Как найти точку на комплексной плоскости - AvtoShod.ru

Множества на комплексной плоскости

Расположение точек на комплексной плоскости

Напомним известные из анализа функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать в терминах комплексной плоскости, т.е. точка M(x,y) плоскости — это точка комплексной плоскости.

1. Множество точек , удаленных от заданной точки z_0 на расстояние, меньшее чем заданное число varepsilon , называется ε-окрестностью точки z_0 , будем обозначать ее $O_{varepsilon}(z_0)$ . Используя понятие расстояния между точками плоскости (|z-z_0|) , определение можно записать в виде соотношения:

$O_{varepsilon}(z_0)= bigl{zcolon, |z-z_0|<varepsilonbigr}.$

Очевидно, что геометрически $O_{varepsilon}(z_0)$ — круг с центром в точке z_0 и радиусом .

2. Множество точек , удовлетворяющих неравенству 0<|z-z_0|< varepsilon , образует проколотую окрестность точки $z_0colon, O_{varepsilon}(z_0) setminus z_0$ .

3. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. z_0 — внутренняя точка множества , если z_0in M и exists varepsilon>0 , что $O_{varepsilon}(z_0)subset M$ .

4. Множество, состоящее только из внутренних точек (множество, все точки которого являются внутренними), называется открытым.

5. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки, принадлежащие множеству, и точки, не принадлежащие ему, т.е. z_0 — граничная точка множества , если для forall varepsilon>0 существуют точки z_1 и z_2 , то $z_1in O_{varepsilon}(z_0),~ z_2in O_{varepsilon}(z_0)$ , такие. что z_1in M,~ z_2notin M .

Совокупность граничных точек множества образует границу множества.

Направление обхода границы называется положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе расположена слева.

6. Множество, содержащее все свои граничные точки (множество вместе с границей), называется замкнутым. Оно обозначается overline{M} , то есть overline{M}= Mcup C , где — граница множества M~(C=delta M) .

7. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству.

8. Открытое, связное множество называется областью. Область с присоединенной границей — замкнутая обметь, overline{D}=Dcup C и C=delta D .

9. Область (множество) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой, принадлежащей области, точки множества, границей которого является кривая, также принадлежат области. В противном случае — область многосвязная.

10. Многосвязная область называется n-связной, если ее граница состоит из компонент. Порядок (n) связности многосвязной (n-связной) области определяется числом (n) связных компонент границы области.

На рис. 1.10 приведены геометрические примеры односвязных (n=1) и многосвязных (n=2,~ n=3) областей. Обход границы области указан стрелкой.

11. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество, т.е. ограничено, если exists R>0 , что

$Msubset O_{R}(0)~ bigl(Msubset O_{R}(z_0),~ z_0=0bigr),quad O_{R}(0)= {zcolon, |z|<R}.$

Геометрические примеры односвязных и многосвязных областей

Кривые на комплексной плоскости

На множестве действительных чисел можно обычным образом определить функцию, которая принимает на этом множестве комплексные значения: любому tin T,~ Tsubset mathbb{R} соответствует zin G,~z(t) — комплекснозначная функция действительной переменной.

Например, $z(t)=it+2t,~ z(t)= frac{2-i}{t+i},~ z(t)=frac{i}{t-1}$ — комплекснозначные функции, первые две определены для любого tinmathbb{R} , последняя — для любого tne1 .

Для функции z(t) , так же как для действительной функции действительной переменной, вводится понятие предела в точке, а на его основе — понятия непрерывности, производной, интеграла.

Так как для любого значения из области определения число z(t) является комплексным числом, то, записав его в алгебраической форме z=x+iy , получим, что задание комплексной функции z(t) действительной переменной на некотором множестве Tsubsetmathbb{R} равносильно заданию на этом множестве двух действительных функций x(t)=operatorname{Re}z(t) и y(t)=operatorname{Im}z(t) .

Используя соответствующие определения, нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул:

1. Для непрерывности функции z(t) в точке t_0 необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции x(t)=operatorname{Re}z(t) и y(t)=operatorname{Im}z(t) .

2. $lim_{tto t_0}z(t)= lim_{tto t_0}x(t)+i lim_{tto t_0}y(t)$ .

3. z'(t)=x'(t)+i,y'(t),~ dz=dx+i,dy .

4. $intlimits_{a}^{b}z(t),dt= intlimits_{a}^{b}x(t),dt+ iintlimits_{a}^{b}y(t),dt$ .

Уравнения кривых на комплексной плоскости

Одним из способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание:

$begin{cases}x=x(t),\ y=y(t) end{cases},tin T.$

(1.18)

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые.

Кривая называется гладкой на множестве , если функции x(t),~y(t) имеют на непрерывные производные x'(t),~ y'(t) . Геометрически гладкая кривая характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, причем направление касательной изменяется непрерывно при движении точки по кривой.

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

На рис. 1.11 изображены кривые, которые являются кусочно-гладкими на (a,c) и гладкими на каждом из интервалов (a,b) и (b,c) .

Кусочно-гладкие кривые на интервалах

Из определения функции z(t) , данного выше, следует, что геометрически её задание определяет кривую на плоскости (и обратно): по формуле (1.18) любому значению tin T соответствует точка (x,y) , то есть число z=x+iy .

Следовательно, параметрическое задание кривой в форме (1.18) равносильно заданию z(t)=x(t)+i,y(t) . Равенство

z=z(t),quad tin T

(1.19)

называется уравнением кривой в параметрической форме.

Пример 1.26. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке C(x_0,y_0) , а радиус равен .

Решение

Используем известные параметрические уравнения окружности:

$begin{cases}x=x_0+Rcos{t},\ y=y_0+Rsin{t},end{cases} tin[0;2pi].$

Отсюда получаем $z(t)= x(t)+i,y(t)= x_0+Rcos{t}+i(y_0+Rsin{t})$ или $z(t)=z_0+ R(cos{t}+isin{t})$ , где z_0=x_0+i,y_0 — центр окружности. Используя формулу Эйлера, окончательно запишем уравнение окружности в параметрической форме:

$z(t)= z_0+R,e^{i,t},quad tin[0;2pi].$

(1.20)

Заметим, что если переписать (1.20) в виде $z-z_0=R,e^{it}$ , то получим равенство |z-z_0|=R , которое определяет окружность как геометрическое место точек плоскости (точек ), равноудаленных (на заданное расстояние ) от заданной точки (z_0) . Очевидно, уравнение (1.20) определяет гладкую кривую, что соответствует геометрическому виду этой кривой.

Уравнение плоской кривой, как известно, можно также записать в виде F(x,y)=0 , т.е. соотношения, связывающего декартовы координаты (x,y) точек, принадлежащих этой линии; в частности, y=f(x) — явное задание линии. Но так как пара (x,y) определяет комплексное число z=x+iy , то, выразив и через , можно записать соотношение в комплексной форме. Из z=x+iy и overline{z}=x-iy получаем $x=frac{z+overline{z}}{2}$ и $y=frac{z-overline{z}}{2i}$ . Поэтому равенство

$F!left(frac{z+overline{z}}{2},, frac{z-overline{z}}{2i}right)=0$

(1.21)

есть уравнение кривой на плоскости, записанное в комплексной форме. Используя тригонометрическую форму задания комплексного числа, можно получить и другие виды уравнений кривых на комплексной плоскости.

Пример 1.27. Записать в комплексной форме уравнения: а) прямой; б) окружности.

Решение

а) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax+By+C=0 . Подставляя в это уравнение $x=frac{z+overline{z}}{2}$ и $y=frac{z-overline{z}}{2i}$ , находим

$frac{A}{2}(z+overline{z})- i,frac{B}{2}(z-overline{z})+C=0$ , или $z left(frac{A}{2}-i,frac{B}{2}right)+ overline{z}left(frac{A}{2}+ i,frac{B}{2}right)+C=0$ .

Введя обозначение $frac{A}{2}+ i,frac{B}{2}=M$ , окончательно получим overline{M}z+M overline{z}+C=0 — уравнение прямой в комплексной форме.

б) Используем уравнение окружности в общем виде Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+F=0 . Подставляя в это уравнение $x=frac{z+overline{z}}{2},~ y=frac{z-overline{z}}{2i}$ и $x^2+y^2=z overline{z}$ получаем

$Az overline{z}+ z left(frac{B}{2}-i,frac{C}{2}right)+ overline{z} left(frac{B}{2}-i,frac{C}{2}right)+F=0$ , или, обозначая $M=frac{B}{2}+i,frac{C}{2},~~ Az overline{z}+ overline{M}z+ M overline{z}+F=0$

уравнение окружности в комплексной форме. Заметим, что при A=0 получаем задачу, рассмотренную в пункте «а».

Замечание 1.2. Утверждение, что уравнение прямой на плоскости является частным случаем уравнения окружности на комплексной плоскости имеет более глубокий смысл: прямые как геометрический образ являются частным случаем окружности (их можно рассматривать как окружности «бесконечного» радиуса, R=infty ). Обоснование этого можно получить, используя стереографическую проекцию — геометрическое изображение комплексных чисел (множества overline{mathbb{C}} ) точками на сфере Римана.

Имеет место утверждение: окружности и прямые плоскости при стереографической проекции отображаются в окружности, причем образом окружности является окружность на сфере Римана, не проходящая через точку , а образом прямой — окружность, проходящая через .

Для доказательства используем формулы связи координат точки плоскости mathbb{C} и ее образа на сфере (см. рис. 1.12,а).

Если положить диаметр сферы равным единице (ON=1) и ввести систему координат (xi,eta,varphi) , направив по лучу ось Ovarphi , а плоскость mathbb{C} выбрав за плоскость Oxieta , где ось Oxi , совпадает с , а ось Oeta — с , то, используя коллинеарность векторов и , получим выражение координат точки z(x,y) плоскости через координаты ее образа Z(xi,eta,varphi) на сфере. Эти формулы имеют вид $x=frac{xi}{1-varphi},~ y=frac{eta}{1-varphi}$ .

