Как найти скорость точек при плоском движении - AvtoShod.ru

Содержание:

Плоское движение тела
Определение скоростей точек тела
Уравнения плоского движения
Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей
Определение положения мгновенного центра скоростей
Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
Решение задачи графоаналитическим способом
Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей
Определение ускорений точек тела
Ускорения точек плоской фигуры
Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
План скоростей
Порядок решения задач на тему: План скоростей
Примеры решения задач на тему: План скоростей
План ускорений
Примеры решения задач на тему: План ускорений

Плоское движение тела — это такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Плоское движение тела

Плоскопараллельное движение (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге

Определение скоростей точек тела

Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, и это отношение определяет угловую скорость тела в данный момент времени: Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость равную нулю, и, следовательно является мгновенным центром скоростей .

Уравнения плоского движения

Плоским называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.

При таком движении все точки твердого тела, лежащих на перпендикуляре к этой плоскости, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Плоское движение фигуры можно рассматривать как сложное (то есть, абсолютное) движение, которое включает поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой , что называется полюсом (переносное движение), и на вращательное движение фигуры вокруг этой точки (относительное движение).

На рис.4.1 с телом связана подвижная система координат . При движении тела начало координат и угол поворота подвижной системы координат относительно неподвижной системы со временем меняются. Таким образом, чтобы однозначно задать положение тела при плоском движении нужно задать закон движения начала подвижной системы координат (полюса ) и угол поворота подвижной системы относительно неподвижной системы координат, то есть:

Уравнения (4.1) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

При этом, поступательная часть плоского движения описывается двумя уравнениями:

а относительная вращательная вокруг полюса — третьим уравнением:

Координаты любой точки плоской фигуры (рис.4.1), если за полюс выбрана точка и задан угол , определяются по уравнениям:

Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей

Поскольку плоское движение тела состоит из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг него, то скорость любой точки тела (рис.4.2) геометрически состоит из абсолютной скорости точки , которую принято за полюс, и относительной скорости в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса :

Вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса направлен перпендикулярно в сторону угловой скорости.

Модуль и направление абсолютной скорости находится построением соответствующего параллелограмма на векторах и (рис.4.2). Таков путь решения векторного уравнения, когда по записанному уравнению строят векторную фигуру, называется графоаналитическим.

Относительная скорость в относительном вращательном движении точки вместе с телом вокруг полюса по модулю равна:

где — угловая скорость вращения тела вокруг полюса.

Найти скорость любой точки тела можно также на основе теоремы, которая гласит:

Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, что соединяет эти точки, равны между собой.

Согласно этой теореме (рис.4.3) :

или

Если известна скорость точки тела, то:

При плоском движении тела в каждый момент времени существует точка тела, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей и, как правило, обозначается буквой .

Если мгновенный центр скоростей известен, то легко можно найти мгновенное распределение скоростей всех точек тела (рис.4.4).

Выберем за полюс поступательного движения мгновенный центр скоростей . Тогда для точек и тела можно записать векторные уравнения (4.3):

где — вектор абсолютной скорости полюса ;

— вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно ;

— вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса , направлен перпендикулярно .

Поскольку скорость выбранного полюса равна нулю , то:

По модулю скорости вращения точек и вокруг полюса равны:

Разделив на получим:

Таким образом, мгновенное распределение скоростей точек тела при его плоском движении, такое же, какое было бы при его вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей.

Определение положения мгновенного центра скоростей

Существует несколько способов нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Случай 1. Известна скорость одной точки тела и угловая скорость его вращения (рис.4.5).

Мгновенный центр скоростей лежит на перпендикуляре к скорости точки , на расстоянии:

Для нахождения направления перпендикуляра надо повернуть вектор относительно точки на угол в сторону угловой скорости.

Случай 2. Известны направления скоростей и двух точек и тела (рис.4.6).

Мгновенный центр скоростей должен лежать как на перпендикуляре к вектору , так и на перпендикуляре к вектору , то есть мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения этих перпендикуляров.

Случай 3. Скорости двух точек и тела параллельны между собой, а перпендикуляры к ним не совпадают (рис.4.7).

Говорят, что в этом случае мгновенный центр скоростей лежит на бесконечности. Угловая скорость вращения равна нулю, а скорости всех точек тела геометрически равны, то есть в данный момент времени тело выполняет поступательное движение.

Случай 4. Скорости двух точек и параллельны, направлены в одну сторону и не равны по модулю. Кроме того, и перпендикулярны отрезку (рис.4.8).

Мгновенный центр скоростей находится на продолжении отрезка той точки, скорость которой меньше. Расстояние от точки к мгновенному центру скоростей можно найти из пропорции (4.6):

Решив это уравнение относительно , получим:

Таким образом, для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать не только направления скоростей, но и их величину.

Случай 5. Скорости двух точек и тела параллельны друг другу, перпендикулярны отрезку , но направлены в разные стороны (рис.4.9).

Мгновенный центр скоростей лежит на отрезке и делит его на части пропорциональные скоростям. Поскольку , то по формуле (4.6) можно записать:

Решив уравнение относительно , получим:

Таким образом, для нахождения положения мгновенного центра скоростей надо знать величины и направления скоростей обеих точек.

Случай 6. Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности (рис.4.10).

В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения тела к поверхности. Действительно, если отсутствует скольжение тела относительно поверхности, то скорости точек прикосновения тела и поверхности должны быть одинаковыми. Но скорости точки , принадлежащей неподвижной поверхности, равна нулю.

Тогда и скорость точки , которой в данный момент времени движущееся тело прикасается к неподвижной поверхности, тоже равна нулю.

Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

а) решение графоаналитическим методом:

выбрать за полюс ту точку тела, скорость которой известна по величине и направлению или легко определяется из условий задачи;
найти точку тела, направление скорости которой известно;
пользуясь формулами плоского движения найти скорость этой точки;
определить угловую скорость тела в данный момент времени;
по известной угловой скорости и скорости полюса, пользуясь формулами плоского движения найти скорости других точек тела.

б) решение с помощью мгновенного центра скоростей:

определить положение мгновенного центра скоростей одним из известных способов;
определить значение мгновенного радиуса той точки тела, скорость которой известна, и найти угловую скорость тела;
найти скорости других точек тела.

Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Задача №1

Стержень (рис.4.11) длиной выполняет плоское движение. Вектор скорости точки образует угол с осью стержня и в данный момент времени равен . Вектор скорости точки в этот же момент времени образует угол с осью стержня.

Определить величину скорости точки , положение мгновенного центра скоростей, угловую скорость стержня и скорость точки , которая лежит на середине стержня.

Решение задачи графоаналитическим способом

1. Выберем за полюс точку (рис.4.11), поскольку известны направление и величина скорости этой точки.

2. Используя формулу распределения скоростей при плоском движении, запишем векторное уравнение для определения скорости точки :

где — скорость полюса точки ;

— относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Данное векторное уравнение можно решить построением векторного треугольника скоростей (рис.4.12). Для этого из произвольной точки плоскости надо построить правую и левую часть векторного уравнения (1).

При построении правой части уравнения (1) из точки в произвольном масштабе отложим вектор скорости , который является известным и по величине и по направлению. К вектору надо добавить вектор относительной скорости , направление которого является известным, поскольку скорость точки у ее относительном вращательном движении вокруг полюса перпендикулярна радиусу вращения, в данном случае радиус вращения — отрезок . Величина вектора неизвестна и поэтому через точку проводится только его направление (прямая рис.4.12).

Теперь из точки построим левую часть уравнения (1). Направление скорости точки является известным (по условию задачи), но неизвестна ее величина, и потому, из точки проводим линию параллельную .

Точка пересечения прямых, параллельных и , и будет решением данного векторного уравнения.

В результате построения получили замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в выбранном масштабе определяют искомую скорость точки и относительную скорость этой же точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса .

В этом треугольнике известны все углы и одна сторона . С треугольника находим:

3. Определим угловую скорость вращения стержня . Поскольку , то :

4. Найдем скорость точки , лежащей посередине отрезка . Для этого запишем формулу для скорости точки относительно того же самого полюса точки :

где — скорость полюса точки ;

— относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса .

Скорость имеет то же направление, что и , а по модулю равна:

Отложив от точки (рис.4.12) вектор , равный половине вектора , получим точку . Вектор, проведенный из точки начала построения (точки ) в точку изображает скорость точки .

Поскольку стороны и треугольника равны между собой и угол между ними , то треугольник равносторонний. Таким образом:

Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Для этого с точек и (рис.4.13) проведем перпендикуляры к скоростям и . Пересечение этих перпендикуляров (точка ) будет мгновенным центром скоростей.

2. Определим мгновенные радиусы. Поскольку треугольник прямоугольный, то:

3. Вычислим угловую скорость вращения фигуры вокруг мгновенного центра скоростей:

4. Найдем скорости точек и :

где — мгновенный радиус точки , поскольку треугольник равносторонний ( угол между ними ), то

Если надо было бы определить только величину скорости , то можно было бы воспользоваться теоремой о равенстве проекций двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки:

Тогда:

Ответ:

Задача №2

Колесо радиусом катится по горизонтальной поверхности. В момент рассматриваемого времени скорость центра и угловая скорость колеса (рис.4.14).

