Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, три измерения — это длины трёх рёбер
DA,DC,DD1
.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:
,
где (a, b, c) — измерения прямоугольного параллелепипеда, т. е. его длина, ширина и высота.
На рисунке:
DB12=DA2+DC2+DD12
.
Обрати внимание!
У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:
Пример:
формула диагоналей куба.
Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за (a), тогда
Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:
Опубликовано 08.06.2017 по предмету Геометрия от Гость
>> <<
Ответ оставил Гость
одна диагональ параллелепипеда D =√ (a^2+b^2+h^2)=√ (4^2+6^2+12^2)= 14 дм
можно построить ЧЕТЫРЕ диагонали -сумма S = 4*D = 4* 14 =56 дм
ОТВЕТ 56 дм
Оцени ответ
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
Найти другие ответы
Загрузить картинку
Опубликовано 4 года назад по предмету
Геометрия
от loshok112
-
Ответ
Ответ дан
Аккаунт удаленодна диагональ параллелепипеда D =√ (a^2+b^2+h^2)=√ (4^2+6^2+12^2)= 14 дм
можно построить ЧЕТЫРЕ диагонали -сумма S = 4*D = 4* 14 =56 дм
ОТВЕТ 56 дм
Самые новые вопросы
Другие предметы — 2 года назад
Сочинение-рассуждение. прочитайте текст. есть у меня внучка. однажды она говорит: — у веры в субботу день рождения. она
Другие предметы — 2 года назад
Л.н. толстой. как боролся русский богатырь как сказал иван о своей силе? найдите ответ в тексте. запишите.
История — 2 года назад
Кто такой мильтиад и какова его роль в победе над персами?
История — 2 года назад
Какие примеры н. м. карамзин использует для разъяснения пользы новой системы престолонаследия? согласны ли вы с позицией
География — 2 года назад
Дополните схему. она поможет вам лучше усвоить содержание §1.: 1 что изучает география 2 с помощью чего 3 зачем изучают
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Материал урока.
Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы
назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.
Напомним, что параллелепипедом
мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1, BCC1B1,
CDD1C1, DAA1D1.
Повторим свойства
параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны. Например, в параллелепипеде, который
показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани
A1B1C1D1, грань AA1B1B равна и параллельна грани DD1C1D, грань AA1D1D равна и параллельна грани BB1C1C.
Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Эти свойства мы уже
доказывали.
Когда мы изучали
тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда
перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани –
прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и
основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед
называется прямоугольным.
Сегодня на уроке мы
познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.
Форму
прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы.
Давайте посмотрим
на рисунок.
Основаниями этого
прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD
и A1B1C1D1, боковые
рёбра AA1, BB1,
CC1, DD1 перпендикулярны
к основаниям. То есть можно записать, что AA1
перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA1B1B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все
боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким
образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.
Сформулируем его. В
прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Полуплоскости, в
которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы,
которые называются двугранными углами параллелепипеда.
Рассмотрим,
например, двугранный угол с ребром AB, то есть
двугранный угол между плоскостями ABB1 и ABC.
По другому этот
угол можно записать так: угол A1ABD.
Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA1
– перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB1, АD– перпендикуляр к
ребру АB в плоскости ABC.
Значит, угол A1AD – линейный угол двугранного
угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB
– прямой.
Аналогично
доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного
параллелепипеда.
Длины трех ребер,
имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений
можно взять длины ребер AB, АD
и AA1.
Понятно, что если
мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и
высота.
Давайте вспомним,
что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это
утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его измерений.
Аналогичным
свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.
Сформулируем теорему.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений.
Пусть дан
прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Тогда нам надо доказать, что, например, .
Доказательство.
Поскольку
параллелепипед прямоугольный, то ребро CC1 перпендикулярно
к основанию ABCD. А, значит, угол ACC1
– прямой.
Рассмотрим
треугольник ACC1. Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что .
AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что . Кроме
того, мы знаем, что ребро CC1 равно AA1. Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .
Что и
требовалось доказать.
Теперь давайте
сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.
Диагонали
прямоугольного параллелепипеда равны.
Это следствие легко
доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо
диагонали AC1, например, диагональ CA1 или диагонали BD1
или DB1, но мы бы получили то же самое
выражение.
Если мы обозначим
измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .
Если все измерения
прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед
называется кубом.
Поскольку все
измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.
Решим несколько
задач.
Задача. Измерения
прямоугольного параллелепипеда равны .
Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Воспользуемся
следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
Теперь применим
теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений
прямоугольного параллелепипеда.
Поскольку мы знаем,
что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать
только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует
изобразить больше диагоналей.
Ответ.
Решим еще одну
задачу.
Задача. В
прямоугольном параллелепипеде измерения равны ,
,
. Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.
Решение.
Ответ. ;
.
А теперь давайте решим
одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.
Задача. Измерения
комнаты равны ,
,
.
Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.
Решение.
Каждая из граней
прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь
каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого
прямоугольника.
Ответ. 20м2;
15 м2; 12 м2
Решим еще одну
задачу.
Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
а два измерения равны соответственно и
. Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Запишем формулу,
связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты
измерений прямоугольного параллелепипеда.
(Очевидно, что
измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).
Ответ. 4
Решим еще одну
задачу.
Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
,
. Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Ответ. 8
Решим еще одну задачу.
Задача. Измерения
параллелепипеда равны ,
,
. На ребре
прямоугольного
параллелепипеда, изображенного на рисунке, дана точка такая,
что отношение . На ребре
отмечена
точка так, что
. На
отрезке отмечена
точка , которая
является серединой отрезка . Найти
длину отрезка .
Решение.
Сначала построим
плоскость, в которой будет лежать отрезок МК. Для этого достаточно из точки Е
опустить перпендикуляр на грань ABCD. Получим точку E1. Тогда в плоскости EE1C и будет лежать искомый отрезок КМ.
Найдем длину
отрезка KC1.Рассмотрим треугольник EB1C1.
Теперь из
треугольника MKC1 определим МК.
Подведем итоги
урока.
Сегодня на уроке мы
повторили определение параллелепипеда, повторили основные свойства
параллелепипеда. Дали определение прямоугольному параллелепипеду, измерениям
прямоугольного параллелепипеда, рассмотрели свойства прямоугольного
параллелепипеда. Решили несколько задач.
Измерения прямоугольного параллелепипеда и его свойства
Содержание:
- Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
- Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
- Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда
Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
Определение
Параллелепипед — это призма с шестью гранями, в основании которой лежит параллелограмм.
Согласно другому определению, это многогранник, состоящий из шести сторон-параллелограммов.
В математике в целом, и в геометрии в частности, выделяют несколько основных видов параллелепипеда:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- прямоугольный;
- прямой — параллелепипед, у которого 4 боковые грани являются прямоугольниками;
- наклонный — боковые грани объемной фигуры не перпендикулярны основаниям;
- ромбоэдр — шестигранная призма, грани которой — это ромбы;
- куб — состоит из квадратных граней.
Определение
Прямоугольный параллелепипед — это шестигранная призма, каждая из сторон которой в общем случае является прямоугольником. Также это — многогранник, в основании которого лежит прямоугольник, а боковые грани перпендикулярны основанию.
Прямоугольных параллелепипедов в окружающем человека мире множество: комната, закрытая книга, системный блок компьютера, закрытая коробка для подарка, спичечный коробок и т. д.
Прямоугольный параллелепипед, как и любой другой, состоит из:
- основания;
- граней — противоположных, т. е. не имеющих общего ребра, и смежных — тех, которые имеют общее ребро;
- ребер — отрезков, соединяющих соседние вершины объемной шестигранной фигуры;
- диагоналей — отрезков, соединяющих противоположные вершины;
- диагоналей граней;
- высоты — отрезка, соединяющего верхнее и нижнее основания шестигранной призмы.
В некоторых базовых задачах просят найти количество составляющих элементов шестигранной призмы. Эти числа можно запомнить: объемная фигура состоит из 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
Определение
Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют его длину, ширину и высоту.
Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
Вне зависимости от вида параллелепипеда, все они обладают 4 свойствами:
- Противолежащие грани равны друг другу и попарно параллельны.
- Все 4 диагонали шестигранника пересекаются в одной точке, которой делятся пополам. Любой отрезок, проходящий через середину диагонали, и концы которого принадлежат поверхности, также делится пополам.
- Фигура симметрична относительно середины диагонали.
- Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений.
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми этими свойствами и несколькими специфичными, свойственными только ему.
- Все стороны — прямоугольники.
- Все углы, состоящие из двух граней, равны 90°.
- Любую сторону можно принять за основание.
- Если все ребра равны и перпендикулярны, то такой шестигранник считается кубом.
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Определение
Объем прямоугольного параллелепипеда равен длине, умноженной на ширину и высоту.
(V=acdot bcdot h,)
где V — объем, a — длина, b — ширина, h — высота.
Примечание
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней.
(S_{бп}=2(ab+ac))
Примечание
Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковых граней и оснований.
(S_{пп}=2(ab+bc+ac))
Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда
В соответствии с одним из основных свойств параллелепипеда, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Запишем в виде формулы:
(d^2=a^2+b^2+c^2)
Следовательно, длина диагонали равна квадратному корню из суммы трех измерений фигуры:
(sqrt{a^2+b^2+c^2})
Длина, ширина и высота, как правило, вычисляются через формулу объема:
(a=frac V{bh},;b=frac V{ah},;h=frac V{ab})
Существует и второй вариант, как возможно найти одно из измерений. Если известно смежное ему измерение и диагональ общей стороны шестигранника, то можно вычислить вторую сторону через теорему Пифагора или по свойствам диагонали.