Как найти сумму внешних углов n угольника - AvtoShod.ru

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Определение

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

Например, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n},]$

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

∠1 = ∠2 (как вертикальные).

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

Теорема

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

Дано:

$[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

— выпуклый многоугольник,

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

$[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}]$

Доказать:

$[angle 1 + angle 2 + angle 3 + ... + angle n = {360^o}.]$

Доказательство:

$[angle 1 + angle {A_1} = {180^o}]$

(как смежные).

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

Следовательно, сумма всех внешних углов

$[angle 1 + angle 2 + angle 3 + ... + angle n = {180^o} cdot n - {180^o}(n - 2) = ]$

$[ = {180^o} cdot n - {180^o} cdot n + {360^o} = {360^o}.]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов
Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

s = 4d,

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Четырехугольники
Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рис.1 многоугольник М₁ является выпуклым многоугольником, а многоугольник М₂ — невыпуклым.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Рассмотрим выпуклый n-угольник (рис.2,). А_nА₁А₂, А₁А₂А₃, …, А_n-1А_nА₁ — углы этого многоугольника. Найдем их сумму.

Соединим вершину А₁ диагоналями с другими вершинами (рис.2, б). В итоге получим n-2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180⁰, поэтому сумма углов многоугольника А₁А₂…А_n равна (n-2)180⁰.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2)180⁰.

Примечание: Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n — 2)180⁰.

Внешний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — угол, смежный с углом многоугольника. На рис.3 угол OAB внешний угол многоугольника АВСDE смежный с углом ВАЕ.

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А₁А₂…А_n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

180⁰ — А₁ + 180⁰ — А₂ + … + 180⁰ — А_n = n180⁰ — (A₁ + A₂ + … + A_n) = n180⁰ — (n-2)180⁰ = n180⁰ — n180⁰ + 2180⁰ = 360⁰.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360⁰.

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 364,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 365,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 378,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 517,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 856,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 858,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1079,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1129,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

math-public:mnogougolniki

Содержание

Назад — Оглавление — Вперед

Многоугольники.

Ломаная

Определение

Ломаной линией, или короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Виды ломаной

Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой.

Многоугольники

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^circ$.
Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $dfrac{n(n-3)}{2}$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $ncdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $dfrac{n(n-3)}{2}$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $ldots$, $A_{n-1}OA_n$
равна $180^circcdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $angle O=angle 1+angle 2+angle 3+ldots=360^circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^circcdot n-360^circ=180^circcdot(n-2)$.

Теорема

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^circ(n-2)$.

(без доказательства)

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^circ-angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$sumlimits_{n}(180^circ-angle A_n)=ncdot180^circ —
sumlimits_{n}A_n=ncdot180^circ — 180^circcdot(n-2)=360^circ$.

math-public/mnogougolniki.txt

· Последнее изменение: 2022/01/14 17:49 —

mesuslina

Источник

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов

Сумма внешних углов

Сумма углов выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Содержание

Многоугольники.

Ломаная

Определение

Виды ломаной

Многоугольники

Определение

Замечание

Свойство

Доказательство

Определение

Замечание

Свойства выпуклого многоугольника

Доказательство

Докажем первое свойство

Докажем второе свойство

Определение

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Доказательство

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Доказательство

Теорема

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Доказательство

Не пропустите также: