Как найти сложный процент кредита

Многие активы не учитывают в своей потенциальной доходности такой важный элемент, как сложный процент. Используя механизм капитализации, можно даже маленький капитал превратить в колоссальную сумму. Расскажем в статье, как работает сложный процент в инвестициях и в чем состоит его феномен.

Сложный процент — что это такое

Простыми словами, сложный процент – это процент, который начисляется на начальную сумму вложений и на проценты, накопленные за предыдущие периоды.

Основное преимущество инвестиций со сложным процентом состоит в том, что регулярное реинвестирование прибыли увеличивает доходность финансового актива и позволяет заработать еще больше в будущем.

Как работает и где используется

Механизм сложного процента действует по подобию снежного кома: инвестиции приносят доход, который в свою очередь также вкладывается и создает уже новый дополнительный доход. Чтобы получать эффект сложного процента от своих инвестиций, дополнительных стратегий или особых экономических знаний не требуется. Достаточно реинвестировать доходы, а не тратить их.

Сегодня капитализация процентов активно используется в банковской сфере и на рынке ценных бумаг (акции, облигации, ПИФы, ETF и т. д.). Также сложный процент можно применять и в недвижимости, когда доход от аренды направляется на покупку и сдачу в аренду новых недвижимых объектов.

Формула сложного процента

В интернете есть большое количество ресурсов, которые предлагают клиенту автоматически рассчитать капитализацию. Такие калькуляторы сложных процентов сильно экономят время. Однако если вы хотите досконально разобраться в работе капитализации процентов, лучше рассчитать ваши доходы от инвестиций вручную.

Итак, как капитализация процентов определяется по формуле?

Самая простая формула для расчета сложных процентов выглядит следующим образом:

FV = PV х (1+r/100)ⁿ , где

• FV – будущая сумма;
• PV – начальная сумма вложений;
• r – процентная ставка;
• n – количество лет (дней, месяцев и т. д.).

Главное качество, которое должны развить в себе все инвесторы, желающие применять силу сложных процентов, – это терпеливость. В первые годы реинвестирования капитала прибыль будет незначительной по сравнению с простым процентом, но на длительном промежутке времени доходность будет расти в геометрической прогрессии. Эффект сложных процентов позволяет доходу, который вы реинвестируете, приносить вам в будущем «проценты на проценты». Наиболее очевидный пример сложного процента – описание схемы работы банковского депозита.

Пример расчета

Допустим, клиент открыл банковский вклад на 100 000 рублей под 10% годовых.

Срок вложения – 5 лет. По договору также есть право каждый год снимать проценты со вклада. Сколько в итоге можно заработать?

Есть два подхода к формированию прибыли:

1. Простая ставка процента. Каждый год инвестор будет снимать со счета все начисленные проценты и тратить их на свои нужды.
2. Сложная ставка процента. Инвестор не снимает проценты. Начисленный доход реинвестируется и приносит еще больше прибыли.

Годовая доходность инвестора по вкладу в первый год составляет 10 000 рублей. Если регулярно снимать проценты, то за 5 лет клиент заработает 50 000 рублей чистой прибыли. Можно ли заработать больше? Можно. Если не снимать проценты, то доходность вклада с каждым годом будет увеличиваться, так как начисленные проценты будут реинвестироваться и генерировать новый доход. В таком случае через 5 лет инвестор заработает уже 61 051 рубль. Более наглядно математическую «магию» можно проследить в таблице ниже.

Через 5 лет разница в реальном выражении составит 11 051 рублей. Благодаря капитализации процентов инвестор сможет заработать не 50 000 рублей, а 61 051 рубль чистой прибыли. Данный пример показывает, что на длительной дистанции эффект сложного процента очевиден. Чем дольше реинвестировать, тем больше можно заработать.

Более упрощенно наши расчеты доходности можно было бы записать через ранее рассмотренную формулу сложного процента с капитализацией: FV = PV х (1+r/100)ⁿ

Нам известны следующие данные:

• PV = 100 000 рублей;
• r = 10%;
• n = 5 лет.

Подставим все значения в формулу расчета сложных процентов:

FV = 100 000 х (1+10/100)⁵  = 161 051 рубль

Как видно, результат тот же. Через 5 лет банковский вклад с капитализацией превратит 100 000 рублей клиента в 161 051 рубль.

Важно отметить, что многие банки практикуют политику ежемесячной капитализации, а не годовой. Это значит, что даже при номинальной годовой ставке в 10% (как в нашем примере) вкладчик, который не снимал деньги со счета все 12 месяцев, в конце первого финансового года получит уже не 10 000 рублей, а 10 446 рублей.

Примечание. Ежемесячная ставка составляет 1,0083%. (10% / 12 месяцев). В таком случае по формуле сложных процентов среднегодовая ставка с учетом капитализации составит уже 10,46%.

Сложный процент в инвестировании

Помимо банковской сферы, капитализация процентов активно используется и на фондовом рынке. Ведь реинвестирование прибыли – эффективный инструмент, который позволяет многим профессиональным участникам рынка добиваться значительных результатов даже без сложных финансовых стратегий и умных алгоритмов торговли. Рассмотрим, как работает сложный процент в разных инвестиционных активах.

Реинвестиции дивидендов по акциям

Заработать на акциях можно не только путем купли-продажи по более высокой цене, но и за счет получения дивидендов. При этом многие инвесторы придерживаются более долгосрочных взглядов и реинвестируют дивиденды, покупая новые акции. Как и при банковском вкладе, инвестор имеет возможность получить гораздо большую прибыль в будущем при условии, что курсовая стоимость новых акций будет расти, а не падать.

Среди российских компаний инвесторы чаще всего получают дивиденды от Газпрома, МТС и Лукойла.

Реинвестирование облигаций

Все владельцы облигаций (кроме дисконтных бумаг) получают от эмитента купонный доход. Он может выплачиваться компанией или государством один раз в месяц, квартал или даже год. Если инвестор не планирует тратить купонный доход, его также можно реинвестировать.

При этом важно понимать, что номинальная стоимость облигации обычно составляет 1000 рублей. Поэтому, если инвестор покупает долговую ценную бумагу, например, за 1100 рублей (рыночная цена), то выплата процентов и погашение основной суммы долга будет осуществляться из расчета именно в 1000 рублей. И в таком случае вкладчик будет нести убытки.

Чтобы реинвестирование купонных доходов приносило инвестору ощутимую прибыль, необходимо покупать бумаги по цене ниже номинальной стоимости, а не наоборот.

Вложения в ETF или ПИФ

Как правило, владельцы акций ETF или паев ПИФа не получают никаких дивидендов. Инвесторы зарабатывают только на купле-продаже ценных бумаг. Однако это не значит, что механизм реинвестирования в этих финансовых инструментах не работает. Дело в том, что структура активов ETF и ПИФов также состоит из акций и облигаций, по которым выплачивается периодический доход. Но чаще всего управляющие фондов сами автоматически реинвестируют дивиденды и купонные доходы без участия акционеров и пайщиков.

Таким образом, реинвестирование в ETF и ПИФах есть, но напрямую инвесторы на этот процесс повлиять практически не могут.

Банковский вклад с капитализацией

Банковские вклады с капитализацией – самый прибыльный вид депозитов. Каждое последующее начисление процентов всегда больше предыдущего, в результате чего общая доходность вклада также возрастает.

Чаще всего многие банки при рекламе вкладов с капитализацией пишут только номинальную ставку. Однако если вклад учитывает сложные проценты, то средняя процентная ставка будет немного выше.

Например, номинальная ставка при 5-летнем вкладе составляет 10%. А средний процентный доход с капитализацией уже будет исчисляться по ставке 12,21%. Это не означает, что каждый год клиент банка будет получать на 2,21% больше, чем написано в договоре. Просто реинвестирование процентов позволит в конце 5-летнего срока вклада заработать на 11,05% больше обычного (2,21% х 5 лет).

Благодаря сложным процентам прирост прибыли по вкладу со временем будет ускоряться, поскольку каждый раз банк начисляет проценты на всё более крупную сумму, а не на первоначальные вложения.

Делаем выводы

Главная цель всех инвесторов – получать максимальный доход от своих инвестиций. Добиться этого можно по-разному. Но самый простой способ – реинвестировать свои доходы. Механизм сложного процента позволяет инвестору зарабатывать на дистанции гораздо больше при прочих равных условиях. Повторно вкладывать капитал можно во что угодно. Например, покупать новые акции, облигации, паи ПИФов, акции ETF или даже просто открывать банковский вклад. Такой подход позволит увеличить капитал в долгосрочной перспективе и быстрее достичь финансовых целей.

Процесс реинвестирования не всегда приносит только прибыль. Чтобы не получать убытки от своих вложений, важно ответственно подходить к выбору активов и соотносить уровень риска с потенциальной доходностью.

Только при разумном инвестировании доход, полученный от первоначального капитала, способен генерировать новые денежные потоки и увеличивать совокупную доходность инвестиционного портфеля. В противном случае инвестора будет ожидать не рост капитала, а его падение.

Популярные вопросы

Мы в ITinvest любим максимально просто рассказывать о максимально сложным явлениях. Например таких, как процентные ставки и сложные проценты. Потратьте 10 минут, чтобы разобраться в этих понятиях и, возможно, когда-то вам посчастливится испытать на себе и своем капитале магию сложного процента.

Это когда вы инвестируете свои деньги, а через некоторое количество лет удваиваете свой капитал, хотя процентная ставка, казалось бы, позволяет сделать это значительно медленнее. Давайте выясним, как это происходит и от чего зависит.

Простые и сложные проценты

Существует два основных типа доходности, с которыми сталкивается любой, кто использует инвестиционные инструменты. Все дело в процентных ставках и доходности: при любой процентной ставке по продукту можно получать простые и сложные проценты.

Простые проценты

Простые проценты начисляются только на основную сумму кредита или депозита. Их легко подсчитать. Вы просто умножаете основную сумму на процентную ставку и срок, чтобы определить, сколько заплатите или получите в виде процентов. Автокредиты и кредитные карты – это кредиты с простыми процентами, которые большинство людей даже не привыкли считать финансовыми инструментами, а просто воспринимают как финансовую рутину.

Сложные проценты

Чтобы вычислить сложный процент нужно чуть больше понимания рынка финансовых продуктов. Сложные проценты стоят на двух финансовых китах и меняются в зависимости от них. Один кит – это основная сумма кредита или депозита. Второй кит – это проценты, которые накапливаются по нему каждый период. Это означает, что сложные проценты быстро накапливаются. Чем дольше вы должны деньги, тем больше вы платите. Так устроены многие кредитные карты и прочие “простые” бытовые финансовые продукты. Будьте внимательны. Лучше всего избегать выплаты сложных процентов по тем суммам, которые вы занимаете. Но вот с вкладами и инвестициями все ровно наоборот – стремитесь к сложным процентам.

Например, когда вы кладете деньги на сберегательный счет, вы получаете проценты каждый расчетный период, скажем, ежемесячно или ежегодно. Когда банк рассчитывает проценты за следующий период, он вычисляет их на основе вашего нового баланса. Это означает, что вы получаете проценты на проценты, которые заработали.