Подставляем их в уравнение окружности Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0 и учитывая, что точка Z(xi,eta,varphi) лежит на сфере, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению $xi^2+eta^2+left(varphi-frac{1}{2}right)^2=frac{1}{4}$ или xi^2+eta^2+ varphi^2=varphi , после преобразований получаем уравнение плоскости Bxi+Ceta+(A-D)varphi+D=0 . Следовательно, образом окружности является линия пересечения сферы этой плоскостью, т.е. окружность на сфере. При A=0 на плоскости имеем прямую с уравнением Bx+Cy+D=0 ; ее образом на сфере будет окружность

$begin{cases}Bxi+Ceta-Dvarphi+D=0,\ xi^2+eta^2+ varphi^2=varphi, end{cases}$

проходящая через точку , так как координаты точки N(0;0;1) удовлетворяют этой системе.

Аналогично доказывается обратное утверждение: окружностям на сфере, не проходящим через точку , соответствуют окружности плоскости , а окружностям, проходящим через , — прямые.

Пример 1.28. Записать в комплексной форме уравнения: а) координатных осей; б) биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Решение

Пример 1.29. Записать в комплексной форме уравнение:

а) дуги окружности единичного радиуса с центром в начале координат, расположенной в первой четверти;
б) биссектрисы первого координатного угла;
в) отрезка биссектрисы первого координатного угла, где A(1,1) .

Решение

Пример 1.30. Определить вид кривой, заданной комплексным соотношением: a) |z-2|=|z+2i| ; б) |z+3|=|z-5| .

Решение

Пример 1.31. Определить вид кривой, заданной уравнением в комплексной форме:

а) $operatorname{Im}frac{1}{z}=frac{1}{2}$ ; б) $operatorname{Re} frac{1}{overline{z}}=1$ .

Решение

а) Используя правило деления $frac{1}{z}= frac{1}{x+iy}= frac{x-iy}{x^2+y^2}$ , находим $operatorname{Im}frac{1}{z}= frac{-y}{x^2+y^2}$ . Получаем уравнение кривой в действительной форме:

$frac{-y}{x^2+y^2}= frac{1}{2}$ , то есть x^2+y^2+2y=0 , или x^2+(y+1)^2=1 .

Это уравнение окружности радиуса R=1 с центром в точке C(0;-1) .

б) Производим действия, как в предыдущем пункте:

$begin{gathered}operatorname{Re}frac{1}{overline{z}}= operatorname{Re}frac{1}{x-iy}= operatorname{Re}frac{x+iy}{x^2+y^2}= frac{x}{x^2+y^2},\[2pt] frac{x}{x^2+y^2}=1,quad x^2+y^2=x,quad left(x-frac{1}{2}right)^2+y^2=frac{1}{4} .end{gathered}$

В результате получено уравнение окружности радиуса R=1!!not{phantom{|}},2 с центром в точке C(1!!not{phantom{|}},2;0) .

Области на комплексной плоскости

Будем рассматривать области, границы которых состоят из конечного числа кусочно-гладких кривых, в частности простых кривых, т.е. не имеющих точек самопересечения, а также отдельных изолированных точек.

Приведем аналитические выражения для областей простейшего вида, границами которых являются простейшие линии — прямые, окружности.

1. Круг радиуса с центром в точке z_0 задается неравенством |z-z_0|<R . Это — открытое, связное множество, т.е. область. Область — ограниченная, односвязная; ее границей является окружность |z-z_0|=R (рис. 1.12,а). В частности, круг |z-z_0|<varepsilon есть окрестность точки $z_0colon, O_{varepsilon}(z_0)$ . Заметим, что неравенство |z-z_0|leqslant R определяет замкнутую область, т.е. область вместе с границей.

2. Проколотая окрестность точки $z_0colon, O_{varepsilon}(z_0)setminus z_0$ — круг с выброшенным центром задается неравенством 0<|z-z_0|<varepsilon . Это двусвязная, ограниченная область, граница которой состоит из двух компонент — окружности |z-z_0|=varepsilon и точки z_0 (рис. 1.12,б).

3. Окрестность бесконечно удаленной точки определяется как множество точек плоскости , образами которых на сфере Римана являются точки, принадлежащие окрестности точки (см. рис. 1.12,а). Эта окрестность получается отсечением от сферы некоторой области плоскостью, перпендикулярной лучу . Границей этой окрестности на сфере является окружность — пересечение сферы и плоскости. На плоскости этой окружности соответствует также окружность, центр которой, очевидно, находится в точке ; ее уравнение |z|=R . Сферической окрестности точки будет соответствовать часть плоскости, границей которой является окружность |z|=R и которая содержит бесконечно удаленную точку (образ точки ), эта область — внешность круга |z|>R (рис. 1.12,в).

4. Кольцо с центром в точке z_0 , радиус внешней окружности которого и внутренней , задается неравенством r<|z-z_0|<R (рис. 1.12,г). Это — ограниченная, двусвязная область, граница которой состоит из двух окружностей C_1colon,|z-z_0|=R и C_2colon |z-z_0|=r .

5. Верхняя полуплоскость плоскости — множество точек, для которых y>0 , т.е. в комплексной форме operatorname{Im}z>0 (рис. 1.12,д); соответственно operatorname{Im}z<0 — нижняя полуплоскость. Неравенство operatorname{Re}z>0 определяет правую полуплоскость (рис. 1.12,е), operatorname{Re}z<0 — левую полуплоскость. Это односвязные, неограниченные области.

Области на комплексной плоскости

Заметим, что на расширенной комплексной плоскости overline{mathbb{C}} граница односвязной области состоит либо только из одной замкнутой кривой, либо её границей является единственная точка z=infty (область ), или граница не содержит ни одной точки (сама расширенная плоскость overline{mathbb{C}} ).

Замкнутая кривая на overline{mathbb{C}} может быть неограниченной (кривая «проходит» через бесконечно удаленную точку). Например, на рис. 1.12,д границей односвязной области operatorname{Im}z>0 является прямая operatorname{Im}z=0 , которую рассматриваем на overline{mathbb{C}} как окружность радиуса R=infty ; её образом на сфере Римана является окружность (см. замечание 1.2).

Теорема Жордана

Утверждение 1.1. Простая замкнутая непрерывная кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две области.

Если граница — ограниченная кривая, то области называются внутренней и внешней; внутренняя — та из двух областей, которая не содержит бесконечно удаленную точку, внешняя — другая область. Так, на рис. 1.12,в область |z|>R внешность круга; а множество |z|<R — внутренняя часть круга, или просто круг

Пример 1.32. Определить вид множеств, заданных соотношениями:

$bold{1)}~ begin{cases}1<|z|<3,\ operatorname{Im}z<0;end{cases}quad bold{2)}~ begin{cases}|z-i|<1,\ operatorname{Re}z>0;end{cases}quad bold{3)}~ begin{cases} operatorname{Im}frac{1}{z}<-frac{1}{2},\ |arg z|<frac{pi}{2}.end{cases}$

Решение

1) Искомым множеством является пересечение кольца 1<|z|<3 и нижней полуплоскости — нижнее полукольцо (рис. 1.13,а). Это — ограниченная односвязная область.

2) Искомым множеством является пересечение круга |z-i|<1 и правой полуплоскости — правый полукруг (рис.1.13,б). Область ограниченная односвязная.

3) Определяем вид границы множеств — линий $operatorname{Im}frac{1}{z}=-frac{1}{2}$ и $|arg z|=frac{pi}{2}$ . Второе равенство определяет два луча $arg z=-frac{pi}{2}$ и $arg z=frac{pi}{2}$ и, следовательно, мнимую ось. Чтобы определить вид другой линии, запишем уравнение в действительной форме, производя указанные действия с z=x+iycolon

$frac{1}{z}= frac{x-iy}{x^2+y^2}= frac{x}{x^2+y^2}+ i,frac{-y}{x^2+y^2}, qquad operatorname{Im}frac{1}{z}=-frac{y}{x^2+y^2},.$

Поэтому уравнение $operatorname{Im}frac{1}{z}=-frac{1}{2}$ , то есть x^2+y^2=2y , есть уравнение окружности x^2+(y-1)^2=1 , а неравенство $operatorname{Im}frac{1}{z}<-frac{1}{2}$ — круг, который можно записав иначе |z-i|<1 . Ответом является та же область, что и в предыдущем пункте (рис. 1.13,б).

Множества на комплексной плоскости

Пример 1.33. Определить вид множеств, заданных неравенствами:

$bold{1)}~ operatorname{Re}z+operatorname{Im}z>0;qquad bold{2)}~ |operatorname{Re}z|<1;qquad bold{3)}~ begin{cases}|operatorname{Re}z|<1,\ |operatorname{Im}z|<2.end{cases}$

Решение

Для выяснения вида множества в каждом случае сначала определяем вид границы:

1) границей множества является линия operatorname{Re}z+operatorname{Im}z=0 , или x+y=0 , то есть x=-y . Она разбивает плоскость на две полуплоскости — верхнюю (содержит, например, точку ) и нижнюю (не содержит точку ). Условию задачи удовлетворяет верхняя полуплоскость (рис. 1.14,а). На рисунке указан обход границы и точки, принадлежащая множеству. Множество, очевидно, является односвязным и неограниченным;

2) граница области состоит из двух компонент — прямых |operatorname{Re}z|=1 , то есть x=1 и x=-1 . Условие |operatorname{Re}z|=|x|<1 определяет полосу на плоскости (условию удовлетворяет, например, точка z=0 ). На рис. 1.14,б указан обход границы. Множество является неограниченным односвязным;

3) граница области состоит из отрезков прямых x=pm1 и y=pm2 . Контур прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, разбивает плоскость МП два множества: внутреннюю часть и внешнюю. Условию задачи удовлетворяет, например, точка z=0 , поэтому система $begin{cases}|operatorname{Re}z|<1,\ |operatorname{Im}z|<2end{cases}$ , описывает внутреннюю часть прямоугольника (рис. 1.14,в).

