Как найти точку симметричную данной относительно окружности

Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Дробно-линейные отображения

Дробно-линейной функцией называется функция вида: , где — произвольные комплексные числа, такие, что .

Перечислим без доказательства свойства дробно-линейной функции.

1. Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом точка отображается в точку , а точка отображается в .
2. Дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений: целого линейного , отображения и сдвига .
3. Дробно-линейное отображение отображает окружности и прямые в окружности и прямые. При этом прямая может перейти как в прямую, так и в окружность. Окружность тоже может перейти как в прямую, так и в окружность. Это свойство называется круговым свойством дробно-линейных отображений.
4. Точки симметричные относительно прямой или окружности переходят в точки симметричные относительно образа этой прямой или окружности.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три заданные точки в три заданные точки: дается формулой:

Пример 1 Найти образ мнимой оси при отображении .

Мнимая ось представляет собой прямую. По третьему свойству она должна перейти в окружность или в прямую. Найдем образы трех точек мнимой оси: . Так как образ одной из точек , то мнимая ось переходит в прямую проходящую через и , то есть в действительную ось.

Пример 2 Найти дробно линейное отображение, переводящее точки .

Пример 3 Найти образ области при отображении

Найдем образ мнимой оси при данном отображении. Возьмем три точки : .

Отметим также, что . Куда же перешел луч ? Подставим в формулу отображения: . При , точки переходят в точки луча действительной оси. Точки переходят в луч . Образы двух точек действительной оси у нас есть: Действительная ось переходит в окружность, проходящую через точки .

Найдем образ точки из границы нашей области:

Итак, образ луча будет полуокружность .

Теперь мы можем изобразить схему самого отображения:

Пример 4 Найти образы всех квадрантов при отображении .

Чтобы не решать опять задачи подобные примеру 3, воспользуемся следствием принципа симметрии Римана-Шварца в такой формулировке:

Пусть функция отображает область в и — дуга окружности или отрезок, принадлежащий границе области , и — область, симметричная относительно .

Пусть непрерывна на и области и не пересекаются. Тогда функция конформно отображает на , где и — образы и соответственно при отображении .

На следующем рисунке видно, что области и симметричны относительно луча , который переходит в полуокружность . Так находится образ области . Он для удобства обозначен штриховкой. Точно так же находятся образы остальных двух квадрантов.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Две точки симметричны относительно прямой, если они лежат на прямой, перпендикулярной к данной прямой и расстояние от этих точек до этой прямой одинаково (см. рисунок слева).

Две точки И симметричны относительно окружности радиуса , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности и выполняется равенство: (см. рисунок справа). Выведем уравнение преобразования симметрии относительно окружности: ;

В итоге получаем: — преобразование инверсии (отражения) относительно окружности. Если , то .

В случае, когда , на сфере Римана будет следующая картина: . На сфере это две точки, симметричные относительно серединного сечения (см. рисунок).

Теорема Шаля: Любое ДЛО есть композиция четного числа инверсий относительно обобщенных окружностей.

Упр: Показать, что отображение можно представить композицией двух инверсий относительно окружностей.

Как найти уравнение окружности, симметричной данной?

Симметричные окружности имеют равные радиусы. Следовательно, остаётся найти координаты центра симметричной окружности (как точки, симметричной данной).

Примеры.

1) Окружность задана уравнением (x-3)²+(y+2)²=16. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно точки (7; 10).

Решение:

Центр окружности (x-3)²+(y+2)²=16 — точка с координатами (3;-2). Найдём точку, симметричную ей относительно точки (7; 10).

Таким образом, центр окружности, симметричной данной, — точка с координатами (11;22). Подставляем в формулу уравнения окружности a=11, b=22, R²=16:

(x-11)²+(y-22)²=16.

2) Окружность задана уравнением (x+5)²+(y+1)²=9. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат.

Решение:

Центром данной окружности является точка (-5;-1). Точка, симметричная данной относительно начала координат — (5;1). Таким образом, для окружности, симметричной данной относительно точки O(0;0) a=5, b=1, R²=9:

(x-5)²+(y-1)²=9.

3) Окружность задана уравнением (x-7)²+(y-2)²=12. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y=x.

Решение:

Центр окружности (x-7)²+(y-2)²=12 — точка (7;2) — при симметрии относительно прямой y=x переходит в точку (2;7). Следовательно, a=2, b=7, R²=12 и искомое уравнение окружности:

(x-2)²+(y-7)²=12.

4) Окружность задана уравнением (x+4)²+(y-5)²=19. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Центр окружности (x+4)²+(y-5)²=19 — точка (-4;5). Точку, симметричную точке (-4;5) относительно прямой y=2x+4, нашли в прошлый раз — (3,2; 1,4). Таким образом, a=3,2, b=1,4, R²=19  и уравнение симметричной окружности

(x-3,2)²+(y-1,4)²=19.

5) Окружность задана уравнением (x+8)²+(y+3)²=4. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y= -1.

Решение:

Центр окружности (x+8)²+(y+3)²=4 — (-8; -3). Точка, симметричная точке (-8; -3) относительно прямой y= -1, имеет такую же абсциссу, x= -8. Расстояние от точки (-8; -3) до прямой y= -1 равно -1-(-3)=2. Расстояние от прямой y= -1 до центра симметричной окружности также равно 2, отсюда -1+2=1 — это ордината центра. Таким образом, точка (-8; 1) — центр окружности, симметричной данной, а R²=4.

Следовательно, искомое уравнение окружности

(x+8)²+(y-1)²=4.

В теории и практике
конформных отображений ставятся и
решаются две задачи: 1) прямая задача
заключается в нахождении образа данной
линии или области при заданном отображении,
2) обратная задача заключается в нахождении
функции, осуществляющей отображение
данной линии или области на другую линию
или область.

Для решения данных
задач необходимо знать некоторые
свойства основных элементарных функций.

1. Линейная функция

.

a,
b

,

т.е.

. Т.к.
,
тогда имеем, что
,
следовательно,
,

.

1)
–
аналитическая функция, т.е. u
и v
– гармоническая
пара, т.к. выполняются условия КРЭДа:
,

.

2)


для всех z

.

Из 1) и 2) следует,
что отображение, реализуемое линейной
функцией, конформно на всей плоскости
Гаусса.

Пусть плоскости

и

и оси координат совпадают. Рассмотрим
частные случаи.

1)
Пусть

(а
= 1)

.

Преобразование
сводится к сложению переменного вектора

с данным вектором
,
т.е. параллельному переносу плоскости

на вектор

(рис. 22). Поворота при этом не происходит,
т.к.

2)
Пусть

(b
= 0)

.

Угол поворота

Коэффициент растяжения

Если а
– действительное число, то поворота не
происходит и вектор всякого комплексного
числа растягивается в

раз, например, окружность единичного
радиуса на плоскости

превращается в окружность радиуса

на плоскости
,
и все точки окружности перемещаются в
соответствующие точки по радиусу.

Если а
– комплексное число, то происходит и
растяжение, и поворот одновременно.

Вывод:
отображение,
осуществляемое линейной функцией,
представляет собой композицию растяжения
,
поворота

и параллельного переноса
.

Замечание 1.
Обратной к линейной функции будет
функция
.

Замечание 2.
Отображение

конформно во всей расширенной плоскости
и имеет две неподвижные точки:

(,

Пример .
С помощью функции

найти отображение окружности

на плоскость (Оuv).

Решение.

Имеем
,

отсюда
,

.
Подставим данные выражения в уравнение
окружности и получим
,
следовательно, искомым отображением
является окружность с радиусом 2 и с
центром в точке (1, 0).

2. Простейшая
дробно-линейная функция

.

– аналитическая
функция, т.к. выполняются условия КРЭДа.

ни при каком конечном
z
(лишь при
),
следовательно, производная существует
всюду, кроме z
= 0.

Отображение,
реализуемое функцией, конформно всюду
на
,
кроме точки z
= 0 и бесконечно удаленной точки
.
Если положить
,
то отображение будет конформно во всей
плоскости
,
при этом угол между прямыми в точке О
отображается на такой же угол в бесконечно
удаленной точке
.

Геометрический
смысл отображения.

Пусть
,
тогда его образ можно найти по формуле
Муавра
,т.е.

.
Видно, что 1)
,
а
,
2)
,
а

(рис. 23). Отсюда можно сделать вывод:
отображение

может быть представлено в виде двух
составляющих: 1)
и 2).
Разберем подробнее каждую составляющую.

1)
Окружность радиуса r
отображается с помощью функции

в окружность радиуса
,
т.е., если точка z
лежит внутри единичной окружности на
плоскости (Oxy)
, то ее образ точка

лежит вне единичной окружности на
плоскости (Ouv).
Все точки окружности отображаются в
себя, т.е. остаются на месте; концентрические
окружности радиуса < r
переходят в окружность радиуса > r
и обратно. Точки 0 и

переходят друг в друга.

Определение .
Преобразование, переводящее внутренность
единичного круга во внешность и наоборот,
называется инверсией.

То есть инверсия
– зеркальное отображение плоскости z
относительно окружности.

Свойство инверсии:
при инверсии все окружности, а также
прямые преобразуются в окружности или
в прямые, причем окружность, равно как
и прямая, может преобразоваться либо в
окружность, либо в прямую. Вообще говоря,
инверсия представляет собой антиконформное
отображение.

,

,
т.к.
,
то

(*).

Определение
. Точка

называется симметричной точке

относительно окружности
,
если данные точки лежат на одном луче
и
∙=

(рис. 24). Точки называются симметричными
относительно окружности единичного
радиуса с центром в начале координат,
если они расположены на одном луче, а
произведение длин их радиус-векторов
равно единице.

Следовательно, из
определения и из (*) следует, что функция
отображает
любую точку, лежащую внутри единичного
круга в симметричную ей точку относительного
данной окружности, лежащую вне единичного
круга и обратно, т.е
–
инверсия относительно единичной
окружности.

2) Вторая составляющая
отображения –,
т.е., как было показано выше:
,
а
,
геометрически означает симметрию
относительно действительной оси.

Построение
образа точки.

Построим окружность
с центром в точке О
единичного радиуса (рис. 25). Возьмем
внутри окружности точку z.
Через точки О
и z
проведем луч (b)
и перпендикулярную ему прямую (а).
Через точку пересечения прямой (а)
и окружности построим касательную к
окружности до пересечения с лучом (b).
Это точка
.
Построим симметричную ей точку
относительно оси (Ох).
Эта точка и есть образ точки z
при отображении
.

Вывод:
при отображении, реализуемом функцией
,
происходит инверсия: внутренность
единичного круга отображается в его
внешность и наоборот, при одновременном
симметрическом отображении относительно
оси (Ох).

Замечание 1.
При отображении

окружности и прямые, не проходящие через
точку z
= 0, отображаются в окружности, а окружности
и прямые, проходящие через эту точку, –
в прямые. Прямая считается окружностью
бесконечного радиуса.

Замечание 2.
Обратной к
простейшей дробно-линейной функции
будет функция
,
причем сопряженная функция имеет вид

Замечание 3. Если
бы аргумент не менялся, т.е.
,
то при отображении прообраз переходил
бы в образ, а образ – в прообраз, т.е.
рассматриваемое отображение плоскости
в себя само себе обратно. Такие отображения
называются инволюциями.

Замечание 4. В
некоторых задачах для нахождения образа
данной линии при отображении
удобно
пользоваться следующим правилом: 1)
выразить z
из
,
т.е
,
2) найти
,
3) подставить
и
в
уравнение линии.

Пример .
Найти точку, симметричную точке z
= 1 + i,
относительно
окружности
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #