Как найти стороны сферического треугольника - AvtoShod.ru

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.

Свойства сферических треугольников.

Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше 180°. Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

тремя сторонами,
тремя углами,
двумя сторонами и заключенным между ними углом,
стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Случай	Даны	Формулы для вычисления	Условия существования решения
1	Три стороны а, Ь, с	А, В, С из (8) и циклической перестановки	Сумма двух сторон должна быть больше третьей
2	Три угла А, В, С	а, Ь, с из (8) и циклической перестановки	Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол
3	Две стороны и заключенный между ними угол b, с, А	из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4)
4	Два угла и заключенная между ними сторона В, С, а	из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол Ь, с, В	С из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В ≤ sin b. Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; A + B — 180° и а + b — 180° также должны быть одного знака
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона В, С, b	с из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С ≤ sin В. Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак; A + В — 180° и а + Ь — 180° также должны быть одного знака

Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вычислять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

	теорема синусов	(1)

	теорема косинусов для сторон	(2)

	теорема косинусов для углов	(3)

	аналогии Непера	(4)

	аналогии Деламбра и Гаусса	(5)

	формулы половинных углов	(6)

		(7)

		(8)

	уравнение Люилье	(9)

	Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции	(10)

	Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сферических треугольников можно использовать эти формулы:	(11)
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой

Источник

Часть
сферы, заключенная между тремя попарно
пересекающимися дугами больших кругов,
называется сферическим
треугольником.

Вершины
сферического
треугольника
обозначаются
заглавными буквами А,
В, С, а
противолежащие им стороны одноименными
малыми буквами а,
b, с. Стороны
и углы при вершинах называются
элементами
сферического
треугольника.

Будем
рассматривать сферические треугольники,
элементы которых меньше 180°. Такие
треугольники называются треугольниками
Эйлера.

Для
того, чтобы решить сферический треугольник
необходимо знать три из шести его
элементов. При решении сферических
треугольников будем использовать четыре
основные теоремы сферической тригонометрии.

1.
Теорема косинуса
стороны.

В
сферическом треугольнике косинус
стороны равен произведению косинусов
двух других сторон плюс произведение
синусов тех же сторон на косинус угла
между ними:

cos
а=
cos
b
cos
с
+
sin b
sin
с
cos
A

2.
Теорема
косинуса
угла.

В
сферическом треугольнике косинус угла
равен отрицательному произведению
косинусов двух других углов плюс
произведение синусов этих углов на
косинус стороны между ними:

cos
А
= —
cos В
cos
С
+
sin В
sin
С cos a

В
сферическом треугольнике на рис.3.1,
элементы, отмеченные двумя черточками,
лежат рядом. В данном случае сторона
а
и
угол А
называются
крайними элементами, а сторона с
и
угол В
называются
средними элементами.

3.
Теорема котангенсов
или
четырех
рядом лежащих элементов;

В
сферическом треугольнике для четырех
рядом лежащих элементов котангенс
крайнего угла, умноженный на синус
среднего угла равен произведению
котангенса крайней стороны на синус
средней стороны, минус произведение
косинусов средних элементов

ctgA
sin
В
= ctg a sin
с
— cos
В
cos
с

4.
Теорема синусов:

В
сферическом треугольнике отношение
синуса угла к синусу противолежащей
стороны есть величина постоянная:

sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc
= M,

где
М-
модуль
сферического треугольника.

Будем
использовать независимое
решение,
т.е. определять искомые элементы только
через заданные, применяя для этого
первые три теоремы. Для проверки
правильности решения используется
теорема синусов.

Решение
сферических треугольников выполним в
следующем порядке:

1.
Записываем заданные элементы
треугольника. Если требуется, для
используемого типа калькулятора, данные
записать в градусах и десятичных долях
градуса (не менее трех значащих цифр
после запятой).

2.
Начертить произвольный сферический
треугольник и отметить на нем заданные
элементы.

3.
С помощью основных теорем сферической
тригонометрии установить связь между
заданными и искомыми элементами, помня
о том, что решение должно быть независимым.

4.
Привести формулы к рабочему виду, для
чего неизвестный элемент перенести в
левую часть, а известные в правую.
Преобразовать формулы таким образом,
чтобы в них присутствовали только те
прямые тригонометрические функции,
которые можно вычислить с помощью
данного калькулятора (как правило — sin,
cos, tg).

5.
Найти
значения искомых элементов, стараясь
при этом не делать лишних промежуточных
записей (лучше вообще обходиться без
них). Если калькулятор дает искомые
элементы в градусах и долях градусов,
перевести десятичные доли градусов в
минуты и доли минут. Следует помнить,
что главное значение функции arctg
находится
в интервале от -90° до +90″. Если полученное
значение arctg
отрицательное,
необходимо к результату прибавить 180°.

6.
Произвести контроль по теореме синусов.

7.
Записать ответ.

Пример
3.1.
В
сферическом треугольнике заданы две
стороны и угол между ними: а
=117°14,5′;
B = 60°08,9′; c=77°41,3′. Определить: А,
b, С.

Решение.

Дано:

а=
117°
14,5′ =117,242°;

B=
60°08,9′ = 60,148°;

с=
77°41,3’= 77,688°.

Найти:
А,
b, С.

Основные
формулы:

ctgA
sin
В
=
ctg a
sin
с
— cos В
cos
с;

cos
b
=
cos a cos с
+ sin b sin c cos B;

ctg
С
sin
В
= ctg с
sin a
—
cos a cos B.

Рабочие
формулы:

tgA
=
sin В
/ (sin с/tg
a — cos В
cos c);
A=125°04,9′;

cos
b
=
cos a cos с
+ sin a
sin
с
cos B;
b=
70°26,5′;

tg
С
= sin B / (sin a/
tg
с
— cos a
cos
B);
C=
64°03,6′.

Проверка:

sin
A / sin a = 0,92042; sin В/Sin
b = 0,92042; sin С
/sin
с
= 0,92042,

Ответ:

A=125°04,9′;
b=70°26,5′;
C=64°03,6′.

В
задачах №№ 61-120 заданы две стороны и
угол сферического треугольника: а,
b, С. Определить
два угла и сторону: А,
В, с.

№	а	b	С	№	а	b	С
61	83°54.3′	90°18.1	162°56.6′	66	92°28.8′	92°20.3′	160°54.4′
62	86 56.9	11 53.2	34 46.1	67	88 59.1	7 49.1	28 39.5
63	20 36.9	62 48.4	138 31.9	68	21 59.1	64 50.6	142 36.1
64	59 27.2	66 49.9	115 15.2	69	61 29..4	62 45.7	110 08.6
65	32 02.4	35 18.7	83 35.2	70	27 58.2	37 20.9	87 39.4

№	а	b	С	№	а	b	С
71	22°40.2′	64°51.7′	144°38.2′	96	0°54.1′	16°10.7′	66°45.1′
72	102 03.1	94 22.5	158 22.2	97	1 01.6	2 10.7	40 49.3
73	84 54.9	9 51.2	32 43.7	98	36 12.4	0 54.2	55 46.8
74	23 21.3	66 58.2	145 40.3	99	92 01.3	2 14.3	78 53.8
75	63 31.6	59 41.5	104 30.7	100	38 17.6	1 32.8	2 14.5
76	23 54.1	38 43.5	92 10.6	101	1 50.6	0 43.8	45 10.4
77	112 33.2	97 23.5	155 45.1	102	2 15.4	3 01.9	73 46.9
78	80 50.7	12 45.3	37 46.7	103	0 29.5	3 11.7	86 56.8
79	24 43.5	67 21.3	151 10.4	104	56 23.9	73 12.7	122 57.6
80	65 33.8	54 37.3	99 40.5	105	38 08.7	33 10.4	78 23.7
81	19 49.8	42 45.2	96 13.4	106	77 25.5	88 54.2	162 55.7
82	122 35.4	97 45.2	152 46.8	107	85 55.8	12 42.7	39 40.5
83	76 46.5	12 10.7	41 34.1	108	19 55.8	63 57.1	132 36.3
84	17 47.7	43 56.2	98 10.5	109	58 26.1	69 01.2	120 13.6
85	26 05.7	69 10.8	156 23.7	110	34 04.5	35 55.1	80 54.1
86	67 36.1	52 53.7	93 11.4	111	87 27.7	92 20.4	158 36.2
87	15 45.6	44 10.8	101 54.2	112	87 58.1	10 10.6	29 14.7
88	132 37.6	99 54.8	150 35.7	113	21 18.2	64 39.7	142 54.2
89	72 42.3	16 10.4	46 51.8	114	60 28.3	65 10.4	114 56.7
90	27 27.9	73 14.2	159 42.1	115	30 00.3	37 51.2	87 42.9
91	69 38.2	47 45.2	88 35.9	116	97 29.9	94 13.5	153 26.8
92	1141.4	46 23.8	104 10.2	117	86 57.1	9 15.7	32 18.4
93	142 39.8	101 56.4	148 23.1	118	62 30.5	59 41.7	109 46.2
94	68 38.1	19 14.5	50 00.5	119	25 56.1	39 35.5	90 57.8
95	28 50.1	76 35.2	163 14.5	120	10 32.1	96 47.3	155 14.7

В
задачах №№ 121-150 заданы три
стороны сферического треугольника a,
b ,c. Определить
три угла А,
В, С.

№	a	b	с	№	a	b	с
121	75°09.1′	123°14.2′	57°12.5′	129	32°17.8′	59°13.5′	84°22.1′
122	62 30.3	101 34.7	69 40.4	130	63 01.7	141 10.2	92 47.6
123	98 38.8	73 22.6	51 47.3	131	33 48.6	61 29.4	83 15.7
124	78 40.2	46 23.5	109 01.2	132	88 27.5	50 40.7	122 14.1
125	38 42.6	31 45.7	63 10.2	133	43 16.1	101 52.5	86 10.4
126	92 13.5	73 45.8	138 54.5	134	60 59.3	75 12.2	105 30.6
127	28 51.3	67 40.5	77 12.9	135	73 18.6	87 10.7	99 12.6
128	87 20.4	75 12.3	122 14.5	136	35 43.6	40 15.7	50 22.4

№	а	b	с	№	а	b	с
137	70°19.3′	125°19.4′	88°40.9′	144	76°01.3′	59°12.4′	30°40.7′
138	62 34.5	109 11.7	73 54.8	145	38 34.6	13122.7	97 20.5
139	57 14.5	68 12.7	101 35.6	146	111 12.4	73 10.2	61 45.7
140	24 42.9	15 10.7	33 54.6	147	1133.6	29 12.7	36 40.2
141	37 57.1	64 25.3	77 11.9	148	56 31.5	122 10.4	102 36.6
142	57 13.7	102 04.5	83 45.7	149	78 23.3	53 50.1	85 36.9
143	100 34.5	122 10.4	63 24.8	150	35 17.4	17 45.2	27 10.1

В
задачах №№ 151-180 заданы три
угла сферического треугольника A, В,
С. Определить
три стороны а,
b ,с.

№	А	В	С	№	А	В	С
151	101°25.4′	69°10.7′	55°45.6′	166	58°27.4′	61°45.7′	72°30.5′
152	126 04.9	133 57.1	128 18.4	167	101 28.2	43 55.7	82 14.3
153	113 50.4	13135.6	139 11.7	168	79 09.5	66 30.4	136 55.1
154	87 42.1	81 55.6	55 45.7	169	28 45.2	85 23.4	9751.8
155	111 10.7	56 45.3	87 36.8	170	60 09.2	72 45.1	56 41.8
156	38 40.6	98 12.5	65 14.7	171	128 12.5	137 23.8	145 54.1
157	81 33.5	62 45.1	74 36.7	172	8129.2	96 34.2	116 42.7
158	129 11.1	130 25.7	108 45.8	173	151 29.4	124 30.2	140 22.7
159	64 18.1	104 10.3	82 45.1	174	63 18.6	57 52.4	70 35.9
160	129 02.3	125 23.8	139 54.2	175	93 27.8	110 50.2	81 22.6
161	58 18.8	97 51.2	76 13.4	176	102 50.1	100 17.5	136 44.3
162	83 32.8	55 13.4	70 42.1	177	148 07.3	101 42.8	125 16.7
163	116 30.7	130 25.4	119 54.2	178	133 09.5	80 15.2	109 42.1
164	69 18.7	97 05.5	39 53.1	179	83 11.7	80 25.6	116 45.9
165	120 07.1	150 25.5	140 40.4	180	59 10.2	73 52.1 122 35.2

В
задачах №№ 181-210 заданы сторона и два
угла сферического треугольника а,
В, С. Определить
угол и две стороны А,
b ,с.

№

181
182 183 184

130°11.9′

45
40.6

102
42.2

18
10.9

94°55.1′

55
14.2

80
15.5

40
12.6

54°33.2′
137 12.4

77
51.3 161 35.7

185
186 187 188

75°12.5′
130 56.7

47
42.8

104
44.4

70°14.3′

96
55.1

55
11.4

82
35.6

104°22.7′

47
31.4

131
56.9

77
23.9

№	а	В	С	№	а	В	С
189	20°13.1′	42°57.1′	160°23.7′	200	81°19.1′	73°45.1′	98°14.7′
190	77 14.7	71 36.4	105 19.8	201	138 20.7	98 11.4	46 49.1
191	134 16.3	97 33.5	48 25.6	202	53 49.4	60 12.5	126 45.7
192	49 45.1.	56 13.4	132 10.4	203	110 51.1	88 15.7	67 13.5
193	106 46.6	86 11.3	72 55.1	204	26 19.7	44 23.9	161 13.5
194	22 15.3	42 56.4	161 13.5	205	83 21.3	74 55.2	99 10.5
195	79 16.9	72 14.3	105 46.2	206	140 22.9	100 55.1	38 14.6
196	136 18.5	101 50.4	48 13.7	207	55 51.6	55 51.6	130 41.8
197	51 47.2	58 55.1	131 16.2	208	15 07.6	39 34.3	170 32.8
198	108 48.8	87 14.2	75 31.9	209	72 09.2	66 36.6	111 23.4
199	24 17.5	43 12.6	161 55.1	210	129 10.8	98 11.4	50 13.7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

Свойства сферических треугольников.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

тремя сторонами,
тремя углами,
двумя сторонами и заключенным между ними углом,
стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников

Прямоугольные и четвертные сферические треугольники являются частным случаем косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого один из углов равен 90°.

