|
|
Сумма ряда с факториалами
|
|
24/01/16 |
|
|
|
|
 |
24.01.2016, 13:20 
|
Otta |
Re: Сумма ряда с факториалами
|
||
09/05/13 |
Добавить и вычесть единицу, например. И вспоминать, чему равна сумма «главного»
|
||
|
|
|||
|
ряда с факториалом в знаменателе.|
iifat |
Re: Сумма ряда с факториалами
|
||
16/02/13 |
|||
|
|
|||
|
|
InfiniteBum |
Re: Сумма ряда с факториалами
|
|
24/01/16 |
И вспоминать, чему равна сумма «главного» Подразумевается равенство
|
|
|
|
|
|
Otta |
Re: Сумма ряда с факториалами
|
||
09/05/13 |
|||
|
|
|||
|
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
$begingroup$
How would you find the sum of the following series.
$frac{k^3+6k^2+11k+5}{(k+3)!}$ as k goes from 1 to infinity
asked Jan 16, 2017 at 3:56
$endgroup$
1
$begingroup$
Hint you can see that it can be weitten as $$frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!}-frac{1 }{(k+3)!} $$ now thats equal to $frac {1}{k!}-frac {1}{(k+3)!} $ also note that $sum _0 ^infty frac {1}{n!}=e $ thus you can now find the answer
answered Jan 16, 2017 at 5:26
Archis WelankarArchis Welankar
15.7k7 gold badges31 silver badges61 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
In a general way, for the series $$sum_{n=1}^{+infty}frac{P(n)}{(n+a)!}text{ with }ain mathbb{N} text{ and }Ptext{ polynomial of degree }k,$$ we can express the numerator $$begin{aligned}&P(n)=A_kunderbrace{(n+a)(n+a-1)ldots}_{ktext{ factors}}+A_{k-1}underbrace{(n+a)(n+a-1)ldots}_{k-1text{ factors}}\&+cdots+A_2underbrace{(n+a)(n+a-1)}_{2text{ factors}}+A_1underbrace{(n+a)}_{1text{ factor}}+A_0,end{aligned}$$ symplify, decompose in sum of series and use $e=sum_{m=0}^{+infty}frac{1}{m!}.$
answered Jan 16, 2017 at 5:46
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Длброго времени суток, посмотрите, пожалуйста, верно ли я решил задачу:
Найти сумму ряда:
[math]sumlimits_{0}^{ infty} (-1)^k frac{(k+1)^2}{k!}[/math]
Ну что ясно, этот ряд сходится, т.к.по признаку Лейбница, т.к. [math]lim_{k to infty} frac{(k+1)^2}{k!} = 0[/math]
Ряд сходится абсолютно, т.к.
[math]lim_{k to infty}frac{(k+2)^2 k!}{(k+1)! (k+1)^2} =frac{(k+2)^2}{(k+1)^3} = 0[/math]
Дальше, расскроем скобки
[math]sumlimits_{0}^{ infty} (-1)^k frac{(k+1)^2}{k!} = sumlimits_{0}^{ infty} (-1)^k frac{(k^2 + 2k +1)}{k!}[/math]
Можно разделить данный ряд на 3 ряда
[math]sumlimits_{0}^{infty}(-1)^k frac{k^2}{k!}[/math]
[math]sumlimits_{0}^{infty} (-1)^k frac{2k}{k!}[/math]
[math]sumlimits_{0}^{infty} (-1)^k frac{1}{k!}[/math]
Начнем с последнего ряда. Найдем его сумму:
[math]S_3 = sumlimits_{0}^{infty} frac{(-1)^k}{k!} =e^{-1}[/math]
Теперь втрой ряд
[math]S_2 = sumlimits_{0}^{infty} (-1)^k frac{2k}{k!} = 2(0+sumlimits_{1}^{infty} (-1)^k frac{k}{k!})=2sumlimits_{1}^{infty} (-1)^k frac{1}{(k-1)!})=-2sumlimits_{0}^{infty}frac{(-1)^{k}}{k!} = -2e^{-1}[/math]
И первый ряд:
[math]S_1 =
sumlimits_{0}^{infty}(-1)^k frac{k^2}{k!} =
0 + sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{k^2}{k!} =
sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{k}{(k-1)!} =
sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{(k-1) + 1}{(k-1)!}=
sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{k-1}{(k-1)!} + sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{1}{(k-1)!} = S_4 + S_5[/math]
[math]S_4 =sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{k-1}{(k-1)!} = 0 +sumlimits_{2}^{infty}(-1)^k frac{1}{(k-2)!} =
sumlimits_{0}^{infty} frac{(-1)^k}{(k)!} = e^{-1}[/math]
[math]S_5 =sumlimits_{1}^{infty}(-1)^k frac{1}{(k-1)!} = -sumlimits_{0}^{infty} frac{(-1)^k}{(k-1)!} = e^{-1}[/math]
И так, сумма нашего ряда выходит:
[math]S = S_1+S_2+S_3 = S_1+S_2+S_4+S_5 = e^{-1}[/math]
Сумма ряда по-шагам
Примеры нахождения суммы ряда
- Сумма степенного ряда
-
x^n/n
-
(x-1)^n
- Факториал
-
1/2^(n!)
-
n^2/n!
-
x^n/n!
-
k!/(n!*(n+k)!)
- Ряд Флинт Хиллз
-
csc(n)^2/n^3
- Ряд обратных квадратов
-
1/n^2
-
1/n^4
-
1/n^6
- Гармонический ряд
-
1/n
- Ряд Гранди
-
(-1)^n
- Знакочередующийся ряд
-
(-1)^(n + 1)/n
-
(n + 2)*(-1)^(n - 1)
-
(3*n - 1)/(-5)^n
-
(-1)^(n - 1)*n/(6*n - 5)
- Ряд Ньютона — Меркатора
-
(-1)^(n + 1)/n*x^n
- Исследовать ряд на сходимость
-
(3*n - 1)/(-5)^n
Что умеет калькулятор суммы рядов?
Вы указываете выражение под знаком сигма, первый член, последний член или бесконечность, если нужно найти предел суммы.
- Находит частичные суммы
- Предел суммы ряда
- Исследует на признаки сходимости:
- Расходимость
- Абсолютная сходимость. Сходящиеся ряды
- Условная сходимость
- Равномерная сходимость
- Необходимое условие сходимости
- Признак сходимости Лейбница
- Признак сходимости Вейерштрасса
- Признак сходимости Абеля
- Признак сходимости Дирихле
- Предельный признак сравнения
- Предельный признак сравнения
- Телескопический признак (Признак сгущения Коши)
- Интегральный признак Коши — Маклорена
- Признак сравнения
- Признак Раабе — Дюамеля
- Поддерживает:
- Функциональный ряд:
С переменными x или z
- Степенной ряд
- Ряд Тейлора
- Ряд Маклорена
- Ряд Фурье
- Тригонометрический ряд
- Ряд Лорана
- Знакочередующийся ряд / Знакопеременный ряд
- Ряд обратных квадратов
- Гармонический ряд
- Ряд Гранди
- Ряд Флинт Хиллз
- Ряд Кемпнера
- Сходящийся ряд
- Расходящийся ряд
- Положительный ряд
- Частичный ряд
- Другие
- Функциональный ряд:
- Находит:
- Сумму ряда
- Численная сумма ряда
- Скорость сходимости ряда
- Радиус сходимости степенного ряда
- Строит графики:
- Частичных сумм
- Предела ряда
Подробнее про Сумма ряда
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^2
- — возведение в квадрат
- x^3
- — возведение в куб
- x^5
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- — число Пи
- e
- — основание натурального логарифма
- i
- — комплексное число
- oo
- — символ бесконечности
вопрос — зачем вы вынесли отдельно расчёт для n = 1, а не использовали его в основном цикле:
double S = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
...
}
а по остальному у вас просто реализована неправильная формула
решите задачу в лоб, не пытайтесь как-то завязаться на предыдущие расчеты:
(-1)^n — это просто (n % 2) ? -1 : 1
x^(2n + 1) — это pow(x, 2*n + 1)
ну а факториал лучше вычислять в отдельной функции — удобнее
не пытайтесь впихнуть все в одно место, меньше ошибок будет и больше понимания кода 
код:
double factorial(const int value) {
if ((value == 0) || (value == 1))
return 1;
double res = 1;
for (int index = 2; index <= value; index ++) {
res *= index;
}
return res;
}
double S = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
S += ((n % 2) ? -1 : 1) * pow(x, 2 * n + 1) / factorial(2 * n);
}