Как найти тень в задаче

Геометрическая оптика: тень

Этой статьей я открываю серию статей по геометрической оптике. Все, что нам понадобится – это знания по элементарной тригонометрии: геометрические определения синуса, косинуса, тангенса угла и понятие о подобии треугольников.

Задача 1.

Ученик заметил, что палка длиной 1,2 м, поставленная вертикально, отбрасывает тень длиной 0,8 м. Длина тени от дерева в то же время оказалась ровно в 12 раз больше длины палки. Какова высота дерева?

Так как лучи света мы считаем прямолинейными, то задача сводится к подобию треугольников и определению сходственных сторон.

Тогда для подобных треугольников и запишем отношение сходственных сторон:

Определяем :

Ответ: высота дерева 21,6 м.

Задача 2.

 Уличный фонарь висит на высоте 4 м. Какой длины тень отбросит палка высотой 1 м, если ее установить вертикально на расстоянии 3 м от основания столба, на котором укреплен фонарь?

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и :

Ответ: 1 м.

Задача 3.

Уличный фонарь висит на высоте 3 м от поверхности земли. Тень от палки длиной   м, установленной вертикально на некотором расстоянии от столба в точке А, равна 0,8 м. Когда палку переместили в другую точку В, длина тени оказалась равной 1,2 м. Каково расстояние между точками А и В? Известно, что основание столба и точки А и В лежат на одной прямой.

Сначала рассмотрим первую ситуацию.

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и :

Теперь все то же для второго состояния, когда палку передвинули.

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и :

Расстояние между точками и равно

Ответ: 0,6 м.

Задача 4.

На какой высоте висит уличный фонарь, если тень от вертикально установленной палки высотой 0,9 м имеет длину 1,2 м и при перемещении палки на 1 м от фонаря вдоль направления тени длина тени увеличилась до 1‚5 м?

Задача аналогична предыдущей. Составим отношение сходственных сторон

для треугольников и :

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и :

Приравняем правые части:

Тогда высота подвеса фонаря равна

Ответ: 3,9 м

Задача 5.

 На какой высоте находится аэростат, если с башни высотой он виден под углом над горизонтом, его изображение в озере видно под углом под горизонтом?

От изображения аэростата до поверхности воды такое же расстояние, как и от аэростата до воды.

Тогда

Из треугольника

А из треугольника

Приравняем правые части:

Тогда

Ответ:

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:

ВЫСОТА ФОНАРЯ = K ⋅ (N + L) / L

где K – рост человека, N – расстояние от человека до уличного фонаря, L – длина тени человека.

Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.

Дано: отрезок
[AB]∥V.
Из рис. 12 следует, что обе тени концов
отрезка будут отброшены на фронтальную
плоскость проекций, поэтому на основании
свойства параллельных проекций можно
сделать

вывод:
тень отрезка
прямой,
на параллельную ему плоскость,
равна и параллельна самому отрезку.

Символическая
запись этого вывода выглядит следующим
образом:

а_Т‘
b_Т‘∥а‘
b‘


а_Т‘
b_Т‘
= а‘
b‘

Рис.
12. Тень прямой уровня

4.4. Тень прямой общего положения

Пусть отрезок [AB]
занимает в пространстве общее положение

(рис. 13). Тогда множество лучей,
проходящих через [AB]
образует плоскость общего положения,
следы которой P_H
и P_V
будут являться тенями этого отрезка на
плоскостях проекций H
и V.
Для решения задачи использована мнимая
тень точки B.

Рис.
13. Тени отрезка [AB]

5. Тени плоских фигур

До сих пор нами
рассматривались геометрические образы,
у которых могли быть только падающие
тени. У фигур, ограниченных плоскими
отсеками, наряду с падающими тенями
будут существовать и собственные,
поскольку плоскость – двусторонняя
поверхность.

Рассмотрим отсеки
плоских фигур (треугольника и круга),
соответственно параллельные плоскостям
V
и H.
Очевидно, что при заданном направлении
светового потока,
неосвещенные
стороны отсеков плоскостей на
соответствующих проекциях будут закрыты
оригиналами.

Совокупность
сторон треугольника представляет собой
контур собственной тени. Лучевые
плоскости, проходящие через стороны
треугольника, образуют призматическую
поверхность, которая, пересекая плоскость
V,
образует на ней фигуру, равную данному
треугольнику, поскольку (ABC)∥V.
Построение падающей тени треугольного
отсека показано на рис. 14.

На основании этих
построений можно сделать

вывод:
граница
падающей тени плоской фигуры является
тенью от контура собственной тени этой
фигуры.

Рис.
14. Падающая тень треугольника
Рис. 15. Падающая тень круга

Множество световых
лучей, проходящих через каждую точку
окружности другого плоского отсека,
образуют поверхность эллиптического
цилиндра, которая пересекает плоскость
H
по окружности.

Окружность-оригинал
и падающую тень круга на плоскости H
можно считать параллельными сечениями
светового эллиптического цилиндра. Для
нахождения местоположения падающей
тени следует определить действительную
тень центра данного круга на плоскости
H
(рис. 15).

Аналогичные
рассуждения можно провести для нахождения
падающей тени круга, плоскость которого
параллельна плоскости V
(рис. 16).

Рис.
16.
Тень круга на плоскости V

Вывод:
тень плоской
фигуры, на параллельную ей плоскость,
равна и параллельна одноименной проекции
этой фигуры.

На рис. 17 дан эпюр
плоскости (ABC),
занимающей общее положение. В отличие
от предыдущих примеров определение
теневой стороны плоскости является
самостоятельной задачей.

Для нахождения
собственной тени плоского отсека
поступим следующим образом. Возьмем
случайную точку K(k,
k‘)
внутри треугольного отсека на случайной
прямой, заведомо лежащей в этой плоскости.
Проведем через эту точку прямую,
параллельную направлению S.

Рассмотрим
конкурирующие точки 1=
(2‘),
принадлежащие стороне [AC]
и проведенному лучу.

По горизонтальным
проекциям 1
и 2
решаем вопрос о взаимной видимости
плоской фигуры и прямой, проведенной
через точку K(k,
k‘).

Рис.
17. Определение собственной тени
треугольного отсека

Поскольку точка
на стороне [AC]
находится ближе к наблюдателю она
перекрывает точку на вспомогательной
прямой. Отсюда следует вывод о видимости,
показанной на эпюре.

Рис.
18. Построение падающей тени треугольного
отсека

Все множество
лучей освещает плоскость (ABC)
со стороны, невидимой наблюдателю, в
собственной тени будет находиться
сторона отсека, выделенная на эпюре
цветом.

На приведенном
выше рисунке построена падающая тень
объекта.

Пусть дана плоскость
круга, параллельная плоскости V
(рис. 19).
Собственная тень закрыта оригиналом.
Реальная часть падающей тени на плоскости
V
представляет собой сегмент круга.

Лучевая поверхность
эллиптического цилиндра, проходящая
через окружность данного круга, пересекает
плоскость H
по эллипсу. Поскольку эллипс –
лекальная
кривая ее следует строить по множеству
точек, две из которых являются точками
преломления и лежат на оси X.
Для нахождения случайных точек можно
поступить следующим образом: описать
квадрат вокруг данной окружности и
построить его падающие тени.

Заметим, что точка
А (а,
а‘)
одновременно принадлежит кругу
и
квадрату, поэтому точка а_Т
для
эллипса является искомой. Построение
еще двух случайных точек показано на
чертеже.

Рис.
19. Тень круга на двух плоскостях проекций

Рассмотрим задачи,
связанные с построениями собственных
и падающих теней на плоских фигурах.

З а д а ч а 1

Построить тень
отрезка [MN]
на плоскости (ABC).

Возможны различные
подходы к решению поставленной задачи.
Один из них состоит в том, что можно
построить падающие тени данных оригиналов
на плоскости проекций независимо друг
от друга, а затем применить
способ обратных лучей.
На рис. 20 показаны эти построения. Далее
определены точки 1_Т
и 2_Т
, общие для контура падающей тени
треугольника и прямой, содержащей точки
m_T
и n_T.

По действительным
теням 1_Т
и 2_Т
с помощью
обратных лучей построены точки 1
и 2,
а затем найдена горизонтальная проекция
падающей тени отрезка [MN]
на плоскость данного треугольника. С
помощью линий связи на основании свойства
инцидентности построены все недостающие
фронтальные проекции точек.

Рис.
20. Использование обратных лучей для
решения задачи

Рассмотрим другой
вариант решения задачи. Поскольку в
данной задаче не ставится вопрос о
нахождении падающих теней оригиналов
можно воспользоваться классической
задачей начертательной геометрии
о
пересечении прямой с плоскостью (рис
.21).

Лучевая плоскость,
проходящая через отрезок [MN],
согласно выводам, сделанным ранее,
оставит след на плоскости в виде прямой
линии. Любая прямая определяется парой
несовпадающих точек, которыми можно
считать точки пересечения световых
лучей, проходящих через концы отрезка
[AB].

Для
их нахождения применим алгоритм
классической
задачи:

1. проведем через
световой луч фронтально-проецирующую
плоскость;

(луч,
проходящий
через точку
M,
заключен во
фронтально-проецирующую плоскость P,
а через точку N
– во
фронтально-проецирующую
плоскость
T)

2. построим линию
пересечения данной и вспомогательной
плоскости;

(на
эпюре показаны проекции
(12),
(1‘2‘)
для плоскости
P
и (34)
и
(3‘4‘)
для плоскости
Т)

3. определим искомые
точки пересечением данной и построенной
прямых;

(на
эпюре отмечены их горизонтальные и
фронтальные проекции).

Искомая тень на
плоскости (ABC)
– отрезок [M_ON_O].

Рис.
21. Второй вариант решения задачи

З а д а ч а 2

Построить
тень отрезка [MN]
на плоскости параллелограмма (рис. 22).

Для решения задачи
применим способ обратных
лучей.
Построим падающие тени отрезка [MN]
и параллелограмма.
Поскольку отрезок [AD]

и точка M
принадлежат плоскости H

а
= а_Т
; d
= d_Т
и m
= m_Т.

У падающих теней
данных оригиналов есть общие точки 1_Т

и 2_Т
= 2_ОТ,
по которым с помощью обратных лучей
можно определить проекции искомых точек
и линии пересечения.

Рис.
22. Построение тени от одного объекта на
другой

Заметим, что эту
задачу также можно было решить и другим
способом, изложенным в предыдущей
задаче.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача:
Человек ростом 1,6м стоит на расстоянии 5м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6м. Найдите длину тени человека в метрах.

Решение:
На первый взгляд задача кажется сложной, но сделаем рисунок и сразу все встанет на свои мета.

Стрелочками обозначим человека и фонарь, кто из них кто, я думаю, догадаться не сложно. Далее нарисуем землю коричневым цветом. И последний штрих — это свет фонаря, обозначим его желтым цветом падает он в точку A. Значит AD это и будет тень человека от фонаря. Итак, у нас получился треугольник ABC и отрезок DE, причем DE параллельно BC, так как это человек и фонарь.

Треугольники ADE и ABC — подобны, т.к. имеют общий угол и их основания параллельны.
Составим пропорцию:
DE/BC = AD/AC
DE/BC = AD/(AD+DC)
1,6/3,6 = AD/(AD+5) умножим обе части на (AD+5)*3,6
1,6(AD+5) = AD * 3,6
1,6AD+8 = 3,6AD
8 = 2AD
AD = 4
Таким образом, длинна тени получилась 4 метра.

Ответ: 4.

Всего: 6    1–6

Добавить в вариант

Всего: 6    1–6