Среднее значение признака и методы вычисления этой величины
Полученные
при обследовании значения признаков
характеризуют каждую конкретную особь
в отдельности. Общие свойства совокупности
оценивают с помощью средней величины,
которую обозначают в биометрии буквой
M или
.
Этот показатель используется для
характеристики однородных групп
животных по какому-либо признаку,
сравнения отдельных стад и пород, оценки
предприятий, хозяйств и конкретных
специалистов. Так, например, если в одном
хозяйстве средний удой на корову
составляет 3000 кг, а в другом — 4000 кг, то
по среднему значению признака видно,
где лучше стадо.
Различают
несколько методов вычисления средней
арифметической величины. Наиболее
простой, который используют в основном
для малых выборок — метод
суммирования:
складывают все значения вариант и делят
их
сумму
на объем выборки. В математическом
выражении это выглядит так:
∑V
где ∑ — знак суммирования,
M
= ─── ; V — значения вариант,
n
n — объем выборки.
Для
примера найдем с помощью этого метода
среднюю живую массу 10 гусей, кг: 5,6
7,0 6,3 7,4 8,0 6,7 6,4 6,9 6,1 6,8
5,6
+ 7,0 + 6,3 + 7,4 + 8,0 + 6,7 + 6,4 + 6,9 + 6,1 + 6,8 67,1
M
= ────────────────────────────────
= ─── = 6,71 кг.
10
10
В
случаях, когда значения признака имеют
разные частоты (вес) или в каждой группе
уже известны средние показатели, среднюю
арифметическую величину определяют
методом
взвешивания:
каждое значение признака умножают на
его частоту, полученные произведения
суммируют и делят на объем выборки.
Среднюю взвешенную величину вычисляют
по формуле:
p1V1
+ p2V2
+ pnVn
∑рV где М — средняя взвешенная,
M
= ───────────── = ────; p
— частоты,
p1
+ p2
+ pn
∑p V — варианты.
Для
примера вычислим этим методом среднюю
жирность молока коровы Зорьки за лактацию
(табл.3).
3.
Продуктивность коровы Зорька по месяцам
лактации
|
Месяцы |
Удой, |
Жирность молока, |
1% (рV) |
|
Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Январь |
247 621 720 723 608 510 501 435 434 170 ∑р |
3,6 3,6 3,4 3,6 3,5 3,8 3,7 3,7 4,0 4,2 |
889 2226 2448 2603 2222 1938 1854 1609 1736 714 ∑рV |
В
этом примере за конкретное значение
признака (V) взят процент жира в молоке
коров, а за частоту (р) — месячный удой.
∑рV
18155
M
= ──── = ──── = 3,65(%)
∑р
4969
При
группировке цифрового материала в
вариационный ряд среднюю арифметическую
величину удобно вычислять методом
условных отклонений по
формуле:
∑рa
где A — условно среднее
значение
M
= A + i ──── ; i — классовый интервал
n
р — частота, а — условное откл.
n
— объем выборки
Используя
этот метод, вычислим среднюю длину
шерсти овец породы прекос по следующим
данным: (см)
7,5
8,5 8,0 8,0 9,0 10,0 8,5 10,0 7,0 6,0 7,5 9,0
10,0 8,0
9,0
10,0 7,0 9,5 8,5 8,0 10,0 7,5 8,5 9,0 8,0 9,5
8,5 8,0
10,0
12,0 11,0 9,0 8,5 8,0 8,5 9,0 11,0 7,0 9,0 8,5
n
= 40
Для
построения вариационного ряда находим
минимальное и макси-мальное значения
признака, определяем лимит, устанавливаем
число классов и величину классового
промежутка.
1.
min
= 6,0; max
= 12,0; lim
= 12,0 — 6,0 = 6,0
2.
Число классов — 6
lim
6,0
3.
Классовый промежуток i = ──────────
= ─── = 1,0 (см).
число
классов 6
Схема
расчета приведена в таблице 4.
4.
Алгоритм вычисления средней арифметической
величины методом условных отклонений
|
Границы ( |
Средние класса |
Частота (р) |
Условные |
р×а |
|
6,0 7,0 А 9,0 10,0 11,0 |
6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 |
1 6 15 9 6 3 n=40 |
-2 -1 0 1 2 3 |
-2 -6 0 9 12 9 ∑рa |
После
построения вариационного ряда выделяем
условно среднее значение признака — A.
Обычно это среднее значение класса с
максимальной частотой. В нашем примере
A = 8,5. Затем проставляем условные
отклонения (а), которые показывают, на
сколько классовых промежутков каждый
из классов отклоняется от условно
среднего или нулевого класса. Вверх от
нулевого идут отрицательные отклонения,
вниз — положительные. После заполнения
таблицы находим для каждого класса
произведение частот (р) на отклонения
(а) и их сумму ( ∑ра). Теперь по формуле
находим среднее значение признака:
∑рa
22
М
= A
+ i
───── = 8,5 + 1,0 ─── = 9,05 (см)
n
40
Кроме
средней арифметической величины
среднее значение признака характеризуют
средняя геометрическая (G), средняя
квадратическая (S), средняя гармоническая
(H), мода (Мо) и медиана (Ме). Сведения об
этих величинах и их использовании можно
найти в специальной литературе по
биометрии.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).
Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.
- Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.
Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.
ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:
- средняя арифметическая;
- средняя гармоническая;
- средняя геометрическая;
- средняя квадратическая.
Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.
- Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
- Средняя арифметическая (взвешенная) – варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.
ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
- Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):
(8.8 -формула средней арифметической простой)
- где хi – вариант, а n – количество единиц совокупности.
- Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):
Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
- Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.
Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
(8.9 -формула средней арифметической взвешенной)
- где хi – вариант, а fi – частота или статистический вес.
- Пример вычисления средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса
|
Желаемый размер заработной платы, тыс.руб хi |
Количество работников fi | хifi |
| 1 | 2 | 3 |
|
50 100 200 350 500 |
6
10 20 9 5 |
300
1000 4000 3150 2500 |
| Итого | 50 | 10950 |
Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):
Пример вычисления средней арифметической взвешенной
Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.
Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.
- Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.
- Средняя гармоническая простая представлена ниже:
(8.10 – формула средней гармонической простой)
Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле
(8.11- формула средней гармонической взвешенной)
где xi – вариант, n – количество вариантов, Vi – веса для обратных значений xi.
Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.
- Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).
Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.
- Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?
На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.
- Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.
Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).
- Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:
Пример вычисления средней гармонической простой (невзвешенной)
Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов
- Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).
Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.
Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)
Номер сделки Сумма продажи V, млн руб. Курс рубля x, руб. за 1 дол. V/x 1 2 3 4 1
2
3
4
5
455,00
327,50
528,00
266,00
332,50
65,00 65,50
66,00
66,50
66,50
7,00
5,00
8,00
4,00
5,00
итого 1909,00 – 29,00 Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.
- Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;
- Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:
то, за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5 млн.руб., что не соответствует действительности.
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.
- Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12
то, за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5 млн.руб., что не соответствует действительности.
(8.12)
- Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
- Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13
(8.13)
Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.
Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой
Средняя квадратическая простая (формула 8.14)
8.14
Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной
Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)
(8.15) – Формула -средняя квадратическая взвешенная
Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.
Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см. по ссылке
Средняя арифметическая взвешенная и средняя гармоническая
Краткая теория
В процессе обработки и обобщения статистических
данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило,
индивидуальные значения одного и того же признака у различных единиц
совокупности неодинаковы. Средняя величина — обобщающая характеристика
изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный
уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и
времени. Например, при изучении доходов рабочих концерна обобщающей
характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую
сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных
и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентов по
вкладам в имущество концерна за рассматриваемый период (год, квартал, месяц)
делят на численность рабочих концерна.
Очень важное правило — вычислять средние величины
лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия
средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное,
присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние
величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности,
выделив качественно однородные группы.
Средняя, рассчитанная по совокупности в целом,
называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, — групповыми
средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая
средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных
условиях данной группы. Сравнительный анализ групповых и общих средних
используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого
общественного явления.
В статистике используются различные виды
средних величии: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя
геометрическая, средняя квадратическая, средняя хронологическая и т. д. При
использовании средних величин важно правильно выбрать вид средней и способ ее
расчета. Самой распространенной средней, используемой в социально-экономическом
анализе, является средняя арифметическая.
Средние арифметические бывают простые и
взвешенные. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:
где
– индивидуальные значения признака, средняя величина
которых находится,
– количество единиц совокупности.
Средняя арифметическая простая
применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака
встречается один раз или одинаковое количество раз.
Если же варианты (значения признака)
встречаются неодинаковое количество раз, то используется средняя арифметическая взвешенная:
где
– варианты, значения признака,
– частота появления соответствующего значения
признака.
В некоторых случаях средняя
рассчитывается по другому – когда известен ряд вариант
и ряд произведений вариант на частоту
,
а сама частота
неизвестна. В этом случае средняя
рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:
где
Средняя гармоническая может иметь и
простую форму расчета, которая в практике статистики используется крайне редко
и представляет собой простую среднюю из обратных значений признака.
Величина средних величин зависит как от
индивидуальных значений признака в случае использования простых видов средних величин,
так и от удельного веса этих значений в общей совокупности при использовании
взвешенных видов.
Формулы средних взвешенных применяются во
всех случаях, когда варианты значений признака имеют различный удельный вес, а
формулы простых (не взвешенных) средних — когда варианты имеют равные веса. В первом
случае расчет ведется по уже сгруппированным данным на основании дискретных рядов распределения, а во втором — обычно по несгруппированным, где каждый
признак представлен одним числом или равное число раз. Неправильный выбор
формулы, расчет средних показателей по формуле средней простой вместо средней
взвешенной может привести к серьезным ошибкам.
Средние
величины применяются для оценки достигнутого изучаемого показателя, при анализе
и планировании экономической деятельности предприятий. Средняя величина всегда
величина именованная и имеет ту же размерность что и признак у отдельных единиц
совокупности. Основным условием правильного расчета средней величины
является качественная однородность совокупностей, по которой исчислена средняя.
Примеры решения задач
Задача 1
Имеются
следующие данные о работе автотранспортных предприятий за отчетный период:
| № п/п | Общий грузооборот, млн.т/км |
Выполнено тыс. т/км в среднем на 1 автомобиль |
% выпуска автомобилей на линию |
Средняя грузоподъемность одного автомобиля, т |
В общем грузообороте доля его выполнения за пределы региона (%) |
| 1 | 39 | 130 | 71 | 6.2 | 32 |
| 2 | 57 | 156 | 85 | 5.9 | 45 |
| 3 | 41 | 127 | 79 | 5.5 | 28 |
Определите
по совокупности предприятий средние значения всех признаков, используя
экономически обоснованные формулы расчета. Укажите вид и форму рассчитанных
средних.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Решение
Средний
грузооборот вычислим по формуле средней арифметической простой:
Среднее
выполнение на 1 автомобиль тыс.т/км по формуле
средней гармонической, так как определяющим показателем в данном случае
является отсутствующее в условии число
автомобилей:
где
– общий грузооборот
– среднее выполнение на 1 автомобиль тыс.т/км
Средний
процент выпуска автомобилей на линию вычислим по формуле средней арифметической
взвешенной, так как определяющим показателем является численность автомобилей,
которую в свою очередь можно найти делением общего грузооборота на выработку
одного автомобиля.
– процент выпуска автомобилей на линию
– численность автомобилей
Среднюю
грузоподъемность одного автомобиля вычислим по формуле средней арифметической
взвешенной, так как определяющим показателем является численность автомобилей,
которую в свою очередь можно найти делением общего грузооборота на выработку
одного автомобиля.
– грузоподъемность 1 автомобиля
– численность автомобилей
Среднюю
долю выполнения за пределы региона вычислим по формуле средней арифметической
взвешенной, так как определяющим показателем является общий грузооборот.
– доля в общем грузообороте выполнения за
пределы региона
– общий грузооборот
Таким
образом средний грузооборот по предприятиям составил 45,7 млн. т/км, средняя
выработка на 1 автомобиль — 138,6 тыс.
т/км, средний процент выпуска
автомобилей на линию – 78,8%, средняя грузоподъемность одного автомобиля – 5,9
т., а средняя доля в общем грузообороте выполнения за пределы региона составила
36,2%.
Задача 2
Имеются
данные о финансовых показателях предприятий за отчетный период.
| Предприятия | Получено прибыли, тыс.руб. | Акционерный капитал, тыс.р. |
Рентабельность акционерного капитала, % |
| А | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1512 | 5040 | 30 |
| 2 | 528 | 1320 | 40 |
| 3 | 1410 | 5640 | 25 |
Определите
средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы, используя
показатели:
- гр. 1
и гр. 2 - гр. 2
и гр. 3 - гр. 1
и гр. 3
Решение
1)
Средний процент рентабельности в этом случае определим напрямую, по формуле
рентабельности:
2)
Средний процент рентабельности в этом случае определим по формуле средней арифметической
взвешенной:
3)
Средний процент рентабельности в этом случае определим по формуле средней
гармонической:
Средний
процент рентабельности по всем предприятиям составил 28.75%
Задача 3
- Рассчитайте средние значения всех признаков, приведенных в условии
задачи. - Укажите формулу расчета средней в обозначениях задачи, расчет полностью,
вид и формулу средней, использованной в расчете, единицы измерения средней.
Имеются
следующие данные (данные условные):
| Страна | Стоимость экспорта РФ, млн.долл.США |
Доля экспорта в стоимости внешнеторгового оборота, % |
Доля морепродуктов в стоимости экспорта, % |
Доля мороженной рыбы в стоимости экспорта морепродуктов, % |
Средняя цена за тонну мороженной рыбы, долл. США |
| S | D | R | M | C | |
| Япония | 2995 | 74.8 | 5.46 | 74.2 | 1843 |
| Корея | 835 | 49.9 | 3.72 | 97.3 | 594 |
| Китай | 3981 | 76.0 | 0.56 | 97.1 | 478 |
| Индия | 2172 | 47.4 | 0.32 | 82.5 | 725 |
Решение
Среднюю
стоимость экспорта вычислим по формуле средней арифметической простой:
Среднюю
долю экспорта в стоимости внешнеторгового оборота вычислим по формуле средней
гармонической:
Среднюю
долю морепродуктов в стоимости экспорта вычислим по формуле средней
арифметической взвешенной:
Долю мороженной рыбы в стоимости экспорта морепродуктов вычислим
по формуле:
Среднюю
цену за тонну мороженной рыбы вычислим по формуле:
Вывод к задаче
Таким
образом средняя стоимость экспорта составила 2495,75 млн.долл.,
средняя доля экспорта в стоимости внешнеторгового оборота 64,4%, средняя доля
морепродуктов в стоимости экспорта 2.2%. Доля мороженной
рыбы в стоимости экспорта морепродуктов составила 79.9%, а средняя цена тонны
мороженной рыбы 1053.1 долл.
Помогите рассчитать среднюю величину выраженности по формуле M = V * P / n, где М — средняя величина , V — размер, P — частота встречаемости 1)Надо подставить вот это : (РАЗМЕР СЕМЕЧКИ)1, 1 (32)(КОЛ — ВО) 0, 9 (9) 1, 4 : (6) 1, 2 (21) 1, 3(16) 1, 5(1) 1, 0(13) 0, 8(2) 2)Построить вариационную кривую кто разбирается помогите.
На этой странице сайта размещен вопрос Помогите рассчитать среднюю величину выраженности по формуле M = V * P / n, где М — средняя величина , V — размер, P — частота встречаемости 1)Надо подставить вот это : (РАЗМЕР СЕМЕЧКИ)1, 1 (32)(КОЛ -? из категории
Биология с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса
соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по
заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы.
Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по
заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими
пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Расчет моды
Теперь посмотрим, как рассчитать моду. Мода – это то значение в анализируемой совокупности данных, которое встречается чаще других, поэтому нужно посмотреть на частоты значений и отыскать максимальное из них. Например, в наборе данных 3, 4, 6, 7, 3, 5, 3, 4 модой будет значение 3 – повторяется чаще остальных. Это в дискретном ряду, и здесь все просто. Если данных много, то моду легче всего найти с помощью соответствующей гистограммы. Бывает так, что совокупность данных имеет бимодальное распределение.
Без диаграммы очень трудно понять, что в данных не один, а два центра. К примеру, на президентских выборах предпочтения сельских и городских жителей могут отличаться. Поэтому распределение доли отданных голосов за конкретного кандидата может быть «двугорбым». Первый «горб» – выбор городского населения, второй – сельского.
Немного сложнее с интервальными данными, когда вместо конкретных значений имеются интервалы. В этом случае говорят о модальном интервале (при анализе доходов населения, например), то есть интервале, частота которого максимальна относительно других интервалов. Однако и здесь можно отыскать конкретное модальное значение, хотя оно будет условным и примерным, так как нет точных исходных данных. Представим, что есть следующая таблица с распределением цен.
Для наглядности изобразим соответствующую диаграмму.
Требуется найти модальное значение цены.
Вначале нужно определить модальный интервал, который соответствует интервалу с наибольшей частотой. Найти его так же легко, как и моду в дискретном ряду. В нашем примере это третий интервал с ценой от 301 до 400 руб. На графике – самый высокий столбец. Теперь нужно определить конкретное значение цены, которое соответствует максимальному количеству. Точно и по факту сделать это невозможно, так как нет индивидуальных значений частот для каждой цены. Поэтому делается допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные вес и как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Давайте еще раз посмотрим на рисунок, чтобы понять формулу, которую я напишу чуть ниже.
На рисунке отчетливо видно, что соотношение высоты столбцов, расположенных слева и справа от модального определяет близость моды к левому или правому краю модального интервала. Задача по расчету модального значения состоит в том, чтобы найти точку пересечения линий, соединяющих модальный столбец с соседними (как показано на рисунке пунктирными линиями) и нахождении соответствующего значения признака (в нашем примере цены). Зная основы геометрии (7-й класс), по данному рисунку нетрудно вывести формулу расчета моды в интервальном ряду.
Формула моды имеет следующий вид.
Где Мо – мода,
x – значение начала модального интервала,
h – размер модального интервала,
fМо – частота модального интервала,
fМо-1 – частота интервала, находящего перед модальным,
fМо1 – частота интервала, находящего после модального.
Второе слагаемое формулы моды соответствует длине красной линии на рисунке выше.
Рассчитаем моду для нашего примера.
Таким образом, мода интервального ряда представляет собой сумму, состоящую из значения начального уровня модального интервала и отрезка, который определяется соотношением частот ближайших интервалов от модального.
Видео
Мода и медиана
Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.
Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров
Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.
Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат
Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.
Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.
Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:
Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 183, 184, 185, 188, 190
В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.
Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.
В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану
Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.
К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:
Построим этих шестерых спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 184, 186, 188, 190
В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.
В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.
Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186
Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186
Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.
Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.
Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.
Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190
Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:
Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1
Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2
По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка
Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.
Среднее арифметическое
Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.
Примеры:
- средняя зарплата жителей страны;
- средний балл учащихся;
- средняя скорость движения;
- средняя производительность труда.
Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.
Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.
Вернемся к нашему примеру
Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:
Теория для решения данных задач. Формулы для расчета моды и медианы
Модой в статистике называется величины признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.
Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.
Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.
Мода 
– это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
где:
— нижняя граница модального интервала;
— величина модального интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующего модальному;
— частота интервала, следующего за модальным;
Медиана (Ме) — это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:
где:
— нижняя граница медианного интервала;
— величина медианного интервала;
— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
— частота медианного интервала;
Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.
Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.