Как найти среднюю мощность сигнала

Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Энергия и средняя мощность сигналов

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Проинтегрируем мгновенную мощность на некотором интервале времени и получим энергию сигнала на данном интервале:

(1)

Тогда средняя мощность сигнала на данном интервале времени равна:

(2)

Если сигнал является периодическим, то среднюю мощность можно получить путем усреднения на одном периоде повторения сигнала. В случае абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала , интервал интегрирования может быть расширен на всю ось времени:

(3)

Можно заметить, что средняя мощность абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала равна нулю при усреднении на бесконечном интервале времени. Аналогично, энергия периодического сигнала на всей оси времени равна бесконечности.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3)
справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Скалярное произведение сигналов. Обобщенная формула Рэлея

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные.
Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

(4)

Интеграл (4) возвращает одно число (скаляр), в общем случае комплексное.

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

(5)

Тогда скалярное произведение (4) можно трактовать как величину взаимной энергии сигналов и , т.е. степень взаимного влияния одного сигнала на другой. Если два сигнала и имеют нулевое скалярное произведение, то говорят, что они ортогональны.

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

(6)

Поменяем в (6) порядок интегрирования:

(7)

Можно сделать вывод: скалярное произведение сигналов во временно́й области, с точностью до множителя , равно скалярному произведению спектральных плотностей данных сигналов. Выражение (7) носит название обобщенной формулы Рэлея [1, стр. 67].

Равенство Парсеваля

Ранее мы уже рассматривали равенство Парсеваля,

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

(8)

или с учетом (4) равенство Парсеваля [2, стр. 49]:

(9)

Таким образом, энергия сигнала во временно́й и частотной областях равна с точностью до множителя .

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

(10)

(11)

Спектральная плотность энергии сигнала

При рассмотрении предельного перехода к преобразованию Фурье

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

(12)

Тогда использую ту же аналогию,
что и в разделе

«Преобразование Фурье непериодических сигналов»

можно заключить, что представляет собой спектральную плотность энергии сигнала. Проинтегрировав по всей оси , мы получим полную энергию сигнала, равно как проинтегрировав плотность стержня по длине мы получим полную массу.

Спектральная плотность энергии представляет собой квадрат АЧХ сигнала. Кроме того является вещественной неотрицательной функцией частоты . Спектральная плотность энергии сигнала измеряется в единицах джоуль на герц (Дж/Гц) или ватт, умноженный на секунду в квадрате (Втс).

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

Спектральные плотности сигналов

имеют убывающий по частоте характер

,

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

(13)

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Рисунок 1. Спектральная плотность энергии некоторых сигналов
а — в линейном масштабе; б — в логарифмическом масштабе

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

В логарифмическом масштабе (рисунок 1б), спектральные плотности энергии обнаруживают значительные отличия. Треугольный и экспоненциальный импульсы имеют одинаковую скорость убывания спектральной плотности энергии, а прямоугольный импульс имеет очень медленное затухание спектральной плотности энергии с ростом частоты. Гауссов импульс, напротив, отличается очень быстрым затуханием .

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность.
Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Смотри также

Преобразования Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1]

Радиотехнические цепи и сигналы.
Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[2]

Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[3]

Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:49)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

Energy Signal

A signal is said to be an energy signal if and only if its total energy E is finite, i.e., 0 < 𝐸 < ∞. For an energy signal, the average power P = 0. The nonperiodic signals are the examples of energy signals.

Power Signal

A signal is said to be a power signal if its average power P is finite, i.e., 0 < 𝑃 < ∞. For a power signal, the total energy E = ∞. The periodic signals are the examples of power signals.

Continuous Time Case

In electric circuits, the signals may represent current or voltage. Consider a voltage v(t) applied across a resistance R and i(t) is the current flowing through it as shown in the figure.

The instantaneous power in the resistance R is given by,

𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) … (1)

By Ohm’s law,

$$mathrm{p(t)=v(t)frac{v(t)}{R}=frac{v^{2}(t)}{R}, , , , cdot cdot cdot (2)}$$

Also,

𝑝(𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) = 𝑖²(𝑡)𝑅     … (3)

When the values of the resistance R = 1Ω, then the power dissipated in it is known as normalised power. Hence,

Normalised power, 𝑝(𝑡) = 𝑣²(𝑡) = 𝑖²(𝑡)     … (4)

If v(t) or i(t) is denoted by a continuous-time signal x(t), then the instantaneous power is equal to the square of the amplitude of the signal, i.e.,

𝑝(𝑡) = |𝑥(𝑡)|²     … (5)

Therefore, the average power or normalised power of a continuous time signal x(t) is given by,

$$mathrm{P=lim_{Trightarrow infty }frac{1}{T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}left | x(t) right |^{2}: dt: : :Watts :: : : : cdot cdot cdot (6)}$$

The total energy or normalised energy of a continuous time signal is defined as,

$$mathrm{E=lim_{Trightarrow infty }int_{-(T/2)}^{(T/2)}left | x(t) right |^{2}: dt: : : :Joules : : : cdot cdot cdot (7)}$$

Discrete Time Case

For the discrete time signal x(n), the integrals are replaced by summations. Hence, the total energy of the discrete time signal x(n) is defined as

$$mathrm{E=sum_{n=-infty }^{infty }left | x(t) right |^{2}}$$

The average power of a discrete time signal x(t) is defined as

$$mathrm{P=lim_{Nrightarrow infty }frac{1}{2N+1}sum_{n=-N}^{N}left | x(t) right |^{2}}$$

Important Points

• Both energy and power signals are mutually exclusive, i.e., no signal can be both power signal and energy signal.

• A signal is neither energy nor power signal if both energy and power of the signal are equal to infinity.

• All practical signals have finite energy; thus they are energy signals.

• In practice, the physical generation of power signal is impossible since its requires infinite duration and infinite energy.

• All finite duration signals of finite amplitude are energy signals.

• Sum of an energy signal and power signal is a power signal.

• A signal whose amplitude is constant over infinite duration is a power
  signal.

• The energy of a signal is not affected by the time shifting and time inversion. It is only affected by the time scaling.

Numerical Example

Determine the power and energy of the signal 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔₀𝑡 + 𝜑).

Solution

Given signal is,

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔₀𝑡 + 𝜑)

Average Power of the Signal

$$mathrm{P=lim_{Trightarrow infty }frac{1}{T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}left | x(t) right |^{2}: dt}$$

$$mathrm{Rightarrow P=lim_{Trightarrow infty }frac{1}{T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}left | A, sin (omega _{0}t+varphi ) right |^{2}: dt}$$

$$mathrm{Rightarrow P=lim_{Trightarrow infty }frac{A^{2}}{T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}left |frac{1-cos (2omega _{0}t+2varphi )}{2} right |: dt}$$

$$mathrm{Rightarrow P=lim_{Trightarrow infty }frac{A^{2}}{2T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}, dt-frac{A^{2}}{2T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}cos (2omega _{0}t+2varphi ) : dt}$$

$$mathrm{Rightarrow P=lim_{Trightarrow infty }frac{A^{2}}{2T}int_{-(T/2)}^{(T/2)}, dt-0=lim_{Trightarrow infty }frac{A^{2}}{2T}left [ frac{T}{2}+frac{T}{2} right ]=frac{A^{2}}{2}
}$$

Normalised Energy of the Signal

$$mathrm{E=int_{-infty }^{infty }left | x(t)right |^{2}: dt=int_{-infty }^{infty } left | A, sin (omega _{0}t+varphi ) right |^{2}: dt}$$

$$mathrm{Rightarrow E=A^{2}int_{-infty }^{infty }left [ frac{1-cos (2omega _{0}t+2varphi )}{2} right ]: dt}$$

$$mathrm{Rightarrow E=frac{A^{2}}{2}int_{-infty }^{infty }dt-frac{A^{2}}{2}int_{-infty }^{infty }cos (2omega _{0}t+2varphi ): dt}$$

$$mathrm{Rightarrow E=frac{A^{2}}{2}left [ t right ]_{-infty }^{infty }-0=infty }$$

Мощность и энергия сигналов

Понятия
мощности и энергии в теории
сигналов не относятся к характеристикам
каких-либо физических величин сигналов,
а являются их количественными
характеристиками, отражающими определенные
свойства сигналов и динамику изменения
их значений (отсчетов) во времени, в
пространстве или по любым другим
аргументам.

Для произвольного,
в общем случае комплексного, сигнала
s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) — вещественные
функции, мгновенная мощность (instantaneous
power) сигнала по определению
задается выражением:

w(t) =
s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a²(t)+b²(t)
= |s(t)|²,
(21)

т.е. функция
распределения мгновенной мощности по
аргументу сигнала равна квадрату функции
его модуля, для вещественных сигналов
— квадрату функции амплитуд.

Аналогично для
дискретных сигналов:

w_n
= s_n
s*_n
= [a_n+jb_n]
[a_n-jb_n]
= a_n²
+ b_n²
= |s_n|²,
(21′)

Энергия сигнала
(также по определению) равна интегралу
от мощности по всему интервалу
существования или задания сигнала. В
пределе:

Е_s =w(t)dt
=|s(t)|²dt.
(22)

E_s
=w_n
=|s_n|².
(22′)

Мгновенная
мощность w(t) является плотностью мощности
сигнала, так как измерения мощности
возможны только через энергию на
интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/t)|s(t)|²dt

Энергия сигналов
может быть конечной или бесконечной.
Конечную энергию имеют финитные сигналы
и сигналы, затухающие по своим значениям
в пределах конечной длительности,
которые не содержат дельта-функций и
особых точек (разрывов второго рода и
ветвей, уходящих в бесконечность). В
противном случае их энергия равна
бесконечности. Бесконечна также энергия
периодических сигналов.

Как правило,
сигналы изучаются на определенном
интервале Т, для периодических сигналов
— в пределах одного периода Т, при этом
средняя мощность сигнала:

W_T(τ)
= (1/T)w(t)
dt = (1/T)|s(t)|²
dt. (23)

Понятие средней
мощности может быть распространено и
на незатухающие сигналы, энергия которых
бесконечно велика. В случае неограниченного
интервала Т строго корректное определение
средней мощности сигнала должно
производиться по формуле:

W_s =
w(t)
dt. (23′)

Квадратный корень
из значения средней мощности характеризует
действующее (среднеквадратическое)
значение сигнала.

Применительно к
электрофизическим системам, данным
понятиям мощности и энергии соответствуют
вполне конкретные физические величины.
Допустим, что функцией s(t) отображается
электрическое напряжение на резисторе,
сопротивление которого равно R Ом. Тогда
рассеиваемая в резисторе мощность, как
известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|²/R,

а полная выделенная
на резисторе тепловая энергия определяется
соответствующим интегрированием
мгновенной мощности w(t) по интервалу
задания напряжения s(t) на резисторе R.
Физическая размерность мощности и
энергии в этом случае определяется
соответствующей физической размерностью
функции напряжения s(t) и сопротивления
резистора R. Для безразмерной величины
s(t) при R=1 это полностью соответствует
выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем
случае сигнальные функции s(t) не имеют
физической размерности, и могут быть
формализованным отображением любого
процесса или распределения какой-либо
физической величины, при этом понятия
энергии и мощности сигналов используются
в более широком смысле, чем в физике.
Они представляют собой метрологические
характеристики сигналов.

Из сравнения
выражений (19) и (22) следует, что энергия
и норма сигнала связаны соотношениями:

E_s
= ||s(t)||², ||s(t)|| = (24)

Вычислим энергию
суммы двух произвольных сигналов u(t) и
v(t)

E
=[u(t)+v(t)]²
dt = E_u
+ E_v
+ 2u(t)v(t)
dt.(25)

Как следует из
этого выражения,энергия сигналов
(а равно и их мощность), в отличие от
самих сигналов, в общем случае не обладают
свойством аддитивности. Энергия
суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы
энергий составляющих сигналов, содержит
в себе и так называемую энергию
взаимодействия сигналов или взаимную
энергию

E_uv
= 2u(t)v(t)
dt.(26)

Нетрудно заметить,
что энергия взаимодействия сигналов
равна их удвоенному скалярному
произведению

E_uv= 2u(t),
v(t).
(26′)

При обработке
данных используются также понятия
мощности взаимодействия двух сигналов
x(t) и y(t):

w_xy(t)
= x(t) y*(t), (27)

w_yx(t)
= y(t) x*(t),

w_xy(t)
= w*_yx(t).

Для вещественных
сигналов:

w_xy(t)
= w_yx(t)
= x(t) y(t). (28)

С использованием
выражений (27-28) интегрированием по
соответствующим интервалам вычисляются
значения средней мощности взаимодействия
сигналов на определенных интервалах Т
и энергия взаимодействия сигналов.

Скалярное
произведение произвольных сигналовu(t) и v(t) отражает степень их связи
(сходства) по форме и положению в
пространстве сигналов, и обозначается
как u(t),
v(t).

u(t), v(t)
= ||u(t)||||v(t)||
cos , (29)

Физическую сущность
скалярного произведения векторов в
двумерном пространстве можно определить
как произведение «длины» (нормы)
одного вектора на проекцию второго
вектора по «направлению» первого
вектора.

Ортогональные
сигналы. Два сигнала
называются ортогональными (orthogonal), если
имеют нулевое скалярное произведение

u(t),
v(t)
=u(t)v(t)
dt = 0.

Соответственно,
два таких сигнала в своем функциональном
пространстве являются взаимно
перпендикулярными (угол между сигналами
равен φ = 90^о), полностью независимыми
друг от друга (некоррелированными, r =
cos φ=0, и имеют нулевую энергию взаимодействия
(E_uv= 0).

Энергия и мощность
суммы ортогональных сигналов обладают
свойством аддитивности, т.к. имеют
нулевое значение скалярного произведения
и, соответственно, нулевую энергию
взаимодействия.

Вычисление
скалярного произведения обычно
производится непосредственно по
сигнальным функциям. Для аналоговых
сигналов:

s(t),
v(t)
=s(t)v(t) dt. (30)

Для дискретных
сигналов в N-мерном пространстве:

s_n, v_n=s_n
v_n. (30′)

Линейное пространство
аналоговых сигналов с таким скалярным
произведением называется гильбертовым
пространством Н (второе распространенное
обозначение — L2). Линейное пространство
дискретных и цифровых сигналов —
пространством
Евклида
(обозначение пространства — R2). В этих
пространствах справедливо фундаментальное
неравенство Коши-Буняковского

|s,v|||s||||v||,
(31)

т.к.
модуль косинуса в (2.1.4) может быть только
равным или меньше 1

Для комплексного
гильбертова пространства скалярное
произведение вычисляется по формуле

s(t),
v(t)
=s(t)v*(t)
dt. (32)

При определении
функций в пространстве L²[a,b]
вычисление скалярного произведения
производится соответственно с пределами
интегрирования от а до b.

Косинус угла между
сигналами:

cos =s(t),v(t)/(||s||||v||).
(33)

Однако при
рассмотрении выражения (33) совместно с
выражением для квадрата метрики сигналов

²(s,v)
=[s(t)-v(t)]²dt = ||s||²+ ||v||²— 2||s||||v||
cos.

можно отметить
следующие закономерности. При φ=0 (cos
φ = 1) сигналы «совпадают по направлению»
и расстояние между ними минимально. При
φ = π/2 (cos φ = 0) сигналы «перпендикулярны
друг другу» (иначе говоря – ортогональны),
и проекции сигналов друг на друга равны
0. При φ = π (cos φ = -1) сигналы «противоположны
по направлению» и расстояние между
сигналами максимально. Фактор
расстояния между сигналами играет
существенную роль при их селекции в
многоканальных системах.

Корреляция
сигналов.

Значение косинуса
в (33) изменяется от 1 до -1, и не зависит
от нормы сигналов («длины» векторов).
Максимальное значение cos φ = 1 соответствует
полной тождественности относительной
динамики сигналов, минимальное значение
cos φ = -1 наблюдается при полной
противоположности значений относительной
динамики сигналов. По существу, коэффициент
r = cos φ является интегральным
коэффициентом степени сходства формы
сигналов по пространству их задания. С
учетом этого он и получил название
коэффициента корреляции сигналов.

Однако
количественные значения коэффициентов
корреляции существенно зависят от
выбора нулевой точки сигнального
пространства.

Для получения
значений коэффициентов корреляции,
независимых от нуля сигнального
пространства и от масштаба единиц
измерений, необходимо вычислять
коэффициент по центрированным сигналам,
при этом в оценках коэффициента появляется
знаковый параметр совпадения или
несовпадения по «направлению»
корреляции и исчезает зависимость от
масштаба представления сигналов. Это
позволяет вычислять коэффициенты
корреляции различных сигналов вне
зависимости от физической природы
сигналов и их величины.

Разложение
сигнала в ряд.
Произвольный
сигнал s(t) 
H (пространство Гильберта), заданный на
интервале [a, b], может быть разложен в
ряд по упорядоченной системе
ортонормированных базисных функций
u_k(t)

s(t)
=c_ku_k(t).
(34)

Для
нахождения значений коэффициентов с_k
умножим обе части данного выражения на
базисную функцию u_m(t)
с произвольным номером m и проинтегрируем
результаты по переменной t, при этом
получим

s(t)u_m(t)
dt =c_k
u_mu_k
dt.

С
учетом ортонормированности функций
u_i(t),
в правой части этого равенства остается
только один член суммы с номером m = k при
u_ku_k
dt =1, который, по левой части уравнения,
представляет собой скалярное произведение
сигнала и соответствующего m = k базисного
вектора, т.е. проекцию сигнала на
соответствующее базисное направление

c_k
=s(t)u_k(t)
dt. (35)

Таким
образом, в геометрической интерпретации
коэффициенты с_k
представляют собой проекции вектор —
сигнала s(t) на соответствующие базисные
направления u_k(t),
т.е. координаты вектора s(t) по координатному
базису, образованному системой
ортогональных функций u(t), в пределе —
бесконечномерной. При практическом
использовании количество членов ряда
(34) ограничивается определенным значением
N, при этом для любого значения N
совокупность коэффициентов c_k
обеспечивают наименьшее по средней
квадратической погрешности приближение
к заданному сигналу.

Соответственно,
энергия взаимодействия двух сигналов
x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному
произведению их координатных проекций,
которое, с учетом взаимной ортогональности
всех проекций, будет равно:

x(t),
y(t)=x(t)y(t)
dt =[a_nu_n(t)]
[b_mu_m(t)]
dt =a_nb_n.
(36)

Косинус
угла между векторами x(t) и y(t) с использованием
выражения (36):

cos

=a_nb_n
/(||x(t)||||y(t)||).

Возможность
разложения непрерывных сигналов и
функций в обобщенные ряды по системам
ортогональных функций имеет огромное
принципиальное значение, так как
позволяет вместо изучения несчетного
множества точек сигнала ограничиться
счетной системой коэффициентов ряда.

К
системам базисных функций, которые
используются при разложении сигналов,
предъявляют следующие основные
требования:

—
для любого сигнала ряд разложения должен
сходиться;

—
при ограничении ряда по уровню остаточной
погрешности расхождения с заданным
сигналом количество членов ряда должно
быть минимальным;

—
базисные функции должны иметь достаточно
простую аналитическую форму;

—
коэффициенты разложения в ряд должны
вычисляться относительно просто.

Согласно
теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий
конечное число точек нарушения
непрерывности первого рода, и конечный
по энергии на интервале [a, b], может быть
разложен по системе ортонормальных
функций, если существуют интегралы
модуля сигнала и модуля его первой
производной, т.е.:

|s(t)|
dt < ,
|s'(t)|
dt <
.

Наибольшее
распространение в качестве базисных
функций частотного разложения нашли
комплексные экспоненциальные функции
exp(pt) при p = jf (преобразование
Фурье) и
p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых
с использованием формул Эйлера

exp(jωt)
= cos(ωt) + j sin(ωt), exp(-jωt) = cos(ωt) — j sin(ωt),

cos(ωt)
= [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2, sin(ωt) =
[ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j

всегда
можно перейти к вещественным
синус-косинусным функциям. Термин
«частотное разложение» обязан
своим происхождением независимой
переменной частотного представления
сигналов, которая измеряется в единицах,
обратных единицам времени, т.е. в единицах
частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного
преобразования не следует связывать
только с временным представлением
сигналов, т.к. математический аппарат
преобразования не зависит от физического
смысла переменных. Так, например, при
переменной «х», как единице длины,
значение f будет представлять собой
пространственную частоту — число
периодических изменений сигнала на
единице длины с размерностью 1/|х|.

Разложение
энергии сигнала.
Допустим,
что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд
Фурье по гармоническим функциям. Вычислим
энергию сигнала непосредственной
подстановкой выражения (2.3.2) в выражение
(2.2.2)

E_s
=s²(t)
dt =c_mc_nu_mu_n
dt
=c_mc_n
u_mu_n
dt.
(37)

В
этом выражении, в силу ортонормированности
базисной системы, отличны от нуля только
члены с номерами m = n. Отсюда

E_s
=s²(t)
dt =c_n²,
(38)

т.е.
при разложении сигнала в обобщенный
ряд Фурье, энергия сигнала не изменяется
и равна сумме энергии всех составляющих
ряда. Это соотношение называют равенством
Парсеваля.

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для определенности положим, что f(t) имеет смысл тока i(t). Тогда действующее значение периодического негармонического тока определяется согласно (3.5), где i(t) определяется уравнением (5.10): (5.17)

Подставив это значение тока в (3.5), после интегрирования получим (5.18)

т. е. действующее значение периодического негармонического тока I полностью определяется действующими значениями его гармоник I_k и не зависит от их начальных фаз _k.

Аналогичным образом находим действующее значение периодического несинусоидального напряжения: (5.19)

Среднее значение тока определяется согласно общему выражению (3.9). Причем обычно берут среднее значение i(t) по абсолютной величине (5.20)

Аналогично определяется U_ср(2).

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.

Средняя активная мощность периодического несинусоидального сигнала (5.21) где (5.22)

_k — фазовый сдвиг между током и напряжением k-й гармоники.

Подставляя значения i(t) и u(t) из (5.22) в уравнение (5.21), после интегрирования получаем: (5.23) т, е. средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник. Формула (5.23) является одной из форм широко известного равенства Парсеваля.

Аналогично находим реактивную мощность (5.24) и полную мощность (5.25)

Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов для негармонических сигналов (5.26)

Величина P_иcк = носит название мощности искажений и характеризует степень различия в формах тока i(t) и напряжения u(t).

Кроме мощности искажений периодические негармонические сигналы характеризуются еще рядом коэффициентов: мощности, k_м = P/S; формы K_ф = U/U_ср(2); амплитуды K_a = U_m/U; искажений k_и = U₁/U; гармоник k_г = и др.

Для синусоидального сигнала k_ф = /21,11; k_a = 1,41; k_и = 1; k_г = 0.

В этой статье Вы узнаете что такое информация и сигнал, какие бывают сигналы, их виды, параметры. Увидите реальную спектральную плотность мощности. Что происходит с сигналом в канале связи. Познакомимся с эффектом Доплера. Узнаем больше о шумах и помехах. 

Что такое информация

Под информацией понимают совокупность сведений о каких-либо событиях, явлениях или предметах, предназначенных для передачи, приёма, обработки, преобразования, хранения.

К.Э. Шеннон, как один из основателей теории информации образно её определил так: «Информация – послание, которое уменьшает неопределённость».

Если я Вам скажу что-то, что для Вас известно, то это не будет для Вас информацией. Я если скажу, то что Вы не знали, уменьшу вашу неопределенность, то это уже будет для Вас информацией. 

Что такое сигнал

Сигнал – это некоторый физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым сообщением. Пример – электрический сигнал, радиосигнал, как частный случай электромагнитного сигнала, акустический сигнал, оптический и т.д. В зависимости от того, в какой среде идет распространение сигнала. Сигнал – это материальный носитель информации.

Обычно сигнал, независимо от его физической природы, представляют, как некоторую функцию времени x(t). Такое представление есть общепринятая математическая абстракция физического сигнала. 

Типы сигналов

• Детерминированный, или регулярный – это сигнал, закон изменения которого известен и известны все его параметры. 

Такой сигнал передает информацию? Информация уменьшает неопределенность. В детерминированном сигнале мы знаем все, мы знаем какой он будет через минуту, через год. Детерминированный сигнал информацию в себе никакую не несет. Например, сигнал с гетеродина, мы сами его сформировали, задали частоту, амплитуду, фазу. 

• Квазидетерминированный — это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров является случайной величиной. 

Пример: x(t)=Asin(wt+j), где амплитуда А и j — случайная величина.

Например, мы знаем его частоту, но не знаем амплитуду и фазу — это квазидетерминированный сигнал, “квази”-почти, почти определенный сигнал. Информация вносит некоторую случайность. Если мы знаем амплитуду, частоту и фазу, значит информации там нет. Квазидетерминированный сигнал передает информацию, передача информации идет в тех параметрах, которые случайны, в нашем примере амплитуда и фаза случайные величины. Именно в этих величинах передается информация. Информация всегда несет в себе хаос, случайность. Все модулированные сигналы, ЧМ, ФМ это квазидетерминированные сигналы.       

• Случайным называют сигнал, мгновенные значения которого не известны, а могут быть лишь предсказаны с некоторой вероятностью.

Кроме этого все сигналы могут быть непрерывными (аналоговыми) и дискретными (цифровыми или импульсными).

О случайном сигнале мы можем судить о его вероятностных характеристиках. Мы можем знать его плотность вероятности, но какое значение примет сигнал через секунду, минуту мы не знаем. Когда мы работаем со случайным сигналом, мы всегда работаем с вероятностью. 

Параметры сигналов

Какие параметры мы будем использовать? Это энергия за некоторый интервал времени T. X(t) это сам сигнал, чтобы определить энергию мы должны взять по модулю, возвести в квадрат, проинтегрировать на некотором промежутке времени и получим энергию. 

Средняя мощность за некоторое время t. Это энергия деленная на время.

Мгновенная мощность, если средняя мощность измеряется на некотором участке времени, то мгновенная измеряется в один, конкретный момент времени. 

Средняя мощность измеряется на промежутке времени, а мгновенная в точке. 

Спектральная плотность энергии и мощности

Спектральная плотность сигнала характеризует распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность энергии, это как у нас энергия распределяется по частотному диапазону. Вычисляется через преобразование Фурье. 

И соответственно, СПМ это, как у нас распределяется мощность по частотному диапазону. 

В формуле, модуль в квадрате это спектральная плотность энергии, поделили ее на время T и по определению, время T должно стремиться к бесконечности. Но на практике, никто не ждет бесконечности, все оценивают СПМ на некотором интервале времени. 

СПМ это некоторая функция зависящая от частоты. По шкале СПМ возьмем 10 Вт/Гц, и окрестности в 1 Гц по частоте. То в полосе 1 Гц будет заключено 10 Вт мощности. 

Есть два сигнала и представлены их спектральные плотности мощности. ВОПРОС. Мощность какого сигнала больше? 

Мы должны определить площадь под кривой, проинтегрировать. S1=2*10=20 Вт, S2=1*30=30 Вт. В первом случае S1 имеет мощность 20 Вт, а во втором 30 Вт. 

СПМ реального сигнала, отображаемая на спектральном анализаторе.

Современные анализаторы спектра могут считать автоматически площадь, вы включаете определение мощности, задаете частотный интервал в котором он должен измерить эту мощность и он сам вычисляет канальную мощность сигнала. 

Что происходит с сигналом в канале связи

С ним происходят ослабления, задержка, доплеровский сдвиг, шумы и тому подобное. 

Ослабление

Сигнал ослабевает за счет рассеивания в пространстве. Например, у нас есть источник радиосигнала, всенаправленный и изотропный, т.е. он во все стороны излучает одинаково. Получается сферический фронт волны. На одном расстоянии r1 и на другом r2. 

Пусть излучаемая мощность 100 Вт, все эти 100 ватт распределяются по всей сфере. Приемные антенны не большие, они охватывают только небольшой участок пространства. И количество мощности, проходящее через небольшой участок пространства, будет разный на расстоянии r1 и r2. Потому что плотность мощности на расстоянии r1 будет выше, чем на расстоянии r2. 

Площадь сферы равна S=4pi*R^2. И эта формула фигурирует во всех формулах оценки дальности радиосвязи. Потому что радиоволна равномерно рассеивается в пространстве. И помимо того, что сигнал сам ослабевает по мере распространения в пространстве, электромагнитная волна проходит через некую среду, которую пытается нагреть и за счет этого теряет свою энергию. 

Задержка распространения сигнала

Не смотря на то, что электромагнитная волна, это самое быстрое, что есть у нас во вселенной, тем не менее скорость распространения этой волны конечна. И поддается измерениям. Например, на 1 км задержка распространения  ~3.3 мкс. 

На что влияет задержка распространения? Обычно, мы точно не знаем расстояние между передатчиком и приемником с точность до микрон. И задержка распространения, которая нам неизвестна, мы не знаем расстояние и не знаем за какое время примем этот сигнал. И соответственно мы не знаем начальную фазу сигнала. 

Доплеровский сдвиг частоты

Приняли сигнал с частотой, который отличается от той, которую мы передали. Это дало информацию о скорости объекта. Доплеровский сдвиг частоты появляется, когда у нас либо приемник, или передатчик, двигаются относительно друг друга. Либо двигается отражающая среда, передатчик излучил, радиосигнал отразился от какого-то объекта, если этот объект тоже двигается, то возникает доплеровский сдвиг частоты. Более подробно читайте полную статью “Доплеровский сдвиг частоты”. 

Воздействие помех и шумов

И в эфире есть шумы и собственные шумы приемника. Про шумы подробнее в отдельной статье. 

Замирания сигнала

Замирания сигнала это процесс, когда у сигнала, случайным образом скачет амплитуда и фаза. То больше амплитуда, то меньше. Выделяют:

• Быстрые замирания (интерференционное замирание) — накладывание собственных копий сигнала от переотражений с разными фазами. Вызываются многолучевым распространением сигнала. 

Когда есть источник, есть приемник, есть множество путей распространения радиоволны, одна волна может прийти прямой, другая переотраженной. 

Например, одна волна прошла 100 км, другая 101 км, к чему это приводит? Если две электромагнитные волны проделали разный путь, то фазы у этих сигналов тоже будут разные. Соответственно, если сигналы сложились в противофазе, то сигналы друг друга подавили, если сложились в фазе, то друг друга усилили. 

Из-за многолучевого распространения, каждый луч проделывает разное расстояние, это приводит к тому, что начальная фаза каждого луча отличается. И когда в приемнике эти сигналы складываются, они могут друг друга усиливать либо ослаблять. Это приводит к тому, что амплитуда результирующего сигнала постоянно изменяется, это и есть быстрые замирания.  

• Медленные замирания (затенение) – возникновение препятствий на пути следования радиоволны. Если радиоволна распространяется в пространстве и встречает препятствия, причем эти препятствия то появляются, то исчезают. 

На рисунке ниже представлен характер изменения амплитуды сигнала от времени. Сплошной линией показаны быстрые замирания, пунктирной медленные. Медленные замирания происходят из за затенения, быстрые из-за многолучевого распространения. Получается, что амплитуда постоянно скачет на десятки дБ. 

Межсимвольная интерференция

Возникает из-за многолучевого распространения. 

Линейные искажения

Канал связи всегда имеет АЧХ и ФЧХ. Какие-то частоты он усиливает, какие-то ослабляет, фаза где-то поворачивается в одну сторону, где-то в другую это и есть линейные искажения. 

Если мы хотим сделать модель канала связи, то чем больше этих параметров мы учтем, тем точнее будет эта модель.