Неравенства на комплексной плоскости

Пример 1.34. Записать в виде неравенств множества точек:

а) угла AOB ; б) сектора AOB , если A(sqrt{3};1),~ B(1;sqrt{3}),~ O(0;0) .

Решение

Чтобы получить неравенства, определяющие эти множества, сначала составим уравнения, описывающие их границы:

а) границами множества являются лучи и , уравнения которых i полярных координатах varphi=varphi_1 и varphi=varphi_2 , где $operatorname{tg}varphi_1= frac{y_A}{x_A}= frac{1}{sqrt{3}}$ и $operatorname{tg}varphi_2= frac{y_B}{x_B}= sqrt{3}$ , то есть $varphi_1=frac{pi}{6}$ и $varphi_2=frac{pi}{3}$ . На комплексной плоскости уравнения этих лучей записываются в виде равенств $arg z=frac{pi}{6}$ и $arg z=frac{pi}{3}$ ; область, ими ограниченная, — в виде неравенства $frac{pi}{6}<arg z<frac{pi}{3}$ (рис. 1.15,д);

Записать в виде неравенств множества точек

б) сектор AOB геометрически можно рассматривать как пересечение двух множеств: угла AOB и круга радиуса 2 с центром в начале координат, т.е. множество точек сектора AOB может быть записано системой $begin{cases}|z|<2,\ frac{pi}{6}<arg z<frac{pi}{3}.end{cases}$ . Это множество — ограниченная односвязная область (рис. 1.15,б).

Пример 1.35. Записать в виде неравенств множества, изображенные на рис. 1.16 (области заштрихованы, обход границ указан стрелками).

Примеры множеств на комплексной плоскости

Решение

Как и в предыдущем примере, для каждого случая составим уравнение, описывающие границы множеств:

а) геометрически множество есть первый квадрант с разрезок (выброшенным лучом). Границами множества являются лучи $arg z=0,~ arg z=frac{pi}{2}$ и луч по биссектрисе от точки A(1;1) в бесконечность. Уравнение этого луча можно писать в виде $begin{cases}arg z=frac{pi}{4},\ |z|>sqrt{2}.end{cases}$ .

Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,а, можно описать соотношениями: $0<arg z<frac{pi}{2},~ arg zne frac{pi}{4}$ для точек , у которых |z|>sqrt{2} или $0<arg z<frac{pi}{2},~ znotin begin{cases}arg z=frac{pi}{4},\ |z|>sqrt{2};end{cases}$ .

б) геометрически множество есть верхняя полуплоскость с разрезом по лучу от точки A(0;1) в бесконечность; уравнение луча: $begin{cases}arg z=frac{pi}{2},\ |z|>1. end{cases}$ Следовательно, множество, изображенное на рис. 1.16,б, можно описать соотношениями $operatorname{Im}z>0,~ znotin begin{cases}arg z=frac{pi}{2},\ |z|>1. end{cases}$

в) на рис. 1.16,в изображена верхняя полуплоскость с «выброшенным» полукругом. Точки полукруга описываются системой $begin{cases}|z|<1,\ 0<arg z<pi.end{cases}$

Следовательно, изображенное множество можно описать соотношениями

$operatorname{Im}z>0,qquad znotin begin{cases}|z|<1,\ 0<arg z<pi,end{cases}$ или $begin{cases}|z|>1,\ operatorname{Im}z>0.end{cases}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

При решении геометрических задач используется геометрический смысл модуля комплексного числа, его аргумента, геометрический смысл введенных алгебраических операций и пр. Приведем конкретные примеры.

Пример 1. Какое множество точек на плоскости (z) определяется условием

Решение. Имеем и, стало быть, . По условию или . Последнее неравенство определяет множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой (см. рис.6).

Пример 2. Какое множество точек на плоскости (Z) определяется условием ?

Решение. Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка –1+I и концом – точка z. Угол между этим вектором и осью Ox есть , и он меняется в пределах от до . Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки –1+ I и образующими с осью Ox углы в и
(рис.7).

Пример 3. Какая кривая задается уравнением , где C и A – действительные положительные числа, причем A >C.

Решение. Модуль Есть расстояние между точками Z и – C; — расстояние между точками Z и C. По условию сумма расстояний от точки Z до двух данных точек —C и C есть величина постоянная. Значит, точка Z лежит на эллипсе. Уравнение этого эллипса имеет вид , где
(рис.8).

Пример 4. Какая кривая определяется уравнением ?

Решение. Имеем (см.(1.9)) . По условию или — это окружность (рис.9).

Пример 5. Написать в комплексной форме уравнение прямой .

Решение. Подставляя X и Y по формуле (1.9) в уравнение прямой, получим , или . Обозначив , получим уравнение: — уравнение прямой в комплексной форме.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать следующие соотношения:

А) ; б) ; в) ; г) .

2. Найти:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. Найти действительные решения уравнений:

А) ;

Б) , где A, B – заданные действительные числа, ;

В) .

4. Представить комплексное число в алгебраической форме.

5. Вычислить (X— действительное число).

6. Выделить X и Y через U и V (X,…,V – действительные числа), если .

7. Найти все числа, удовлетворяющие условию .

8. Решить системы уравнений:

А) б)

В) г)

9. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Записать число в тригонометрической и показательной формах:

А) –2; б) 2I; в) ; г) –Z — I; д) 4-3I; е)
ж) ; з) ;

И) .

10. Вычислить:

А) ; б) ; в) ; г) ;

Д) .

11. Найти все значения корней:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

Ж) ; з) ; и); к) ; л) ; м) .

12. Решить квадратные уравнения:

А) ; б) ;

В) .

13. Решить уравнения:

А); б) ; в) ;

Г) ; д) .

14. Найти множества точек на плоскости (Z), определяемые заданными условиями:

А) ; б) ; в) ; г) ;

Д) ; е) ; ж) ;

з) .

15. Какие линии определяются следующими уравнениями:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) ; ж) .

16. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий:

А) координатных осей Ox и Oy; б) прямой Y = X; в) прямой , — действительные числа; г) гиперболы ; д) окружности .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

2.1. Кривые и области на комплексной плоскости

Областью
на комплексной плоскости называют
множество
точек, обладающее следующими свойствами:

вместе
с каждой точкой из
этому множеству принадлежит и достаточно
малый круг с центром в этой точке
(свойство открытости);

любые
две точки
можно соединить кривой, все точки которой
принадлежат(свойство связности).

Приведем
примеры кривых и областей на комплексной
плоскости.

1. Где
расположены точки
,
для которых,
если– фиксированное комплексное число,?

Решение.
Пусть
,.

Тогда

или
.

Это
уравнение окружности с центром в точке
и радиусом.

2. Где
расположены точки
,
для которых,
если,?

Решение.
Так как
,,
то

После
несложных преобразований получим
,
где,,.

Таким
образом, данное равенство определяет
прямую
.

3. Построить
линию
.

Решение.
Так как
,
то данное уравнение примет вид.
Это прямая, проходящая через точкупараллельно оси.

4. Неравенство
определяет верхнюю полуплоскость.

5. Неравенство
определяет круг с центром в точкеи радиусом(рис.2).

6. Неравенство
определяет круг с «проколотым» центром
и радиусом(рис.3).

7. Неравенство
определяет кольцо, ограниченное
окружностями с центром в точке
и радиусами
и(рис.4).

8.Решить:
а) систему уравнений; б), в) неравенства
(геометрически):

а)

б)
;

в)
.

Решение.
а) Перепишем
первое уравнение в виде
.
Множество решений этого уравнения
задаёт окружность радиусом 1 с центром
в точке(см. пример 1). Аналогично находим, что
решением уравненияявляется окружность радиусом 1 с центром
в точке (1+2i).
Решением нашей системы уравнений
являются точки пересечений этих
окружностей.

Запишем
z в алгебраической форме: z = x + yi.

Тогда

Отсюда,
вычитая из первого уравнения второе,
получим
x = 3/2 . Подставив это значение в первое
уравнение, найдём y:;,.
Таким образом, решениями нашей системы
являются числа,.

б) Представление
z
в алгебраической форме приводит нас к
неравенству x

y.
Решением этого неравенства является
замкнутая полуплоскость (заштриховано).

в) Перепишем
неравенство в виде

Решением
этого неравенства является кольцо с
центром в точке

(2,
-3i),
внутренний радиус которого равен 1, а
внешний равен 2 (см. пример 7).

Область
называется ограниченной, если существует
кругтакой, что.

Ограниченная
область называется односвязной, если
любую замкнутую кривую, лежащую в
,
можно непрерывно деформировать в точку,
оставаясь в области.
Примером односвязной области является
область на рис. 2. Области на рис. 3 и рис.
4 не являются односвязными.

Пусть
в области
комплексной плоскостиопределена комплекснозначная функция,
то есть каждой точкепоставлено в соответствие комплексное
число.
Эту функцию можно представить в виде.
Таким образом, комплекснозначную функцию
комплексного переменного можно
рассматривать как пару действительных
функций двух действительных переменных,
и многие свойства действительных функций
естественным образом переносятся на
функции комплексного переменного.

Примеры

Функция
.

Здесь
,.

Функция
.
Здесь,.

–многочлен
степени
с комплексными коэффициентами.

Рациональная
функция
гдеи– многочлены.

Учитывая
формулы Эйлера, функции sin
z
и cos
z
для любого комплексного z
определим равенствами

Отметим,
что все формулы элементарной тригонометрии,
справедливые для действительных x,
остаются справедливыми и при всех
комплексных значениях z.
Кроме того, можно доказать, что уравнения
иимеют решения только прито есть только на действительной оси.
Следовательно, все решения уравнениянаходятся по формулеа все решения уравненияопределяются формулой

Функции
tgz
и ctg
z
для любого комплексного z
определим формулами

Функции
shz,
chz
и
для любого комплексногоz
определим равенствами

Из
определения видно, что
=Таким
образом, свойства функцийинепосредственно
вытекают из свойств функцийsinz,
cosz
и
Отметим
в частности, что все решения уравнениянаходятся по формулеа все решения уравненияопределяются формулой.
Кроме того, функцииинепрерывны на всей комплексной плоскости,
а функциянепрерывна при,
где

Соседние файлы в папке ТФКП

Источник

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Поле комплексных чисел. . Напомним, что комплексными называют числа вида , где и – действительные числа, – мнимая единица. Число называется действительной частью комплексного числа, число – мнимой частью. Вводятся обозначения .

Для комплексных чисел определяют арифметические действия:

Если и , то

В частности, если , то . Если — действительное число, то . Иными словами с выражениями поступают как с многочленами с переменной , при этом считаем, что . В частности, два числа и считаются равными, если и .

Если (т. е. ), то существует обратное к число. Действительно, попробуем найти в виде . Тогда должно выполниться равенство

Вычисляя произведение, получим , откуда и .

В алгебре показывается, что множество комплексных числе с введенными операциями образует поле. Это, в частности, означает, что общие правила действий с комплексными числами такие же как и с вещественными. Это поле обозначается буквой С.

Кроме арифметических операций в С вводится операция сопряжения:

.

Легко проверяется, что и , .

Множество действительных чисел рассматривается как множество всех тех комплексных чисел, для которых мнимая часть равна нулю. Для таких комплексных числе действия совпадают с обычными арифметическими.

Заметим, что

(1.1)

Комплексная плоскость. Комплексные числа естественно изображаются точками на плоскости. Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат и на оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть, то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Тем самым комплексному числу ставится в соответствие точка с абсциссой и ординатой . Точку плоскости можно еще описывать ее радиусом–вектором. Тогда становится ясным, что сложению комплексных чисел отвечает сложение радиусов-векторов, их изображающих.

Легко видеть также, что точки и симметричны относительно оси абсцисс. Ось абсцисс теперь естественно называть действительной осью, поскольку на оси абсцисс лежат вещественные числа.

Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Обозначается она также, как поле комплексных чисел через С.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число иногда удобно записывать в следующей форме

,

где вещественное число строго большее нуля, а некоторое вещественное число. Такая форма записи называется тригонометрической.

Величина в силу периодичности функции и определяется с точностью до целого кратного . Она называется аргументом комплексного числа. Иногда, чтобы подчеркнуть многозначность, ее обозначают через , иногда пишут , помня, что она определяется с точностью до слагаемого вида , где — целое.

Из равенства

и (1.2)

следует, что . Это число называется модулем комплексного числа и обозначается . Геометрически модуль комплексного числа представляет собой расстояние от начала координат до точки с координатами и , то есть длину радиуса-вектора, изображающего на плоскости число

Равенство (1.1) теперь означает, что . Формулу для числа, обратного к можно записать в виде .

Модуль обладает свойствами:

1. (неравенство треугольника)

2.

3. .

Свойства 1 и 3 геометрически очевидны, как только мы изобразим комплексные числа точками плоскости. Обоснование свойства 2 дается ниже.

Рассмотрим вопрос о том, у всякого ли комплексного числа есть тригонометрическая форма и сколькими способами можно записать число в этой форме?

Если на плоскости ввести систему полярных координат , то, как известно из курса аналитической геометрии, декартовы координаты и выражаются через полярные координаты по формулам

,

следовательно, любое комплексное число имеет вид

Значит и . Иными словами аргумент комплексного числа -это угол, образованный радиусом-вектором, идущим из начала координат в точку а модуль – это длина этого радиуса-вектора. То есть для отыскания тригонометрической формы достаточно найти полярные координаты соответствующей точки на комплексной плоскости. Так как для начала координат (нуля) вторая полярная координата (угол) не определяется, то тригонометрическая форма нулевого комплексного числа не рассматривается.

Если каким–то образом получены две тригонометрические формы одного числа, то есть

то очевидно . Поэтому, сокращая равные между собой и , получим

,

или

Из тригонометрии известно, что отсюда следует

для некоторого целого.

Таким образом разные тригонометрические формы могут отличаться только своими аргументами, причем разные аргументы отличаются на слагаемое кратное .

Для чего нужна тригонометрическая форма?

Пусть и Тогда

Таким образом при перемножении комплексных числе их модули перемножаются, а аргументы складываются:

(последнее равенство понимается с точностью до слагаемого , где целое).

В частности, при возведении числа в целую положительную степень, аргумент умножается на показатель степени:

Частным случаем этого равенства при является замечательная формула Муавра

(1.3)

Извлечение корней из комплексных чисел. Корнем -ой степени из комплексного числа называется решение уравнения

. (1.4)

Основное преимущество от введения комплексных чисел состоит в том, что во множестве комплексных числе это уравнение всегда имеет решение, чего как известно, не было, когда мы находились во множестве вещественных чисел. Например, извлечь корень из отрицательного числа во множестве вещественных чисел невозможно. Покажем как можно решить уравнение (1.4).

