Как найти тензор матрицы

Время на прочтение
7 мин

Количество просмотров 315K

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

где и — ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Умножим (7) на , а (8)
на и преобразуем их

Введем матрицу

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в ковариантной форме — матрицей-строкой

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

где базисные векторы , как и выше, ненулевые
некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно.

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

и снова введем матрицу

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение
(15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора . То есть, (15) можно переписать

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

Ну а (15) придет к виду

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица становится единичной

Пусть вектор задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

где — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица задает так называемый метрический тензор. Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе
координат СК1 описывается матрицей преобразования , то есть

Подставим (22) в (21)

в последнем выражении

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

где — элементы матрицы . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и
умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

обратное преобразование

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

значит

Зададим угол наклона осей и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

то есть

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах
(25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует…

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, tensor calculus, tensor analysis, or Ricci calculus is an extension of vector calculus to tensor fields (tensors that may vary over a manifold, e.g. in spacetime).

Developed by Gregorio Ricci-Curbastro and his student Tullio Levi-Civita,^[1] it was used by Albert Einstein to develop his general theory of relativity. Unlike the infinitesimal calculus, tensor calculus allows presentation of physics equations in a form that is independent of the choice of coordinates on the manifold.

Tensor calculus has many applications in physics, engineering and computer science including elasticity, continuum mechanics, electromagnetism (see mathematical descriptions of the electromagnetic field), general relativity (see mathematics of general relativity), quantum field theory, and machine learning.

Working with a main proponent of the exterior calculus Elie Cartan, the influential geometer Shiing-Shen Chern summarizes the role of tensor calculus:^[2]

In our subject of differential geometry, where you talk about manifolds, one difficulty is that the geometry is described by coordinates, but the coordinates do not have meaning. They are allowed to undergo transformation. And in order to handle this kind of situation, an important tool is the so-called tensor analysis, or Ricci calculus, which was new to mathematicians. In mathematics you have a function, you write down the function, you calculate, or you add, or you multiply, or you can differentiate. You have something very concrete. In geometry the geometric situation is described by numbers, but you can change your numbers arbitrarily. So to handle this, you need the Ricci calculus.

Syntax[edit]

Tensor notation makes use of upper and lower indexes on objects that are used to label a variable object as covariant (lower index), contravariant (upper index), or mixed covariant and contravariant (having both upper and lower indexes). In fact in conventional math syntax we make use of covariant indexes when dealing with Cartesian coordinate systems frequently without realizing this is a limited use of tensor syntax as covariant indexed components.

Tensor notation allows upper index on an object that may be confused with normal power operations from conventional math syntax. For example, in normal math syntax, , however in tensor syntax a parenthesis should be used around an object before raising it to a power to disambiguate the use of a tensor index versus a normal power operation. In tensor syntax we would write, and . The number in the inner parenthesis distinguishes the contravariant component where the outer parenthesis number distinguishes the power to raise the quantities to. Of course this is just an arbitrary equation, we could have specified that c is not a tensor and known that this particular variable does not need a parenthesis around it to take the quality c to a power of 2, however, if c were a vector, then it could be represented as a tensor and this tensor would need to be distinguished from normal math indexes that indicate raising a quantity to a power.

Key concepts[edit]

Vector decomposition[edit]

Tensors notation allows a vector () to be decomposed into an Einstein summation representing the tensor contraction of a basis vector ( or ) with a component vector ( or ).

Every vector has two different representations, one referred to as contravariant component () with a covariant basis (), and the other as a covariant component () with a contravariant basis (). Tensor objects with all upper indexes are referred to as contravariant, and tensor objects with all lower indexes are referred to as covariant. The need to distinguish between contravariant and covariant arises from the fact that when we dot an arbitrary vector with its basis vector related to a particular coordinate system, there are two ways of interpreting this dot product, either we view it as the projection of the basis vector onto the arbitrary vector, or we view it as the projection of the arbitrary vector onto the basis vector, both views of the dot product are entirely equivalent, but have different component elements and different basis vectors:

For example, in physics you start with a vector field, you decompose it with respect to the covariant basis, and that’s how you get the contravariant coordinates. For orthonormal cartesian coordinates, the covariant and contravariant basis are identical, since the basis set in this case is just the identity matrix, however, for non-affine coordinate system such as polar or spherical there is a need to distinguish between decomposition by use of contravariant or covariant basis set for generating the components of the coordinate system.

