Как найти сумму ряда целых чисел - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Как сложить целые числа от 1 до N?

Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N — наибольшее число ряда.

Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.

Пример:

(100(100+1))/2 = 100(101)/2 = (10100)/2 = 5050

Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

В Рокотов
[278K]

2 месяца назад

Этот вопрос один из самых популярных в школьном образовании, даже несмотря на то, что сейчас на любое действие имеется онлайн калькулятор или иной электронный ресурс с подстановкой данных. Однако, более пригодится все-таки иметь представление о счете в диапазоне самому. Самая удобная формула нахождения суммы последовательного ряда в диапазоне от 1 до какого-то еще числа, назовем его N, такая: S =(n+1)*n/2; где N — наибольшее число ряда. Математику на пальцах не объяснишь, нужны примеры. Возьмем скажем последовательный ряд от единицы до пятнадцати., где нужно найти сумму диапазона от 1 до 15: (1+15)*15/2=120. Теперь стало более понятно. Удачи в будущих свершениях!

-Irinka-
[282K]

2 месяца назад

Для того, чтобы облегчить жизнь — сделать расчеты более быстрыми и легкими, необходимо знать и пользоваться формулами.

Для того, чтобы быстро и легко рассчитать сумму чисел, не производить сложение чисел в ручную, стоит воспользоваться формулой.

Данная формула проверена ниже в ответе.

В данной формуле буквой n обозначено максимальное число в данном ряду.

Для того, чтобы понять формулу, можно произвести наглядный рассчет. За n условно возьмём число 6. Теперь подставляем зга, гения в формулу.

S = 6×(6+1)/2 = 42/2 = 21.

Теперь произведём сложение чисел последовательно без использования формулы.

S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.

Данные расчёты доказывают, что формула рабочая и ч её помощью произвести расчёт быстрее.

Extrimal
[148K]

2 месяца назад

В математике данный вопрос можно встретить довольно часто. Многие считают, что это проще сделать вручную, складывая числа друг с другом по очереди. Однако если речь идет о больших числах, например если N=100, то проще воспользоваться формулой.

Формула следующая Сумма равна (n+1) умножаем на n и делим на 2. Пробуем вычислить сумму, если n равно 100.

101*100/2 получаем 5050.

КорнетОболенский
[162K]

2 года назад

Имеем ряд натуральных чисел. Первое число в ряду — единица, последнее N. Их сумму можно вычислить по формуле

Для примера рассмотри сумму первых 10 натуральных чисел. В формулу вместо N поставим 10. Получим 10*(10+1)/2 = 55.

Проверить несложно, посчитав эту сумму вручную.

Сергей11110
[19.3K]

3 года назад

На самом деле, можно заметить, что ряд натуральных чисел образует арифметическую прогрессию с шагом 1.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой:

S = (a1+an)*n/2;

a1 = 1, а значит S = (n+1)*n/2

Это и есть сумма первых n натуральных чисел. Есть еще много способов ее посчитать, к примеру, написать программу на языке программирования (примерный код прилагаю):

program a;

var

sum, i, n:longint;

begin

sum = 0;

read(n);

for i:=1 to n do begin

sum:=sum+i;

end;

writeln(sum);

end.

Это код на языке программирования «Паскаль».

Думаю, есть еще много способов посчитать сумму n первых натуральных чисел, но основные я перечислил.

Просвет
[4.1K]

7 лет назад

Целые числа — это все числа, которые не дробные и не имеют десятично части, то есть 1, 2, 3, 10, 14, и так далее. Чтобы узнать их сумму, нужно ввести такой процесс с циклом:

1.. Задается N.

A=0

S=0

2.. От 1 до N делать

A=А+1

S=S+A

В результате вы получите окончательный ответ S — сумма. (Вводить можно в паскале)

MarkTolkien
[85.3K]

6 лет назад

Задача сложить ряд чисел от единицы до N не так сложна, но она требует слишком много времени. Упростить задачу призвана довольно простая формула: (N * (N + 1)) / 2 .

Проверить формулу можем на простом примере вычисления суммы чисел от 1 до 5.

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

По формуле получаем 5 * (5 + 1) / 2 = 15.

Чосик
[208K]

более года назад

В данном примере мы обозначаем сумму чисел как S, а N — будет числом, до которого будет идти счет. То есть, N является самым большим числом среди всех. Рассчитываем сумму по формуле:

Проверить правильность решения можно на малом числе. Допустим, N = 7. Можно просчитать сумму от 1 до 7. Выходит S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Теперь решим по формуле. S = 7 * (7+1)/ 2 = 7*8/2 = 56/2 = 28

владсандрович
[766K]

более года назад

Если у нас идут натуральные числа вряд. При этом первым числом будет цифра 1, а последним N, то есть неизвестное. Тогда сумма их вычисляется вот такой вот формулой: (N * (N + 1)) / 2 .

К примеру у вас в сумме идут 5 натуральных чисел. В формуле вместо N должна быть цифра 5. В итоге рассчитываем все так 5*(5+1)/2 =15.

Степан БВ
[41.2K]

2 месяца назад

Сложить целые числа от 1 до N можно по формуле суммы арифметической прогрессии:

S = (N * (N + 1)) / 2

где S — сумма чисел от 1 до N, N — последнее число в ряду.

Например, если нужно сложить числа от 1 до 10, то

S = (10 * (10 + 1)) / 2 = 55

Таким образом, сумма чисел от 1 до 10 равна 55.

Natasha145
[17K]

7 лет назад

Это арифметическая прогрессия. Формула суммы N — первых членов такава:

Знаете ответ?

Источник

Например: от 1 до 5 // 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

задан 18 апр 2019 в 11:09

Можно так

/**
 * Функция находит сумму последовательности чисел используя рекурсию
 * @param begin начало
 * @param end конец
 */
const sequenceSum = (begin, end) => {
        
    if(begin == 0 && end == 0){
        return 0;
    }else if(begin == end){
        return begin;
    }else if(begin > end){
        return NaN;
    }    
    return begin + sequenceSum(begin + 1, end);            
};

console.log('Сумма чисел: ', sequenceSum(1,5)); // 15

ответ дан 18 апр 2019 в 11:12

Существует особый вид рекурсии — хвостовая рекурсия. Такая функция в некоторых случаях эффективнее обычной рекурсивной функции.

const sumOfSequences = (begin, end) => {
  const iter = (counter, acc) => {
    if (counter === end) {
      return acc + counter;
    }
    return iter(counter + 1, acc += counter);
  };

  return iter(begin, 0);
};

console.log(sumOfSequences(1, 10200));

ответ дан 18 апр 2019 в 11:55

Рекурсия

function sum(num) {
    if (num == 0) {
      return 0;
    } else {
      return (num + sum(num - 1));
    }
}

console.log(sum(5)); // 15

ответ дан 18 апр 2019 в 11:21

AlexyAlexy

9032 золотых знака8 серебряных знаков19 бронзовых знаков

const sequenceSum = (begin, end) => {
  if (begin > end) {
    return NaN;
  } else if (begin === end) {
    return begin;
  } else {
    return begin + sequenceSum(begin + 1, end) /*Функция будет вызвана столько раз, пока begin === end */
  }
}

ответ дан 25 янв 2022 в 15:24

Евгений КолмакЕвгений Колмак

4732 золотых знака3 серебряных знака13 бронзовых знаков

Источник

Download Article

An arithmetic sequence is a series of numbers in which each term increases by a constant amount. To sum the numbers in an arithmetic sequence, you can manually add up all of the numbers. This is impractical, however, when the sequence contains a large amount of numbers. Instead, you can quickly find the sum of any arithmetic sequence by multiplying the average of the first and last term by the number of terms in the sequence.

1
Make sure you have an arithmetic sequence. An arithmetic sequence is an ordered series of numbers, in which the change in numbers is constant.^[1] This method only works if your set of numbers is an arithmetic sequence.
- To determine whether you have an arithmetic sequence, find the difference between the first few and the last few numbers. Ensure that the difference is always the same.
- For example, the series 10, 15, 20, 25, 30 is an arithmetic sequence, because the difference between each term is constant (5).
2
Identify the number of terms in your sequence. Each number is a term. If there are only a few terms listed, you can count them. Otherwise, if you know the first term, last term, and common difference (the difference between each term) you can use a formula to find the number of terms. Let this number be represented by the variable .
- For example, if you are calculating the sum of the sequence 10, 15, 20, 25, 30, , since there are 5 terms in the sequence.
Advertisement
3

Identify the first and last terms in the sequence. You need to know both of these numbers in order to calculate the sum of the arithmetic sequence. Often the first numbers will be 1, but not always. Let the variable $a_{{1}}$ equal the first term in the sequence, and $a_{{n}}$ equal the last term in the sequence.

1
Set up the formula for finding the sum of an arithmetic sequence. The formula is $S_{{n}}=n({frac {a_{{1}}+a_{{n}}}{2}})$ , where $S_{{n}}$ equals the sum of the sequence.^[2]
- Note that this formula is indicating that the sum of the arithmetic sequence is equal to the average of the first and last term, multiplied by the number of terms.^[3]
2
3

Calculate the average of the first and second term. To do this, add the two numbers, and divide by 2.^[5]
4

Multiply the average by the number of terms in the series. This will give you the sum of the arithmetic sequence.^[6]

1

Find the sum of numbers between 1 and 500. Consider all consecutive integers.
2

Find the sum of the described arithmetic sequence. The first term in the sequence is 3. The last term in the sequence is 24. The common difference is 7.
3

Solve the following problem. Mara saves 5 dollars the first week of the year. For the rest of the year, she increases her weekly savings by 5 dollars every week. How much money does Mara save by the end of the year?

Add New Question

Question

How can I determine whether the sequence is arithmetic?

A sequence is arithmetic if there is a constant difference between any term and the terms immediately before and after it: for example, if each term is 7 more than the term before it.
Question

Why do I need to divide by 2?

You do this so that you can find the average of the two numbers. For example, if you were finding the average between 7, 12, and 8, you would add them up (27) and divide them by the number of values you have. In this case, you have three numbers, so you’d divide 27 by 3 to get an average of 9. In the case of the sum of an arithmetic sequence, you have two numbers that you are finding the average of, so you divide it by the amount of values you have, which is two.
Question

What is the sum of all integers from 1 to 50?

LyKaxandra Caimoy

Community Answer

You will find that 1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 (and so on). Multiply the sum, which is 51, by half of the last term. You have the equation 51 × 25 = 1275. The sum is therefore 1275.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To find the sum of an arithmetic sequence, start by identifying the first and last number in the sequence. Then, add those numbers together and divide the sum by 2. Finally, multiply that number by the total number of terms in the sequence to find the sum. To see example problems, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 605,421 times.

Did this article help you?

Источник

Содержание:

Понятие суммы ряда
Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Понятие суммы ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

где — целые числа.

План решения. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.

где

1. По условию задачи

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. где — натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3. Находим -ю частичную сумму ряда:

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

и записываем ответ.

Пример:

Найти сумму ряда

Решение:

1. Корни знаменателя и различаются на целое число, т.е. Следовательно, члены последовательности частичных сумм ряда легко найти, так как в выражении многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

и выписываем несколько членов ряда:

3. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим -ю частичную сумму ряда:

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

Ответ:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится. Если , ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами

2. Делаем в исходном ряде замену , получим степенной ряд

с областью сходимости .

3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно,

6. Вычисляем интеграл, делаем замену на и записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

В граничных точках при ряд расходится, при ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех .

2. Сделаем замену Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке , то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех .

6. Заменяя на , получаем при

Ответ.

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Если , ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

6. Вычисляем производную и делаем замену на . Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Пример:

Найти сумму ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством . Отсюда . В граничных точках ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале .

2. Делаем в исходном ряде замену и записываем его в виде суммы двух рядов

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Следовательно, при всех .

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

Таким образом,

Заменяя на , получим

Ответ.

Лекции:

Метод Якоби
Метод интегрирования
Свойства функций, имеющих конечный предел
Дифференциал длины дуги кривой. Формула парабол
Дифференциальное уравнение Бернулли
Область сходимости ряда
Метод Ритца
Разложение в ряд фурье функций
Построение графиков функции с помощью производной
Формулы двойного угла

Источник

Загрузить PDF

Если вы готовитесь к тестированию или просто хотите научиться быстро складывать числа, запомните, как суммировать целые числа от 1 до . Так как вы собираетесь складывать целые числа, вам не придется беспокоиться о дробях (обыкновенных и десятичных). Просто решите, какой формулой воспользоваться. Затем подставьте данное целое число вместо и найдите ответ.

1
Определите арифметическую последовательность. Посмотрите на ряд чисел, которые вы хотите сложить. Чтобы воспользоваться формулой для суммирования целых чисел, убедитесь, что ряд чисел действительно является последовательностью, то есть каждое число возрастает на одну и ту же величину.^[1]
- Например, ряд чисел 5, 6, 7, 8, 9 представляет собой последовательность, как и ряд 17, 19, 21, 23, 25.
- Ряд чисел 5, 6, 9, 11, 14 не является последовательностью, потому что числа возрастают на разные величины.
2
3
Найдите количество складываемых целых чисел. Чтобы суммировать целые числа от начального числа до , необходимо найти общее количество складываемых чисел. Например, если вы хотите сложить целые числа от 1 до 200, общее количество чисел вычисляется так: 200+1 = 201.^[2]
- Например, если нужно найти сумму целых чисел от 1 до 12, количество чисел: 12+1 = 13.
4
Найдите сумму целых чисел между двумя целыми числами, которые в расчете не участвуют. В этом случае вычтите 1 из .^[3]
- Например, чтобы найти сумму целых чисел между 1 и 100, вычтите 1 из 100 и получите 99.
Реклама

1
2
3
4
Пользуйтесь представленными формулами, чтобы найти сумму. Когда вы подставили нужно число в формулу, умножьте его на себя, прибавьте 1, 2 или 4 (в зависимости от формулы), а затем разделите результат на 2 или 4. ^[7]
- Пример 1: 100*101/2 = 10100/2 = 5050.
- Пример 2 (с четными числами): 20*22/4 = 440/4 = 110.
Реклама