Как найти смещение точки от положения равновесия

Условие задачи:

Определите смещение от положения равновесия материальной точки, совершающей косинусоидальные колебания через 0,5 с от начала отсчета. Начальная фаза колебаний (frac{pi}{6}) радиан, период 6 с, амплитуда 6 см.

Задача №9.1.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(t=0,5) с, (varphi_0=frac{pi}{6}), (T=6) с, (A=6) см, (x-?)

Решение задачи:

Чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно записать уравнение колебаний материальной точки. Так как эта точка совершает косинусоидальные колебания с начальной фазой (varphi_0) и амплитудой (A), то это уравнение можно записать в виде:

[x = Acos left( {{varphi _0} + omega t} right);;;;(1)]

В этой формуле (A) – амплитуда колебаний, (omega) – циклическая частота колебаний, (varphi _0) – начальная фаза колебаний.

Циклическая частота колебаний (omega) и период колебаний (T) связаны по известной формуле:

[omega = frac{{2pi }}{T}]

С учетом этого уравнение (1) примет вид:

[x = Acos left( {{varphi _0} + frac{{2pi t}}{T}} right)]

Задача решена, подставим численные данные задачи в полученное уравнение и посчитаем ответ:

[x = 0,06 cdot cos left( {frac{pi }{6} + frac{{2 cdot pi cdot 0,5}}{6}} right) = 0,03;м]

Ответ: 0,03 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.6 Тело совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,15 с, максимальная
9.1.8 За равные промежутки времени первое тело совершило 100, а второе – 400 колебаний
9.1.9 Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 0,8 с

Основные формулы

Гармонические колебания происходят по закону:

X = A cos(ωT + φ0),

Где X – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ0 – начальная фаза, T – время.

Период колебаний T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ = = – A ω sin (ωT + φ0),

Ускорение A = = – Aω2 cos (ωT + φ0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: EK = = sin2(ωT + φ0).

Потенциальная энергия:

EN = cos2(ωT + φ0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T = ,

Где M – масса груза, K – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

Где L – длина подвеса, G – ускорение свободного падения,

– физического T = ,

Где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, M – масса маятника, L – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: LNp = ,

Обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(φ2 – φ1)

И начальной фазой: φ = arctg .

Где А1, A2 – амплитуды, φ1, φ2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

+ – cos (φ2 – φ1) = sin2 (φ2 – φ1).

Затухающие колебания происходят по закону:

X = A0 E— βT Cos(ωT + φ0),

Где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 – начальная амплитуда. В момент времени T амплитуда колебаний:

A = A0 E — βT.

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln = βT,

Где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

D = .

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

Y = Y0 cos ω(T ± ),

Где У – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, У0 – амплитуда, ω – круговая частота, T – время, Х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X, знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х.

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υT,

Где υ–скорость распространения волны, T–период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

Y = Y0 cos 2π ( + ).

Стоячая волна описывается уравнением:

Y = (2Y0 cos ) cos ω T.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

XП = N,

Точки с нулевой амплитудой – узлами,

XУ = (N + ) .

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при T=0 и при T = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде X = A cos(wT + j0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту w = . Остальные параметры известны:

А) X = 0,05 cos(T + ).

Б) Смещение X при T = 0.

X1 = 0,05 cos= 0,05 = 0,0355 м.

При T = 1,5 c

X2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos p = – 0,05 м.

В) график функции X=0,05cos (T + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны Х1(0) и Х2(1,5), а также период колебаний. Значит, через DT = 4 c значение Х повторяется, а через DT = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Задача 21

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

X = 0,05 cos p T, т. к. w = = p.

Находим скорость в момент времени T:

υ = = – 0,05 cos p T.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos p t1,

Отсюда cos pT1 = , pT1 = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05 p sin = – 0,05 p = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E = ,

Где А – амплитуда, w – круговая частота, M – масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

EK = , EП = , но K = MW2, значит, EП = .

Запишем закон сохранения энергии:

= + ,

Отсюда получаем: A2w2 = υ 2 + w2X2,

υ = w = p = 0,136 м/c.

Задача 22

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10-5 Н?

Решение

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E = . (13)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия X следующим образом:

F = K X (14)

В формулу (13) входят масса M и круговая частота w, а в (14) – коэффициент жесткости K. Но круговая частота связана с M и K:

W2 = ,

Отсюда K = MW2 и F = MW2X. Выразив MW2 из соотношения (13) получим: MW2 = , F = X.

Откуда и получаем выражение для смещения X: X = .

Подстановка числовых значений дает:

X = = 1,5∙10-2 м = 1,5 см.

Задача 23

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А1 = 3 см и А2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение

1) Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

A = ,

Где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний, j1 и j2–начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит j2 – j1 = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A = == А1+А­2 = 7 см.

2) Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

Cos(j 2 – j 1) = sin2(j 2 – j 1).

Так как по условию j2 – j1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде: =0,

Или =0,

Или .

Полученное соотношение между X и У Можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN. Амплитуда этого колебания определится как: A = = 5 см.

Задача 24

Период затухающих колебаний Т=4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение точки при T = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение

1) Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

X = A0E — bT cos2p.

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А0 и коэффициента затухания b.

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

L = bТ.

Таким образом b = = = 0,4 с-1.

Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:

4,5 см = A0 cos 2p = A0 Cos = A0 .

Отсюда находим:

A0 = 4,5∙ (см) = 7,75 см.

Окончательно уравнение движения:

X = 0,0775 CosT.

2) Для построения графика сначала рисуем огибающую X = 0,0775 , а затем колебательную часть.

Задача 25

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за T = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника L = 1 м.

Решение

Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: l= bТ,

Где b – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:

W0 = = 3,13 с-1.

Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A0 = A0 E-bT,

BT = ln2 = 0,693 ,

B = = 0,0116 c-1.

Поскольку b << w0, то в формуле w = можно пренебречь b по сравнению с w0 и период колебаний определить по формуле: T = = 2 c.

Подставляем b и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:

L = bT = 0,0116 с-1 ∙ 2 с = 0,0232.

Задача 26

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 pT см.

Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии L = 75 см от источника колебаний, через T = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.

Решение

Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: X = 0,04 sin 600 p(T – ).

Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:

T – = 0,01 – = 0,0075 ,

600p ∙ 0,0075 = 4,5p,

Sin 4,5p = sin = 1.

Следовательно, смещение точки X = 0,04 м, т. е. на расстоянии L =75 см от источника в момент времени T = 0,01 c смещение точки максимально.

Решение: запишем уравнение плоской гармонической волны
[ A={{A}_{0}}cdot cos left( 2pi cdot left( frac{L}{lambda }-frac{t}{T} right)+{{varphi }_{0}} right), ]
Здесь A – смещение от положения равновесия, A₀ — амплитуда волны, λ – длина волны, φ₀ – начальная фаза колебаний, T – период колебаний, L – расстояние до точки волны от источника колебаний. Т.к. нет специальных оговорок в условии, то начальную фазу будем считать равной нулю: φ₀ = 0
[ begin{align}
  & A={{A}_{0}}cdot cos left( 2pi cdot left( frac{lambda }{lambda cdot 12}-frac{T}{Tcdot 6} right)+0 right)={{A}_{0}}cdot cos left( -frac{pi }{6} right), \
 & A=frac{sqrt{3}}{2}cdot {{A}_{0}}. \
end{align} ]
Ответ: 0,0433 м.

Страница 4 из 4

12.61. Найти разность фаз колебаний двух точек, стоящих от источника колебаний на расстояниях l₁ = и l₂ = 16 м. Период колебаний Т = 0,04 с; скорость распространения с = 300 м с.

12.62. Найти разность фаз dφколебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии l = 2м друг от друга, если длина волны λ= 1 м.

12.63. Найти смещение x от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l ⁼ λ/12, для момента времени t = T/6 . Амплитуда колебаний А = 0,05 м.

12.64. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей источника колебании на расстоянии l = 4см. в момент времени t =T/6 равно половине амплитуды. Найти длину λ ,бегущей волны.

12.65. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны λ = 12 см.

12.66. Найти длину волны Я колебаний, если расстояние Между первой и четвертой пучностями стоячей волны l = 15 см.