Четвертным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого одна из сторон равна 90°.

К этим треугольникам применимы все правила и алгоритмы решения косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольные треугольники можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Так как один из углов равен 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей. Но более рационально производить решение по правилам Модюи-Непера, почти полностью исключающим промежуточные преобразования, а значит и ускоряющим решение (

Пример 3.2).

Правила Модюи-Непера формулируются следующим образом:

1) В прямоугольном сферическом треугольнике косинус любого среднего элемента равен произведению котангенсов крайних смежных с ним элементов.

2) Косинус отдельно лежащего элемента сферического треугольника равен произведению синусов двух не смежных с ним рядом лежащих элементов.

В обоих правилах принято, что катеты лежат рядом друг с другом и вместо катетов надо брать их дополнения до 90°.

Формул такого вида 10. Все они однотипны, поэтому для примера приведём четыре характерных:

При А=90°

cos a = ctg B ctg C

cos B = ctg a ctg (90° – c)

cos (90° – c) = sin C sin a

cos a = sin (90° – b) sin (90° – c)

Следовательно, в задаче на прямоугольный треугольник, надо задать два элемента и указать, какой угол равен 90°.

Пример 3.2

1) Выполняем схематический чертёж и помечаем данные и искомые элементы.

2) Подбираем необходимые формулы.

(по основным формулам сферической тригонометрии)

A, B – формула котангенсов;

c – формула косинуса стороны;

1. ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

2. ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3) Преобразовываем формулы и производим анализ на знаки. После преобразований независимо от первоначальных формул результат одинаков.

ctg A = ctg a sin b

ctg B = ctg b sin a

cos c = cos a cos b

(по правилам Модюи-Непера)

cos (90 – a) = ctg B ctg (90 – b)

cos (90 – b) = ctg A ctg (90 – a)

cos c = sin (90 – b) sin (90 – a)

ctg A = ctg a sin b

ctg B = ctg b sin a

cos c = cos a cos b

Не забываем, что отношение, это разность логарифмов

lg sin A = 9.76234 lg sin B = 9.99528 lg sin С =10,00000

lg sin a = 9.75263 lg sin b = 9.98557 lg sin c = 9.99029

0,00971 0.00971 0.00971

Четвертные сферические треугольники, как и прямоугольные можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Т.к. одна из сторон равна 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей. Возможен и другой путь решения: свести четвертной треугольник к полярному прямоугольному и производить решение по правилам Модюи-Непера.

Сферические треугольники ABC и A₁B₁C₁ называются полярными, если их стороны и углы связаны следующими соотношениями:

т.е. сумма угла данного треугольника с противоположной стороной полярного ему треугольника равна 180°.

Пример 3.3

Дано: a =31°15.2′, C = 120°15.4′

1) Выполняем схематический чертёж и помечаем данные и искомые элементы.

2) Подбираем необходимые формулы. (по основным формулам сферической тригонометрии)

A – теорема синусов

B – формула котангенсов;

c – формула косинуса стороны;

2. ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

3. cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3) Преобразовываем формулы, отделяем неизвестные, а так же производим анализ формулы на знаки.

1. sin A = sin a sin C

2. tg B = — cos a tg C

3. tg b = — ctg a sec C

а 90° sin C (+), sec C и tg C ( – )

Так как во всех формулах результат положителен, все искомые величины находятся в первой четверти.

4) Составляем схему вычислений и производим вычисления с использованием таблиц 5-а МТ-75(63) Таблица 3.6. Подробности использования таблиц приведены в пояснениях к таблицам. Что бы не менять наименования функций для аргументов больших 90° при входе в таблицу берём их дополнения до 180°.

lg	lg	lg
a=31°15.2′ C=120°15.4′	sin sin	9.71502 9.93640	cos tg	9.93191 0.23408	ctg sec	0.21687 0.29768
sin A	9.65142	tg B	0.16599	tg b	0.51455
A	26°37.5′	B	55°41.5′	b	72°59,8′
A=26°37.5′	B=55°41.5′	b=72°59,8′

5) Производим контроль вычислений по теореме синусов. Проверку можно производить как на калькуляторе, так и при помощи таблиц логарифмов[1].

lg sin a = 9.71502 lg sin b = 9.98059 lg sin с =10.00000

lg sin A = 9.65142 lg sin B = 9.91699 lg sin C = 9.93640

Сферический треугольник

Сферический треугольник ABC расположен на поверхности сферы как показано на рисунках.

Стороны a, b, c (являющиеся дугами больших кругов) измеряются величинами опирающихся на них центральных углов.
A, B, C есть углами, противоположными сторонам a, b, c соответственно.

Площадь сферического треугольника $ABC = (A + B + C — pi)R^2$
где R — радиус сферы.