Covariant vector decomposition[edit]

variable	description	Type
	vector	invariant
	contravariant components (ordered set of scalars)	variant
	covariant bases (ordered set of vectors)	variant

Contravariant vector decomposition[edit]

variable	description	type
	vector	invariant
	covariant components (ordered set of scalars)	variant
	contravariant bases (ordered set of covectors)	variant

Metric tensor[edit]

The metric tensor represents a matrix with scalar elements ( or ) and is a tensor object which is used to raise or lower the index on another tensor object by an operation called contraction, thus allowing a covariant tensor to be converted to a contravariant tensor, and vice versa.

Example of lowering index using metric tensor:

Example of raising index using metric tensor:

The metric tensor is defined as:

This means that if we take every permutation of a basis vector set and dotted them against each other, and then arrange them into a square matrix, we would have a metric tensor. The caveat here is which of the two vectors in the permutation is used for projection against the other vector, that is the distinguishing property of the covariant metric tensor in comparison with the contravariant metric tensor.

Two flavors of metric tensors exist: (1) the contravariant metric tensor (), and (2) the covariant metric tensor (). These two flavors of metric tensor are related by the identity:

For an orthonormal Cartesian coordinate system, the metric tensor is just the kronecker delta or , which is just a tensor equivalent of the identity matrix, and .

Jacobian[edit]

In addition a tensor can be readily converted from an unbarred() to a barred coordinate() system having different sets of basis vectors:

by use of Jacobian matrix relationships between the barred and unbarred coordinate system (). The Jacobian between the barred and unbarred system is instrumental in defining the covariant and contravariant basis vectors, in that in order for these vectors to exist they need to satisfy the following relationship relative to the barred and unbarred system:

Contravariant vectors are required to obey the laws:

Covariant vectors are required to obey the laws:

There are two flavors of Jacobian matrix:

1. The J matrix representing the change from unbarred to barred coordinates. To find J, we take the «barred gradient», i.e. partial derive with respect to :

2. The matrix, representing the change from barred to unbarred coordinates. To find , we take the «unbarred gradient», i.e. partial derive with respect to :

Gradient vector[edit]

Tensor calculus provides a generalization to the gradient vector formula from standard calculus that works in all coordinate systems:

Where:

In contrast, for standard calculus, the gradient vector formula is dependent on the coordinate system in use (example: Cartesian gradient vector formula vs. the polar gradient vector formula vs. the spherical gradient vector formula, etc.). In standard calculus, each coordinate system has its own specific formula, unlike tensor calculus that has only one gradient formula that is equivalent for all coordinate systems. This is made possible by an understanding of the metric tensor that tensor calculus makes use of.

See also[edit]

• Vector analysis
• Matrix calculus
• Ricci calculus
• Curvilinear coordinates
  • Tensors in curvilinear coordinates
• Multilinear subspace learning
• Multilinear algebra
• Differential geometry

References[edit]

Further reading[edit]

• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Springer. ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S (1951). Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. Wiley. ISBN 0471810525.
• Borisenko, A.I.; Tarapov, I.E. (1979). Vector and Tensor Analysis with Applications (2nd ed.). Dover. ISBN 0486638332.
• Itskov, Mikhail (2015). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, J. R. (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Kay, D. C. (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

External links[edit]

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991–2010). «Introduction to Tensor Calculus» (PDF). Retrieved 17 May 2018.

Вводимые
ниже операции с тензорами во всех случаях
требуют обоснования того, что результатом
каждой из них является также тензор. В
рамках данного курса эти утверждения
предлагаются в качестве упражнений.

Сложение
тензоров

Умножение
тензоров на число

Тензорное
произведение

Свертывание
тензоров

Заметим,
что в последнем равенстве правая часть
— это сумма n
слагаемых, где m
— индекс, по которому выполняется
суммирование, а само данное тензорное
равенство равносильно

скалярным равенствам.

Операция
свертки часто комбинируется с операцией
умножения тензоров. Например, результатом
произведения один раз ковариантного
тензора на один раз контравариантный
с последующей сверткой является
инвариант, представляющий значение
линейного функционала в
.
Действительно,
.
В этом случае говорят, что тензор

свертывается
с тензором
.

Транспонирование
тензоров

Как
уже отмечалось ранее, перестановка
местами любой пары ковариантных (или
пары контравариантных) индексов у
тензора, то есть транспонирования
тензора, вообще говоря, приводит к его
изменению, поскольку в определении
тензора говорится об упорядоченной
системе индексов. При этом новый тензор
будет того же типа, что и исходный.

В
общем случае для группы, состоящей из
N
верхних (или нижних) индексов, существует
N!
различных способов перестановок. Это
означает, что, переставляя данные
индексы, можно построить N!
новых тензоров.

Симметрирование
и альтернирование тензоров

Выделим
у тензора группу, состоящую из N
индексов (либо верхних, либо нижних),
построим путем перестановок индексов
данной группы N!
всевозможных новых тензоров и возьмем
их среднее арифметическое. В результате
мы получим тензор, симметричный по
выбранной группе индексов.

Данная
операция называется симметрированием
тензора по группе индексов.
Группа индексов, по которой выполняется
симметрирование тензора, выделяется
круглыми скобками.

Операция
симметрирования часто комбинируется
с умножением, причем имеет место следующий
порядок действий: сначала умножение, а
потом симметрирование.

Выделим
у тензора группу, состоящую из N
индексов (либо верхних, либо нижних),
построим путем перестановок индексов
данной группы N!
всевозможных новых тензоров, приписав
каждому из них знак
,
где

— число беспорядков в перестановке чисел
,
и возьмем их среднее арифметическое. В
результате мы получим тензор,
антисимметричный по выбранной группе
индексов.

Данная
операция называется альтернированием
тензора по группе индексов.
Группа индексов, по которой выполняется
альтернирование тензора, выделяется
квадратными скобками.

Операция
альтернирования часто комбинируется
с умножением, причем имеет место следующий
порядок действий: сначала умножение, а
потом альтернирование.

Заметим,
что как симметрирование кососимметричного
тензора, так и альтернирование
симметричного дает нулевой тензор.

Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен? +56

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно. Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Рис. 1. Вектор в косоугольных координатах на плоскости

Здесь — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возведение в степень), называемые контравариантные координаты вектора . Геометрически
это можно изобразить так, как показано на рисунке 1. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями (u,v).

Исходя из рисунка 1, длины отрезков OA₁ и OA₂ можно выразить через длины векторов базиса

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси (u, v). Не трудно видеть, что эти проекции определяются соотношениями

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

где и — ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6),

Умножим (7) на , а (8) на и преобразуем их

Введем матрицу

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

Выражение (12) дает связь между ковариантными контрвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы g, зависящей от длин и взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контрвариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контрвариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в коваринатной форме — матрицей-строкой

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора

где базисные векторы , как и выше, ненулевые некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно

В последнем выражении аккуратно раскроем скобки

и снова введем матрицу

и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом

Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение (15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого собраны в матрице g. Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь

что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора . То есть,
(15) можно переписать

Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитрый и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так

здесь j — индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение — если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так

Ну а (15) придет к виду

А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис — декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица g становится единичной

Пусть вектор задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть

И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке 1, и в ней задан вектор своими контрвариантными координатами. Тогда

где — угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора

Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числа измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы g.

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме.

Матрица g задает так называемый метрический тензор. Её вид определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование компонент метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение(20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им

где c — скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе координат СК1 описывается матрицей преобразования , то есть

Подставим (22) в (21)

в последнем выражении

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму

Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора — его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор. То есть теперь мы можем сказать, что тензор — это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса.

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

где — элементы матрицы . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид

Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)

откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Рис. 2. Связь прямоугольных координат с косоугольными.

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном и косоугольном. Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

обратное преобразование

Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты

и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей

значит

Зададим угол наклона осей и вычислим контрвариантные компоненты вектора в косоугольных осях

,

разумеется, имея ввиду что — компоненты матрицы обратного преобразования .

Вместе с вектором необходимо преобразовать и метрический тензор

Ну а теперь вычислим длину вектора в новом базисе

то есть и скалярное произведение и длина вектора инвариантны, то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах (25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом — мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет — мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока — спасибо всем моим читателям за внимание.

Продолжение следует…