Эффект снежного кома сложных процентов – это надежный и эффективный способ для инвестора накопить капитал с течением времени. Главное условие для того, чтобы работал сложный процент – не снимать деньги, а реинвестировать тот процент, который вы уже заработали. Именно поэтому так важно не снимать деньги со своего инвестиционного счета как можно дольше, особенно если вы используете автоматизированный инвестиционный портфель. Только представьте – если вы реинвестируете прибыль от депозита в размере 10 000 долларов, такой депозит может принести в два раза больше за 30 лет, чем тот же депозит, с которого вы будете снимать прибыль.

Как рассчитать процентные ставки

Прежде чем открыть счет или взять кредит, важно рассчитать, сколько процентов вы будете платить или зарабатывать. Это поможет вам решить, стоит ли инвестировать или брать такой кредит. Вот как рассчитать эти два типа процентов.

Формула простых процентов по кредиту

Формула сложных процентов

Сейчас всё разберём на простом примере.

Допустим, Виктор не может получить ссуду под простой процент. Банк одолжит ему его 15 000 долларов под 4%, но процент будет расти ежегодно. Срок погашения кредита истекает через шесть лет. То есть, условия те же, что и в первом примере, но только на первый взгляд. Как вы сейчас увидите, сложный процент делает этот кредит менее выгодным. Этому часто рады банки. Этот тот случай, когда сложный процент работает на банк, а не на Виктора.

В этом случае Виктор выплатит общую сумму процентов по кредиту в размере 3975 долларов. Общая сумма, которую должен Виктор, составит 18 975 долларов, что на 375 долларов больше, чем если бы ему пришлось платить простые проценты.

Как найти хорошую процентную ставку

Если вы хотите найти низкую процентную ставку по кредиту или высокую процентную ставку на инвестиции, вам придется анализировать рынок. Только так можно найти оптимальные финансовые инструменты.

Когда вы сравниваете ставки по аренде, то наверняка познакомитесь с хозяевами, изучите все недостатки товара, условия аренды. На рынке кредитования можно делать точно так же. Принимайте во внимание свои интересы, учитывайте возможности, риски и стратегию. Конкуренция на рынке финансовых продуктов огромна. Например, если у вас плохая кредитная история, наверняка как минимум в десяти банках уже придумали продукт для таких, как вы.

Даже при одинаковой ставке, банки могут предлагать разные условия. Важен и срок кредитования. Кредит на два года будет иметь лучшую процентную ставку, другую процентную ставку, чем кредит на 5 лет, но, возможно, схема погашения будет удобнее и тд.

С условиями по сберегательным счетам все проще – просто ищите самую высокую процентную ставку на приемлемых для вас условиях.

Будьте осторожны

Никогда не берите кредит, не зная процентной ставки и не понимая условий выплат. Если условия договора по понятны, не прозрачны или вы не понимаете сколько заплатите за кредит или получите дохода по депозиту, от такой сделки нужно отказаться! Относитесь к деньгам, которые получите по депозиту как к доходу и принимайте взвешенное решение. Считайте проценты по финансовым продуктам, задавайте вопросы и относитесь к любым финансовым предложениям внимательно. К сожалению, в кризисные периоды на рынке финансовых инструментов появляется очень много мошенников.

Мы всегда рады ответить на ваши вопросы и предостеречь вас от ошибок. Если у вас есть вопросы по финансовым продуктам, предложениям или провайдерам, задавайте из в комментариях. Все читаем и стараемся отвечать.

https://ria.ru/20221022/rasschety-1825193960.html

Эффект снежного кома: что такое сложный процент и как его рассчитать

Сложный процент: что это такое, суть, формула расчета, начисление в банке

Эффект снежного кома: что такое сложный процент и как его рассчитать

Чтобы повысить доходность вложений, необходимо учесть и просчитать множество факторов: годовая ставка, расчетный период и многое другое, в том числе и метод… РИА Новости, 16.01.2023

2022-10-22T08:21

2022-10-22T08:21

2023-01-16T11:52

экономика

деньги

банки

россия

доход

инвестиции

https://cdnn21.img.ria.ru/images/07e6/0a/11/1824714248_0:316:3072:2044_1920x0_80_0_0_9dd71fa9f9eb025a0a22932f894aeeb5.jpg

МОСКВА, 20 окт — РИА Новости. Чтобы повысить доходность вложений, необходимо учесть и просчитать множество факторов: годовая ставка, расчетный период и многое другое, в том числе и метод начисления процентов. Помимо привычного дохода в размере определенного процента от основной суммы, у банков есть предложения с капитализацией процентов, что иначе называется «сложный процент». Что это такое, в чем его суть и механизм работы, как посчитать доходность по формуле – в материале РИА Новости.Сложный процентБольшинство начинающих вкладчиков оценивают возможную доходность вложений только по предлагаемой банком процентной ставке. Но, чтобы получить максимум возможного, важно учитывать не только размер процента, но и метод его начисления. В частности, это относится к выбору между простым и сложным процентом.ПонятиеПо словам Романа Чечушкова, руководителя направления инвестиционной аналитики банка «Ренессанс Кредит», сложные проценты – это проценты, рассчитанные как на сумму вложенных средств, так и на «набежавшую» по ним сумму. Другими словами – это проценты, которые вкладчик или инвестор зарабатывает на процентах.СутьПростой процент рассчитывается единожды на основную сумму вклада. Суть сложного зачастую сравнивают со снежным комом – так как проценты начисляются и на сумму вложений и на проценты за прошлые периоды, то все начинается с «маленького кома» и с каждым годом (или другим расчетным периодом) он увеличивается сколько угодно раз, пока инвестор не снимет вложения со счета. Именно поэтому сложный процент выгоден для долгосрочных вкладов.»Суть сложного процента можно проиллюстрировать с помощью простого примера: если на банковском вкладе лежит 1 000 рублей и они приносят 10 % годовых, то в конце первого года у вкладчика будет 1 100 рублей, а в конце второго года – 1 210 рублей. То есть инвестор заработал не только 200 рублей на начальном депозите в 1 000 рублей, но и 10 рублей на 100 рублях, начисленных в качестве процента за первый год. Несмотря на небольшую сумму начисленных процентов, с увеличением срока инвестирования процентная база будет расти и через 10 лет с тем же капиталом можно будет заработать 2 594 рубля, из которых на сложные проценты приходится 594 рубля, то есть 37 % от дохода», – дополнил Роман Чечушков.Где используетсяСложный процент применяется во многих инвестиционных продуктах. Роман Чечушков разъяснил особенности его расчета в зависимости от сферы применения.Банковские вкладыМногие банки используют сложные проценты в планировании вкладов и предлагают различные условия. Главное отличие для вкладчика – это период капитализации вклада, то есть период начисления процентов. Самый распространенный период капитализации – ежемесячный. Также существует ежедневный (зачастую с минимальной ставкой), ежеквартальный, полугодовой, ежегодный и единоразовый с начислением процентов в конце срока вклада. Например, клиент открывает вклад на сумму 500 000 рублей, на 12 месяцев и под 8 % годовых с ежемесячным начислением. К концу срока вклада на его счету будет 500 000*(1+8%/12)12 = 541 499 рублей (первоначальная сумма вклада и накопленные проценты). Таким образом, чем больше срок вклада и чаще начисление процентов, тем большее приращение за счет сложных процентов получает вкладчик.ОблигацииРеинвестирование дохода по купонам облигаций схоже с получением процентов по вкладу. Инвестор покупает облигации на сумму 500 000 рублей со ставкой купона 8 % и выплатами ежеквартально. То есть за первый квартал инвестор получит 2 % купонного дохода и на счету будет 510 000 рублей, после реинвестирования, за второй, третий и четвертый кварталы, процент будет начисляться не на первоначальную сумму вложения, а на сумму этого вложения и купонного дохода к этому периоду. Соответственно, на конец первого года, инвестор будет иметь 541 216 рублей или 41 216 рублей купонного дохода с реинвестирования, итого 8,2 % дохода за 1 год.АкцииЕще одним способом увеличить свое состояние за счет сложных процентов является реинвестирование дивидендов по акциям. Если на полученные дивиденды докупать акции, то сумма дивидендов со временем сама начнет приносить часть новых дивидендов. Предположим, что инвестор купил 10 акций по 100 рублей, сумма дивидендов за первое полугодие составила 10 рублей на одну акцию, тогда сумма его дивидендов составит 100 рублей. Если эти средства реинвестировать в эти же акции, то у инвестора будет уже 11 акций. В конце года дивиденды, выплаченные за 12 месяцев, также составили 10 рублей на акцию, тогда за второе полугодие инвестор заработает 110 рублей, из которых 10 рублей будут дивиденды, начисленные на акции, купленные путем реинвестирования ранее выплаченных дивидендов.Инвестиционный портфельСложный процент может применяться не только в отношении одной ценной бумаги, его также можно использовать для всего инвестиционного портфеля. К примеру, инвестор может на дивиденды от облигаций купить акции другой компании. После заработать на росте цен, продать акции, а прибыль вложить в другие финансовые операции. Сложность заключается в том, что предугадать доходность для всего портфеля достаточно сложно, одна невыгодная продажа акций может также снизить доходность выгодной покупки. Или, например, дивиденды упадут, что также негативно отразится на всей доходности инвестиционного портфеля.Формула расчетаКак простой, так и сложный процент имеют свои формулы расчета, по которым можно заранее просчитать прибыль.Простой процентРоман Чечушков отмечает, что формула простого процента выглядит следующим образом:, где:На примере это работает так: если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 11 месяцев под 3 % годовых, то его процентный доход составит:Сложный процент с начислением дохода 1 раз в год, где:Эксперт отмечает, если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 3 года под 3% годовых, то его процентный доход составит:Сложный процент с начислением дохода чаще, чем 1 раз в годРоман Чечушков отмечает, что можно выделить несколько ситуаций с начислением дохода чаще 1 раза в год:1. Сложный процент с начислением дохода ежедневноВ такой ситуации необходимо воспользоваться формулой:, где:Если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 11 месяцев под 3 % годовых, то его процентный доход составит:2. Сложный процент с начислением дохода ежемесячноФормула в таком случае схожа с начислением дохода ежедневно:, где:Если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 11 месяцев под 3 % годовых, то его процентный доход составит3. Сложный процент с начислением дохода ежеквартальноДля расчета берется формул, где:Если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 11 месяцев (3,667 квартала) под 3 % годовых, то его процентный доход составит:4. Непрерывное начисление процентовПри непрерывном начислении процентов берется формула:, где:Если вкладчик внесет на депозит 100 000 рублей сроком на 11 месяцев под 3 % годовых, то его накопления через 11 месяцев составят:Необязательно знать наизусть все эти формулы или постоянно их применять. Сейчас существует большое количество онлайн-калькуляторов для расчета доходности сложного процента в разных ситуациях.Ключевые параметры при расчетеНа сумму, которую в итоге получит инвестор (или вкладчик) в конце расчетного периода, зависит от ряда ключевых параметров.Процентная ставкаВ отношении вкладов, это доход, который получает вкладчик за определенный расчетный период, – например, 5 % годовых, то есть за год доход составит 5 % от суммы вклада. Размер ставки устанавливает непосредственно банк и чем она выше, тем больше будет доход.Стартовый капиталЭто сумма, которую инвестор готов вложить в ценные бумаги или вкладчик готов положить на счет для дальнейшего преумножения.Расчетный периодЭто временной промежуток, в течение которого инвестор или вкладчик планирует получать доход. Чем он дольше, тем больше будет накопленная в итоге сумма.Частота начисления процентовПроценты могут начисляться ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. В отношении вкладов условия зависят от конкретного банка. Чем чаще будут начисляться проценты, тем выше будет скорость увеличения накоплений.Частота дополнительных взносовДля кратковременных вкладов дополнительные взносы практически не имеют заметного эффекта. А вот начиная с 5–7 года накопления, можно явно ощутить, как наращивается тот самый «снежный ком».Сравнение простого и сложного процентовПроще всего сравнить доходность простого процента и сложного – наглядно проследить начисление прибыли. К примеру, вкладчик решил положить на счет 200 000 рублей на 12 месяцев под 12 % годовых. Если он выберет простой процент, то в конце расчетного периода он получит 224 000 рублей, где 200 000 – основная сумма вклада, а 24 000 – полученные проценты. Если он выберет сложный процент с ежемесячным начислением, то сумма его вклада будет меняться следующим образом:По итогу расчетного периода вкладчик получит 225 365 рублей, где 200 000 – основная сумма вклада, а 25 365 – начисленные проценты. В условиях одного года эта разница может показаться незначительной. Но не просто так сложный процент сравнивают со снежным комом – чем длиннее расчетный период и чаще начисление процентов, тем больше и ощутимее будет доход.

https://ria.ru/20220211/vklad-1772383173.html

https://ria.ru/20220212/nalog-1772417874.html

https://ria.ru/20211103/vklady-1757470045.html

https://ria.ru/20220412/sberezheniya-1783016922.html

https://ria.ru/20220101/vklady-1766336179.html

россия

2022

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

https://cdnn21.img.ria.ru/images/07e6/0a/11/1824714248_242:0:2973:2048_1920x0_80_0_0_4190bbf6921190c58ff255e97d1e544a.jpg

экономика, деньги, банки, россия, доход, инвестиции

Задачи про кредиты, в которых неизвестно время

12 октября 2015

В этом уроке мы разберём, как решаются самые сложные задачи про кредиты из ЕГЭ по математике — в них неизвестно время. В первую очередь запомните формулу, связывающую общую сумму кредита, процент, срок и ежемесячные платежи:

$Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}$.

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платёж, а число $n$ — это срок, на который берётся кредит. Именно его мы сегодня и будем искать, для чего нам потребуется выполнить два шага:

1. Примерно оценить срок. Для этого достаточно разделить кредит на платёж, а полученное число округлить в большую сторону. Если при делении получилось целое число, просто увеличиваем его на единицу.
2. Убедиться, что это число и есть ответ. Для этого придётся посчитать несколько степеней от довольно некрасивых чисел: 1,1; 1,03 и т.д.

Решая эту задачу, всегда помните связь между сроком и размером ежемесячного платежа:

Чем больше срок, тем меньше ежемесячный платёж. И наоборот: чем меньше срок, тем больше платёж.

Кроме того, есть важное правило, которое позволит существенно сократить объём выкладок. Вместо того, чтобы искать значение, скажем${{1,03}^{7}}$, можно найти какую-нибудь промежуточную степень (всё, что больше куба, для этого числа уже считается проблематично), а затем продолжить работу с верхними и нижними оценками этого числа. Что это за оценки и как с помощью них решить задачу 17 вдвое быстрее — смотрите в видеоуроке.:)

Самая сложная задача про кредиты из ЕГЭ

Сегодня мы разберем то, о чем я обещал поговорить еще в прошлом учебном году, когда мы впервые познакомились с задачами с экономическим содержанием из ЕГЭ по математике. Вообще, с момента появления этой задачи в Едином государственном экзамене прошло довольно много времени, и с тех пор такие задачи стали более разнообразными, чем изначально, однако самая сложная и часто встречающаяся задача осталась неизменной. Именно о ней мы сегодня и поговорим. А точнее, речь пойдет о самом сложном варианте этой задачи — о задаче на выплаты и кредиты, когда работает универсальная формула сложных процентов, выведенная в предыдущем видеоуроке, однако неизвестно в этот раз не кредит и не платеж, а именно время, на который взят этот самый кредит.

Формула сложных процентов в математике

Откуда берется эта формула расчета сложных процентов и как вообще все это работает, я подробно объяснял на предыдущем видеоуроке, поэтому если вы его не смотрели, очень рекомендую посмотреть. Однако из того же самого видеоурока возникла куча вопросов и, в частности, разбор самой сложной задачи мы оставили на потом. Именно этим мы сегодня и займемся.

Прежде чем решать эту задачу, давайте запишем нашу классическую формулу расчета сложных процентов, а именно:

[Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}]

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.

Эту формулу мы выводили на одном из предыдущих видеоуроков, ее можно без всяких сомнений использовать на настоящем экзамене, при этом предварительно обосновав примерно так же, как это сделано в предыдущем видеоуроке.

Задача № 1

Итак, экономическая задача, в которой неизвестной искомой величиной является время:

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,5 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 350 тыс. рублей?

Шаг первый: выписываем известные данные

Итак, начинаем решать нашу задачу. Во-первых, выпишем все, что нам известно. Прежде всего, нам дан общий объем кредита:

Кредит = 1 500 000

Известно, что ежемесячный платеж не должен превышать 350 тыс. рублей. Давайте так и запишем:

Платеж = 350 000

Кроме того, известен процент. Мы знаем, что если 10% записать в виде коэффициента, то это будет:

% = 1,1

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу вычисления сложных процентов

А то, что нам неизвестно, так это число $n$ в данном уравнении. Давайте подставим все, что мы знаем в формулу сложных процентов и посмотрим, что получится:

[1500000cdot {{1,1}^{n}}=350000cdot frac{{{1,1}^{n}}-1}{1,1-1}]

[150cdot {{1,1}^{n}}=35cdot left( {{1,1}^{n}}-1 right)cdot 10left| :5 right.]

Давайте введем замену:

[{{1,1}^{n}}=t]

[]

В этом случае получим:

[3t=7left( t-1 right)]

[3t=7t-7]

[-4t=-7]

[t=frac{7}{4}=1,75]

Вспоминаем, что такое $t$. Нам предстоит решить следующее уравнение:

[{{1,1}^{n}}=1,75]

Шаг третий: находим наименьшее значение

Если вы попытаетесь решить данное уравнение с помощью калькулятора, то у вас ничего не получится — числа будут либо больше, либо меньше, но точного значения вы не получите. Поэтому давайте еще раз вернемся к условию задачи и прочитаем, что ежемесячные платежи должны составить не более 350 тыс. рублей. Давайте задумаемся: чем на больший срок берется один и тот же кредит, тем меньшими являются ежемесячные платежи. А поскольку нам требуется, чтобы ежемесячные платежи были не более 350 тысяч рублей, то это значит, что срок должен быть не менее чем указанный. На самом деле, с учетом того, что точно этому сроку наше значение не может быть равно, мы получаем, что нам нужно решить не уравнение, а неравенство вида

[{{1,1}^{n}} gt 1,75]

Еще раз внимательно посмотрите на этот переход — это принципиально важный момент во всей задачи. Мы не можем подобрать точное натуральное значение $n$ такое, чтобы $1,1$ в этой степени давала $1,75$, поэтому теперь наша задача — найти минимальное натуральное $n$ такое, чтобы выполнялось это неравенство. Спрашивается: а почему минимальное? Ведь можно взять кредит на 100 лет и тогда уж точно все получится, т.е. ${{1,1}^{n}}$ будет больше, чем $1,75$. Однако нам в задаче требуется найти именно минимальное количество. Поэтому из всех таких $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, мы выберем наименьшее, а, по сути, мы сейчас сами найдем это самое наименьшее.

Составим небольшую таблицу.

И вот мы впервые превзошли искомые ограничения — $1,75$. Обратите внимание: пяти месяцев нам еще недостаточно, потому что коэффициент не достигнет желаемой величины, а шести месяцев уже достаточно, потому что он не только достигнет, но и превзойдет желаемую величину. Поэтому окончательный ответ — шесть месяцев.

Нюансы решения

Как видите, в этом нет ничего сложного, даже если от нас требуется найти именно срок. Единственное, что нас могло смутить — довольно большой объем вычислений в самом конце, когда мы считали степени $1,1$. Однако неудивительно, так как это одна из самых последних и самых сложных задач из ЕГЭ по математике, поэтому если бы здесь было совсем все просто, то за нее не давали бы три первичных балла.

Кроме того, хотел бы обратить ваше внимание на окончательное обоснование ответа. Напоминаю, что мы решаем задачу из второй части: здесь недостаточно написать ответ, а нужно предоставить полное и грамотное обоснование. Итак, возводя в степени, мы в определенный момент получаем такие значения: $1,61051$ и $1,771561$. Возникает вопрос: а почему мы выбрали второе число? Мы решаем данное неравенство, которое было обосновано ранее, и второе значение под наше неравенство уже подходит, потому что

[{{1,1}^{6}}=1,771561]

А в $1,75$во втором знаке стоит «пять», т.е. цифра меньше и, следовательно, это число меньше. А вот если мы попытаемся выбрать в качестве ответа пять месяцев и связанный с этим значением коэффициент $1,61051$, то нас этот вариант точно не устроит. Почему? Потому что если мы подставим его в исходную формулу сложных процентов и попытаемся по этим данным посчитать итоговый ежемесячный платеж, то он окажется больше, чем требуемые 350 тыс. рублей.

Для того, чтобы успешно решить эту задачу, в том числе, когда требуется найти срок необходимо учесть два момента:

1. Помнить формулу решения сложных процентов и желательно уметь выводить ее на экзамене.
2. Помнить зависимость между сроками и размерами платежей. Зависимость обратно пропорциональная: чем больше срок, тем меньше ежемесячный платеж и наоборот — чем больше ежемесячный платеж, тем меньше срок, в течение которого придется выплачивать один и тот же кредит.

Задача № 2

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 220 тыс. рублей?

На первый взгляд задача ничем не отличается от предыдущей. Разве что пенсионерка стала более разумной, поэтому взяла лишь 1,1 млн. и, кроме того, процент в месяц составляет лишь 3%, а не 10%, и ежемесячные платежи должны составлять не более 220 тыс. рублей.

Шаг первый: выписываем известные данные

Вновь запишем нашу формулу сложных процентов:

[Ccdot {{x}^{n}}=Pcdot frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}]

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.

Давайте запишем известные данные:

Кредит = 1100000

Платеж = 220000

% = 1,3

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу расчета сложных процентов

Подставляем все эти данные в формулу. Вновь нам неизвестен срок, т.е. $n$:

[1100000cdot {{1,03}^{n}}=220000cdot frac{{{1,03}^{n}}-1}{1,03-1}left| :11 right.]

[{{1,3}^{n}}=2cdot left( 1,03-1 right)cdot frac{10}{3}left| 3 right.]

Введем замену:

[{{1,03}^{n}}=t]

[3t=20left( t-1 right)]

[3t=20t-20]

[3t=20t-20]

[-17t=-20]

[t=frac{20}{17}]

И вот тут мы натыкаемся на первую проблему, которой в предыдущей задачи не было: $frac{20}{17}$ не переводится в «красивую» десятичную дробь, а нам нужна именно десятичная дробь, потому что когда мы сделаем таблицу, то будем возводить $1,03$ в разные степени, а она, будучи десятичной дробью в разных степенях, тоже будет давать десятичные дроби. На самом деле выход просто: просто разделим и оставим первые четыре знака:

[frac{20}{17}=1,17647…]

Возвращаясь к нашей задаче, мы получим следующее:

[t=1,17647…]

Приравняем обе части:

[{{1,03}^{n}}=1,17647…]

По аналогии с предыдущей задачей несложно заметить, что нет такого натурального $n$, чтобы $1,03$ в этой степени давало нам $1,17647…$, поэтому мы спокойно заменяем наше равенство знаком неравенства:

[{{1,03}^{n}} gt 1,17647…]

При этом при решении данного неравенства в ответ пойдет наименьшее $n$. Давайте снова составим таблицу, где слева мы снова будем писать месяцы, а справа — коэффициент:

Шаг четвертый: находим верхнюю и нижнюю оценку, используя «метод оценок»

Мы столкнулись с еще одной проблемой: по мере роста номера месяца объем вычислений становится просто катастрофическим, поэтому дальнейшие вычисления нужно выполнять с помощью какого-то другого инструмента, иначе мы просто утонем в объеме выкладок. Эта проблема характерна для всех задач, в которых процент меньше десяти. Поэтому как только вы видите маленькие проценты, не думайте, что вам попалась легкая задача, наоборот — будут проблемы. Однако все эти проблемы легко решаются при помощи замечательного инструмента под названием «метод оценок». Сейчас я вам расскажу, что это такое и как его применять на примере данной задачи.

Итак, нам необходимо найти четвертую, пятую и шестую степень числа $1,03$. Мы находили при помощи предыдущей, умножая ее на $1,03$. Однако уже на третьем шаге объем вычислений оказался достаточно большим. Поэтому чтобы не утонуть в вычислениях, выполним следующую манипуляцию: давайте посмотрим на числа, которые у нас получились при возведении в квадрат и в третью степень. Сначала рассмотрим, что получилось в квадрате:

[{{1,03}^{2}}=1,0609]

Давайте отсечем два знака после запятой и запишем просто $1,06$. То же самое сделаем с третьей степенью, в которой мы получили такое выражение:

[{{1,03}^{3}}=1,092727]

Отсечем два знака после запятой и получим $1,09$. В обоих случаях мы берем лишь первые два знака. Что нам это даст? Дело в том, что в любом случае $1,0609$, т.е. истинное значение второй степени будет больше, чем только что найденное значение:

[1,06 lt 1,0609]

Аналогично можно сказать и про третью степень:

[1,09 lt 1,092727]

А теперь возьмем и к этим числам в последнем разряде прибавим «единицу». Получим:

[1,06+1=1,07]

[1,09+1=1,10]

Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что в первом случае

[1,07 gt 1,0609]

А вот втором случае будет следующее неравенство:

[1,1 gt 1,092727]

Давайте запишем вот так:

[1,06 lt 1,0609 lt 1,07]

[1,09 lt 1,092727 lt 1,1]

Полученные значения называются верхней и нижней оценкой или округлением с недостатком и округлением с избытком. И вместо того, чтобы мучится с огромным объемом вычислений, мы будем просто перемножать эти числа. Каким образом и на каком основании? Давайте заметим следующее:

[{{1,03}^{4}}={{1,03}^{2}}cdot {{1,03}^{2}}]

[{{1,03}^{5}}={{1,03}^{3}}cdot {{1,03}^{2}}]

[{{1,03}^{6}}={{1,03}^{3}}cdot {{1,03}^{3}}]

Шаг пятый: находим наименьшее значение

Давайте заполним таблицу до конца:

Что дают нам все эти верхние и нижние оценки? Во-первых, существенно сокращается объем вычислений, а, во-вторых, давайте посмотрим на последние значения:[{{1,1}^{2}}=1,21]

[{{1,09}^{2}}=1,1881]

Итого

[1,1881 lt {{1,03}^{6}} lt 1,21]

Что это значит? А то, что для $n=6$ мы уже точно превзойдем искомую величину. Мы уже знаем, что

[{{1,03}^{n}}=1,17647 lt 1,1881 lt {{1,03}^{6}} lt 1,21]

В принципе, «шесть» нас уже устраивает — это кандидат в ответ. Но проблема в том, что в задаче от нас требуется найти минимальное количество месяцев. А что, если минимальное количество месяцев будет «пять»? Давайте посчитаем и повторим все те же вычисления для «пяти»:

[1,1554 lt {{1,03}^{5}} lt 1,177]

Но такие оценки нам ничего не дадут. Почему? Потому что если мы начертим числовую прямую и отметим на ней нижнюю и верхнюю оценки, то получим следующее: между $1,1554$ и $1,177$ находится ${{1,03}^{5}}$. Но также между ними есть и $1,17647$, которое мы должны превзойти. Если это число лежит правее $1,17647$, то нас все устраивает, и ответом будет «пять». Однако если оно будет левее, то «пять» нас не устраивает и ответом будет «шесть». Как же проверить, какое из чисел нас устраивает? К сожалению, в рамках верхних и нижних оценок, которые мы записали, ответить на этот вопрос невозможно – нам просто не хватает точности. Поэтому давайте еще раз выпишем значения для $n=2$ и $n=3$.

До сих пор мы брали оценку с точностью до двух знаков после запятой. Но как только что мы убедились, такой точности недостаточно. Поэтому давайте возьмем оценку с точностью до трех знаков после запятой. В таком случае мы получим следующее:

Таким образом, какой бы не было $n$ в выражение ${{1,03}^{n}}$, оно в любом случае будет больше, чем $1,06cdot 1,092$, но в любом случае меньше, чем $1,061cdot 1,093$.

Запишем вычисления:

[1,06cdot 1,092 lt * lt 1,59673]

Это значит, что наши предположения верны. Искомое значение, если вновь попытаться начертить его на числовой прямой, будет снизу ограничено $1,1554$, а сверху —$1,159673$. Т.е. ${{1,03}^{5}}$ будет заведомо меньше, чем $1,159673$ и уж тем более меньше, чем $1,17647…$А это значит, что наше исходное предположение о том, что при $n=5$ мы уже превзойдем величину $1,17647…$ неверно. А это значит, что пятый месяц нас все еще не устроит. А вот шестой месяц, о котором мы сначала и подумали, действительно является таковым. Итого, окончательный ответ — шесть. Задача решена и полностью обоснована.

Полезные советы при решении задач с использованием формулы сложных процентов

Самое главное в это задаче — это понять, чем оценки отличаются от округления. Мы берем две цифры после запятой, отсекаем все, что идет после них, и записываем эти числа слева. Очевидно, что поскольку дальше идут какие-то цифры в настоящем числе, это число будет то, что мы получили слева (см. таблицу). Эти числа, которые находятся слева, и называются меньшими оценками. Затем к ним мы в самом последнем разряде (к последней цифре) прибавляем «единицу», и получаем число, на единицу большее в конце, например, было $1,06$ стало $1,07$ и т.д. Это будут верхние оценки. И далее, что бы мы не делали, какую бы степень и номер месяца не считали, все равно истинное значение нашей величины будет заключено между степенями верхней и нижней оценок.

Но есть одна проблема: в определенный момент мы получаем, что и число, и искомая величина лежат в одних и тех же пределах. Пределы получены, разумеется, при вычислении степеней оценок. В нашей ситуации такая проблема возникла в вычислениях значения для пятого месяца: левая оценка дала нам $1,1554$, а правая — $1,177$. Между этими двумя числами лежит как искомая величина, которую мы не знаем, так и наше искомое значение, т.е. ${{1,03}^{n}}$. Выход из такой ситуации напрашивается сам собой: если нам не хватает точности, то необходимо просто увеличить точность исходных оценок, т.е. после запятой мы берем не две, а три цифры. Но поскольку нас интересуют, прежде всего, верхние оценки, мы увеличим каждое из этих чисел на единицу в разряде, запишем и перемножим. В результате мы получим следующее: новая верхняя оценка для нашего числа, для пятого месяца, будет лежать между $1,1554$ и $1,159673$.

На самом деле, пятый месяц даст коэффициент, который будет находиться в вышеуказанном диапазоне, что явно меньше, чем искомая величина $1,174647…$ На первый взгляд может показаться, что сложность и объем всех этих вычислений будет существенно больше, чем если бы мы просто возвели числа в степень квадрат, куб и т.д. На самом деле это не так. Уже на третьей и четвертой степенях возникают большие числа, а до пятого и шестого месяца вы просто не дойдете.

Как определить кандидата в ответ, исходя из условия задачи

В качестве заключительного аккорда сегодняшнего видеоурока я хотел бы вам рассказать еще один довольно хитрый инструмент, который позволит еще с первого взгляда на задачу уже примерно оценить, какой месяц предстоит считать и какой месяц, скорее всего, является кандидатом в ответ.

Давайте посмотрим на исходную формулу. Всего объем кредит, который предстоит выплатить, составляет 1,1 млн. при этом ежемесячно нужно выплачивать по 220 тыс. рублей. Давайте разделим общий размер задолженности на ежемесячный платеж. В этом случае мы получим количество месяцев, которые необходимо будет потратить на выплату кредита, если бы на нас не начислялись проценты. Однако сами по себе проценты невелики — в нашем случае всего 3% в месяц. Это значит, что вряд ли накопится задолженность еще больше, чем на один месяц и, следовательно, нужно прибавить к полученной величине еще единицу, и мы получим наиболее вероятный кандидат на ответ.

В нашем случае, если 1,1млн. разделить на 220 тыс., то мы получим пять месяцев, но без учета начисленных процентов. Соответственно, еще один месяц потребуется на то, чтобы погасить проценты. И мы получим тот же самый ответ.

Однако хочу вас предупредить, что ни в коем случае нельзя использовать этот прием как единственно возможное обоснование того ответа, который у вас получается в задаче! Потому что мы решаем одну из самых сложных задач ЕГЭ: там требуется привести не только ответ, но и все подробные выкладки и обоснования. Такой прием — это лишь подсказка для нас самих, для того, чтобы понимать, какие именно месяцы, какие именно степени считать. Дальнейшим шагом нужно доказать, что, например, число, равное пяти месяцам, нас не устраивает, а шести месяцев точно устраивает. Каким образом можно это сделать. Например, с помощью числовой прямой, более точных вычислений, метода оценок или как вам будет удобнее. В любом случае, мы с учениками недавно убедились, что эта подсказка существенно облегчает выкладки и хотя бы дает представление о том, каким должен быть ответ.

Тренируйтесь, решайте задачи, оттачивайте навык с вычислением верхних и нижних оценок. Это далеко не последний урок на решение задач с экономическим содержанием, поскольку самих задач стало довольно много, и их условия стали более разнообразные. Поэтому оставайтесь с нами!

Смотрите также:

1. Задачи на кредит с плавающим платежом
2. Производительность труда в задаче 17 из ЕГЭ по математике: сложные случаи. Нет, это не текстовые задачи.:)
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
5. Опасные ошибки в задачах на площади
6. Задача B4: экономика