Вначале вспомним основные определения темы. Рассмотрим одно из основных действий. Разберемся в том, как проводится данная операция.
Это прямоугольная таблица каких-либо элементов (ими могут быть числа, буквы, другие объекты).
Она состоит из некоторого числа строк и столбцов, которые образуют размер матрицы. При этом сначала указывают на количество строк, а затем на количество столбцов.
A=(2153)A=begin{pmatrix}2&1\5&3end{pmatrix} имеет размер «два на два», поскольку состоит из 2 строк и 2 столбцов.
B=(349279382143)B=begin{pmatrix}3&4&9\2&7&9\3&8&2\1&4&3end{pmatrix} имеет размер «четыре на три», поскольку состоит из 4 строк и 3 столбцов.
Онлайн-калькулятор
Сложение матриц
Складываем только те матрицы, которые имеют одинаковый размер.
Сложить матрицу «семь на пять» можно только с матрицей «семь на пять», а матрицу «шесть на шесть» только с матрицей «шесть на шесть». Поэтому невозможно найти сумму матриц «пять на семь» и «два на три».
При сложении матриц M и N суммируются их соответствующие элементы. Первый элемент новой матрицы получается сложением первого элемента матрицы M с первым элементом матрицы N, второй элемент новой матрицы — сложением второго элемента матрицы M со вторым элементом матрицы N. Также поступаем с остальными элементами.
Найдем сумму M=(m11m12m21m22)M=begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}end{pmatrix} и N=(n11n12n21n22)N=begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\n_{21}&n_{22}end{pmatrix}.
M+N=(m11m12m21m22)+(n11n12n21n22)=(m11+n11m12+n12m21+n21m22+n22)M+N=begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}end{pmatrix}+begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}\n_{21}&n_{22}end{pmatrix}=begin{pmatrix}m_{11}+n_{11}&m_{12}+n_{12}\m_{21}+n_{21}&m_{22}+n_{22}end{pmatrix}.
Пример 1
Найдем сумму C=(1375)C=begin{pmatrix}1&3\7&5end{pmatrix} и D=(2698)D=begin{pmatrix}2&6\9&8end{pmatrix}.
C+D=(1375)+(2698)=(1+23+67+95+8)=(391613)C+D=begin{pmatrix}1&3\7&5end{pmatrix}+begin{pmatrix}2&6\9&8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+2&3+6\7+9&5+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&9\16&13end{pmatrix}.
Пример 2
Найдем сумму E=(105974)E=begin{pmatrix}1&0\5&9\7&4end{pmatrix} и F=(35−4108)F=begin{pmatrix}3&5\-4&1\0&8end{pmatrix}.
E+F=(105974)+(35−4108)=(1+30+55+(−4)9+17+04+8)=(1+30+55−49+17+04+8)=(45110712)E+F=begin{pmatrix}1&0\5&9\7&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}3&5\-4&1\0&8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+3&0+5\5+(-4)&9+1\7+0&4+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+3&0+5\5-4&9+1\7+0&4+8end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&5\1&10\7&12end{pmatrix}.
Так выполняется сложение матриц любого размера.
Помощь с выполнением контрольной работы по алгебре и другим предметам от профильных экспертов!
Тест по теме “Сложение матриц”
Что такое сложение матриц? Как находить сумму двух и более матриц? Все это вы узнаете прочитав данную статью.
Определение: Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством:
Таким образом, сложение 2 и более матриц, сводиться к сложению их элементов.
Примеры с решением на нахождение суммы матриц
Рассмотрим несколько примеров на поиск суммы матриц.
Пример: Найти сумму двух матриц A и B, если
Таким образом, чтобы найти сумму двух матриц A и B нам нужно найти сумму элементов матриц.
В следующем примере найдем сумму матриц размерность 4 на 2.
В следующем примере нам нужно найти сумму матриц A, B и C.
Свойства операции сложения матриц
- Сложение матриц коммутативно, то есть A+B=B+A
- Сложение матриц ассоциативно, то есть (A+B)+C=A+(B+C)
Сложение и вычитание матриц
Сложение матриц $ A $ и $ B $ это арифметическая операция, в результате которой, должна получаться матрица $ C $, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:
$$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$
Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:
$$ A + B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} + begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$
$$ = begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} end{pmatrix} = C $$
Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!
В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.
Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы $ C $ получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц $ A $ и $ B $:
$$ c_{ij} = a_{ij} — b_{ij} $$
Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:
$$ A — B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} — begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$
$$ = begin{pmatrix} a_{11} — b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} end{pmatrix} = C $$
Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами
Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).
Свойства
- Если матрицы $ A,B,C $ одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
- Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая $ O $, при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется: $$ A pm O = A $$
- Для каждой ненулевой матрицы $ A $ есть противоположная матрица $ (-A) $ сумма с которой обращается в нуль: $$ A + (-A) = 0 $$
- При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы $ A $ и $ B $ можно менять местами: $$ A + B = B + A $$ $$ A — B = B — A $$
Примеры решений
| Пример 1 |
|
Сложить матрицы, затем вычесть. $ A = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} $ и $ B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} $. |
| Решение |
|
Первым делом проверяем матрицы на размерность. У матрицы $ A $ размерность $ 2 times 2 $, у второй матрицы $ B $ размерность тоже $ 2 times 2 $. Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию. Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц $ A text{ и } B $. $$ A + B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$ $$ = begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 + (-3) \ -1 + 2 & 4 + 5 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 9 end{pmatrix} $$ Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака «плюс» на «минус»: $$ A — B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$ $$ = begin{pmatrix} 2 — 1 & 3 — (-3) \ -1 — 2 & 4 — 5 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 6 \ -3 & -1 end{pmatrix} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ A + B = begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 9 end{pmatrix}; A — B = begin{pmatrix} 1 & 6 \ -3 & -1 end{pmatrix} $$ |
| Пример 2 |
|
Сложить и вычесть матрицы. $ A = begin{pmatrix} 2&3&-1 \ -1&4&2 end{pmatrix} $ и $ B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 \ -2&4 end{pmatrix} $. |
| Решение |
|
Как обычно сначала проверяем матрицы на одинаковую размерность. Для матрицы $ A (2times 3) $ , а у матрицы $ B (3times 2) $. Видим, что размерности двух матриц не совпадают, поэтому по определению суммы и разности матриц операции провести не возможно! На этом заканчиваем решение данного примера и записываем ответ. |
| Ответ |
| Данные матрицы нельзя складывать и вычитать из-за разного размера |
На данной странице калькулятор поможет сложить или вычесть две матрицы онлайн с подробным решением. Для расчета задайте целые или десятичные числа.
Складываются и вычитаются матрицы, у которых количество строк и столбцов одинаково.
Сложение матриц
Что бы сложить две матрицы нужно сложить их элементы aij + bij=сij.
${left(begin{array}{r}1 & 2 \ 2 & 4 end{array}right) + left(begin{array}{r}1 & 3 \ 4 & 7 end{array}right) = left(begin{array}{r}1+1 & 2+3 \ 2+4 & 4+7 end{array}right)=left(begin{array}{r}2 & 5 \ 6 & 11 end{array}right)}$
Вычитание матриц
Что бы вычесть две матрицы нужно вычесть их элементы aij — bij=сij.
${left(begin{array}{r}1 & 2 \ 2 & 4 end{array}right) — left(begin{array}{r}1 & 3 \ 4 & 7 end{array}right) = left(begin{array}{r}1-1 & 2-3 \ 2-4 & 4-7 end{array}right)=left(begin{array}{r}0 & -1 \ -2 & -3 end{array}right)}$
Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание матриц
Используя этот онлайн калькулятор для сложения и вычитания матриц, вы сможете очень просто и быстро найти сумму двух матриц или разность двух матриц.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для сложения и вычитания матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на сложение и вычитание матриц, а также закрепить пройденный материал.
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.