Отношение между сторонами и углами сферического треугольника

Правило косинусов
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos A
cos A = — cos B ⋅ cos C + sin B ⋅ sin C ⋅ cos a
с подобными результатами при использовании других сторон и углов.

с подобными результатами при использовании других сторон и углов.

Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.

где $S = frac<2>$.
Подобные утверждения справедливы и для других углов и сторон.

Правила Непера для прямоугольного сферического треугольника

За исключением прямоугольного угла C, есть пять частей сферического треугольника ABC, которые приведены на рис. 5-19 и обозначены как a, b, A, c, B.

Предположим, что эти части расположены по кругу, как на рис. 5-20, где мы допишем префикс co (означающий дополнение) к гипотенузе c и углам A и B.

Любая из этих частей круга называется средняя часть, две другие соседние части называются смежные части и две другие оставшиеся части называются противоположные части.

Синус любой средней части равен произведению тангенсов смежных частей.

Синус любой средней части равен произведению косинусов противоположных частей.

Пример:
Так как co-A = 90° — A, co-B = 90° — B, мы имеем
sin a = tg b ⋅ tg(co-B) или sin a = tg b ⋅ ctg B
sin(co-A) = cos a ⋅ cos(co-B) или cos A = cos a ⋅ sin B.

источники:

http://allrefrs.ru/1-65527.html

http://www.math10.com/ru/vysshaya-matematika/sfericheskii-treugolnik/sfericheskii-treugolnik.html

Источник

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение
высшего

Профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ)

Кафедра высшей алгебры, элементарной
математики и методики преподавания математики

Основы структур алгебры

тема: Элементы сферической геометрии

Выполнила

Луценко Евгения Сергеевна

Научный руководитель:

Кандидат педагогических наук

Федяев Олег Ипполитович

Москва

2015

Содержание

Введение

1.Основные
понятия сферической геометрии…………………..4-9

2.Сферическии
треугольник……………………………………..9-13

3.Сферическая
теорема синусов…………………………………13-15

4.Сферическая
теорема косинусов………………………………16-19

5.Решение
сферических треугольников…………………………19-22

6.Примеры решения задач………………………………….22-25

Заключение……………………………………………………26

Список
литературы ………………………………………………..27

Введение

В настоящее время,
существуют различные науки, в основе которых лежит сферическая геометрия.
Например, значительный раздел математической картографии —
картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и
площади на реальной поверхности Земли.

В программе школьного курса геометрии изучению сферы отводится очень
мало времени, при этом рассматриваются только основные понятия, и совсем не
уделяется внимание фигурам на сфере.

Еще
древние греки считали окружность (круг) и сферу (шар) идеальными формами. Форму шара имеет наша планета и большинство космических тел. А так как
планеты, Солнце, Луна и звёзды движутся по воображаемой «небесной сфере», то
естественно, для изучения их движения потребовалось знание геометрии сферы.

Курсовая работа состоит из двух
частей: в первой приводится общая теория о сфере, понятие сферического
треугольника, сферические теоремы синусов и косинусов, двойственная теорема
косинусов.

Во второй части работы я рассмотрела решения задач на
применение рассмотренных теорем, а также задачи практического характера.

Теоретический материал представлен в форме
доступной для понимания учащимися старших классов, подобраны и решены задачи по
сферической геометрии.

Основные
понятия сферической геометрии

Сфера, большая и малая окружности.

Сферой
называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном
расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой,
называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий, кроме
того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что
все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу.

Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной
плоскостью.

В этом случае окружность на сфере и называется большой
окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на
плоскости.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на
одной прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки
сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная
большая окружность (рис.1). Этот факт вполне аналогичен тому, что на
плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две
диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное
множество больших окружностей (рис.2).

Так как всякие две диаметральные плоскости сферы
пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в
двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь наблюдается
отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые
пересекаются не более чем в одной точке.

Рис
1 Рис 2

-Так как плоскость делит пространство
на две области, то большая окружность делит сферу на две области; эти
области называются полусферами, а сама окружность – краем этих
полусфер.

— Так как две пересекающееся плоскости
делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу
на четыре области (рис.3).

-Так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят
пространство на восемь областей, то три большие окружности, не
пересекающиеся в одной точке,

делят сферу на восемь областей
(на рис.4)

Рис
3 Рис 4.

Если первые два из этих свойств
аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой
и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных
свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так
как три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку,
делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.5).

Рис 5.

Сферический отрезок, соединяющий две
точки на сфере— кратчайшая из двух дуг большой окружности (АВ), проходящей через
две не диаметрально противоположные точки A и В сферы.

Если две точки сферы А и В не являются диаметрально
противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через центр
сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая
окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий точки А и В,
является единственным сферическим отрезком, соединяющим точки А и В.

Если точки А и В диаметрально противоположны на сфере,
существует бесконечное число больших окружностей, проходящих через эти две
точки, причем эти две точки делят каждую такую большую окружность на две
полуокружности, которые являются сферическими отрезками, соединяющими точки А и
В (рис.6).

Рис.6

Сферический
отрезок обладает замечательным минимальным свойством (как и отрезок на
плоскости).

Теорема (минимальное свойство сферического
отрезка).

Сферический
отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере,
соединяющий эти две точки (рис.7).

Рис.7

Угол на сфере

Величина внутреннего угла при
вершине В сферического многоугольника, образованного дугами АВ и ВС на сфере,
определяется как угол между двумя лучами, которые выходят из точки В и касаются
дуг АВ и ВС в точке В. Поскольку эти лучи перпендикулярны радиусу ОВ, то угол
при вершине В равен двугранному углу между плоскостями ОАВ и ОВС. Понятно, что
два угла сферического двуугольника всегда равны (рис.8).

рис.8

Многоугольники на сфере

Сферическим многоугольником называется часть
сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности,
концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в
последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если
он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых
служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг,
частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из
которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер,
содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника
(рис 9, 10).

Сферический
двуугольник-фигура,образованная двумя полуокружностями
больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек

В отличие от плоскости, где треугольник является
многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с
числом сторон меньше трех- двуугольники. Двуугольником является часть сферы,
ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие
концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально
противоположными точками сферы.

Сферический треугольник

Сферическим треугольником называется фигура,
состоящая из трех точек сферы и трех отрезков, попарно соединяющей эти точки.
Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей
через эти точки.

Пусть ABC – сферический треугольник, — радиус векторы
вершин.(рис.12) Обозначим дуги , соответственно через с, b, а.

Углом между дугами понимают угол между их
касательными векторами. Обозначим — угол между дугами и , — угол между и , — между

Три больших
окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь
сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них

можно
определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между
элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой
окружности.(рис.13)

Многие свойства сферического треугольника (а оно
одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют
свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или,
например, три признака равенства треугольника. Все планиметрические следствия
упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере.

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше
180 . Разность (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим
избытком данного сферического треугольника.

Равнобедренные сферические треугольники

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны
равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему
симметричный, — равнобедренный.

Действительно, в силу того, что оба треугольника имеют противоположное
расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы
совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на
концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между
собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.

Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник
наложим на треугольник, ему симметричный.

Если треугольник А’В’С’ симметричен треугольнику АВС и если
АВ равно АС, то два треугольника АВС и А’С’В’, имеющие (при выбранном порядке
вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку
равенства.

Теорема. В равнобедренном
сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с
симметричным ему треугольником А’С’В’ угол, совпадающий с углом В’, есть угол
С’; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и
В’.

Обратно, всякий сферический треугольник, два угла
которого равны, равнобедренный.

Действительно, если АВС сферический треугольник, в которомÐВ=ÐС и треугольник А’В’С’
– треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А’С’В’, имеющие
одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно,
АВ=А’С’=АС.

Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической
фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число,
удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

1)
площадь сферической фигуры является
положительным числом, (свойство позитивности),

2)
площадь сферической фигуры не изменяется при
движении (свойство инвариантности),

3)
если сферическая фигура разложена на две
сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур,
на которые она разложена (свойство аддитивности),

4)
Площадь всей сферы радиуса R равна 4pR² (свойство нормировки).

.Сферическая теорема синусов

Теорема.
Синусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих
углов.

Пусть
длины сторон сферического треугольника (рис. 14) равны а, b, с, а
противолежащие им углы этого треугольника равны А, В, С соответственно, r-
радиус сферы, тогда

рис.15 рис.16

Доказательство:
В сферическом треугольнике ABC проведем высоту
СН — дугу большой окружности, перпендикулярную большой окружности АВ (рис.
15). Длине высоты |СН|_sотвечает величина угла СОH: если , то |CH|_s=Rφ. Это
наводит на следующее построение для соответствующего трехгранного угла ОАВС. Возьмем
на ребре ОС произвольную точку C₁ и
проведем из нее перпендикуляры С₁А₁ к (ОA), С₁В₁к
(ОB)
и С₁Н₁к плоскости ОАВ (рис. 16); мы опять рассматриваем
случай острых углов α, β, . По
теореме о трех перпендикулярах (H₁A₁)(OA), (H₁B₁)(OB), поэтому
углы C₁A₁H₁и C₁B₁H₁будут линейными углами соответствующих двугранных
углов:. Из
прямоугольных треугольников OA₁C₁и С₁Н₁А₁,
обозначив |OC₁|=z, находим:

(1.1)

Аналогично
из прямоугольных треугольников ОВ₁С₁и C₁H₁B₁

(1.2)

Приравнивая
правые части равенств (1.1) и (1.2), получим:

откуда

Точно так же
доказывается, что

Получающиеся в итоге
формулы

и
составляют содержание теоремы синусов для сферических треугольников или
трехгранных углов.

