Как найти стандартный вид одночлена коэффициент - AvtoShod.ru

Произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.

Уже знакомые нам одночлены:

Выражения

6⋅a⋅y

;

0,25×3

;

abbc

;

8,43

;

16c⋅−12d

;

38x2y

тоже являются одночленами.

При записи одночленов между числами и переменными знак умножения не ставится

Одночленом также считается:

— одна переменная, например, (x), т. к.

x=1⋅x

;

— число, например, (3), так как

3=3⋅x0

(одно число также является одночленом).

Некоторые одночлены можно упростить.

Упростим одночлен

6xy2⋅(−2)x3y

, используя свойство умножения степеней:

6xy2⋅(−2)x3y

(=)

6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3

(числа перемножаются, а показатели у одинаковых букв складываются).

Стандартный вид одночлена

Если в одночлене первым записан числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени, то такой вид одночлена называют стандартным видом.

Запишем одночлен

10⋅12abbb

в стандартном виде:

10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3

(Коэффициенты перемножаются между собой, переменные — между собой.)

Если одночлен записан в стандартном виде, то его числовой множитель, называется коэффициентом одночлена.

Одночлен

5ab3

имеет коэффициент (5), одночлен

−12x4y3

имеет коэффициент (-12).

Коэффициенты (1) и (-1) обычно не записываются.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.

Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех переменных (букв).

−12x4y3

является одночленом седьмой степени ((4 + 3 = 7));

(6a) — одночлен первой степени (переменная (a) в первой степени);

(7) — одночлен нулевой степени.

Одночлен	Стандартный вид	Коэффициент	Степень
2a2x	2a2x1	(2)	(2+1=3)
−3ab⋅a2b	−3a3b2	(-3)	(3+2=5)
ab⋅(−1)	−a1b1	(-1)	(1+1=2)
(x)	1×1	(1)	(1)
(2)	(2)	(2)	(0)

Подобные одночлены

Одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться, называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются:

(6xy) и (xy);

(5) и (-3);

Подобными одночленами не являются

x2y

xy2

Если у подобных одночленов равные коэффициенты, они называются равными (одинаковыми) одночленами.

В этом можно убедиться, записав одночлены в стандартном виде.

Из пяти одночленов

8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y

равными являются только три

8xy3;8y3x;2⋅4xyyy

В этом можно убедиться, если записать все одночлены в стандартном виде и расположить переменные в одинаковом порядке:

8xy3=8xy3;xy3=xy3;8y3x=8xy3;2⋅4xyyy=8xy3;8x3y=8x3y.

Если у подобных одночленов коэффициенты являются противоположными числами, одночлены называются противоположными.

Противоположными являются одночлены:

(3ac) и (-3ac);

(9ba) и (-9ba).

Источник

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Выражение 5a²b — это произведение трёх множителей:
5a²b = 5 · a² · b.
Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.

Запомните!

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
Примеры одночленов: ac, 2xy², −7xy, 0,5a³b.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена.
Буквенные множители иногда называют переменными.

Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.

Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1.
Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент
1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab

Также не записывают явно коэффициент «−1».
Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом.
При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1».
Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен
«−1».

Примеры одночленов и их коэффициентов

Одночлен

Коэффициент
одночлена

−8a²

−8

xy²z

ab²

−tz²

−1

144x²

144

Приведение одночлена к стандартному виду

Запомните!

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в
различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные
множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов стандартного вида:
2at, 16y³, −17pxy, 3d⁴

Примеры одночленов нестандартного вида:
2acа, 4xy² · 3,
x⁴y · (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри
одночлена действуют все законы умножения, в том числе

переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Важно!

Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.
По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.

Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.

Перемножаем все числовые коэффициенты
3 · a · d · a · 8 =
3 · 8 · a · d · a
= 24 · a · d · a
Теперь, используя свойства степени,
перемножаем все буквенные множители.
24 · a · d · a =
24 · a · a · d = 24a²d

Что такое степень одночлена

Запомните!

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Например, степень одночлена 9a²b
равна 3, т.к. у
a² (вторая степень), у
b (первая степень): 2 + 1 = 3.

Примеры степеней одночленов

Одночлен

Степень одночлена

−2a²b²

xy²

−xyz

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени!
Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е.
123 = 123 · a⁰ = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно
представить как 1 через нулевую степень.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Являются одночленами

Не являются одночленами

$ 5m^2 n $

$ left(frac{3}{4}right)^2 k $

$8^3$

$ -34m^7 pm^4 z$

abcde

$a^2 b+1$

$ 4(k+n)^2 $

$ 500-m^4+2m^2 $

$ 10p^2+k $

Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.

Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.

Например:

$x^2cdot23xy$ — одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $

Источник

Что такое одночлен?

Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.

Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.

5ху это одночлен с коэффициентом, равным 5
-2,76mn² у этого одночлена коэффициент равен -2,7
15abc здесь коэффициент равен 15
¾xy⁵у этого одночлена коэффициент равен ¾

Стандартный вид одночлена

Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.

Что такое одночлен стандартного вида?

Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).

Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.

Пример №2.

3х•у²(-2х³у⁴)=3(-2)х•х³у•у⁴= -6х⁴у⁵

Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.

Пример №3.

-12a³b²(-4b⁷)=48a³b⁹

Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.

Степень одночлена

Что такое степень одночлена?

Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.

Рассмотрим, как найти степень одночлена.

Пример №4.

– 113с³х⁶

У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9.

Пример №5.

18ху

У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.

Даниил Романович | Просмотров: 4.1k

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 17

Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены

Перечень рассматриваемых вопросов:

Алгебраические выражения.
Одночлен; стандартный вид одночлена.
Подобные одночлены.
Коэффициент и степень одночленов.
Сумма (разность) подобных одночленов.

Тезаурус:

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).

Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.

Правило приведения одночлена к стандартному виду:

перемножить все числовые множители;
поставить полученный коэффициент на первое место;
получить буквенную часть.

Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:

составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим
привести все одночлены к стандартному виду
сложить (вычесть) их численные множители
после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».

И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.

Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.

Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.

Например:

12a²bc³

xy⁴

1,2cp⁸

Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.

Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).

В наших примерах коэффициенты – это числа 12 и -1,2

А одночлены 14ac⁵ax и 3k4k² записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.

Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.

Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Например:

12a²bc³ – одночлен 6-й степени.

xy⁴– одночлен 5-й степени

1,2cp⁸ – одночлен 9-й степени

Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.

Например:

Это одночлены 0 степени.

У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.

Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.

Для этого нужно:

• перемножить все числовые множители;

• поставить полученный коэффициент на первое место;

• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.

Например:

Привести одночлен 4ac(-3)a²ck к стандартному виду.

Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.

Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.

4ac(-3)a²ck = (4 · (-3))a³c²k = -12a³c²k

Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Например, 4a²c²x и -41a²c²x – подобные одночлены, так как отличаются лишь коэффициентами.

4a²c²x и -41a²c² – не подобные одночлены, т.к. есть отличие в буквенных множителях.

Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.

Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:

1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;

2. привести все одночлены к стандартному виду;

3. сложить (вычесть) их коэффициенты;

4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.

Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.

Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.

Сумма подобных одночленов:

4a²c²x + (-41a²c²x) = (4 + (-41))a²c²x = -37a²c²x

Разность подобных одночленов:

4a²c²x — (-41a²c²x) = (4 — (-41))a²c²x = 45a²c²x

Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.

Действия над одночленами.

Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:

-(-7)aaa · (bc²)³ · (2ak)⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 2a⁷b³7c⁶k⁵a

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.

Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.

Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a⁸b³c⁶k⁵

Второй одночлен записан в стандартном виде.

Третий одночлен приведём, аналогично первому, к стандартному виду. Итак, третий одночлен в стандартном виде выглядит так: 14a⁸b³c⁶k⁵.

А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.

-(-7)aaa · 2(bc²)³ · (2ak)⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 2a⁷b³7c⁶k⁵a = 448a⁸b³c⁶k⁵ + 2a⁸b³c⁶k⁵ – 14a⁸b³c⁶k⁵ = (448 + 2 – 14)a⁸b³c⁶k⁵ = 436a⁸b³c⁶k⁵

Таким образом, мы привели подобные одночлены.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах

Варианты ответа:

10ах;

7ах;

7аахх.

Решение:

Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.

Ответ: 7ах.

№ 2.

Решение:

Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.