Как найти сумму кубов нечетных чисел от - AvtoShod.ru

У меня есть симпатичная картинка, но по-видимому, не имеющая отношения к вопросу Бодигрима

Выложить ее здесь я не сумею, а на словах она выглядит так:
Рисуем окружности, символизирующие треугольные числа.
Соединяем центры окружностей. Получаем треугольники, которые символизирую квадрат соответствующего числа.
Т.е. количество маленьких треугольников в $n$ рядах, начиная сверху, равно $n^2$ .

Если полученные треугольники мысленно представить, как вид сбоку объемной правильной четырехугольной пирамиды, то маленькие треугольники будут символизировать строительный элемент — пирамидальный кирпичик (пирамидка). Кроме таких кирпичиков для заполнения пустот понадобятся строительные элементы в виде тетраэдров с гранями, равными граням пирамидок (их объем равен половине объема пирамидок). Кто обладает хорошим объемным воображением может представить себе технологию строительства таких пирамид, но в условиях антигравитации — сверху-вниз.

Сами же пирамиды символизируют $n^3$ . Т.е. в первом слое 1 пирамидка — это $1^3$ .
При строительстве второго слоя ставим 4 пирамидки квадратом. Между ними вставляем перевернутую пятую пирамидку. Пустоты заполняем четырьмя тетраэдрами.
Итого имеем объем второго слоя, равный объему $5+dfrac{4}{2}=7$ пирамидок.
Построив двухслойную пирамиду, получаем ее объем, равный объему пирамидок и т.д.

— Пн окт 12, 2009 20:36:28 —

Кстати, если шары уложить в виде четырехугольной пирамиды, то получаем кучку в виде суммы квадратов.
Но что с этой кучкой можно сделать для доказательства того, что хотел Бодигрим

, пока не придумал.

— Пн окт 12, 2009 20:42:46 —

Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $sum_{k=1}^n k^3 = {left(sum_{k=1}^n kright)}^2$ — неужели настолько «геометрическое» утверждение не позволяет «геометрического» же доказательства?

Бодигрим

, так Вам надо, по-видимому, для сумм кубов?

Источник

Задача:
Посчитать сумму кубов нечетных чисел от 1 до 100

Решение:

1	print(sum(i ** 3 for i in range(101) if i % 2 == 1))

Источник

Сумма кубов нечетных натуральных чисел

Канал видеоролика: Valery Volkov

Смотреть видео:

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Сумма квадратов натуральных чисел

Valery Volkov

Сумма натуральных чисел равна -1/12?

Valery Volkov

#60 Урок 21. Сумма и разность кубов. Формулы сокращенного умножения. Алгебра 7 класс.

Math

Сумма и разность кубов. Алгебра 7 класс. Разложение на множители.

Математика для всех

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

08.10.2019

Комментарии

RSS

Написать комментарий

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Ваше имя:

Загрузка…

Источник

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

Given a number n, find sum of first n odd natural numbers.

Input  : 2
Output : 28
1^3 + 3^3 = 28

Input  : 4
Output : 496
1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 = 496

A simple solution is to traverse through n odd numbers and find the sum of cubes.

C++

#include <iostream>

using namespace std;

int cubeSum(int n)

{

int sum = 0;

for (int i = 0; i < n; i++)

sum += (2*i + 1)*(2*i + 1)*(2*i + 1);

return sum;

}

int main()

{

cout << cubeSum(2);

return 0;

}

Java

public class GFG

{

public static int cubesum(int n)

{

int sum = 0;

for(int i = 0; i < n; i++)

sum += (2 * i + 1) * (2 * i +1)

* (2 * i + 1);

return sum;

}

public static void main(String args[])

{

int a = 5;

System.out.println(cubesum(a));

}

Python3

def cubeSum(n):

sum = 0

for i in range(0, n) :

sum += (2 * i + 1) * (2 * i + 1) * (2 * i + 1)

return sum

print(cubeSum(2))

C#

using System;

public class GFG

{

public static int cubesum(int n)

{

int sum = 0;

for(int i = 0; i < n; i++)

sum += (2 * i + 1) * (2 * i +1)

* (2 * i + 1);

return sum;

}

public static void Main()

{

int a = 5;

Console.WriteLine(cubesum(a));

}

PHP

<?php

function cubeSum($n)

{

$sum = 0;

for ($i = 0; $i < $n; $i++)

$sum += (2 * $i + 1) *

(2 * $i + 1) *

(2 * $i + 1);

return $sum;

}

echo cubeSum(2);

?>

Javascript

<script>

function cubeSum( n)

{

let sum = 0;

for (let i = 0; i < n; i++)

sum += (2*i + 1)*(2*i + 1)*(2*i + 1);

return sum;

}

document.write(cubeSum(2));

</script>

Output :

Complexity Analysis:

Time Complexity: O(n), as we are using a single traversal in the cubeSum() function.

Space Complexity:O(1)

An efficient solution is to apply the below formula.

sum = n^{2(2n2 - 1)}

How does it work? 

We know that sum of cubes of first 
n natural numbers is = n²(n+1)² / 4

Sum of first n even numbers is 2 *  n^2(n+1)2

Sum of cubes of first n odd natural numbers = 
            Sum of cubes of first 2n natural numbers - 
            Sum of cubes of first n even natural numbers 

         =  (2n)²(2n+1)² / 4 - 2 *  n²(n+1)² 
         =  n²(2n+1)² - 2 *  n²(n+1)² 
         =  n²[(2n+1)² - 2*(n+1)²]
         =  n²(2n² - 1)

C++

#include <iostream>

using namespace std;

int cubeSum(int n)

{

return n * n * (2 * n * n - 1);

}

int main()

{

cout << cubeSum(4);

return 0;

}

Java

public class GFG

{

public static int cubesum(int n)

{

return (n) * (n) * (2 * n * n - 1);

}

public static void main(String args[])

{

int a = 4;

System.out.println(cubesum(a));

}

Python3

def cubeSum(n):

return (n * n * (2 * n * n - 1))

print(cubeSum(4))

C#

using System;

public class GFG

{

public static int cubesum(int n)

{

return (n) * (n) * (2 * n * n - 1);

}

public static void Main()

{

int a = 4;

Console.WriteLine(cubesum(a));

}

PHP

<?php

function cubeSum($n)

{

return $n * $n * (2 * $n * $n - 1);

}

echo cubeSum(4);

?>

Javascript

<script>

function cubesum(n)

{

return (n) * (n) * (2 * n * n - 1);

}

var a = 4;

document.write(cubesum(a));

</script>

Output:

Complexity Analysis:

Time Complexity: O(1)

Space Complexity: O(1)

This article is contributed by Dharmendra kumar. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using write.geeksforgeeks.org or mail your article to review-team@geeksforgeeks.org. See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.
Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more information about the topic discussed above.

Last Updated :
16 Feb, 2023

Like Article

Save Article

Источник