Как найти собственную скорость лодки
Решение задач на «движение по воде» многим дается с трудом. В них существует несколько видов скоростей, поэтому решающие начинаю путаться. Чтобы научиться решать задачи такого типа, надо знать определения и формулы. Умение составлять схемы очень облегчает понимание задачи, способствует правильному составлению уравнения. А правильно составленное уравнение — самое главное в решении любого типа задач.
Инструкция
В задачах «на движение по реке» присутствуют скорости: собственная скорость (Vс), скорость по течению (Vпо теч.), скорость против течения (Vпр. теч.), скорость течения (Vтеч.). Необходимо отметить, что собственная скорость водного суда – это скорость в стоячей воде. Чтобы найти скорость по течению, надо к скорости течения прибавить собственную. Для того чтобы найти скорость против течения, надо из собственной скорости вычесть скорость течения.
Первое, что необходимо выучить и знать «на зубок» — формулы. Запишите и запомните:
Vпо теч=Vс+Vтеч.
Vпр. теч.=Vс-Vтеч.
Vпр. теч=Vпо теч. — 2Vтеч.
Vпо теч.=Vпр. теч+2Vтеч.
Vтеч.=(Vпо теч. — Vпр. теч)/2
Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 или Vс=Vпо теч.+Vтеч.
На примере разберем, как находить собственную скорость и решать задачи такого типа.
Пример 1.Скорость лодки по течению 21,8км/ч, а против течения 17,2 км/ч. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Решение: Согласно формулам: Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 и Vтеч.=(Vпо теч. — Vпр. теч)/2, найдем:
Vтеч = (21,8 — 17,2)/2=4,62=2,3 (км/ч)
Vс = Vпр теч.+Vтеч=17,2+2,3=19,5 (км/ч)
Ответ: Vc=19,5 (км/ч), Vтеч=2,3 (км/ч).
Пример 2. Пароход прошел против течения 24 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите его собственную скорость в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.
За Х примем собственную скорость парохода. Составим таблицу, куда занесем все данные.
Против теч. По течению
Расстояние 24 24
Скорость Х-3 Х+3
время 24/ (Х-3) 24/ (Х+3)
Зная, что на обратный путь пароход затратил на 20 минут времени меньше, чем на путь по течению, составим и решим уравнение.
20 мин=1/3 часа.
24/ (Х-3) – 24/ (Х+3) = 1/3
24*3(Х+3) – (24*3(Х-3)) – ((Х-3)(Х+3))=0
72Х+216-72Х+216-Х2+9=0
441-Х2=0
Х2=441
Х=21(км/ч) – собственная скорость парохода.
Ответ: 21 км/ч.
Обратите внимание
Скорость плота считается равной скорости водоема.
Источники:
- решение задач на течение
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Данный материал представляет собой систему
задач по теме “Движение”.
Цель: помочь учащимся более полно овладеть
технологиями решения задач по данной теме.
Задачи на движение по воде.
Очень часто человеку приходится совершать
движения по воде: реке, озеру, морю.
Сначала он это делал сам, потом появились плоты,
лодки, парусные корабли. С развитием техники
пароходы, теплоходы, атомоходы пришли на помощь
человеку. И всегда его интересовали длина пути и
время, затраченное на его преодоление.
Представим себе, что на улице весна. Солнце
растопило снег. Появились лужицы и побежали
ручьи. Сделаем два бумажных кораблика и пустим
один из них в лужу, а второй — в ручей. Что же
произойдет с каждым из корабликов?
В луже кораблик будет стоять на месте, а в
ручейке — поплывет, так как вода в нем «бежит»
к более низкому месту и несет его с собой. То же
самое будет происходить с плотом или лодкой.
В озере они будут стоять на месте, а в реке –
плыть.
Рассмотрим первый вариант: лужа и озеро. Вода в
них не движется и называется стоячей.
Кораблик поплывет по луже только в том случае,
если мы его подтолкнем или если подует ветер. А
лодка начнет двигаться в озере при помощи весел
или если она оснащена мотором, то есть за счет
своей скорости. Такое движение называют движением
в стоячей воде.
Отличается ли оно от движения по дороге? Ответ:
нет. А это значит, что мы с вами знаем как
действовать в этом случае.
Задача 1. Скорость катера по озеру равна 16 км/ч.
Какой путь пройдет катер за 3 часа?
Ответ: 48 км.
Следует запомнить, что скорость катера в
стоячей воде называют собственной скоростью.
Задача 2. Моторная лодка за 4 часа проплыла по
озеру 60 км.
Найдите собственную скорость моторной лодки.
Ответ: 15 км/ч.
Задача 3. Сколько времени потребуется лодке,
собственная скорость которой
равна 28 км/ч, чтобы проплыть по озеру 84 км?
Ответ: 3 часа.
Итак, чтобы найти длину пройденного пути,
необходимо скорость умножить на время.
Чтобы найти скорость, необходимо длину пути
разделить на время.
Чтобы найти время, необходимо длину пути
разделить на скорость.
Чем же отличается движение по озеру от
движения по реке?
Вспомним бумажный кораблик в ручье. Он плыл,
потому что вода в нем движется.
Такое движение называют движением по течению.
А в обратную сторону – движением против
течения.
Итак, вода в реке движется, а значит имеет свою
скорость. И называют ее скоростью течения реки.
( Как ее измерить?)
Задача 4. Скорость течения реки равна 2 км/ч. На
сколько километров река относит
любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1час, за 4
часа?
Ответ: 2 км/ч, 8 км/ч.
Каждый из вас плавал в реке и помнит, что по
течению плыть гораздо легче, чем против течения.
Почему? Потому, что в одну сторону река
«помогает» плыть, а в другую — «мешает».
Рис.1
Те же, кто не умеет плавать, могут представить
себе ситуацию, когда дует сильный ветер.
Рассмотрим два случая:
1) ветер дует в спину,
2) ветер дует в лицо.
И в том и в другом случае идти сложно. Ветер в
спину заставляет бежать, а значит, скорость
нашего движения увеличивается. Ветер в лицо
сбивает нас, притормаживает. Скорость при этом
уменьшается.
Остановимся на движении по течению реки. Мы уже
говорили о бумажном кораблике в весеннем ручье.
Вода понесет его вместе с собой. И лодка,
спущенная на воду, поплывет со скоростью течения.
Но если у нее есть собственная скорость, то она
поплывет еще быстрее.
Следовательно, чтобы найти скорость движения
по течению реки, необходимо сложить собственную
скорость лодки и скорость течения.
Задача 5. Собственная скорость катера равна 21
км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч. Найдите
скорость катера по течению реки.
Ответ: 25км/ч.
Теперь представим себе, что лодка должна плыть
против течения реки. Без мотора или хотя бы весел,
течение отнесет ее в обратную сторону. Но, если
придать лодке собственную скорость ( завести
мотор или посадить гребца), течение будет
продолжать отталкивать ее назад и мешать
двигаться вперед со своей скоростью.
Поэтому, чтобы найти скорость лодки против
течения, необходимо из собственной скорости
вычесть скорость течения.
Задача 6. Скорость течения реки равна 3 км/ч, а
собственная скорость катера 17 км/ч.
Найдите скорость катера против течения.
Ответ: 14 км/ч.
Задача 7. Собственная скорость теплохода равна
47,2 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите
скорость теплохода по течению и против течения.
Ответ: 51,9 км/ч; 42,5 км/ч.
Задача 8. Скорость моторной лодки по течению
равна12,4 км/ч. Найдите собственную скорость
лодки, если скорость течения реки 2,8 км/ч.
Ответ: 9,6 км/ч.
Задача 9. Скорость катера против течения равна
10,6 км/ч. Найдите собственную скорость катера и
скорость по течению, если скорость течения реки
2,7 км/ч.
Ответ: 13,3 км/ч; 16 км/ч.
Связь между скоростью по течению и
скоростью против течения.
Введем следующие обозначения:
Vс. — собственная скорость,
Vтеч. — скорость течения,
V по теч. — скорость по течению,
V пр.теч. — скорость против течения.
Тогда можно записать следующие формулы:
V no теч = Vc + Vтеч ;
V np. теч = Vc — V теч.;
Попытаемся изобразить это графически:
Рис. 2
Вывод: разность скоростей по течению
и против течения равна удвоенной скорости
течения.
Vno теч — Vnp. теч = 2 Vтеч.
Vтеч = (V по теч — Vnp. теч ): 2
Задача.
1) Скорость катера против течения равна 23 км/ч, а
скорость течения 4 км/ч.
Найдите скорость катера по течению.
Ответ: 31 км/ч.
2) Скорость моторной лодки по течению реки равна
14 км/ч/ а скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость
лодки против течения
Ответ: 8 км/ч.
Задача 10. Определите скорости и заполните
таблицу:
|
V С. |
Vтеч. |
Vпо теч. |
Vпр.теч. |
|
|
1 |
12 км/ч |
3 км/ч |
||
|
2 |
23 км/ч |
25 км/ч |
||
|
3 |
24 км/ч |
20 км/ч |
||
|
4 |
4 км/ч |
17 км/ч: |
||
|
5 |
5 км/ч |
18 км/ч |
||
|
6 |
42 км/ч |
34 км/ч |
* — при решении п.6 смотри рис.2.
Ответ: 1) 15 и 9; 2) 2 и 21; 3) 4 и 28; 4) 13 и 9; 5)23 и 28; 6) 38 и 4.
11. Сюжетные текстовые задачи
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи на движение по воде
Верны те же формулы: [{large{S=vcdot t quad quad quad v=dfrac
St quad quad quad
t=dfrac Sv}}]
(blacktriangleright) Если тело движется по реке по течению:
(v_c) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
(v_t) — скорость течения;
тогда скорость движения тела (v=v_c+v_t).
Значит, [{large{S=(v_c+v_t)cdot t}}]
(blacktriangleright) Если тело движется по реке против течения:
(v_c) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
(v_t) — скорость течения;
тогда скорость движения тела (v=v_c-v_t).
Значит, [{large{S=(v_c-v_t)cdot t}}]
(blacktriangleright) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость (v_c=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.
Задание
1
#2120
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Антон знает, что собственная скорость его лодки равна (10, км/ч). При этом ему надо успеть проплыть (25, км) за (2) часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.
Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем (25 : 2 = 12,5, км/ч). То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем (2,5, км/ч).
Ответ: 2,5
Задание
2
#2124
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Лодка прошла (10, км) по течению, а затем (5, км) против течения. На весь путь лодка затратила (3, часа). Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна (2, км/ч). Ответ дайте в км/ч.
Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения, средняя скорость лодки:[v_{ср} = dfrac{10 + 5}{3} = 5, км/ч,.]
Ответ: 5
Задание
3
#826
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Катер береговой охраны прошёл по течению реки Конго 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.
Пусть (v) км/ч – скорость течения, (v > 0), тогда
(27 + v) – скорость перемещения катера по течению,
(27 — v) – скорость перемещения катера против течения,
(dfrac{120}{27 + v}) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
(dfrac{120}{27 — v}) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то: [dfrac{120}{27 + v} + 1 = dfrac{120}{27 — v}qquadLeftrightarrowqquad v^2 + 240 v — 729 = 0] – при (v neq pm 27), что равносильно (v_1 = 3, v_2 = -243), откуда получаем, что (v = 3) км/ч, так как (v > 0).
Ответ: 3
Задание
4
#3075
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.
Пусть (x) км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда можно составить следующее уравнение: [dfrac{40}{x+2}+dfrac 6{x-2}=3 quadRightarrowquad
dfrac{46x-68}{x^2-4}=3 quadRightarrowquad 3x^2-46x+56=0] Дискриминант равен (D=4cdot 361=(38)^2), следовательно, корнями будут (x_1=dfrac43) и (x_2=14). Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то (x_1) не подходит. Следовательно, (x=14).
Ответ: 14
Задание
5
#3864
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна (24) км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна (3) км/ч, стоянка длится (2) часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через (34) часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
Пусть (S) – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда: [dfrac S{24+3}+dfrac S{24-3}+2=34quadLeftrightarrowquad S=378] Тогда за весь рейс теплоход прошел (2S=2cdot 378=756) километров.
Ответ: 756
Задание
6
#827
Уровень задания: Равен ЕГЭ
От пристани A в направлении пристани В с постоянной скоростью отправился первый теплоход. Через час после этого от пристани В в направлении пристани А отправился второй теплоход, причём скорость второго теплохода на 1 км/ч меньше, чем скорость первого. При этом скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость первого теплохода в неподвижной воде, если расстояние от А до В равно 120 км, а встретились теплоходы посередине между пристанями А и В. Ответ дайте в км/ч.
Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А.
Пусть (v) км/ч – скорость первого теплохода в неподвижной воде, (v > 0), тогда
(v — 2) км/ч – скорость перемещения первого теплохода,
((v — 1) + 2) км/ч – скорость перемещения второго теплохода,
(dfrac{60}{v — 2}) ч – время, затраченное первым теплоходом,
(dfrac{60}{v + 1}) ч – время, затраченное вторым теплоходом.
Так как время, затраченное первым теплоходом, на час больше, то: [dfrac{60}{v — 2} — dfrac{60}{v + 1} = 1qquadLeftrightarrowqquad v^2 — v — 182 = 0] – при (v neq 2, v neq -1), откуда находим (v_1 = 14, v_2 = -13), значит, (v = 14) км/ч (т.к. (v > 0)).
Ответ: 14
Задание
7
#828
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть (v) км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда
(dfrac{90}{v}) ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,
(dfrac{45}{v + 5}) ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,
(dfrac{45}{v — 2,5}) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.
Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: [dfrac{90}{v} = dfrac{45}{v + 5} + dfrac{45}{v — 2,5},] откуда (v = 10) км/ч.
Ответ: 10
УСТАЛ? Просто отдохни
Повторим, как находить среднюю скорость, и рассмотрим конкретные примеры.
Чтобы найти среднюю скорость, надо:
1) найти весь пройденный путь;
2) найти все время движения;
3) весь пройденный путь разделить на все время движения:
На примерах посмотрим, как находить среднюю скорость.
1) Пешеход прошел 2 часа со скоростью 7 км/ч и 3 часа со скоростью 5 км/ч. Найти среднюю скорость движения пешехода на всем пути.
Решение:
Находим весь пройденный путь: 2∙7 + 3∙5 = 29 км.
Находим все время движения: 2+3=5 часов.
Чтобы найти среднюю скорость, весь пройденный путь делим на все время движения: 29:5=5,8 км/ч.
2) Автомобиль проехал 2 часа по шоссе со скоростью 100 км/ч, 1,5 часа по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч и 30 минут по проселочной дороге со скоростью 26 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Решение:
Переведем минуты в часы: 30 минут = 0,5 часа.
Найдем весь пройденный автомобилем путь:
2∙100 + 1,5∙40 + 0,5∙26 = 200 + 60 + 13= 273 км.
Находим все время движения:
2 + 1,5 + 0,5 = 4 часа.
Чтобы найти среднюю скорость движения автомобиля, разделим весь пройденный путь на все время движения:
273:4 = 68,25 км/ч.
3) Велосипедист проехал 3 часа со скоростью 12 км/ч, затем отдохнул час, после чего продолжил путь со скоростью 9 км/ч и проехал еще 2 часа. Найти среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути.
Решение:
Найдем весь путь велосипедиста:
3∙12 + 1∙0 + 2∙9 = 54 км.
Найдем все время движения:
3 + 1 + 2 = 6 часов.
Чтобы найти среднюю скорость движения велосипедиста, весь путь делим на все время движения:
54:6=9 км/ч.
Задачи на движение по реке
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 1. Катер движется против течения реки. За сколько часов он преодолеет расстояние 112 км, если его собственная скорость 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Решение: Сначала узнаем скорость движения катера против течения реки, для этого от его собственной скорости отнимем скорость течения:
30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения.
Теперь можно узнать за сколько часов катер преодолеет 112 км, разделив расстояние на скорость:
112 : 28 = 4 (ч).
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения,
2) 112 : 28 = 4 (ч).
Ответ: За 4 часа катер преодолеет расстояние 112 км.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.
Задача 2. Расстояние от пункта A до пункта B по реке равно 120 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от пункта A до B, если её собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Рассмотрите два варианта:
1) лодка движется по течению реки;
2) лодка движется против течения реки.
Решение: Если моторная лодка будет двигаться по течению реки, то её скорость будет равна сумме собственной скорости со скоростью течения реки:
27 + 3 = 30 (км/ч).
Значит расстояние между пунктами лодка преодолеет за:
120 : 30 = 4 (ч).
Если лодка будет двигаться против течения реки, то её скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения реки:
27 — 3 = 24 (км/ч).
Значит, чтобы узнать сколько времени потратит лодка на путь от пункта A до пункта B, надо расстояние разделить на скорость:
120 : 24 = 5 (ч).
Решение задачи по действиям для движения по течению реки можно записать так:
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость лодки,
2) 120 : 30 = 4 (ч).
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так:
1) 27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки,
2) 120 : 24 = 5 (ч).
Ответ:
1) При движении по течению реки моторная лодка потратит 4 часа на путь от пункта A до пункта B.
2) При движении против течения реки моторная лодка потратит 5 часов на путь от пункта A до пункта B.