Сферическая теорема косинусов:

(1.4)

Доказательство
проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC
на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр
к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM —
перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По
утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM
— перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим,
что угол PMB равен π — C,кроме того,ON = Rcosc и OM = R
cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON.

$mbox{pr } MP = PM cos (pi - (frac {pi}{2} - angle MPN)) = PM (- sin angle MPN),$

Подставляем три
последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение
и получаем:

Теоремы косинусов для
двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем
аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи
круговой перестановки букв:

Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и
углами A, B, C имеют следующий вид:

Эти две теоремы двойственны
по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического
треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами
соответствующего полярного
треугольника.

Следствие.

Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора:

Сформулируем и докажем двойственную
теорему косинусов:

(1.7)

Запишем
для полярного треугольника A’B’C’ теорему косинусов

С
учетом формул (1.6), получим (1.7).

Заметим, что внешне формулы косинусов на плоскости
и на сфере непохожи. С другой стороны, на маленьких участках сферу можно
считать «почти плоской», тогда (т. е. при малых по сравнению с радиусом R сферы длинах сторон сферического треугольника ABC) сферическая теорема косинусов должна «почти
перейти» в планиметрическую, и то же самое для теоремы синусов. Проверим, так
ли это.

Длины сторон а, b, сферического треугольника ABC связаны с соответствующими плоскими углами α, β, γ
трехгранного угла ОАВС формулами

поэтому
рассматриваемый случай (а, b, с много
меньше, чем R) отвечает тому,
что α0, β0, γ0. Вспомним, что при малых φ значение sinφ приближенно
равно φ:

Отсюда можно вывести
аналогичную приближенную формулу для соsφ при малых φ:

Подставляя
соответствующие приближения в формулы синусов и косинусов (формулы (6) и (3)),
получим приближенные формулы для малых сферических треугольников:

откуда

(отбросила в
предпоследнем соотношении слагаемое четвертой степени , поскольку оно мало по сравнению со слагаемыми
второй степени — ). Подставляя в полученные формулы , действительно получаются обычные теоремы синусов
и косинусов.

Решение сферических
треугольников

Выведенные
тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и
углов).

1. Даны три
стороны сферического треугольника. Найти углы треугольника.

Решение: по формуле, выражающей теорему косинусов, находим

и аналогично находим соsВ и соs С.

2. Даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b,
с и угол А. Найти остальные элементы треугольника. Решение: сторону
а найдем из
теоремы косинусов. Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его
остальные углы, как указано выше.

3. Даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них,
например стороны а, b и угол A. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

Заметим, что эта формула даёт для В два значения,
дополняющих друг
друга доp; это
соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно
равными сторонами
и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен
случай, когда углы этих треугольников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга
до p.

Для
определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности
АВ. Если эти большие окружности
пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD
и ВСD (рис.
19). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах Аи В. Второй
катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится
по формуле котангенсов.

Рис.19

Сторона
с и угол C
сферического
треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на
стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ.
Именно, если
оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то
перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пересекает окружность АВ в
двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом
случае. Таким образом, углы при вершинах Аи В в прямоугольных треугольниках АСD
и ВСD совпадают с углами А и В исходного треугольника
АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами
найденных нами сторон
или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один
из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность,
проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять

Любую из этих точек, например ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В(рис. 20).

Рис. 20

Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС,
а угол при вершине В в ∆ВСD
равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются
разностями сторон АD, ВD или углов
при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой,
то треугольник АВС прямоугольный,
и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами ,.

4. Даны три угла сферического треугольника. . Найти остальные элементы треугольника.

Решение: по формуле двойственной теоремы косинусов
находим

и аналогично находим и
.

5. Даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а
и углы B и C.
. Найти
остальные элементы треугольника.

Решение: угол А найдем по формуле двойственной теоремы
косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

6. Даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против
одного из них, например углы А и В и сторона а. . Найти остальные
элементы треугольника.

Решение: по теореме синусов находим

Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняющих друг друга до pr; это соответствует тому, что
в общем случае
два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами,
лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны
этих треугольников,
лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr. Сторону с и угол С по углам А,
В и сторонам а,
b найдем, как указано выше.

Примеры решения задач

Определение метра и морской мили

·
R=6367 км – радиус Земного шара.

·
Длина большой окружности Земли

·
L=2πR

·
L=2·3,1416·6367=40000 км.

·
Один метр – одна 40- миллионная часть длины
земного экватора.

·
Морская миля равна одной угловой минуте на
земном меридиане.

·
В 60·360=21600 раз короче длины большой
окружности земного шара.

·
1 морская миля равна 40000000м:21600=1852м

·
Длина
земного экватора равна ровно 21600 морских миль

Задача1.Мореплаватель Христофор Колумб проплыл 1800
миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и
проплыл в новом направлении еще 2700
миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А и С (по
поверхности земного шара).