Если , то решение, очевидно, равно нулю.

Если , рассмотрим число в тригонометрической форме Тогда

и поэтому

и

для некоторого целого

Следовательно, . Поэтому решение уравнения (1.4) равно

где — любое целое число. На первый взгляд получается бесконечное множество корней, соответствующих бесконечному множеству целых чисел . На самом же деле, как известно, при разных числа вида

повторяются при разных , и получается ровно различных комплексных корней вида

при

В частности при получается ровно два корня.

Множества на комплексной плоскости. Если и – точки на комплексной плоскости, то расстояние между ними равно длине вектора, соединяющего и , то есть расстояние между ними равно .

Окрестностью точки радиуса называется множество всех для которых . Геометрически такая окрестность является открытым кругом с центром в и радиусом . В дальнейшем окрестность точки радиуса будем обозначать через .

Множество называется открытым, если каждая его точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Дополнение к открытому множеству называется замкнутым.

Открытое множество называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, целиком лежацей в этом множестве.

Открытое связное множество называется областью. Это понятие является основным для всего курса.

Области часто описываются с помощью неравенств.

ПРИМЕРЫ

1. Im z > 0 — верхняя полуплоскость без вещественной оси.

2. 0 < Re z < 1 — вертикальная бесконечная полоса, лежащая между прямыми x = 0 и x = 1, не включая эти прямые.

3. |z — z0| < r — внутренность круга радиусом r с центром в z0.

4. — внутренность кольца между окружностями и .

5. — внутренность прямого угла, биссектриса которого совпадает с положительной полуосью .

Множество называется ограниченным, если существует такое число , что при всех . Геометрически это означает, что множество лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат. Из всех перечисленных выше примеров только круг из примера 3 является ограниченным множеством.

РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ПРИМЕРОВ

Найти действительную мнимую части следующих комплексных чисел:

; ; .

Решение:

Так как , то . Преобразуем следующим образом:

. Тогда .

Аналогичным образом преобразуем :

. Тогда ,

Найти модули и аргументы комплексных чисел:

; ; ; .

Решение:

. Находим . Отсюда . Таким образом . Для аналогично находим . Поэтому . . Тогда . . Следовательно, . Итак, ; .

Представить в тригонометрической форме число , считая .

Решение:

так как при . Имеем , где , . Таким образом, .

Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

; .

Решение:

Представим число в тригонометрической форме: . По формуле Муавра

Найти все значения следующих корней:

; ; .

Решение:

1. Запишем число в тригонометрической форме: . Тогда , следовательно, .

. Тогда , следовательно, . . Тогда , поэтому .

Функции комплексного переменного. Говорят, что на множестве комплексных чисел определена функция, если каждому числу поставлено в соответствие комплексное число . Если положить , то функцию можно записать в виде . Таким образом, функция задается парой функций, определенных на и принимающих действительные значения. Если положить , то функцию можно записать в виде , и, значит, функция может быть задана парой действительных функций двух действительных переменных.

Комплексная линейная функция. Простейшей является линейная функция

где — комплексное число, неравное нулю. Чтобы найти соответствующую пару действительных функций, расписываем

Источник

Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости

Комплексное число записывается следующим образом $$z = x + iy,$$ где $x = Re z$ действительная часть, а $y = Im z$ мнимая. Для того, чтобы изобразить комплексное число нужно построить оси координат, обозначив горизонтальную $Im z$ и вертикальную $Re z$.

После этого берем значения $x$ и $y$ от данного комплексного числа и отмечаем точки соответствующие осям координат $Re z$ и $Im z$.

Иногда, требудется провести вектор от начала осей координат $(0,0)$ к точке $(x,y)$, что не является обязательным. Обычно так делают, если в условии задачи дано всего одно комплексное число.

Пример 1

Изобразите комплексные числа на комплексной плоскости $$z_1 = 2+3i, z_2 = -1+2i, z_3 = -2i.$$

Решение

Строим комплексную плоскость с действительной и мнимой осью $Re z$ и $Im z$.

Теперь выписываем $x$ и $y$ из заданных комплексных чисел. Для $z_1 = 2+3i$ это будет $x = 2, y=3$. А для $z_2 = -1+2i$ это $x=-1, y=2$. И наконец $z_3 = -2i$ получаем $x=0, y=-2$. Теперь зная $x$ и $y$ мы можем изобразить комплексные числа на комплексной плоскости просто отметив точки.

Ответ

Изображение комплексных чисел построено

Источник

Множества на комплексной плоскости

Расположение точек на комплексной плоскости

Кривые на комплексной плоскости

Уравнения кривых на комплексной плоскости

Области на комплексной плоскости

Теорема Жордана

2.1. Кривые и области на комплексной плоскости

Примеры

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

ПРИМЕРЫ

Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости

Не пропустите также: