НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ
Представим исходный интеграл, как сумму табличных интегралов и найдем функцию:
EQ i(;;f(t3;3)+t2)dt=i(;;f(t3;3))dx+i(;;t2)dt = EQ f(t4;12)+f(t3;3)+C
Подставим значения интеграла 0 и X, получим функцию
F(x) = EQ f(x4+4 x3;12)
Найдем точки экстремума
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f’0(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
EQ yʹ = f(x3;3)+x2
или
EQ yʹ = f(x2·(x+3);3)
Приравниваем ее к нулю:
EQ f(x3;3)+x2 = 0
x1 = 0
x2 = -3
Вычисляем значения функции
f(0) = 0
EQ f(-3) = -f(9;4)
Решение:
EQ fmin = -f(9;4), fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
yʺ = x2+2·x
или
yʺ = x·(x+2)
Вычисляем:
yʺ(0) = 0=0 – значит точка x = 0 точка перегиба функции.
yʺ(-3) = 3>0 – значит точка x = -3 точка минимума функции.
Найдем точки перегиба
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
EQ fʹ(x) = f(x3;3)+x2 или EQ fʹ(x)=f(x2·(x+3);3)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2·(x+3) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -3
EQ (-∞ ;-3) EQ (-3; 0) EQ (0; +∞)
f ‘(x) < 0 f ‘(x) > 0 f ‘(x) > 0
функция убывает
функция возрастает
функция возрастает
В окрестности точки x = -3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -3 – точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
EQ fʺ(x) = f(x2;3)+f(2·x·(x+3);3) или fʺ(x) = x·(x+2)
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
x·(x+2) = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
x2 = -2
EQ (-∞ ;-2) EQ (-2; 0) EQ (0; +∞)
f ”(x) > 0 f ”(x) < 0 f ”(x) > 0
функция вогнута
функция выпукла
функция вогнута
математический-анализ — Найти точки экстремума функции
|
Найти точки экстремума функции заданной как интеграл от 0 до x от функции f(t)=(t(t+2))/((t+1)^(1/3)). |
1 ответ
|
$%(int_0^xfrac{t(t+2)}{(t+1)^{1/3}}dt)’_x=frac{x(x+2)}{(x+1)^{1/3}}.$% Теперь тривиально определяются нули и участки знакопостоянства производной, что позволяет найти экстремумы: $%x=0 -$% минимум, $%$%x=-2-$% минимум. |
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
Связанные исследования
Связанные вопросы
Отслеживать вопрос
по почте:
Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления
по RSS:
Ответы
Ответы и Комментарии
Алгоритм
решения:
-
Берем
некоторое выражение за новую переменную
t. -
Заменяем
dx
по формуле:
. -
Подставляем
в изначальное выражение. -
Делаем
обратную замену.
Советы:
-
Берите
«средние» функции – не простые и не
сложные (Пример: (kx+m)
– простая функция,
— сложная,
— средняя).
-
Старайтесь
брать за t
так, чтобы в итоге все оставшиеся после
замены выражения с х сократились с
. -
Ничего
страшного если взяли за t
не то выражение, возьмите другое.
Примеры:
11.9
.
Решение:
-
t=arctg(x)
-
-
.
11.15
Решение:
-
-
-
.
11.27
Решение:
-
-
-
.
5.4 Определенный интеграл.
Определенный
интеграл высчитывается точно также как
и неопределенный, но в конце мы подставляем
значения пределов интегрирования по
четвертому свойству интегралов.
Пример:
11.54
=
.
5.5 Двойные интегралы.
Двойной
интеграл имеет вид:
,
где D
– пределы интегрирования по х и по у.
Чтобы
решить данный интеграл необходимо взять
поочередно определенный интеграл по
одной переменной, а затем по другой. При
этом стоит учитывать, что если пределы
интегрирования заданы константами, то
нет разницы, какой интеграл сначала
брать: по х или по у, но если один из
пределов задан через переменную, то
необходимо сначала взять интеграл с
переменной в пределах интегрирования.
Примеры:
18.1
Решение:
Запишем
в виде:
Т.е.
мы взяли сначала интеграл по х с пределами
интегрирования по х, а затем по у с
пределами интегрирования у.
18.2
Этот
пример осложнен тем, что один из пределов
интегрирования выражается через
переменную. Возьмем сначала интеграл
по у (т.к. его предел интегрирования
выражается через х), а затем по х:
18.12
Решение:
=
P.S.
Заметьте, что когда мы берем интеграл
от -6х по у, мы получаем -6ху, т.к. считаем,
что в этом случае х – константа (что
аналогично взятию производной от функции
нескольких переменных)
Глава VI. Точки экстремума функции нескольких переменных.
6.1 Локальный экстремум функции.
Для
того чтобы найти точки минимума/максимума
функции необходимо выполнить два
условия:
-
Необходимое
условие. Находим все возможные критические
точки.
Для
этого необходимо приравнять каждую
производную функции по всем переменным
к нулю, а затем решить систему.
-
Достаточное
условие. Находим точки минимума и
максимума.
Теперь
необходимо работать с матрицой Гессе:
Во-первых,
необходимо найти все вторые производные
матрицы и заполнить таблицу.
Во-вторых,
если у нас
>0
либо
<0
в некой критической точке, то перед нами
точка минимума, а если знаки чередуются
(например,
),
то максимума. В ином случае – точки
экстремума нет.
.
P.S.
соответственно, если у нас функция не
от 3х переменных, а от двух, то матрица
Гессе будет 2х2 и
не будет вообще.
Пример:
16.1.
1)
.
Как видно у нас всего одна критическая
точка.
2)
8
max.
Ответ:
(1;2) – точка максимума.
16.17.
-
-
.
Определим
сначала точку
:
—
max.
Теперь
точку
:
—
не является экстремумом.
Ответ:
(-1;-3;-2) – max.
6.2 Локальный условный экстремум.
Отличается
локальный условный экстремум, лишь
некоторыми нововведениями:
Примеры:
Решение:
-
Выразим
х через у и подставим в z:
Теперь найдем критические точки, взяв
производную и приравняв ее к 0.
.
-
Можно
решать через матрицу Гессе, а можно
вспомнить школьный курс:
Отсюда
видно, что в точке у=1,5 – максимум.
Ответ:
— max.
17.24.
Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
в области, ограниченной осями координат
и прямой
.
Решение:
Эта
задача отличается тем, что мы ищем
максимальное и минимальное значение
z,
а не только точки максимума минимума,
это значит, что нужно смотреть чему z
равняется на границах.
-
Найдем
точки экстремума:
и найдем значение z
в этой точке:
-
Сделаем
чертеж области:
И
найдем значения z
в указанных точках:
-
Найдем
критические точки на прямых, ограничивающих
область:
Ось
ОХ:
на оси х
,
значит на этой прямой
,
а значит:
.
Ось
ОУ:
на оси у х=0, значит на этой прямой
,
а значит:
Прямая
:
.
-
Выбираем
минимальное и максимальное значение
z.
Ответ:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Экстремумы функции
С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f’0(x*) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f»0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f»0(x*) < 0
то точка x* — локальный (глобальный) максимум.
Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке [1; 3].
Решение.
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=3 8/81
Ответ: fmin=5/2 при x=2; fmax=9 при x=1
Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±π/3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x=π/3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=-π/3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x2
Наибольший объем цилиндра
Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.
Решение:
Объем цилиндра равен: V = πr2H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.
V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн
и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR2 — 6πh2
dV/dh = 0
2πR2 — 6πh2 = 0 или R2 = 3h2
Откуда
При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.