема Штейнера:

Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

Для описания вращательного движения вводятся величины, аналогичные тем, которыми характеризуют поступательное движение: момент силы аналогичен силе, момент инерции аналогичен массе.

Основной закон динамики вращательного движения (II закон Ньютона для вращательного движения) имеет вид:

где M – результирующий момент сил, действующий на тело, I – момент инерции тела, ε – угловое ускорение, полученное телом.

где L = Iω – момент импульса, или кинетический момент, твердого тела. Эта величина аналогична импульсу точки p = mv.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется (момент импульса замкнутой системы остается неизменным): 

L = const

Пример: Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I₁ω₁ = (I₁ + I₂)ω

Аналогия величин и соотношений, характеризующих поступательное и вращательное движения

Если все точки тела совершают движения по окружностям, при этом все центры данных окружностей находятся на одной прямой, тогда такое движение тела (системы) называют вращением. При этом ось, на которой находятся центры окружностей, получила название оси вращения:

• ее положение может быть внутри тела (системы) или вне его;
• она может двигаться или быть неподвижной;
• плоскости траекторий движения точек тела перпендикулярны оси вращения;
• в трехмерном пространстве каждое вращение обладает осью вращения (теорема Эйлера).

Угловая скорость

Допустим, что некоторое твердое тело совершает вращения вокруг неподвижной оси. В таком движении точки данного тела описывают окружности. Центы этих окружностей принадлежат оси вращения, радиусы их различны.

Рассмотрим одну точку нашего тела. Пусть она перемещается по окружности, радиус которой равен $R$ (рис.1).

Положение, рассматриваемой точки будем задавать при помощи угла поворота $Delta varphi$.

Элементарно малые углы поворота можно рассматривать как векторы. При этом величина вектора $dvec varphi$ равна величине угла поворота $Delta varphi$ (рис.1).

Направление $dvec varphi$ подчинено правилу правого буравчика, то есть направлено вдоль направления поступательного перемещения острия винта, при вращении его головки, совпадающем с направлением вращения точки по ее окружности.

$dvec varphi$ называют аксиальным вектором (псевдовектором). Псевдо векторы не имеют точки приложения, их изображают в любой точке на оси вращения.

Вектор $omega$ направлен по оси вращения (правило правого винта), и совпадает по направлению с элементарным углом поворота $dvec varphi$ (рис.1).

Единица $omega$ — это радиан, деленный на секунду (рад/с).

Линейную скорость нашей материальной точки можно связать с угловой скоростью, эту связь легко установить, рассматривая рис.1.

$v=lim {_{Delta t to 0}}( frac {Delta s}{Delta t})=R lim {_{Delta t to 0}}(frac{Delta varphi}{Delta t})=Romega.$

Мы получили, линейная скорость по величине равна:

$v=omega R (2).$

Из формулы (3) следует, что величина линейной скорости равна:

$v=omega times R sin (alpha )(4),$

где $alpha$ — угол между векторами $vec omega$ и $vec R$.

Направление результата векторного произведения в (4) определяет правило правого винта. Головку винта вращают от $vec omega$ к $vec R$, поступательное перемещение острия указывает направление $vec v$.

При постоянной угловой скорости вращение называют равномерным.

Период вращения

Для характеристики равномерного вращения вводят такую физическую величину, как период вращения $T$.

Следовательно:

$omega = 2pi nu (7).$

Угловое ускорение

При движении по окружности вектор $omega$ изменяется только по величине, не изменяя своего направления. В этом случае полное ускорение материальной точки можно найти, применяя выражение (3) и (8) как:

$vec varepsilon= frac {dvec omega}{dt}=frac {dvec omega}{dt} times vec R+vec omega times frac{dvec R}{dt}=frac {dvec omega}{dt} times vec R+ vec omega times vec v $.

Если тело совершает вращения около неподвижной оси, то $vec varepsilon$ имеет направление вдоль оси вращения тела.

Если угловая скорость вращения тела увеличивается (вращение ускоренное), то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости сонаправлены.

При замедленном вращении векторы углового ускорения и угловой скорости имеют противоположные направления.

Тангенциальная и нормальная компоненты линейного ускорения

По определению, составляющая линейного ускорения ($a_{tau}$), которая отвечает за изменение величины скорости движения тела (тангенциальное ускорение) равна:

$a_{tau}=frac{dv}{dt}(9).$

Принимая во внимание выражение (2), мы получим:

$a_{tau}=frac{d(omega R)}{dt}=R frac {d omega}{dt}=Rvarepsilon (10).$

Ускорение, отвечающее за изменение направления скорости движения при криволинейном перемещении – это нормальное (или центростремительное ускорение) ($a_n$) равно:

$a_n=frac {v^2}{R} (11).$

Использовав формулу (2), имеем:

$a_n=frac {omega^2 R^2}{R}=omega^2 R (12).$

Мы получили связи между линейными параметрами движения:

• длиной пути ($s$) пройденным, материальной точкой по дуге окружности радиуса $R$;
• линейной скоростью перемещения точки $v$;
• тангенциальным ускорением $a_{tau}$;
• нормальным ускорением $a_n$

и угловыми величинами:

• углом поворота $varphi$;
• угловой скоростью $omega$;
• угловым ускорением $varepsilon$.

$s=RDelta varphi$, $v=Romega$, $a_{tau}=Rvarepsilon$, $a_n=omega^2R.$

Вращение с постоянным угловым ускорением

В таком случае это движение можно описывать при помощи следующих уравнений. Для угловой скорости имеют место равенства:

$omega = omega _0+varepsilon t (13) $

при вращении с положительным ускорением (равноускоренное движение) и

$omega = omega _0-varepsilon t (14) $

при равнозамедленном вращении. В формулах (13) и (14) $omega_0$ — начальная скорость вращения.

Угол поворота материальной точки при равноускоренном движении задает формула:

$varphi= varphi_0 + omega _0 t +frac{varepsilon t^2}{2} (15)$

при равноускоренном движении

$varphi= varphi_0 + omega _0 t — frac{varepsilon t^2}{2} (16)$

при равнозамедленном движении. В уравнениях (15) и (16) $varphi_0 $ — начальный угол поворота.