Решение:Обозначим
через a, b и с длины дуг ВС, АС и АВ соответственно, y — внутренний угол при вершине
В сферического треугольника АВС. Тогда,

где
R= — радиус земного шара, выраженный в морских милях.По теореме косинусов
для сферического треугольника

По
таблицам или с помощью калькулятора находим, что

радиан.

Следовательно,
длина дуги АС= b равна b = R*0.90662 = 3437.4*0.906623116.7 миль.

Ответ:
3117 морских миль 5772 км.

Задача 2. Вывести формулу длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной
поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли).

Решение:Обозначим географические широты двух данных точек и , разность долгот — $Deltalambda_{AB},$ , кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1
градус — a.(см.рис.) Тогда формула длины ортодромии:

$cosleft (frac{d}{a}right)=sinvarphi_Acdotsinvarphi_B+cosvarphi_Acdotcosvarphi_BcdotcosDeltalambda_{AB}$

Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов
к стороне AB сферического треугольника P_nAB. Подобная формула справедлива для любой
сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения
углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам

Задача 3. Определить угловое расстояние между двумя светилами на небесной сфере
.

Решение: Определим
угловое расстояние (x) между звездой δ
Цефея (экваториальные координаты: α₁=22ч
29м, δ₁=+58° 25′) и галактикой Туманность Андромеды (α₂=0ч 43м, δ₂=+41°
16′) на небесной сфере. Выражаем α₁ в градусах и долях градуса:

$alpha_1 = left (22+frac{29}{60}right )cdotfrac{360}{24}=337^circ,25$

Аналогично получаем,
что α₂=10°,75. Выражаем δ₁ в градусах и долях градуса:

$delta_1 = 58+frac{25}{60}=58^circ,42$

Аналогично δ₂=41°,27.
Применяем теорему косинусов:

$begin{align} cos x & = cos(90^circ-delta_1)cdotcos(90^circ-delta_2)+sin(90^circ-delta_1)cdotsin(90^circ-delta_2)cdotcos(alpha_1-alpha_2)\ & =sin 58^circ,42cdotsin 41^circ,27+cos 58^circ,42cdotcos 41^circ,27cdotcos (337^circ,25-10^circ,75)\ &=0,89 end{align}$

Отсюда x=27°,11.

Заключение

В
данной курсовой работе я познакомилась со сферической геометрией, которая
изучает геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому, как
планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Я
рассмотрела основные понятия, установила соответствие между сферической
геометрией и планиметрией. А также рассмотрела практические задачи, необходимые
мореплавателям, летчикам и космонавтам. В настоящее время сферическая геометрия
особенно широкое применение находит в астрономии и геодезии (науке о форме и
размерах Земли), навигации и картографии.

Одной из важнейших
астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач
астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере.

Многие важные открытия, как в
прошлом, так и сегодня были бы невозможными без упорного, тяжелого и часто
незаметного труда ученых, посвятивших свою жизнь определению небесных координат
светил.

Без результатов
20-летнего труда Тихо Браге, этого искусного измерителя координат планет,
Иоганн Кеплер не смог бы открыть законы движения планет вокруг Солнца. Точные
определения положения светил на небесной сфере позволили установить, в
частности, место малых планет и комет в Солнечной системе, открыть Нептун и
Плутон. Методы определения координат небесных светил (их видимых положений на
небе) разрабатывались на протяжении свыше двух тысячелетий. Сегодня они
составляют один из важнейших разделов астрономии, который называется
астрометрией.

Список литературы

Избранные вопросы математики: 10 Кл. Факультативный курс/А.М.
Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др.; Сост.: С.И. Шварцбурд.- М.:
Просвещение, 1980. — 191 с.
Атаносян Л.С. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1974.
Энциклопедия элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 с.
Адамар
Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андреев
Базылев
В.Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.
Базылев
В.Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. -240с.
Егоров
И.П. Основания геометрии. – М: Просвещение, 1984. – 144с.
Розенфельд
Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом
пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.
Энциклопедия
элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М., 1963.
www.allbest.ru/referat
http://ru.wikipedia.org

Источник

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

Свойства сферических треу­гольников.

Решение сферических треугольников (Таблица)

Формулы для решения сферических треугольников

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

Свойства сферических треу­гольников.

Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников

Сферический треугольник

Отношение между сторонами и углами сферического треугольника

Правила Непера для прямоугольного сферического треугольника

Основные понятия сферической геометрии

Сфера, большая и малая окружности.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Угол на сфере

Многоугольники на сфере

Равнобедренные сферические треугольники

Площадь сферического треугольника

.Сферическая теорема синусов

Решение сферических треугольников

Не пропустите также:

Свойства сферических треугольников.

Свойства сферических треугольников.

Основные
понятия сферической геометрии

Сферой
называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном
расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Решение сферических
треугольников