Как найти стороны параллелограмма через углы - AvtoShod.ru

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α, β — углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):

Формулы сторон параллелограмма , (a, b):

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a, b — стороны параллелограмма

H_b — высота на сторону b

Ha — высота на сторону a

α, β — углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

Формула суммы квадратов диагоналей:

Формула разности квадратов сторон:

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 31 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Онлайн калькулятор длины сторон параллелограмма напишет подробное решение с ответом и пояснениями.
Калькулятор может:

Сторона параллелограмма через площадь и высоту.
Сторона параллелограмма через высоту и угол.

Где S — площадь параллелограмма,h — его высота.

Где h — его высота,α — острый угол.

Параллелограмм- это четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны.
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Диагональные углы параллелограмма равны.

Как найти длину стороны параллелограмма ?

Сторона параллелограмма может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a =
	a =

Источник

Как найти длину одной из сторон параллелограмма?

Чтобы найти сторону параллелограмма, необходимо наличие некоторых других значений, которые бы были известны. Далее попросту использовать одну из подходящих формул.

Например, по теореме косинусов, это формулы сторон через диагонали и находящийся между ними угол:

Другим решением, являются формулы, где стороны рассчитываются по диагонали и одной из известной стороны:

Вот еще формулы сторон параллелепипеда, через вторую сторону, диагонали и косинус угла:

Стоит напомнить и про формулы длин сторон, через высоту и синус угла:

Так же длину стороны параллелограмма, можно определить если известны площадь и высота:

Как видим, вариантов расчета высоты параллелограмма достаточно много и хотелось напомнить основные характеристики этой геометрической фигуры:

Во первых, параллелограммом называется четырехугольник, имеющий параллельно расположенные противоположные стороны , т. е. находящиеся на параллельных прямых. Квадраты, прямоугольники и ромбы, также являются параллелограммами.

система выбрала этот ответ лучшим

Для нахождения стороны параллелограмма есть более десятка разных формул (они перечислены в ответе автора Бульбозавр), но для решения задач на эту тему, далеко не всегда их можно применить.

На мой взгляд лучше всего разобрать несколько примеров и на практике увидеть, как находить сторону этой фигуры — в наших случаях с помощью уравнений.

Пример 1

Нужно найти стороны параллелограмма, если одна из сторон больше другой в два раза а периметр равен 30 см.

Даже не нужно чертить рисунок, а просто составить уравнение и решить его

периметр(30см) = 2(х+2х) откуда х=5см, следовательно одна сторона равна 5см, другая — 10см.

Пример 2

АВСД — параллелограмм, нужно найти его стороны если — ВМ перпендикуляр к АС, АМ=6см, МС=15см, ВС больше АВ на 6 см

Для решения этой задачи сначала рассматриваем два прямоугольных треугольника АВМ и ВСМ у которых общий катет h.

Согласно Пифагору

h*h=a*a-6*6=b*b-15*15 откуда b*b-a*a=(b-a)(b+a)=225-36=189

по условию задачи b-a=7 тогда b+a=189/7=27

решив эту простенькую систему уравнений найдем стороны a=10см b=17cм

Alexsandr82
[21.4K]

6 лет назад

Есть еще несколько формул которые будут скорее вспомогательными при решении задач по нахождению стороны паралелограмма но тем не менее их тоже нужно знать. Например одну из сторон паралеллограмма можно найти если известна вторая сторона и периметр фигуры по формуле:

Р = 2(а+b), тогда а = (Р/2 — b), или b = (P/2 — a), где Р — периметр, а и b — стороны.

Также можно найти сторону паралеллограмма зная его площадь и высоту опущенную на искомую сторону:

S = a*H1 = b*H2, тогда а = S/H1 или b = S/H2, где S — площадь, а — меньшая сторона паралелограмма, b — большая сторона, Н1 — высота построенная к меньшей стороне, Н2 — сторна построенная к большей стороне паралеллограмма.

Vector 60
[121]

8 месяцев назад

Существует несколько формул для вычисления сторон параллелограмма (a и b).

1) Для нахождения сторон параллелограмма можно воспользоваться длиной диагоналей, а также величиной углов между диагоналями. Формулы будут такими:

2) Если известна одна из сторон и диагонали, то другую сторону можно найти так:

3) Если известна высота и величина одного из углов, то стороны параллелограмма можно найти по таким формулам:

4) Еще можно использовать значение площади и высоты:

Stasy12
[41.5K]

более года назад

Формул, конечно много, с помощью которых можно найти сторону параллелограмма.

Например можно найти стороны паралелограмма, зная размеры диагоналей и угла между ними(формула 1и 2)

Зная длины диагоналей и одну из сторон, легко можно найти вторую(формулы 3 и 4)

Через высоту, которая опущена на сторону и угол между сторонами(формулы 5 и 6)

Зная площадь и высоту, которая опущена на

заданную сторону можно найти длину стороны(формулы 7 и 8).

Знаете ответ?

Источник

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Определение.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d₁
2
BO = DO =	d₂
2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =

√d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosγ
2
=

√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosδ
2

b =

√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosγ
2
=

√d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosδ
2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d₁, и короткую — d₂

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² — 2ab·cosβ

d₂ = √a² + b² + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² + 2ab·cosα

d₂ = √a² + b² — 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d₁ = √2a² + 2b² — d₂²

d₂ = √2a² + 2b² — d₁²

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d₁ =	2S	=	2S
d₂·sinγ	d₂·sinδ

d₂ =	2S	=	2S
d₁·sinγ	d₁·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d₁² + 2d₂² — 4a²

P = 2b + √2d₁² + 2d₂² — 4b²

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · h_a
S = b · h_b

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Источник

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны
Противоположные углы параллелограмма равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
Сумма всех углов равна 360°
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

Противоположные стороны попарно равны
Противоположные стороны попарно параллельны и равны
Противоположные углы попарно равны
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
Сумма соседних углов равна 180 градусов
Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

То есть:

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем