Содержание
- Определение и формула жесткости пружины
- Формула жесткости соединений пружин
- Коэффициент жесткости соединений пружин
- Коэффициент жесткости цилиндрической пружины
- Единицы измерения
- Особенности расчета жесткости соединений пружин
Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.
Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров. Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.
Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая. Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука:
F упр – модуль силы упругости тела, Н
| D l| – модуль удлинения тела, м
k – коэффициент жёсткости тела, Н/м
Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.
Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей. Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.
Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.
- Динамометр является .
- Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается .
- Явлением деформации тел называют .
- Пластически деформированным мы назовём тело, .
- В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, .
- Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, .
- Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только .
- Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, .
- Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что .
- Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что .
- По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа .
- Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, .
- В результате выражения величины «k» мы .
- Ещё из математики начальной школы мы знаем, что .
- Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он .
Задача. К пружине, начальная длина которой 10 см, подвесили груз массой 1 кг. При этом пружина удлинилась до 15 см. Определите коэффициент жёсткости для данной пружины. С каким периодом подвешенный груз будет совершать вертикальные колебания на такой пружине?
Решение. Эта задача будет иметь решение, только если мы убедимся, что деформация пружины упруга. То есть при снятии груза пружина должна принять первоначальную длину, равную 10 см. Ответ на этот вопрос даст только опыт, то есть задача – отчасти экспериментальная.
Используя третий закон Ньютона в скалярной форме, а также закон Гука, подсчитаем коэффициент упругости пружины:
F тяж = F упр = k·| D l| = k · |l–l o | = k · ( l–l o )
Подставив жёсткость пружины 200 Н/м в формулу для периода колебаний пружинного маятника (см. § 11-б), вычислим период:
Ответ. Жёсткость пружины равна 200 Н/м, и 10 колебаний маятника будут совершены за 4 секунды, что можно проверить секундомером.
Пока мы вели речь только о твёрдых телах. Однако сила упругости возникает и в жидкостях, и в более сложных телах, например, воздушном шарике, состоящем из резиновой оболочки и воздуха. Можно ли к таким телам применять закон Гука (и если можно, то при насколько больших деформациях), нам даст ответ только эксперимент. Он же позволит вычислить коэффициенты жёсткости для этих тел.
- Какова длина недеформированной пружины?
- Чему равно удлинение пружины?
- В каком случае мы имеем право применить закон Гука?
- Проверить это можно следующим образом: .
- Коэффициент жёсткости по результатам вычислений равен .
- Проверить полученное значение мы можем путём измерения .
- При проверке нам нужно убедиться, что .
- Сила упругости возникает не только в .
- Закон Гука позволяет найти силу упругости .
- Важно: только предварительный эксперимент по изучению характера деформации позволит нам выяснить, .
- В случае упругой деформации тел, следующий эксперимент .
Физика.ru • Клуб для учителей физики, учащихся 7-9 классов и их родителей
| Цель: | экспериментальная проверка закона Гука, исследование упругих систем, образованных параллельным и последовательным соединением пружин. |
| Оборудование: набор пружин, штатив, набор грузов, линейка. |
Груз, подвешенный на пружине, вызывает ее деформацию. Если пружина способна восстановить первоначальную форму, то ее деформация называется упругой.
При упругих деформациях выполняется закон Гука:
,
где Fупр ¾ сила упругости; k ¾ коэффициент упругости (жесткость); Dl — удлинение пружины.
Примечание: знак “-” определяет направление силы упругости.
Если груз находится в равновесии, то сила упругости численно равна силе тяжести: k Dl = m g, тогда можно найти коэффициент упругости пружины:
, (1)
где m ¾ масса груза; g ¾ ускорение свободного падения.
При последовательном соединении пружин (см. рис.1) силы упругости, возникающие в пружинах, равны между собой, а общее удлинение системы пружин складывается из удлинений в каждой пружине.
Коэффициент жесткости такой системы определяется по формуле:
, (2)
где k1 — жесткость первой пружины; k2 — жесткость второй пружины.
При параллельном соединении пружин (см. рис. 2) удлинение пружин одинаково, а результирующая сила упругости равна сумме сил упругости в отдельных пружинах.
Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин находится по формуле:
Порядок выполнения работы
| Задание 1. | Определение коэффициентов упругости двух пружин |
1. Прикрепить пружину к штативу. Подвешивая к каждой пружине грузы в порядке возрастания их массы, измерять удлинение пружины Dl.
2. По формуле F = mg рассчитать силу упругости.
3. Построить графики зависимости силы упругости от величины удлинения пружины. По виду графиков определить выполняется ли закон Гука.
4. По формуле (1) рассчитать коэффициент упругости пружины. Найти среднее арифметическое значение kср.
5. Найти абсолютную погрешность каждого измерения
6. Найти среднее арифметическое значение абсолютной погрешности D kср.
7. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу.
| Задание 2. | Экспериментальное определение коэффициентов упругости двух пружин, соединенных последовательно, соединенных параллельно. |
1. Провести измерения (как описано в задании 1) и рассчитать коэффициенты упругости последовательно и параллельно соединенных пружин.
2. Найти среднее значение коэффициентов и погрешности их измерений. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.
3. По формулам (2) и (3) рассчитать теоретические значения коэффициентов упругости при последовательном и параллельном соединении пружин.
4. Найти погрешность эксперимента, сравнив теоретические значения коэффициента упругости с экспериментальными по формуле:
.
| m, кг | |
| F, Н | |
| Первая пружина | |
| Dl1, м | |
| k1, Н/м | kср = |
| D k1, Н/м | D kср = |
| Вторая пружина | |
| Dl2, м | |
| k2, Н/м | kср = |
| D k2, Н/м | D kср = |
| Последовательное соединение пружин | |
| Dl, м | |
| k, Н/м | kср = |
| D k, Н/м | D kср = |
| Параллельное соединение пружин | |
| Dl, м | |
| k, Н/м | kср = |
| D k, Н/м | D kср = |
Сформулируйте закон Гука.
Дайте определение деформации, коэффициента упругости. Назовите единицы измерения этих величин в СИ.
Как находится коэффициент упругости для параллельного и последовательного соединения пружин?
Лабораторная работа № 1-5
Изучение законов динамики
Поступательного движения
| Цель работы: | Теоретическое и экспериментальное изучение законов динамики поступательного движения. Определение зависимости ускорения материальной точки от ее массы и действующей внешней силы. |
| Оборудование: | Экспериментальная установка (машина Атвуда), электронный секундомер, набор грузов разной массы. |
Теоретические сведения
Динамика изучает причины, вызывающие механическое движение.
Инерция — способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, если на это тело не действуют другие тела.
Масса m (кг) — количественная мера инертности тела.
Первый закон Ньютона:
Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют другие тела.
Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными.
Сила 
(Н) — векторная величина, характеризующая взаимодействие между телами или частями тела.
Принцип суперпозиции сил:
Если на материальную точку действуют одновременно силы 
и 
, то их можно заменить равнодействующей силой :
Импульс тела 
(кг∙м/с) — векторная величина, равная произведению массы m материальной точки на его скорость 
:
,
Второй закон Ньютона:
где 
— равнодействующая сила, действующая на материальную точку.
Замечание. Если масса тела постоянна, то второй закон Ньютона принимает вид:
,
где 
— ускорение, приобретаемое телом массой m под действием силы 
.
Сила тяжести 
— сила, действующая на тело вследствие его притяжения к Земле или другим небесным телам.
Вблизи поверхности Земли тело массой m под действием силы тяжести движется с ускорением свободного падения 
. Поэтому по второму закону Ньютона сила тяжести равна:
.
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы
Пружины можно назвать одной из наиболее распространенных деталей, которые являются частью простых и сложных механизмов. При ее изготовлении применяется специальная проволока, накручиваемая по определенной траектории. Выделяют довольно большое количество различных параметров, характеризующих это изделие. Наиболее важным можно назвать коэффициент жесткости. Он определяет основные свойства детали, может рассчитываться и применяться в других расчетах. Рассмотрим особенности подобного параметра подробнее.
Определение и формула жесткости пружины
При рассмотрении того, что такое коэффициент жесткости пружины следует уделить внимание понятию упругости. Для ее обозначения применяется символ F. При этом сила упругости пружины характеризуется следующими особенностями:
- Проявляется исключительно при деформации тела и исчезает в случае, если деформация пропадает.
- При рассмотрении, что такое жесткость пружины следует учитывать, после снятия внешней нагрузки тело может восстанавливать свои размеры и форму, частично или полностью. В подобном случае деформация считается упругой.
Не стоит забывать о том, что жесткость – характеристика, свойственная упругим телам, способным деформироваться. Довольно распространенным вопросом можно назвать то, как обозначается жесткость пружины на чертежах или в технической документации. Чаще всего для этого применяется буква k.
Слишком сильная деформация тела становится причиной появления различных дефектов. Ключевыми особенностями можно назвать следующее:
- Деталь может сохранять свои геометрические параметры при длительной эксплуатации.
- При увеличении показателя существенно снижается сжатие пружины под воздействие одинаковой силы.
- Наиболее важным параметром можно назвать коэффициент жесткости. Он зависит от геометрических показателей изделия, типа применяемого материала при изготовлении.
Довольно большое распространение получили красные пружины и другого типа. Цветовое обозначение применяется в случае производства автомобильных изделий. Для расчета применяется следующая формула: k=Gd 4 /8D 3 n. В этой формуле указываются нижеприведенные обозначения:
- G – применяется для определения модуля сдвига. Стоит учитывать, что это свойство во многом зависит от применяемого материала при изготовлении витков.
- d – диаметральный показатель проволоки. Она производится путем проката. Этот параметр указывается также в технической документации.
- D – диаметр создаваемых витков при накручивании проволоки вокруг оси. Он подбирается в зависимости от поставленных задач. Во многом диаметр определяет то, какая нагрузка оказывается для сжатия устройства.
- n – число витков. Этот показатель может варьировать в достаточно большом диапазоне, также влияет на основные эксплуатационные характеристики изделия.
Рассматриваемая формула применяется в случае расчета коэффициента жесткости для цилиндрических пружин, которые устанавливаются в самых различных механизмах. Подобная единица измеряется в Ньютонах. Коэффициент жесткости для стандартизированных изделий можно встретить в технической литературе.
Формула жесткости соединений пружин
Не стоит забывать о том, что в некоторых случаях проводится соединение тела нескольким пружинами. Подобные системы получили весьма широкое распространение. Определить жесткость в этом случае намного сложнее. Среди особенностей соединения можно отметить нижеприведенные моменты:
- Параллельное соединение характеризуется тем, что детали размещаются последовательно. Подобный метод позволяет существенно повысить упругость создаваемой системы.
- Последовательный метод характеризуется тем, что деталь подключаются друг к другу. Подобный способ подсоединения существенно снижает степень упругости, однако позволяет существенно увеличить максимальное удлинение. В некоторых случаях требуется именно максимальное удлинение.
В обеих случаях применяется определенная формула, которая определяет особенности подключения. Модуль силы упругости может существенно отличаться в зависимости от особенностей конкретного изделия.
При последовательном соединении изделий показатель рассчитывается следующим образом: 1/k=1/k1+1/k2+…+1/kn. Рассматриваемый показатель считается довольно важным свойством, в данном случае он снижается. Параллельный метод подключения рассчитывается следующим образом: k=k1+k2+…kn.
Подобные формулы могут использоваться при самых различных расчетах, чаще всего на момент решения математических задач.
Коэффициент жесткости соединений пружин
Приведенный выше показатель коэффициента жесткости детали при параллельном или последовательном соединении определяет многие характеристики соединения. Довольно часто проводится определение тому, чему равно удлинение пружины. Среди особенностей параллельного или последовательного соединения можно отметить нижеприведенные моменты:
- При параллельном подключении удлинение обоих изделий будет равным. Не стоит забывать о том, что оба варианта должны характеризоваться одинаковой длиной в свободном положении. При последовательном показатель увеличивается в два раза.
- Свободное положение – ситуация, в которой деталь находится без прикладывания нагрузки. Именно оно в большинстве случаев учитывается при проведении расчетов.
- Коэффициент жесткости изменяется в зависимости от применяемого способа подсоединения. В случае параллельного соединения показатель увеличивается в два раза, при последовательном уменьшается.
Для проведения расчетов нужно построить схему подключения всех элементов. Основание представлено линией со штриховкой, изделие обозначается схематически, а тело в упрощенном виде. Кроме этого, от упругой деформации во многом зависит кинетическая и другая энергия.
Коэффициент жесткости цилиндрической пружины
На практике и в физике довольно большое распространение получили именно цилиндрические пружины. Их ключевыми особенностями можно назвать следующие моменты:
- При создании указывается центральная ось, вдоль которой и действует большинство различных сил.
- При производстве рассматриваемого изделия применяется проволока определенного диаметра. Она изготавливается из специального сплава или обычных металлов. Не стоит забывать о том, что материал должен обладать повышенной упругостью.
- Проволока накручивается витками вдоль оси. При этом стоит учитывать, что они могут быть одного или разного диаметра. Довольно большое распространение получил вариант исполнения цилиндрического типа, но большей устойчивостью характеризуется цилиндрический вариант исполнения, в сжатом состоянии деталь обладает небольшой толщиной.
- Основными параметрами можно назвать больший, средний и малый диаметр витков, диаметр проволоки, шаг расположения отдельных колец.
Не стоит забывать о том, что выделяют два типа деталей: сжатия и растяжения. Их коэффициент жесткости определяется по одной и той же формуле. Разница заключается в следующем:
- Вариант исполнения, рассчитанный на сжатие, характеризуется дальним расположением витков. За счет расстояние между ними есть возможность сжатия.
- Модель, рассчитанная на растяжение, имеет кольца, расположенные практически вплотную. Подобная форма определяет то, что при максимальная сила упругости достигается при минимальном растяжении.
- Также есть вариант исполнения, который рассчитан на кручение и изгиб. Подобная деталь рассчитывается по определенным формулам.
Расчет коэффициента цилиндрической пружины может проводится при использовании ранее указанной формулы. Она определяет то, что показатель зависит от следующих параметров:
- Наружного радиуса колец. Как ранее было отмечено, при изготовлении детали применяется ось, вокруг которой проводится накручивание колец. При этом не стоит забывать о том, что выделяют также средний и внутренний диаметр. Подобный показатель указывается в технической документации и на чертежах.
- Количества создаваемых витков. Этот параметр во многом определяет длину изделия в свободном состоянии. Кроме этого, количество колец определяет коэффициент жесткость и многие другие параметры.
- Радиуса применяемой проволоки. В качестве исходного материала применяется именно проволока, которая изготавливается из различных сплавов. Во многом ее свойства оказывают влияние на качества рассматриваемого изделия.
- Модуля сдвига, который зависит от типа применяемого материала.
Коэффициент жесткости считается одним из наиболее важных параметров, который учитывается при проведении самых различных расчетов.
Единицы измерения
При проводимых расчетах также должно учитываться то, в каких единицах измерениях проводятся вычисления. При рассмотрении того, чему равно удлинение пружины уделяется внимание единице измерения в Ньютонах.
Для того чтобы упростить выбор детали многие производители указывают его цветовым обозначением.
Разделение пружины по цветам проводится в сфере автомобилестроения.
Среди особенностей подобной маркировки отметим следующее:
- Класс А обозначается белым, желтым, оранжевым и коричневым оттенками.
- Класса В представлен синим, голубым, черным и желтым цветом.
Как правило, подобное свойство отмечается на внешней стороне витка. Производители наносят небольшую полоску, которая и существенно упрощает процесс выбора.
Особенности расчета жесткости соединений пружин
Приведенная выше информация указывает на то, что коэффициент жесткости является довольно важным параметром, который должен рассчитываться при выборе наиболее подходящего изделия и во многих других случаях. Именно поэтому довольно распространенным вопросом можно назвать то, как найти жесткость пружины. Среди особенностей соединения отметим следующее:
- Провести определение растяжения пружины можно при вычислении, а также на момент теста. Этот показатель может зависеть в зависимости от проволоки и других параметров.
- Для расчетов могут применяться самые различные формулы, при этом получаемый результат будет практически без погрешностей.
- Есть возможность провести тесты, в ходе которых и выявляются основные параметры. Определить это можно исключительно при применении специального оборудования.
Как ранее было отмечено, выделяют последовательный и параллельный метод соединения. Оба характеризуются своими определенными особенностями, которые должны учитываться.
В заключение отметим, что рассматриваемая деталь является важной частью конструкции различных механизмов. Неправильный вариант исполнения не сможет прослужить в течение длительного периода. При этом не стоит забывать о том, что слишком сильная деформация становится причиной ухудшения эксплуатационных характеристик.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
Цель:
Экспериментально
определить жесткость пружины и убедиться
в справедливости законаГука.
Оборудование:
штатив, динамометр со шкалой, закрытый
миллиметровой бумагой, набор грузов
массой по 102 г.,
линейка.
Порядок
выполнения работы:
-
Зафиксируйте
динамометр со шкалой, закрытый
миллиметровой бумагой в штативе. -
Отметьте
на миллиметровой бумаге положение
стрелки-указателя ненагруженной
пружины чёрточкой с цифрой 0 (см. рис.1). -
Подвесьте
к пружине один груз массой 0,102 кг,
отметьте положение стрелки-указателя
черточкой с цифрой 1 (см. рис. 2) и
измерьте расстояние между цифрами 0 —
1. Это и есть абсолютное удлинение x1
пружины.
Рис.
1 Рис. 2
-
Подвешивая
к пружине поочерёдно 2, 3 и 4 груза и
делая отметки на миллиметровой бумаге
«2», «3», и «4» соответственно, определите
абсолютные удлинения пружины x2,
x3,
x4.
Данные занесите в таблицу. (В таблице
приведены примерные данные.)
Примечание:
Груз массой 0,102 кг имеет вес Р = 1Н. Так
как груз покоится на пружине, то сила
упругости пружины уравновешивается
весом грузов в каждом случае, т.е.
Fупр = P.
|
№ |
|
Fупр |
|
1 |
0,0 |
0,0 |
|
2 |
0,025 |
1,0 |
|
3 |
0,050 |
2,0 |
|
4 |
0,075 |
3,0 |
|
5 |
0,100 |
4,0 |
-
По
данным, полученным в таблице, постройте
график зависимости силы упругости
пружины Fупр от её абсолютного удлинения
x. -
Выберите
точку на графике и определите
соответствующие ей значения силы
упругости пружины Fупр и абсолютного
удлинения x. -
Используя
выражение Fупр = kx,
определите среднее значение коэффициент
жесткости пружины k.(В соответствии с
примерными данными, указанными в
таблице
).
Примечание:
коэффициент
жесткости пружины k
численно равен тангенсу угла наклона
графика зависимости силы упругости
пружины Fупр
от её абсолютного удлинения x,
т.е. 
.
Вывод:
В
ходе лабораторной работы мы
экспериментально определили среднее
значение коэффициента жесткости k.
Убедились в справедливости закона Гука
(Fупр
= kх),
т.к. зависимость между силой упругости,
возникающей в пружине при её деформации
и абсолютным удлинением оказалось
линейной.
Б α илет №14. Изучение зависимости температуры воды от времени при ее охлаждении
Цель:
Исследовать
зависимость температуры воды от времени
при ее остывании.
Оборудование:
сосуд
с горячей водой, стакан, термометр,
секундомер.
Порядок
выполнения работы:
-
Налить
в стакан горячей воды (температурой
до 60С). -
Поместить
термометр в стакан с горячей водой и
измерить начальное значение её
температуры. -
Повторять
измерение температуры через каждые 2
минуты. Провести не менее пяти измерений.
Показания занести в таблицу. -
Построить
график зависимости температуры воды
от времени.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Цель работы: найти жесткость пружины из измерений удлинения пружины при различных значениях силы тяжести
уравновешивающей силу упругости на основе закона Гука:
В каждом из опытов жесткость определяется при разных значениях силы упругости и удлинения, т. е. условия опыта меняются. Поэтому для нахождения среднего значения жесткости нельзя вычислить среднее арифметическое результатов измерений. Воспользуемся графическим способом нахождения среднего значения, который может быть применен в таких случаях. По результатам нескольких опытов построим график зависимости модуля силы упругости Fупр от модуля удлинения |x|. При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле
Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика возьмите точку на прямой (в средней части графика), определите по нему соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k. Она и будет искомым средним значением жесткости пружины kср.
Результат измерения обычно записывается в виде выражения k = = kcp±Δk, где Δk — наибольшая абсолютная погрешность измерения. Из курса алгебры (VII класс) известно, что относительная погрешность (εk) равна отношению абсолютной погрешности Δk к значению величины k:
откуда Δk — εkk. Существует правило для расчета относительной погрешности: если определяемая в опыте величина находится в результате умножения и деления приближенных величин, входящих в расчетную формулу, то относительные погрешности складываются. В данной работе
Поэтому
Средства измерения: 1) набор грузов, масса каждого равна m0 = 0,100 кг, а погрешность Δm0 = 0,002 кг; 2) линейка с миллиметровыми делениями.
Материалы: 1) штатив с муфтами и лапкой; 2) спиральная пружина.
Порядок выполнения работы
1. Закрепите на штативе конец спиральной пружины (другой конец пружины снабжен стрелкой-указате-лем и крючком — рис. 176).
2. Рядом с пружиной или за ней установите и закрепите линейку с миллиметровыми делениями.
3. Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.
4. Подвесьте к пружине груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.
5. К первому грузу добавьте второй, третий и т. д. грузы, записывая каждый раз удлинение |х| пружины. По результатам измерений заполните таблицу:
|
Номер опыта |
m, кг |
mg1, Н |
|х|, м |
6. По результатам измерений постройте график зависимости силы упругости от удлинения и, пользуясь им, определите среднее значение жесткости пружины kcp.
7. Рассчитайте наибольшую относительную погрешность, с которой найдено значение kср (из опыта с одним грузом). В формуле (1)
так как погрешность при измерении удлинения Δx=1 мм, то
8. Найдите
и запишите ответ в виде:
1 Принять g≈10 м/с2.
Закон Гука: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела при деформации».
Закон Гука
Жесткостью называют коэффициент пропорциональности между силой упругости и изменением длины пружины под действием приложенной к ней силы. Согласно третьему закону Ньютона, приложенная к пружине сила по модулю равна возникшей в ней силе упругости. Таким образом жесткость пружины можно выразить как:
где F — приложенная к пружине сила, а х — изменение длины пружины под ее действием. Средства измерения: набор грузов, масса каждого равна m0 = (0,1±0,002) кг.
Линейка с миллиметровыми делениями (Δх = ±0,5 мм). Порядок выполнения работы описан в учебнике и комментариев не требует.
|
№ опыта |
масса, кг |
 |
удлинение |х|, |
К, Н/м |
|
м |
||||
|
1 |
0,1 |
1 |
0,036 |
27,78 |
|
2 |
0,2 |
2 |
0,074 |
27,03 |
|
3 |
0,3 |
3 |
0,112 |
26,79 |
|
4 |
0,4 |
4 |
0,155 |
25,81 |
* Ускорение свободного падения примем равным 10 м/с2.
Вычисления:
Вычисление погрешности измерения:
εх максимально когда х — наименьшее, т.е., в нашем случае, для опыта с одним грузом
Можно записать результат измерений как:
или округляя:
т.к. в нашем случае отклонения вычисленных R1; R2; R3; R4 от Rср велики из-за разности условий опытов принимаем
При внешнем воздействии тело ускоряется либо деформируется. Последнее явление проявляется изменением форм или размеров. Если объект восстанавливается в покое на 100%, деформация называется упругой (резинка), а в остальных случаях — пластической (лепка изделий из глины). Для вычисления первого показателя используется формула жесткости пружины (F = k · x).
Сила упругости и закон Гука
Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.
Примерами пластических деформаций являются:
- лепка из глины;
- погнутая алюминиевая ложка.
В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:
- резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
- пружина (после сжатия снова распрямляется).
В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:
F = — k·x;
где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).
Типы пружин
Пружины можно классифицировать по направлению прилагаемой нагрузки:
- пружины растяжения; предназначены для работы в режиме растягивания, при деформации их длина увеличивается; как правило, такие устройства имеют нулевой шаг, т.е. намотаны «виток к витку»; примером могут служить пружины в весах-безменах, пружины для автоматического закрытия дверей и т.д.;
- пружины сжатия под нагрузкой, напротив, укорачиваются; в исходном состоянии между их витками есть некоторое расстояние, как, например, в амортизаторах автомобильных подвесок.
Готовые работы на аналогичную тему
- Курсовая работа Жесткость пружины, формула 460 руб.
- Реферат Жесткость пружины, формула 260 руб.
- Контрольная работа Жесткость пружины, формула 250 руб.
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость
В данной статье рассматриваются пружины, представляющие собой цилиндрические спирали. В технике применяется много других разновидностей упругих устройств: пружины в виде плоских спиралей (используются в механических часах), в виде полос (рессоры), пружины кручения (в точных весах), тарельчатые (сжимающиеся конические поверхности) и т.п. Своего рода пружинами являются амортизирующие изделия из полимерных эластичных материалов, прежде всего резины. Во всех этих устройствах используется один и тот же принцип — запасать энергию упругой деформации и возвращать ее.
Определение коэффициента жесткости
Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:
k = F/x.
Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.
Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.
Физические характеристики пружин
Цилиндрические пружины характеризуются рядом параметров, сочетание которых обуславливает их жесткость — способность сопротивляться деформации:
- материал; пружины чаще всего изготавливают из стальной проволоки, причем сталь в них применялася особая, ее характеризует среднее или высокое содержание углерода, низкое содержание других примесей (низколегированный сплав) и особая термообработка (закалка), придающая материалу дополнительную упругость;
- диаметр проволоки; чем он меньше, тем эластичнее пружина, но тем меньше ее способность запасать энергию; пружины сжатия изготавливают, как правило, из более толстой проволоки, чем пружины растяжения;
- форма сечения проволоки; не всегда проволока, из которой намотана пружина, имеет круглое сечение; уплощенное сечение имеют пружины сжатия, чтобы при максимальном сокращении длины (виток «садится» на соседний виток) конструкция была более устойчивой;
- длина и диаметр пружины; длину пружины следует отличать от длины проволоки, из которой она намотана; эти два параметра согласуются через количество витков и диаметр пружины, который, в свою очередь, не следует путать с диаметром проволоки.
Нужен совет преподавателя по схожей теме? Задай вопрос преподавателю и получи ответ через 15 минут! Задать вопрос
Существуют и другие физические характеристики, влияющие на работоспособность пружин. Например, при повышении температуры металл становится менее упругим, а при существенном ее понижении может стать хрупким. При интенсивной эксплуатации пружина со временем теряет часть упругости по причине постепенного разрушения связей между атомами кристаллической решетки.
Расчет жесткости системы
Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.
Последовательное соединение системы пружин
При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:
1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,
где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.
Параллельное соединение системы пружин
В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:
k = k1 + k2 + … + ki.
Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.
Вычисляем энергию простого гармонического движения
В простом гармоническом движении периодически происходит увеличение и уменьшение кинетической энергии, например груза на пружине. Ясно, что кинетическая энергия груза не пропадает, а преобразуется в энергию сжатой или растянутой пружины. Эта энергия называется упругой потенциальной энергией пружины. Сколько энергии запасено в сжатой или растянутой пружине?
Попробуем вычислить ее с помощью простых соображений. Как известно, работа ( A ) силы ( F ) при перемещении на расстояние ( s ) равна:
При сжатии или растяжении пружины сила ( F ) меняется линейно с расстоянием, поэтому работу этой силы по сжатию или растяжению пружины на расстояние ( s ) можно представить как произведение средней силы ( overline{F} ) на перемещение ( s ):
Средняя ( overline{F} ) сила определяется как:
где ( F_1=-kx_1 ) — это сила упругости в точке с координатой ( x_1 ), a ( F_2=-kx_2 ) — сила упругости в точке с координатой ( x_2 ). При этом перемещение ( s ) будет равно:
Подставляя выражения для ( s ) и ( overline{F} ) в формулу работы, получим:
Члены ( frac{kx^2_1}{2} ) и ( frac{kx^2_2}{2} ) выражают упругую потенциальную энергию пружины ( E_{у1} ) и ( E_{у2} ) в точках с координатами ( x_1 ) и ( x_2 ), соответственно. Таким образом, работа силы упругости равна изменению упругой потенциальной энергии пружины:
Рассмотрим простой пример. Насколько возрастет упругая потенциальная энергия пружины с коэффициентом упругости 1,0·10-2 Н/м при сжатии ее на 10 см? Подставляя значения в формулу
получим:
Учтите, что при изменении упругой потенциальной пружины с грузом (при отсутствии внешних сил) изменяется кинетическая энергия груза. Причем эти изменения происходят так, что неизменной остается полная энергия системы, состоящей из пружины и груза. Например, при достижении точки равновесия пружина полностью разжимается, и ее упругая потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия груза при этом становится максимальной. И наоборот, при максимальном сжатии или растяжении пружины ее упругая потенциальная энергия становится максимальной, а кинетическая энергия груза при этом становится равной нулю.
Вычисление коэффициента жесткости опытным методом
С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:
- линейка;
- пружина;
- груз с известной массой.
Последовательность действий для опыта такова:
- Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
- При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
- На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
- Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
- Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
- Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
- После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.
Формула определения жесткости
Изучаемая современными школьниками формула, как найти коэффициент жесткости пружины, представляет собой соотношение силы и величины, показывающей изменение длины пружины в зависимости от величины данного воздействия (или
равной ему по модулю силы упругости). Выглядит эта формула так: F = –kx. Из этой формулы коэффициент жесткости упругого элемента равен отношению силы упругости к изменению его длины. В международной системе единиц физических величин СИ он измеряется в ньютонах на метр (Н/м).
Другой вариант записи формулы: коэффициент Юнга
Деформация растяжения/сжатия в физике также может описываться несколько видоизмененным законом Гука. Формула включает значения относительной деформации (отношения изменения длины к ее начальному значению) и напряжения (отношения силы к площади поперечного сечения детали). Относительная деформация и напряжение по этой формуле пропорциональны, а коэффициент пропорциональности – величина, обратная модулю Юнга.
Модуль Юнга интересен тем, что определяется исключительно свойствами материала, и никак не зависит ни от формы детали, ни от ее размеров.
К примеру, модуль Юнга для ста
ли примерно равен единице с одиннадцатью нулями (единица измерения – Н/кв. м).
Смысл понятия коэффициент жесткости
Коэффициент жесткости – коэффициент пропорциональности из закона Гука. Еще он с полным правом называется коэффициентом упругости.
Фактически он показывает величину силы, которая должна быть приложена к упругому элементу, чтобы изменить его длину на единицу (в используемой системе измерений).
Значение этого параметра зависит от нескольких факторов, которыми характеризуется пружина:
- Материала, используемого при ее изготовлении.
- Формы и конструктивных особенностей.
- Геометрических размеров.
По этому показателю можно сд
елать вывод, насколько изделие устойчиво к воздействию нагрузок, то есть каким будет его сопротивление при приложении внешнего воздействия.
Особенности расчета пружин
Показывающая, как найти жесткость пружины, формула, наверное, одна из наиболее используемых современными конструкторами. Ведь применение эти упругие детали находят практически везде, то есть требуется просчитывать их поведение и выбирать те из них, которые будут идеально справляться с возложенными обязанностями.
Закон Гука весьма упрощенно показывает зависимость деформации упругой детали от прилагаемого усилия, инженерами используются более точные формулы расчета коэффициента жесткости, учитывающие все особенности происходящего процесса.
Например:
- Цилиндрическую витую пружину современная инженерия рассматривает как спираль из проволоки с круглым сечением, а ее деформация под воздействием существующих в системе сил представляется совокупностью элементарных сдвигов.
- При деформации изгиба в качестве деформации рассматривается прогиб стержня, расположенного концами на опорах.
Примеры задач на нахождение жесткости
Задача 1
На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.
- Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
- По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.
Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.
Задача 2
Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.
- Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
- Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
- Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
- По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
- Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.
Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.
Что такое жесткость
Жесткость – это характеристика детали, которая показывает, просто или легко будет ее сжать, насколько большую силу нужно для этого приложить. Оказывается, что возникающая под нагрузкой деформация тем больше, чем больше прилагаемая сила (ведь возникающая в противовес ей сила упругости по модулю имеет то же значение). Потому определить степень деформации можно, зная силу упругости (прилагаемое усилие) и наоборот, зная необходимую деформацию, можно вычислить, какое требуется усилие.
Физические основы понятия жесткость/упругость
Сила, воздействуя на пружину, изменяет ее форму. Например, пружины растяжения/сжатия под влиянием внешнего воздействия укорачиваются или удлиняются. Согласно закону Гука (так называется позволяющая рассчитать коэффициент жесткости пружины формула), сила и деформация между собой пропорциональны в пределах упругости конкретного вещества. В противодействие приложенной извне нагрузке возникает сила, такая же по величине и противоположная по знаку, которая направлена на восстановление исходных размеров детали и ее форму.
Природа этой силы упругости – электромагнитная, возникает она как следствие особого взаимодействии между структурными элементами (молекулами и атомами) материала, из которого изготовлена данная деталь. Таким образом, чем жесткость больше, то есть чем труднее упругую деталь растянуть/сжать, тем больше коэффициент упругости. Этот показатель используется, в частности, при выборе определенного материала для изготовления пружин для использования в различных ситуациях.
Определение
Жесткость — способность твёрдого тела, конструкции или её элементов сопротивляться деформации от приложенного усилия вдоль выбранного направления в заданной системе координат.
Сила жесткости — сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть его в исходное состояние.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
От чего зависит жесткость
Жесткость пружины зависит от нескольких параметров:
- геометрии пружины;
- типа материала;
- коэффициента;
- срока эксплуатации.
Геометрия пружины
На жесткость витой пружины влияет:
- количество витков;
- их диаметр;
- диаметр проволоки.
Диаметр намотки измеряется от оси пружины. Так как длина проволоки в пружине значительно больше длины упругого стержня, сопротивляемость внешней деформации многократно возрастает.
Волновые пружины состоят из металлических лент, навитых ребром по окружности заданного диаметра.
Их основные геометрические параметры:
- количество витков;
- количество волн на виток;
- сечение ленты.
Тип материала
У каждого материала есть условный предел упругости, характеризующий его способность восстанавливаться после деформации. Если этот предел превышается, в структуре материала возникают необратимые изменения.
Определение
Предел упругости — механическая характеристика материала, показывающая максимальное напряжение, при котором имеют место только упругие, обратимые деформации.
Предел упругости измеряют в паскалях и определяют по формуле:
(sigma_{у;}=;frac FS)
где F — действие внешней силы на исследуемый образец, приводящее к повреждениям, а S — его площадь.
Кроме предела упругости, существуют такие характеристики упругости материалов, как модули упругости (модуль Юнга) и сдвига, коэффициент жесткости и другие. Все они взаимосвязаны, поэтому, выяснив значение одной из величин с помощью справочной таблицы, можно вычислить другие.
Коэффициент
Определение
Согласно закону Гука, при малой деформации абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации.
Эта линейная зависимость описывается формулой:
(F=;k;times;x)
где k — коэффициент жесткости, а х — величина, на которую сжалась или растянулась пружина.
Примечание
Деформация считается малой в том случае, когда изменение размеров тела значительно меньше его первоначальных размеров.
Срок эксплуатации
Нахождение под напряжением приводит к постепенной необратимой деформации, называемой ослаблением пружины.
Жесткость пружины влияет на срок ее эксплуатации, как и сила воздействия. Конструкторы пружин, предварительно рассчитав эти параметры, проводят тесты на прототипах, прежде чем начать массовое производство. В специальных установках для испытания на усталость материала их сжимают и отпускают определенное количество циклов, отдельно проверяя поведение пружин при максимальной и минимальной нагрузке.
В чем измеряется жесткость
Жесткость пружины в системе СИ измеряется в ньютонах на метр, Н/м. Также встречается единица измерения ньютон на миллиметр, Н/мм. Численно жесткость равна величине силы, изменяющей размер пружины на метр длины.
Как обозначается
Коэффициент жесткости пружины обозначают буквой k.
Коэффициент жесткости пружины
Определение
Коэффициент жесткости — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу жесткости.
Применяется в механике твердого тела в разделе упругости.
Формула расчета через массу и длину
Используя закон Гука, коэффициент жесткости можно вычислить по формуле:
(k;=;frac Fx)
Чтобы выяснить силу тяжести, воздействующую на пружину, нужно воспользоваться формулой:
(F;=;m;times;g)
где m — масса подвешенного на пружине тела, а g — величина свободного ускорения, равная 9,8.
Чтобы найти х, нужно дважды измерить длину пружины и вычислить разницу между этими двумя значениями.
При соединении нескольких пружин общая жесткость системы меняется. Коэффициенты каждой из пружин суммируются при параллельном соединении. При последовательном соединении общая жесткость вычисляется по формуле:
(frac1k;=;(frac1{k_1};+;frac1{k_2};+;…;+;frac1{k_n}))
Как можно измерить жесткость
Измерительные приборы
Приборы для испытания пружин на сжатие-растяжение контролируют приложенное усилие с помощью тензометрического датчика, а также изменение их длины, выводя показатели на дисплей. Без специального прибора измерить осевую жесткость можно, используя динамометр и линейку.
Существуют приборы и для измерения поперечной жесткости пружин. Для этого нужно измерить смещение нескольких точек пружины, определив расстояние и угол между ними.
Практическая задача
Самый простой способ измерить жесткость пружины — провести стандартный школьный опыт со штативом и подвешенными на пружине грузиками.
Для измерения осевой жесткости спиральной пружины используют:
- штатив, на котором закрепляют пружину;
- крючок, который крепят на свободный ее конец;
- грузики с известной массой, которые подвешивают на свободный конец пружины;
- линейку, чтобы измерить длину пружины с грузом и без груза.
Проведя несколько измерений с грузиками разной массы и вычислив силу тяжести, воздействовавшую на пружину в каждом из них, можно построить график зависимости длины пружины от приложенного усилия и узнать среднее значение коэффициента жесткости.
Альтернативные способы определения жесткости
Жесткость пружины можно определить и через период ее колебания, воспользовавшись формулой:
(Т;=;2mathrmpisqrt{frac{mathrm m}{mathrm k}})
Или через частоту колебаний по формуле:
(omega=;sqrt{frac{mathrm k}{mathrm m}})
Проводя опыт с пружиной, закрепленной на штативе, и грузиками с известной массой, можно не измерять длину пружины, а привести ее в колебательное движение и сосчитать количество колебаний в период времени.
Формула расчета через длину, дающая более точные результаты и применимая к пружинам со значительной деформацией, различается для пружин разных геометрических параметров. Например, жесткость витой цилиндрической пружины, упруго деформируемой вдоль оси, вычисляется по формуле:
(k=;frac{d_D^4;times;G}{8;times;d_F^3;times;n})
где (d_D) — диаметр проволоки, (d_F) — диаметр намотки, (G) — модуль сдвига, который зависит от материала, а (n) — число витков.
Задача
Рассчитайте коэффициент жесткости пружины, если известно, что ее диаметр 20 мм, диаметр проволоки 1 мм, число витков — 25. Модуль сдвига равен (8times;10^{10};) Па.
Решение
Переведем числовые значения в систему СИ и подставим в формулу:
(k;=;frac{{(10^{-3})}^{4;}times8;times;10^{10}}{8;times;left(2;times;10^{-2}right)^3;times;25})
(k = 100 frac Нм)
Жесткость при деформации кручения существенно отличается от жесткости сжатия-растяжения. Предел прочности при кручении у любого материала будет меньше, чем предел прочности при сжатии-растяжении или изгибе. Торсионная жесткость, также называемая крутильной, в системе СИ измеряется в ньютон-метрах на радиан, сокращенно Н-м/рад. Ее можно определить по формуле:
(k;=;frac Malpha)
где (М) — крутящий момент, приложенный к телу, а (alpha) — угол закручивания тела по оси приложения крутящего момента.