Определить: скорости точек , и , которые лежат на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение.

1. В качестве полюса выберем точку , направление и величина скорости которой известны.

2.Используя формулу распределения скоростей точек тела при плоском движении определяем скорости других точек колеса.

Для точки колеса:

где — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости, то есть по направлению и будут совпадать.

Из точки (рис.4.14) строим уравнение (1): откладываем вектор , а с его конца по тому же направлению .

Тогда:

Векторное уравнение для определения скорости точки , будет иметь вид:

где — скорость точки в ее вращательном движении вокруг полюса .

Эта скорость параллельна скорости , но будет направлена в противоположную сторону и по модулю равна:

Из точки (рис.4.14) строим векторное уравнение (2): откладываем вектор , а с его конца в противоположную сторону .

Поскольку векторы коллинеарны, то:

Таким образом, скорость точки равна и направлена в противоположную сторону от . Колесо катится со скольжением по поверхности.

Составляем векторное уравнение для определения скорости точки :

где — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса .

По модулю равна:

Скорость направлена перпендикулярно в сторону угловой скорости , то есть вертикально вниз.

Из точки (рис.4.14) строим уравнение (3): откладываем вектор , а с его конца вектор вертикально вниз. Соединив точку с концом вектора получим вектор скорости точки .

Поскольку векторы и между собой перпендикулярны, то вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника:

Ответ:

Задача №3

Колесо радиусом катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью центра колеса

Определить: скорости точек , , (рис.4.15).

Решение. Решим задачу с помощью мгновенного центра скоростей.

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Поскольку колесо катится по неподвижной поверхности, то мгновенный центр скоростей находится в точке прикосновения колеса к неподвижной поверхности.

2. Мгновенный радиус для точки равен . Тогда с формулы (4.4) получим угловую скорость колеса:

Направлена угловая скорость по ходу часовой стрелки.

3. Определим величину и направление скоростей точек , , .

Соединим точки , , с мгновенным центром скоростей . Векторы скоростей , и будут направлены перпендикулярно мгновенным радиусам и , соответственно.

По модулю скорости будут равны:

где

Ответ:

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 16.2; 16.4; 16.11; 16.12 [2]

Определение ускорений точек тела

Теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Ускорения точек плоской фигуры

Формула распределения ускорений при плоском движении тела имеет вид:

где — ускорение полюса, точки , в поступательном движении;

— относительное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса ;

— ускорение любой точки тела.

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения точки, которую выбрано за полюс, и ускорения точки при его вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Графическое определение ускорения точки выполняется следующим образом (рис.4.16):

Вычисление величины ускорения точки с помощью рассматриваемого параллелограмма затрудняет расчеты, поскольку предварительно надо определить угол между векторами и .

Учитывая, что представляет собой относительное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг полюса , то это ускорение можно разложить на относительную тангенциальную (касательную) и относительную нормальную (центростремительную) составляющие:

где

Вектор направлен перпендикулярно в сторону углового ускорения, а вектор всегда направлен от точки к выбранному полюсу (рис.4.17).

Тогда уравнение (4.10) примет вид:

Если точка , которая выбрана за полюс поступательного движения, движется не прямолинейно, то ее ускорение, в свою очередь, тоже можно разложить на тангенциальную и нормальную составляющие:

Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

1. Выбрать точку, которая будет полюсом при записи уравнения плоского движения (как правило выбирают точку, ускорение которой известно).

2. Записать векторное уравнение распределения ускорений.

3. Спроектировать уравнение распределения ускорений на две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с нормальным ускорением, а вторая – с тангенциальным.

4. Определить мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.

5. Найти искомые ускорения точек с помощью уравнения распределения ускорений.

Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

Задача №1

Прямоугольная (рис.4.18, а) пластина движется в плоскости чертежа. Ускорение точки в данный момент времени равно и образует с прямой угол .

Ускорение точки составляет и образует угол с прямой .

Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение пластины, и ускорение точки , если

Решение.

1. Выберем за полюс точку , поскольку ее ускорение известно (задано в исходных данных).

2. Составим векторное уравнение для ускорения точки пластины:

где — относительное нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг точки . Вектор этого ускорения направлен от точки к точке и по модулю равен:

— относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг точки . Направлен вектор этого ускорения перпендикулярно в сторону углового ускорения и по модулю равен .

Поскольку направление углового ускорения неизвестное, то направлением на рис. 4.18,а задаемся.

3. Спроектируем составленное уравнение (1) на оси и .

В проекции на ось получим:

В проекции на ось :

4. Из уравнения (2) получим величину нормального ускорения:

Найдем мгновенную угловую скорость фигуры:

5. Из уравнения (3) получим величину тангенциального ускорения:

Угловое ускорение фигуры:

Поскольку величина положительная, то направление тангенциального, а соответственно и углового ускорений выбрано верно.

6. Определим ускорение точки .

Для вычисления ускорения точки лучше за полюс выбрать точку , поскольку ускорение этой точки уже известно и задана сторона прямоугольника:

Направление векторов и показано на рис. 4.18,б.

Спроектируем записанное уравнение на оси и :

где

Полное ускорение точки :

Ответ:

Задача №2

Равносторонний треугольник движется в плоскости чертежа. Ускорение вершин и в данный момент времени равны и направлены вдоль сторон треугольника (рис.4.19).

Определить ускорение вершины .

Решение. Если известны ускорения двух точек плоской фигуры, например и , то задачу рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Рассматривая первую точку как полюс поступательного движения, записать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении для точки и спроектировать это уравнение на прямую , соединяющую обе точки.

2. Из уравнения проекций определить величину нормального ускорения и значение угловой скорости фигуры .

3. Спроектировать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении на прямую, которая перпендикулярна , и определить из уравнения проекций величину тангенциального ускорения и значение углового ускорения фигуры .

4. Если нужно, то, используя формулу распределения ускорений при плоском движении, определить ускорение любой другой точки плоской фигуры.

Решим задачу, придерживаясь приведенной последовательности.

1. Выберем за полюс точку . Для точки треугольника можно записать:

где — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ;

— относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.19).

Спроектируем записанное равенство (1) на прямую :

2. Откуда:

Поскольку то:

3. Спроектируем векторное уравнение на прямую, которая перпендикулярна :

Откуда:

Учитывая то, что , получим:

Поскольку величина тангенциального ускорения положительная, то его направление на рис. 4.19 выбрано верно. Отсюда следует, что угловое ускорение направлено против хода часовой стрелки.

4. Определим ускорение точки , приняв за полюс точку :

— относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно в сторону углового ускорение фигуры .

Учитывая, что , определим модули относительного нормального и тангенциального ускорений:

От точки (рис.4.20) отложим векторы ускорений, которые составляют правую часть уравнения (2).

Выберем систему координат , причем ось направим вдоль стороны треугольника.

Спроектируем равенство (2) на оси выбранной системы координат:

Подставляя числовые данные, получим:

Таким образом, ускорение вершины треугольника равно:

Поскольку проекция ускорения на ось равна нулю и величина проекции на ось положительная, то вектор ускорения точки будет направлен вдоль стороны треугольника от точки к точке .

Ответ:

Задача № 3

В шарнирном механизме (рис.4.21) в данный момент времени угловая скорость и угловое ускорение кривошипа равны Точка механизма движется по дуге окружности радиусом и в момент времени, что рассматривается, лежит на прямой .

Найти ускорение точки и мгновенное угловое ускорение шатуна , если

Решение. Скорость точки кривошипа, который вращается вокруг точки равен:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости (рис.4.21).

Точка шатуна вращается вокруг центра и ее линейная скорость направлена перпендикулярно .

Поскольку скорости точек и шатуна параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности и мгновенное движение шатуна является поступательным, то есть

Ускорение точки равно геометрической сумме нормального и тангенциального ускорений:

где

Направления ускорений и показаны на рис.4.21.

Выберем точку за полюс для шатуна . Тогда для точки шатуна:

или

где — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке ,

— относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , направлением задаемся (рис.4.22),

Свяжем с точкой прямоугольную систему координат (рис.4.22) и спроектируем уравнение (1), помня, что , на оси выбранной системы координат:

С другой стороны, при движении точки по дуге окружности радиуса , точка приобретет ускорения :

где — нормальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки направлено к центру вращения;

— тангенциальное ускорение точки в ее вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно , задаемся направлением (рис.4.22).

По величине нормальное и тангенциальное ускорения соответственно равны:

Спроектируем уравнение (4) на оси выбранной системы координат:

Подставим в (3) все рассчитанные величины:

Поскольку

то

Положительное значение величины указывает на то, что направление было выбрано верно.

Угловое ускорение тела равно:

Угловое ускорение направлено в сторону , то есть против хода часовой стрелки.

Для определения тангенциального ускорения в уравнение (2) подставим из (5):

Откуда

Поскольку величина отрицательная, то направление тангенциального ускорения выбрано не в ту сторону.

Полное ускорение точки :

Ответ:

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 18.12; 18.14; 18.22 [2].

План скоростей

План скоростей и план ускорений – физическое изображение векторных уравнений, связывающих скорости и ускорения точек механизма. Изображение механизма, выполненное с помощью условных обозначений (см. выше) называется структурной схемой механизма.

Определение скоростей различных точек движущейся плоской фигуры легко может быть выполнено графически с помощью построения плана скоростей.

План скоростей – это графическое изображение из единого центра (полюса) векторов абсолютных скоростей точек фигуры в фиксированный момент ее движения.

План скоростей может быть построен, если:

известная скорость одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки;
известная скорость одной точки плоской фигуры и мгновенная угловая скорость фигуры

Пусть известные скорости , , и , вершин прямоугольника (рис. 4.23, а). Для построения плана скоростей с произвольной точки (рис.4.23,б), которая называется полюсом плана скоростей, отложим направленные отрезки и , которые в выбранном масштабе будут изображать скорости , , и . Полученные точки и , которые называются вершинами плана скоростей, соединим между собой прямыми линиями.

Установим свойства и правила построения плана скоростей.

По уравнению распределения скоростей при плоском движении фигуры, если за полюс принять точку , то для точки получим:

где — вектор абсолютной скорости точки ;

— вектор относительной скорости точки в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг точки , направлена перпендикулярно и по модулю равна

С другой стороны для векторов треугольника плана скоростей (рис.4.23,б) можно записать:

Учитывая, что векторы и изображают в выбранном масштабе абсолютные скорости и и, сравнивая уравнения (4.14) и (4.15), можно сделать вывод, что отрезок изображает в масштабе скорость .

Таким образом, отрезок плана скоростей направлен перпендикулярно стороне фигуры и по модулю равен:

где — масштабный коэффициент, который принят при построении плана скоростей.

Аналогично:

Отсюда мгновенная скорость вращения плоской фигуры:

Вектор согласно уравнению (4.14) направлен на плане скоростей от точки к точке . Если этот вектор перенести в точку фигуры, то можно определить направление вращения точки вокруг точки вместе с фигурой (в данном случае, по ходу часовой стрелки). Направление же мгновенной угловой скорости плоской фигуры будет совпадать с направлением ее вращения.

Из рассматриваемого вытекает:

Порядок решения задач на тему: План скоростей

1. Изображают на чертеже в выбранном масштабе плоскую фигуру и вектор скорости той точки, скорость которой известна.

2. Определяют направление скорости второй точки плоской фигуры.

3. Записывают векторное уравнение распределения скоростей при плоском движении, принимая за полюс точку, скорость которой известна, а за искомую ту точку, направление скорости которой известно.

4. Решают записанное векторное уравнение графически путем построения в выбранном масштабе плана скоростей.

5. Определяют мгновенную угловую скорость вращения плоской фигуры.

6. Определяют скорость других точек плоской фигуры.

Примеры решения задач на тему: План скоростей

Задача №1

Найти угловую скорость шатуна 2 и скорость точки ползуна 3 кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.24), если :

Решение.

1. Согласно исходным данным в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.25, а).

2. Учитывая, что кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью определяем скорость точки кривошипа 1 и шатуна 2:

Направлена скорость перпендикулярно в сторону угловой скорости .

3. Следующей точкой шатуна, скорость которого можно определить, является точка , поскольку она, кроме шатуна, одновременно принадлежит и ползуну 3, что движется поступательно в горизонтальных направляющих. То есть направление этой скорости известно.

Для определения скорости точки запишем уравнение распределения скоростей при плоскопараллельном движении, принимая за полюс точку , скорость которой известна:

где — относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг точки . Вектор направлен перпендикулярно ;

— абсолютная скорость точки , которая движется прямолинейно вместе с ползуном 3 в горизонтальных направляющих.

4. Решим уравнение (1) графически (рис.4.25, б). Для этого с произвольной точки (полюса плана скоростей) отложим направленный отрезок , который в определенном масштабе будет изображать вектор скорости . Через точку этого отрезка проведем линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор скорости , длина и направление которого неизвестны.

Вектор который будет на плане скоростей изображать абсолютную скорость точки , выходит из полюса параллельно к пересечению с линией в точке .

Определим направление отрезка , который на плане скоростей изображает относительную скорость . Поскольку, согласно уравнению (1), вектор надо прибавить к вектору , который на плане скоростей изображается вектором , то вектор будет направлен от точки к точке .

Полученный векторный треугольник представляет собой план скоростей для кривошипно-шатунного механизма в положении, что рассматривается. Стороны этого треугольника в определенном масштабе изображают: — абсолютную скорость точки ; — относительную скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном вокруг точки ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем из плана скоростей в точку на рис.4.25, а найденные направления скоростей и .

Поскольку скорость на плане изображается вектором , а — вектором , то угол при вершине равен углу между этими двумя векторами скоростей. Если на рис.4.25, а перенести и в точку , то угол между ними будет составлять , то есть

Аналогично, равен углу между векторами и . Учитывая, что , с рис.4.25, а получим:

Таким образом, и угол при вершине тоже будет равняться , а треугольник будет равносторонним, то есть:

, или

5. Определяем мгновенную угловую скорость шатуна 2. Поскольку , то:

где , исходя из того, что треугольник (рис.4.25,а) равнобедренный.

Направление угловой скорости определяется вектором . В данном случае направлена против хода часовой стрелки.

Ответ:

Задача №2

Найти угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 и абсолютные скорости точек и рычажного механизма (рис.4.26), если:

Угловая скорость кривошипа 1 —

Решение.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.27, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа (рис.4.27, а).

2. Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1. Второй точкой шатуна, направление скорости которой известно, есть точка . Точка , кроме шатуна, принадлежит и коромыслу 3, которое вращается вокруг центра . Таким образом, скорость точки направлена перпендикулярно радиусу вращения .

3. Для определения скорости точки запишем формулу распределение скоростей:

где — абсолютная скорость точки , которая направлена перпендикулярно ;

— абсолютная скорость точки ;

— относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

4. Решаем записанное уравнение графически. Для этого из произвольной точки (полюса плана скоростей) (рис.4.27,б) проводим вектор параллельно , который в определенном масштабе будет изображать скорость точки .

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости . Длина и направление этого вектора неизвестны.

Скорость точки направлена перпендикулярно и, по правилу, должна проходить через полюс плана скоростей. Исходя из этого, через точку проводим линию перпендикулярную коромыслу 3 к пересечению в точке с линией .

Полученный на рис. 4.27, б векторный треугольник являет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом треугольнике вектор изображает абсолютную скорость точки , вектор направлен от полюса к точке — абсолютную скорость точки , а вектор направлен от точки к точке — относительную скорость , поскольку, согласно уравнению (2), эта скорость прибавляется к .

Перенесем направления скоростей и в точку на рис. 4.27, а.

Поскольку , а , то угол при вершине равен углу при вершине треугольника на схеме механизма (рис. 4.28), который образован путем продолжения кривошипа и коромысла к пересечению.

Таким образом

Угол при вершине будет равняться углу между продолжением прямой (рис.4.28) и прямой , поскольку сторона , а прямая . Учитывая, что , то:

Тогда угол при вершине :

Для определения сторон плана скоростей воспользуемся теоремой синусов:

Из уравнения (1) получим:

Таким образом:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3. Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.27,а видно, что угловая скорость будет направлена против хода часовой стрелки.

Угловая скорость коромысла 3 равна:

где

Направление определяет скорость . Направлена угловая скорость коромысла 3 (рис.4.27,а) по ходу часовой стрелки.

6. Определить величины скоростей и можно непосредственно и путем измерения соответствующих отрезков на построенном плане скоростей.

Поскольку вектор на плане скоростей изображается отрезком , то масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Скорости на плане скоростей соответствует отрезок , а скорости – .

Тогда:

7. Для определения скорости точки воспользуемся теоремой подобия.

Поскольку фигура на схеме механизма и фигура на плане скоростей должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (2) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане скоростей.

Из уравнения (2) получим расстояние от точки к точке на плане скоростей:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане скоростей отрезок надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы обход точек , и на плане скоростей должен был быть против хода часовой стрелки, как и для точек , и на схеме механизма.

Вектор скорости точки на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором , а величина скорости точки равна:

Ответ:

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.29) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 вращается с угловой скоростью , а кривошип 4 с угловой скоростью .

Найти угловые скорости шатунов 2 и 3 и абсолютные скорости точек и , если: В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 2 – горизонтально.

Решение. Особенность этой задачи заключается в том, что определить сразу направление скорости точки невозможно. Но точка одновременно принадлежит к двум телам (шатуну и шатуну ), и для нее можно записать два векторных уравнения распределения скоростей при плоском движении (относительно точек и ), что позволяет решить задачу.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.30, а).

2. Так как точка принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира с угловой скоростью , то:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 1 (рис.4.30, а).

Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки шатуна 2 равна скорости точки кривошипа 1.

Для определения скорости точки шатуна 2 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где — абсолютная скорость точки , величина и направление которой является неизвестным;

— абсолютная скорость точки ;

— относительная скорость точки при ее вращении вместе с шатуном 2 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В уравнении (1) три неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости . Поскольку векторное уравнение

для плоскости позволяет определить только две неизвестных, то решить уравнение (1) невозможно.

3. Рассмотрим определение скорости точки шатуна 3 относительно точки .

Скорость точки кривошипа 4 равна:

Вектор скорости направлен перпендикулярно в сторону вращения кривошипа 4 (рис.4.30, а).

Учитывая, что шатун 3 механизма движется плоскопараллельно, то для определения скорости точки шатуна 3 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

где — абсолютная скорость точки ;

— относительная скорость точки в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 3 вокруг полюса . Направлен вектор перпендикулярно .

В записанной системе векторных уравнений (1,2) четыре неизвестных: величина и направление скорости точки ; величина скорости ; величина скорости . Поскольку из каждого уравнения можно определить две неизвестных, то записанная система является определенной и ее можно решить.

4. Решаем записанную систему векторных уравнений (1) и (2) графически. Для этого из произвольной точки построим сначала уравнение (1), а затем (2) (рис.4.30, б).

Согласно уравнению (1) из произвольной точки проводим вектор параллельно , который будет изображать скорость точки . Длину отрезка выберем .

Тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Теперь построим из того же самого полюса уравнение (2). Сначала отложим вектор параллельно , который в масштабе будет изображать скорость точки . Длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проводим линию перпендикулярно , вдоль которой от точки будет направлен вектор относительной скорости .

Точка пересечения прямых и , которая одновременно удовлетворяет векторным уравнением (1) и (2), и будет решением системы, а вектор который на плане скоростей изображает будет направлен от полюса к точке .

Полученный на рис. 4.30,б четырехугольник представляет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом четырехугольнике: вектор определяет относительную скорость ; вектор — относительную скорость ; — абсолютную скорость точки .

Перенесем направления скоростей и на рис. 4.30,а и, померив длины соответствующих отрезков, определим величины этих скоростей:

5. Определим мгновенные угловые скорости шатунов.

Поскольку , то:

Направление угловой скорости определяется направлением относительной скорости . С рис.4.30, а видно, что будет направлена против хода часовой стрелки.

Аналогично, угловая скорость шатуна 3 равна:

Направление определяется относительной скоростью . Направлена угловая скорость шатуна 3 по ходу часовой стрелки.

Для определения скорости точки воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане скоростей она должна лежать посередине отрезка .

Ответ:

План ускорений

План ускорений – построенный в определенном масштабе векторный график, характеризующие ускорения всех точек и звеньев механизма. Произвольная точка ра, из которой производится построение плана ускорений, называется полюсом плана ускорений.

Рассмотрим графический способ определения ускорений точек плоской фигуры (тела) с помощью плана ускорений.

Планом ускорений плоской фигуры является геометрическое место концов векторов ускорений любых точек фигуры, что отложены из одной произвольной точки, которую называют полюсом плана ускорений.

Построение плана ускорений основано на представлении ускорения любой точки фигуры в виде суммы трех векторов:

где — ускорение точки фигуры, которую принято за полюс поступательного движения;

— относительное нормальное (центростремительное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение от точки к точке и по модулю равно

— относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса . Направлено это ускорение перпендикулярно (отрезка ) в сторону углового ускорения тела и по модулю равно

Поскольку для определения величины надо знать угловую скорость плоской фигуры, то, если она не задана, предварительно надо построить план скоростей. Из плана скоростей определить относительную скорость вращения одной точки фигуры относительно второй и найти угловую скорость относительного вращательного движения (занятие 7).

Для того, чтобы уравнение (4.18) можно было решить, должно быть известно ускорение любой точки фигуры, которую выбирают за полюс поступательного движения.

Кроме того, должно быть известно:

Рассмотрим определение ускорений точек и треугольника (рис.4.31, а). Известными являются ускорение точки , направление ускорения точки и угловая скорость треугольника , то есть случай 1.

Для ускорения точки , если за полюс выбрать точку , будет справедливым векторное уравнение (4.18).

Решим уравнение (4.18) графически. Для этого (рис.4.31, б) из произвольной точки (полюса плана ускорений) построим вектор , который в масштабе будет изображать ускорение . С конца построенного вектора (точки ) построим вектор , который в том же масштабе будет изображать ускорение .

Величину ускорения определим из формулы:

а направлен этот вектор вдоль от точки к точке .

К нормальному ускорению добавим, согласно уравнению (4.18), тангенциальное ускорение . Поскольку величина этого ускорения неизвестна, то через точку (конец вектора ) проведем линию перпендикулярно , вдоль которой и будет направлен вектор .

Направление абсолютного ускорения точки известно из условия задачи. Поскольку все абсолютные ускорения точек на плане откладываются от полюса , то через полюс проведем прямую, параллельную направлению ускорения точки . Точка пересечения линий и будет решением уравнения (4.18), а вектор будет в выбранном масштабе изображать ускорение точки .

Для определения ускорения точки воспользуемся тем, что известными уже являются ускорения двух точек фигуры и (случай 2).

Запишем векторные уравнения для ускорения точки относительно полюсов и :

где и — относительные нормальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении соответственно вокруг точек и ;

и — относительные тангенциальные ускорения точки в ее относительном вращательном движении вокруг точек и , соответственно.

Первым решаем уравнение (4.19). Поскольку ускорение точки на плане (рис.4.31, б) уже построено, то с его конца (точки ) строим вектор , который направлен от точки к точке и по модулю в масштабе равен :

Через конец вектора проводим прямую, перпендикулярную , вдоль которой будет направлено ускорение и на которой будет лежать точка конца вектора .

Следующим построим уравнение (4.20). Поскольку ускорение точки на плане уже построено, то с его конца, точки , строим вектор , который направлен от к и по модулю в масштабе равен :

Таким образом, конец вектора будет лежать на пересечении линий, вдоль которых будут направлены тангенциальные ускорения и . Вектор на плане ускорений будет в масштабе изображать абсолютное ускорение точки .

Векторы , и , выходящие из полюса плана ускорений, определяют абсолютные ускорения точек , и . Отрезки же, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений и определяют относительные ускорения одних точек при их вращении вокруг других

Кроме абсолютных и относительных ускорений точек фигуры , определяется величина ее углового ускорения :

или или

Для определения же направления углового ускорения надо перенести в точку вектор тангенциального ускорения и направление этого вектора укажет направление углового ускорения. В данном случае, угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки.

Треугольник , который образовался на плане ускорений будет подобно треугольнику .

Таким образом, для плана ускорений справедливо

правило подобия: фигура, которую образуют концы векторов абсолютных ускорений точек тела на плане ускорений подобная фигуре, которую одноименные точки образуют на теле.

Примеры решения задач на тему: План ускорений

Задача №1

Найти ускорение точки ползуна 3 и угловое ускорение шатуна 2 механизма, изображенном на рис.4.24. Выходные данные: , кривошип 1 вращается равномерно

Решение. План скоростей для этого механизма был построен в задаче № 1 занятия № 7 (рис.4.25,б) и была определена угловая скорость шатуна 2

1.Построим схему механизма (рис. 4.32, а).

2. Сначала найдем ускорение точки механизме, поскольку она принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг точки с известной угловой скоростью.

Учитывая, что угловая скорость кривошипа постоянная то и полное ускорение будет равняться нормальному ускорению точки в ее вращательном движении вокруг :

По модулю:

Направлено ускорение от точки к точке по линии .

3. Для определения ускорения точки запишем формулу распределения ускорений при плоском движении, приняв за полюс точку , ускорение которой уже известно:

где — абсолютное ускорение точки , которое направлено по направлению движения ползуна 3 в горизонтальных направляющих;

— ускорение точки , известное по величине и по направлению;

— относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено по шатуну от точки к точке и по модулю равно:

— тангенциальное ускорение точки при ее вращении вокруг точки , направлено перпендикулярно шатуну и по модулю равно:

Поскольку направление ускорения точки известно, то уравнение (1) достаточно для определения .

4. Решим уравнение (1) графически путем построения плана ускорений.

Из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.32,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение , и который направлен параллельно линии от точки к точке . От конца этого вектора отложим вектор , что будет изображать , и который направлен параллельно от точки к точке . Через конец вектора , точку , проведем линию , перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Поскольку ускорение направлено по оси движения ползуна 3, то с полюса проводим горизонтальную прямую. Точка пересечения этой прямой с линией , проведенная перпендикулярно , будет концом вектора ускорения точки , а вектор будет изображать на плане ускорений .

4. Из построенного плана ускорений определим абсолютные величины ускорений и . Для этого с полюса опустим перпендикуляр на продолжение линии . Угол равен углу и составляет .

Из векторного четырехугольника (рис. 4.32, б) вытекает:

Спроектируем векторное уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что изображает на плане ускорений , , уравнение (3) можно переписать следующим образом:

Откуда:

Теперь спроектируем уравнение (2) на прямую :

Учитывая, что на плане ускорений изображает , получим:

Откуда:

Поскольку , то:

Из полученного результата следует, что в данный момент времени шатун механизма вращается равномерно и план ускорений будет иметь вид как на рис.4.33.

Ответ:

Если построение плана ускорений выполнять с соблюдением масштаба, то ускорения характерных точек можно определить непосредственно измерением соответствующих отрезков на плане ускорений.

Задача №2

Найти абсолютное ускорение точек и на угловые ускорения шатуна 2 и коромысла 3 шарнирного механизма, схема которого изображена на рис.4.26, если: . Кривошип 1 механизма вращается с постоянной угловой скоростью

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче № 2 занятие № 7 (рис.4.27, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3:

Решим задачу путем построения в масштабе плана ускорений.

1. Сначала в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.34, а).

2.Определим ускорение точки кривошипа.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью (то есть и соответственно ), то ускорение точки :

По модулю равно:

Направлено ускорение от точки к точке .

3.Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка принадлежит одновременно шатуну 2 и коромыслу 3 (случай 3). У шатуна 2 известно уже определенное ускорение точки , а в коромысла 3 ускорение точки (точка неподвижная, то есть ). Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку для шатуна 2 в первом уравнении и точку для коромысла 3 во втором уравнении:

где — относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

— относительное тангенциальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено перпендикулярно и по модулю равно:

— относительное нормальное ускорение точки в ее относительном вращательном движении вокруг точки , направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

4.Решим графически систему векторных уравнений (1,2).

Сначала построим уравнение (1). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.34,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор параллельно линии от точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

От конца вектора отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение и на этой линии будет лежать точка — конец вектора абсолютного ускорения точки механизма.

Следующим построим уравнение (2).

Поскольку , то точка будет лежать в полюсе плана ускорений.

От точки отложим вектор , который будет изображать . Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора соответственно равна:

Через конец вектора проведем линию перпендикулярную , вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение .

Решением системы (1,2) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения и .

Вектор абсолютного ускорения точки на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина ускорения точки равна:

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку и , то мгновенные угловые ускорения шатуна 2 и коромысла 3 соответственно равны:

где — длина коромысла 3, которая была определена в задаче №2 занятия №7.

Для определения направления углового ускорения перенесем мысленно в точку относительное тангенциальное ускорение . Направление указывает на то, что будет направлено по ходу часовой стрелки.

Аналогично, для определения направления в точку перенесем . Угловое ускорение будет направлено против хода часовой стрелки.

5.Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Для этого сначала построим прямую на плане ускорений (рис.4.34, б). Поскольку фигура на схеме механизма и фигура на плане ускорений должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

В левой части пропорции (3) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой — на плане ускорений.

Из уравнения (3) получим расстояние от точки к точке на плане ускорений:

Поскольку на схеме механизма отрезок перпендикулярен , то и на плане ускорений отрезок надо провести перпендикулярно , причем в ту сторону, чтобы расположение точек , и на плане ускорений было против хода часовой стрелки, как и точки , и на схеме механизма.

Ответ:

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.35) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 в настоящий момент времени вращается равномерно с угловой скоростью , а кривошип 4 – замедленно с угловой скоростью и угловым ускорением

Найти угловые ускорения шатунов 2 и 3 и абсолютные ускорения точек и , если: . В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 4 — горизонтально.

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче №3 занятия №7 (рис.4.30, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и шатуна 3:

1. В произвольном масштабе построим схему механизма (рис. 4.36, а).

2.Сначала определим абсолютные ускорения точек и , принадлежащие соответственно кривошипам 1 и 4, угловые скорости которых известны.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью то есть , то:

Направлено ускорение вдоль кривошипа от точки к точке .

Кривошип 4 вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью и угловым ускорением . Поскольку кривошип 4 вращается замедленно, то угловое ускорение направлено противоположно угловой скорости (рис.4.35.)

Абсолютное ускорение точки кривошипа 4 представляет собой векторную сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

Нормальная составляющая ускорения точки направлена вдоль от точки к точке и по модулю равна:

а тангенциальная — перпендикулярно в сторону углового ускорения и по модулю равна:

3. Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки .

Точка принадлежит одновременно шатуну 2 и шатуну 3. У шатуна 2 известно ускорение точки , а у шатуна 3 — точки . Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки , взяв за полюс точку для шатуна 2 в первом уравнении и точку шатуна 3 во втором:

В уравнении (2):

— направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

— направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

В уравнении (3):

— направлено вдоль от точки к точке и по модулю равно:

— направлено перпендикулярно , величина и направление этого ускорения неизвестны.

4. Решим графически систему векторных уравнений (2,3).

Сначала построим уравнение (2). Для этого из произвольной точки полюса плана ускорений (рис.4.36,б) отложим вектор , который будет изображать ускорение . Направлен вектор параллельно линии от точки к точке . Длину этого вектора выберем . Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

Следующим построим уравнение (3).

Для построения вектора от полюса согласно уравнению (1) отложим вектор , а с его конца . Эти векторы в масштабе будут изображать ускорения и и будут направлены им параллельно (рис. 4.36, а).

Длины векторов и соответственно равны:

Абсолютное ускорение точки на плане ускорений будет изображаться вектором .

От точки отложим вектор , который будет изображать. Направлен вектор параллельно от точки к точке , а длина этого вектора равна:

Решением системы (2,3) будет точка , в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно и , вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения и .

Величины тангенциальных ускорений и найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Поскольку и , то мгновенные угловые ускорение шатуна 2 и шатуна 3 соответственно равны:

Направления угловых ускорений и определяем путем перенесения мысленно в точку относительных тангенциальных ускорений и (аналогично задаче №2). Угловое ускорение направлено по ходу часовой стрелки, а — против хода часовой стрелки.

5. Для определения ускорения точки воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка на схеме механизма лежит посередине шатуна , то и на плане ускорений она должна лежать посередине отрезка . Вектор ускорения точки плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором , а величина абсолютного ускорения точки равна:

Ответ:

Услуги по теоретической механике:

Заказать теоретическую механику
Помощь по теоретической механике
Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

Статика
Система сходящихся сил
Момент силы
Пара сил
Произвольная система сил
Плоская произвольная система сил
Трение
Расчет ферм
Расчет усилий в стержнях фермы
Пространственная система сил
Произвольная пространственная система сил
Плоская система сходящихся сил
Пространственная система сходящихся сил
Равновесие тела под действием пространственной системы сил
Естественный способ задания движения точки
Центр параллельных сил
Параллельные силы
Система произвольно расположенных сил
Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
Кинематика
Кинематика твердого тела
Движения твердого тела
Динамика материальной точки
Динамика механической системы
Динамика плоского движения твердого тела
Динамика относительного движения материальной точки
Динамика твердого тела
Кинематика простейших движений твердого тела
Общее уравнение динамики
Работа и мощность силы
Обратная задача динамики
Поступательное и вращательное движение твердого тела
Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
Сферическое движение твёрдого тела
Движение свободного твердого тела
Сложное движение твердого тела
Сложное движение точки
Статика твердого тела
Равновесие составной конструкции
Равновесие с учетом сил трения
Центр масс
Колебания материальной точки
Относительное движение материальной точки
Статические инварианты
Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
Динамика системы материальных точек
Общие теоремы динамики
Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
Потенциальное силовое поле
Метод кинетостатики
Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Источник

Теорема. Скорость
какой-либо точки фигуры при ее плоском
движении равна векторной сумме скорости
полюса и относительной скорости этой
точки от вращения фигуры вокруг полюса.

Рис.
6-5

Применяя
к плоскому движению теорему о сложении
скоростей для какой-либо точки В фигуры,
получаем , где — абсолютная скорость
точки В плоской фигуры; — скорость точки
В переносного поступательного движения
плоской фигуры вместе, например, с точкой
А этой фигуры; — скорость точки B в
относительном движении, которым является
вращение плоской фигуры вокруг точки
А с угловой скоростью w.

Так
как за переносное движение выбрано
поступательное движение вместе с точкой
А, то у всех точек плоской фигуры
одинаковые переносные скорости,
совпадающие с абсолютной скоростью
точки А, т.е.

Скорость
относительного движения, в случае когда
оно является вращательным движением,
равна

Скорость расположена
в плоскости движущейся фигуры и направлена
перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему
точку В с полюсом А. Эту относительную
скорость можно выразить в виде векторного
произведения , где угловая скорость
считается направленной по подвижной
оси вращения, проходящей через точку А
и перпендикулярной плоскости фигуры.
Относительную скорость обозначим .
Это обозначение показывает, что скорость
относительного движения точки В
получается от вращения плоской фигуры
вокруг подвижной оси, проходящей через
точку А, или просто вокруг точки А. где
Что и требовалось доказать.

23/ Мгновенный центр скоростей

Мгновенным
центром скоростей называется точка
плоской фигуры, скорость которой в
данный момент времени равна нулю.

Теорема.
В каждый момент времени при плоском
движении фигуры в ее плоскости при
(непоступательное движение), имеется
один единственный центр скоростей.

Для
доказательства достаточно указать
способ нахождения мгновенного центра
скоростей, если известны скорость
какой-либо точки О плоской фигуры и ее
угловая скорость в рассматриваемый
момент времени., , , следовательно.Мгновенный
центр скоростей находится на перпендикуляре
к скорости , проведенном из точки О, на
расстоянии .Мгновенный центр скоростей
это единственная точка плоской фигуры
для данного момента времени. В другой
момент времени мгновенным центром
скоростей будет уже другая точка.Возьмем
точку Р за полюс Так как , то . Аналогичный
результат получается для любой другой
точки плоской фигуры.Скорости точек
плоской фигуры определяются в данный
момент так, как если бы движение фигуры
было вращением вокруг мгновенного
центра скоростей.Скорости точек плоской
фигуры пропорциональны их расстояниям
до мгновенного центра скоростей.

2 4/ Ускорение точек тела при плоском движении

Теорема. Ускорение
точки плоской фигуры равно сумме
ускорения полюса и ускорения данной
точки во вращательном движении вокруг
полюса.

Доказательство. Ускорение
точки   в
ее  сложном
движении при поступательном переносном
движении (рис. 10.20): ,  где
относительное движение − вращение
вокруг полюса ,  переносное
движение − поступательное вместе с
полюсом,

, , .

При плоском движении  с
учетом характера движения осестремительное ускорение
будем называтьцентростремительным и
обозначать символом  .
Вводя в рассмотрение вектор углового
ускорения  при
плоском движении, теорема может быть
записан

а в виде: или .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Плоское движение твердого тела:

Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные точки, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Поэтому плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным движением. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как звенья большинства механизмов и машин, применяемых в технике, совершают плоское движение. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси можно считать частным случаем плоского движения.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Рис. 41

Пусть твердое тело совершает плоское движение, параллельное неподвижной плоскости

Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, достаточно изучить движение одной точки этой прямой, например точки . Рассуждая аналогично для любой другой прямой, перпендикулярной плоскости и скрепленной с движущимся твердым телом, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение точек этого тела, лежащих в какой-либо плоскости и образующих плоскую фигуру.

Таким образом, для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости . Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой. Различные по форме твердые тела, совершающие плоское движение, имеют в сечениях разные плоские фигуры. В общем случае за плоскую фигуру примем всю плоскость и, следовательно, рассмотрим движение этой подвижной плоскости по другой, неподвижной плоскости.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка (рис. 42), скрепленного с фигурой. Положение отрезка относительно системы координат определится заданием координат какой-либо точки этого отрезка и его направления. Например, для точки нужно задать координаты , а направление задать углом , который образует отрезок с какой-либо осью, например , или ей параллельной осью . Вместо угла можно взять угол между любой другой осью или отрезком, скрепленными с плоской фигурой, и осью , например угол . Тогда , где не зависит от времени. Таким образом, уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и плоского движения твердого тела относительно системы координат имеют вид

Рис. 42

Положение любой точки плоской фигуры относительно подвижной системы координат , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат х и у точки , которые при движении плоской фигуры в ее плоскости не изменяются с изменением времени. Между координатами точки в двух системах координат и существует следующая зависимость (рис. 42):

где — длина отрезка ; — постоянный угол между отрезком и осью .

Раскрывая косинус и синус суммы двух углов и учитывая, что ; , получаем окончательные формулы в следующем виде:

Формулы (1) являются уравнениями движения точки плоской фигуры относительно системы координат .

Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам ее точки относительно подвижной системы координат, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя векторно-матричную символику, (1) можно выразить в форме

где — матрица поворота на плоскости:

Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное

Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое — относительное. В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат расположенной в той же плоскости (рис. 42), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс .

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое, в том числе и бесконечно близкое первому, можно перевести двумя перемещениями — поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким-либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса. Рассмотрим два любых положения плоской фигуры I и II в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка , скрепленного с этой фигурой (рис. 43).

В общем случае, когда отрезок в одном положении не параллелен тому же отрезку в другом положении, из рис. 43 следует, что плоскую фигуру действительно сначала можно переместить поступательно, например вместе с точкой этой фигуры, причем скрепленный с фигурой отрезок займет положение , а затем повернуть фигуру вокруг точки на угол до совпадения с .

В частном случае, когда отрезок параллелен отрезку , угол равен нулю и, следовательно, вращательного перемещения в этом случае не будет. Очевидно, что в общем случае, когда ф не равно нулю, сначала плоскую фигуру можно повернуть на угол вокруг точки , а затем переместить поступательно. И наконец, совершая плоское поступательное перемещение вместе с точкой , фигуру можно поворачивать вокруг этой точки так, чтобы в момент совпадения точки с точкой эта фигура повернулась на угол .

Действительное плоское перемещение фигуры из положения I в положение II может быть любым, но его всегда можно заменить двумя простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным — так, чтобы конечное положение плоской фигуры в обоих случаях было одним и тем же.

Действительное перемещение фигуры в ее плоскости из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, в пределе можно точно заменить двумя элементарными простыми плоскими перемещениями — поступательным и вращательным. При этом поступательное перемещение фигуры вместе с какой-либо ее точкой является переносным движением плоской фигуры, а вращение фигуры вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранную точку, относительным движением.

Поступательное перемещение зависит от выбора точки фигуры, вместе с которой совершается это поступательное перемещение, в то время как угол поворота вокруг полюса не зависит от выбора полюса.

На рис. 43 показаны случаи, когда за полюсы выбираются сначала точка , а затем точка . Штриховой линией указаны положения плоской фигуры после поступательных перемещений вместе с точками и .

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении

Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, аналогично случаю вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно ввести понятия угловой скорости и углового ускорения . Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то

Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то и характеристики этой части движения — угловая скорость и угловое ускорение — также не зависят от выбора полюса. Следовательно, для заданного плоского движения фигуры в данный момент они одинаковы относительно подвижной оси, проходящей через любую точку фигуры.

При плоском движении тела угловую скорость и угловое ускорение можно считать векторами, направленными по подвижной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через выбранный полюс. Вектор угловой скорости при плоском движении фигуры направлен по подвижной оси так, чтобы с конца его стрелки можно было видеть вращение фигуры против часовой стрелки. Вектор углового ускорения при ускоренном вращении фигуры совпадает с направлением вектора угловой скорости , а при замедленном вращении эти векторы имеют противоположные направления. Так как и не зависят от выбора полюса на плоской фигуре, то, следовательно, их можно приложить в любой точке фигуры, не изменяя модулей и направлений этих векторов, т. е. и являются свободными векторами. Вектор углового ускорения является первой производной по времени от вектора угловой скорости, т. .

Скорости точек тела при плоском движении

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

где — абсолютная скорость точки плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; — скорость точки от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой этой фигуры (рис. 44, a); — скорость точки в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки с угловой скоростью .

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой , то все точки плоской фигуры имеют одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки , т. е.

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением, равна

Скорость расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку , соединяющему точку с полюсом . Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости фигуры. Относительную скорость обозначим . Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку , или просто вокруг точки . Формулу (2) можно выразить в виде

где

а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис. 44, а). Используя (3), можно построить в выбранном масштабе треугольник скоростей для точки (рис. 44, б).

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Формула (3) выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени.

Рис. 44

Рис. 45

Пример 1.

Колесо радиусом (рис. 45) катится со скольжением по прямой линии, имея в рассматриваемый момент времени скорость центра и угловую скорость . Определить в этот момент времени скорости точек обода колеса , и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Решение. Для точки скорости полюса v0 и от вращения вокруг полюса направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. Следовательно, по формуле (3),

где

Для точки скорости и противоположны по направлению, поэтому

причем

При качении колеса по прямой линии без скольжения скорость точки равна нулю и, следовательно, в этом случае скорость центра и угловая скорость связаны соотношением

Отсюда угловую скорость можно выразить через скорость центра колеса и его радиус:

В точке скорости и перпендикулярны. Следовательно,

где

Отметим, что при качении колеса по прямой без скольжения скорости точек обода колеса не направлены по касательной к ободу, за исключением самой верхней его точки .

Формулу (3), устанавливающую зависимость скоростей двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием по времени векторного равенства

справедливого для любого момента времени (см. рис. 44, а).

При дифференцировании векторов учитываем их изменения относительно основной, неподвижной, системы координат , т.е. вычисляем полные производные от этих векторов. Имеем

Очевидно, — скорости точек и .

Вектор соединяет две точки плоской фигуры и, следовательно, не изменяется по модулю при движении плоской фигуры. Производную по времени от такого вектора как вектора постоянного модуля по скалярному аргументу можно выразить в форме

где — вектор угловой скорости вращения , а следовательно, и плоской фигуры, с которой скреплен вектор .

Окончательно имеем

Если ввести обозначение , то

т. е. получаем формулу (3).

Разложение плоского движения на поступательное и вращательное

Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости

Плоское движение и его уравнение

Ознакомление с плоским движением твердого тела начнем с частного примера. Представим себе, что закрытая книга лежит на столе. Не раскрывая книги, будем перемещать ее по поверхности стола, но так, чтобы контакт книги со столом ни в одной точке не нарушился; в остальном движение книги произвольно. При этом условии частицы книги опишут траектории, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости стола, и каждая страница будет двигаться в той плоскости, в которой она находилась до начала движения. Такое движение книги назовем плоским.

Вообще плоским движением называют такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Каждую из этих плоскостей можно назвать плоскостью движения тела. Вращение является одним из частных случаев плоского движения тела.

Плоское движение часто встречается в технике. Большинство современных механизмов имеет звенья, совершающие только плоские движения. Такие механизмы называют плоскими.

Плоское движение твердого тела иногда называют плоскопараллельным движением, или движением параллельно неподвижной плоскости. Все эти термины идентичны.

Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек тела

Если тело, находящееся в состоянии плоского движения, пересечь плоскостью, в которой лежит траектория какой-нибудь из его точек, то плоская фигура, получившаяся от пересечения тела, будет передвигаться только в этой плоскости. Движения точек тела, лежащих на перпендикуляре, восставленном к плоскости фигуры, совершенно одинаковы, а потому движение тела может быть охарактеризовано движением фигуры в ее плоскости, и для исследования плоского движения тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, полученной при пересечении тела одной из этих плоскостей. Так, в приведенном примере движение книги вполне определяется движением какой-либо из ее страниц в плоскости, параллельной плоскости стола.

Это обстоятельство позволяет заменить изучение плоского движения тела изучением движения плоской фигуры в ее плоскости.

Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного н относительного вращательного

Пусть плоская фигура (рис. 136) движется в плоскости хОу относительно основной системы координат. Примем какую-либо точку E этой фигуры за начало подвижной системы отсчета и назовем эту точку полюсом. Построим в точке E систему декартовых координат х’Еу’, неизменно связанную с фигурой.
Для определения положения фигуры на плоскости хОу достаточно знать положение системы отсчета х’Еу’, т. е. координаты (х_Е и у_Е) точки Е, и угол, на который повернута фигура, например угол φ между положительными направлениями осей Ox и Ex’. По мере движения фигуры положение подвижной системы координат х’Еу’ относительно неподвижной системы хОу изменяется и, чтобы определить движение фигуры, нужно знать эти величины как некоторые не прерывные однозначные функции времени:

х_E = x_E(t), (112′)

y_E = y_E(t), (112″)

φ = φ(t), (112′»)

Рис. 136

Эти уравнения являются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости, следовательно, они определяют плоское движение твердого тела.

Обратим внимание на то, что уравнения (112′) и (112″) тождественны с уравнениями (58′) и (58″) движения точки по плоскости или с уравнениями (77) плоского поступательного движения; уравнение же (112″‘) тождественно с уравнением (81) вращения вокруг неподвижной оси. Это наводит на мысль рассматривать движение плоской фигуры как составное движение, состоящее из переносного поступательного движения, определяемого движением полюса Е, и относительного вращательного движения вокруг полюса, точнее, вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому движение плоской фигуры в ее плоскости часто рассматривают как составное и искусственно раскладывают его на два движения, причем переносное обычно выбирают поступательным, а относительное— вращательным.

Такое разложение плоского движения очень удобно и, несмотря на то что оно является чисто искусственным, его широко применяют при решении различных конкретных задач. В частности, преимущества разложения плоского движения на переносное поступательное и относительное вращательное заключаются в том, что при таком разложении кориолисово ускорение всякой точки фигуры равно нулю, а также равны нулю переносные угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а потому угловая скорость и угловое ускорение фигуры в ее относительном вращательном движении вокруг полюса оказываются равными соответственно абсолютным угловой скорости п угловому ускорению фигуры.

Задача №1

Шестеренка радиуса r, катящаяся внутри неподвижной шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг оси О неподвижной шестеренки с угловой скоростью ω₀. При t=0 кривошип расположен вдоль оси Ox (рис. 137). Составить уравнение движения подвижной шестеренки, принимая ее центр за полюс.

Рис. 137

Решение. Шестеренка совершает плоское движение, которое будем рассматривать как составное, состоящее из переносного кругового поступательного движения, определяемого движением точки А, и относительного вращательного движения вокруг точки А. Принятая нами за полюс точка А принадлежит одновременно и шестеренке радиуса r и кривошипу OA. Вращаясь с постоянной угловой скоростью ω₀, кривошип OA за время t повернется от начального горизонтального положения на угол ω_ot и координаты полюса в мгновение t будут:

x = OA cos ω_ot = (R- r) cos ω_ot,

у = OA sin ω_ot = (R-r) sin ω_ot.

Эти координаты — функции времени, следовательно, написанные равенства представляют уравнения движения полюса А, или, что то же, уравнения переносного поступательного движения шестеренки.

Вращение шестеренки вокруг полюса происходит с иной угловой скоростью ω, чем вращение кривошипа, и, поскольку зацепление внутреннее, — в противоположную сторону. В данном случае кривошип вращается в положительном направлении, а шестеренка—в отрицательном. Предполагается, что шестеренка катится без скольжения, а потому, согласно известной из элементарной физики формуле, передаточное отношение

Заменяя <о его значением (73), разделяя переменные и интегрируя, получаем уравнение вращательного движения шестеренки.

Ответ.

где φ—угол поворота подвижной шестеренки; минус показывает, что шестеренка вращается в сторону, противоположную вращению кривошипа.

Переносное (поступательное) движение фигуры в ее плоскости зависит от выбора полюса, а вращательное — не зависит

Движение вместе с полюсом и вокруг полюса. Уравнения (112′) и (112″) представляют поступательное движение плоской фигуры. Вместе с тем они выражают координаты полюса E в функции времени.

Следовательно, поступательное движение фигуры определяется движением полюса. Если бы за полюс мы выбрали какую-нибудь другую точку фигуры, то уравнения (112′) и (112″) были бы иными, а следовательно, изменилось бы и описываемое этими уравнениями движение плоской фигуры.

Напротив, уравнение (112′») не связано с полюсом Е, поэтому вращение фигуры (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) не должно зависеть от выбора полюса.

Поясним это примером. Пусть находящаяся в плоском движении фигура—треугольник ABC (рис. 138)—в начальное мгновение занимает положение A₀B₀C₀, а через некоторое время Δt— положение A₁B₁C_1...Этo положение фигуры ABC в ее плоскости будем рассматривать как результат составного движения — переносного поступательного, определяемого движением полюса, и относительного вращательного вокруг полюса. Если за полюс мы примем точку Aa, то перемещение полюса за время Δt определится вектором A₀A₁, не показанным на рис. 138. Мысленно остановим относительное движение фигуры и, передвигая ее поступательно вместе с полюсом А, мы убедимся, что в результате такого переносного движения она займет положение A₁B’С. Если же за полюс мы приняли бы другую точку, например точку С, то переносное движение привело бы треугольник в положение А»В»C₁. Заметим, что относительным движением фигуры в обоих случаях этого примера является поворот на 90° по часовой стрелке.

Рис. 138

Проведем теперь общее доказательство независимости вращения фигуры от выбора полюса. Пусть произвольная плоская фигура движется в своей плоскости относительно основной системы координат хОу (рис. 139). Сначала выберем за полюс точку E и построим систему координат х’Еу’, которая будет двигаться вместе с фигурой. Переносное поступательное движение будет характеризоваться движением точки Е, а относительное вращательное движение—изменением угла φ между осями Ox и Ex’. Затем повторим то же самое движение фигуры, но за полюс выберем какую-либо другую точку, например точку L, и построим на фигуре систему координатных осей x»Ly», параллельных осям х’Еу’. Тогда переносное поступательное движение фигуры будет характеризоваться движением точки L, отличающимся от движения точки Е, а относительное вращательное движение фигуры будет характеризоваться изменением угла между осями Ox и Lx». Угол всегда равен углу φ, так как стороны их параллельны, а следовательно, всегда равны и изменения этих углов с течением времени. Поэтому угловая скорость фигуры не зависит от выбора полюса.

Сказанное относится к относительному вращательному движению всей фигуры, но не к относительному движению ее точек. Угол поворота и связанные с ним угловая скорость ω и угловое ускорение ε являются общими для всего тела (для всей фигуры) и не зависят от того, какую из точек фигуры мы приняли за полюс. Однако длины дуг, описываемые различными точками в их относительном движении вокруг полюса, а также вращательные скорости ωr и ускорения εr и ω²r точек фигуры при ее вращении относительно полюса зависят не только от угла поворота φ фигуры и его производных ω и ε, но также и от расстояния r точек от полюса, а следовательно, и от выбора полюса. Таким образом, хотя угол поворота фигуры, угловая скорость и угловое ускорение фигуры не зависят от выбора полюса, относительные движения, скорости и ускорения точек фигуры зависят от этого выбора.

Рис. 139

Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюса

Скорость точки фигуры в плоском составном движении

Пусть плоская фигура вместе с нанесенными на ней координатными осями х’Еу’ движется в плоскости основной системы координат (см. рис. 136). Пусть К—какая-либо точка плоской фигуры. Ее координаты х’ и y’ не изменяются, потому, что точка К и подвижная система х’Еу’ неизменно связаны с фигурой. Как известно из аналитической геометрии и как видно из рисунка, координаты точки К (х, у) связаны с координатами (x’, у’) той же точки соотношениями

(113)

Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат продифференцируем по времени равенства (113), рассматривая φ как функцию времени:

(114^/)

Таким образом,

(114)

Последние члены правых частей выражают согласно формулам Эйлера (79) проекции вращательной скорости точки К при вращении фигуры вокруг полюса.

Следовательно, вектор абсолютной скорости любой точки K плоской фигуры равен геометрической сумме двух векторов: 1) переносной скорости в поступательном движении, равной скорости какой-либо точки Е, неизменно связанной с фигурой и принятой за полюс, н 2) относительной скорости во вращательном движении фигуры вокруг полюса Е. Теорему параллелограмма скоростей для любой точки К плоской фигуры запишем так:

где

(115)

Относительная скорость vr точки К относительно точки Е, как всякая вращательная скорость, направлена перпендикулярно к EK в сторону вращения фигуры.

Выясним, как зависят скорости точек плоской фигуры от выбора полюса. Абсолютные скорости точек, очевидно, не могут зависеть от выбора полюса: они существуют объективно и обусловлены только физическими причинами. Переносные скорости всех точек равны скорости полюса, а следовательно, зависят от полюса. Относительные скорости точек фигуры равны произведению угловой скорости (не зависящей от полюса) фигуры на их расстояния от полюса.

Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек А, В, С, D, F некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку А, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны произведению угловой скорости ω на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку с полюсом.

Рис. 140

Мгновенный центр скоростей. Пусть какая-либо плоская фигура движется относительно своей плоскости, принятой нами за неподвижную. Будем считать, что эта фигура имеет неограниченные размеры, или, что то же, соединим фигуру неизменно с подвижной плоскостью, которая движется вместе с этой фигурой в той же неподвижной плоскости. Возьмем на фигуре две произвольные точки А и В и к их скоростям υ_А и υ_В (рис. 141, а) восставим перпендикуляры до пересечения в какой-то точке Е. Перпендикуляры к скоростям надо восставлять, разумеется, в точках их приложения, потому что скорость есть вектор прикрепленный.

Рис. 141

Согласно основной теореме (77) кинематики твердого тела проекции скоростей всех точек прямой AE на эту прямую AE равны проекции т. е. равны нулю:

Аналогично равны нулю проекции на BE скоростей всех точек, составляющих прямую BE. Следовательно, скорости точек, составляющих прямые AE и BE, перпендикулярны этим прямым.

Скорость точки E равна нулю, потому что равны нулю ее проекции на две пересекающиеся прямые AE и BE. Назовем эту точку мгновенным центром скоростей и припишем ей индекс мцс:
υ_мцп = 0

В каждое мгновение на подвижной плоскости фигуры может быть только одна точка со скоростью, равной нулю, т. е. только один мгновенный центр скоростей.

Во всякое данное мгновение скорости точек фигуры, совершающей плоское движение, являются вращательными вокруг мцс

Соединим точки A и В прямой (рис. 141, б) и спроецируем на нее скорости точек Aи В:

Опустим перпендикуляр из Emuc на АВ. Тогда, выражая косинусы отношением сторон, получим

или

(117)

т. е. величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей. Этот вывод можно сделать и из условий неизменяемости фигуры. В самом деле, если фигура движется в своей плоскости, а скорость одной из точек фигуры равна нулю (υ_мцп = 0), то скорости всех прочих точек должны быть пропорциональны расстоянию от мцс.

Таким образом, скорости точек плоской фигуры удовлетворяют сбоим признакам вращательных скоростей: они перпендикулярны и пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей.

Предыдущую пропорцию мы можем переписать так:

где ω —угловая скорость фигуры. Точки А и В взяты произвольно, поэтому полученный результат относится ко всем точкам фигуры.

Если сделанные нами построения не умещаются на площади движущейся фигуры, то это не ограничивает общности доказательств, так как эти построения могут быть сделаны не на фигуре, а на неизменно связанной с фигурой воображаемой подвижной плоскости.

Мгновенный центр скоростей играет важную роль в теории плоского движения. Ознакомимся с некоторыми методами, позволяющими найти эту точку на плоскости.

I. Положение мгновенного центра можно определить аналитически.

Задача №2

Определить координаты мгновенного центра скоростей, если известны уравнения (112) движения плоской фигуры.

Решение. Уравнения (114) выражают проекции скорости любой точки, координаты которой х и у. Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, обозначив его координаты через x_мцп и y_мцп, подставим в уравнения (114) вместо скорости точки нуль, а вместо координат точки —координаты мгновенного центра скоростей:

υ_E_x—(У_мцс — y_E) ω = 0, υ_E_y + (x_мцс—x_E) ω = 0,

откуда непосредственно получим координаты мгновенного центра скоростей.

Ответ. ; . (118)

В этих равенствах х_Е и у_Е—координаты любой точки фигуры, a υ_Fx и υ_Ey — проекции абсолютной скорости той же точки.

II. Если известны угловая скорость ω фигуры и линейная скорость υ_kкакой-либо одной точки К фигуры, то положение мгновенного центра скоростей можно определить, рассматривая скорость vκ как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей E_мцс. Мы найдем эту точку E_мцс, отложив от точки К перпендикулярно к скорости υ_kотрезок .

В самом деле, вращательная скорость точки перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющей эту точку с центром, а длина этого отрезка равна отношению вращательной скорости точки к угловой скорости. Прямой угол между направлением скорости и перпендикуляром KE_мцс должен быть положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным, если фигура вращается по часовой стрелке.

Задача №3

Диск радиуса r = 20 см (см. рис. 137, стр. 217), катящийся с угловой скорость ω=—50 ceκ^-l внутри неподвижного обода радиуса R = 60 см, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг центра О неподвижного обода с угловой скоростью ω₀ = 25 ceκ^-l . Найти мгновенный центр скоростей диска.

Решение. Известна угловая скорость диска и может быть определена скорость хотя бы одной из его точек. Такой точкой является палец А кривошипа OA. Точка А принадлежит не только диску, но и кривошипу, а потому ее скорость перпендикулярна к кривошипу и по модулю равна

υ_A= OAω₀= (R — r) ω₀ = 10 м/ceκ.

Рассматривая скорость точки А как вращательную скорость точки диска вокруг его мгновенного центра скоростей, отложим перпендикулярно к ее скорости отрезок . Диск вращается по часовой стрелке, и, чтобы определить, в какую сторону надо восставить перпендикуляр к скорости , мы должны повернуть вектор на 90° по вращению часовой стрелки.

Ответ. Мгновенный центр находится в точке касания диска и неподвижного обода.

Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек фигуры

III. Распределение скоростей точек фигуры таково, как будто фигура вращается в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей. Вращательные скорости точек перпендикуляр ны к радиусам траекторий этих точек, а все радиусы пересекаются в центре. Поэтому, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно восставить перпендикуляры к направлениям скоростей каких-либо точек фигуры. Точка их пересечения является мгновенным центром скоростей. Перпендикуляры к направлениям скоростей точек
надо восставлять, разумеется, в этих точках, так как скорость есть вектор закрепленный.

Задача №4

Стержни (рис. 142, a) O₁A и O₂B, соединенные со стержнем AB посредством шарниров А и В, могут вращаться вокруг неподвижных точек O1 и O2, оставаясь в одной плоскости (шарнирный четырехзвенник). Даны: длина кривошипа O₁A и его угловая скорость ω₁; длина коромысла O₂B и углы φ₁ и φ₂, которые шатун AB образует с кривошипом и с коромыслом при данном положении механизма.

Найти построением ту точку D шатуна, скорость которой в данное мгновение направлена вдоль шатуна, определить величину этой скорости и угловую скорость ω₂ коромысла O₂B как функции углов φ₁ и φ₂.

Решение. Механизм состоит из четырех твердых звеньев (включая и станину O₁O₂); естественно, что угловые скорости различных звеньев могут быть различны.

Шарнир А принадлежит кривошипу O₁A (рис. 142, б), его скорость перпендикулярна к O₁A и по модулю равна υ_А = ω₁O₁A. Шарнир В принадлежит коромыслу O₂B, и потому его скорость υ_B (неизвестная по величине) направлена перпендикулярно к O₂B.

Но те же точки А и В принадлежат шатуну АВ, а следовательно, их скорости υ_А и и υ_B можно рассматривать как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Перпендикуляры, восставленные в точках А и В к направлениям их скоростей, пересекаются в точке E_мцс (рис. 142, в), где, следовательно, и находится мгновенный центр скоростей. Скорость каждой точки шатуна перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющему эту точку с мгновенным центром скоростей, и пропорциональна длине этого отрезка. Чтобы

Рис. 142

найти точку D, скорость которой направлена вдоль АВ, опустим перпендикуляр E_мсцD нз точки E_мсц на эту прямую. Величина скорости υ_D=ωE_мсцD, где ω — угловая скорость звена АВ, определить которую можно по известной скорости шарнира А:

Подставляя это значение ω в предыдущее равенство, найдем

но из прямоугольного треугольника ADE_мсц имеем

а потому

υВ = υ_А ^. sinφ₁

Чтобы определить угловую скорость коромысла O₂B, найдем модуль скорости точки В, принадлежащей шатуну:

Угловую скорость ω₂ коромысла определим по скорости υ_В, так как точка В принадлежит и коромыслу:

Применяя теорему синусов, получим ответ.

Ответ.

Задача №5

Найти мгновенный центр скоростей звена BD (рис. 143, а) для случая, когда: 1) φ₁= 45^o; 2) φ₁₂ = 90^o; 3) φ₁=0^o.

Решение. В этом плоском механизме звено BD продето в качающуюся шайбу C и, двигаясь в плоскости чертежа, постоянно проходит через неподвижную точку С. Следовательно, скорость той точки звена BD, которая в данное мгновение совпадает с точкой С, направлена вдоль звена BD. Точка В (палец кривошипа) описывает окружность с центром в точке А, и ее скорость всегда перпендикулярна к АВ.

1. Рассмотрим первое заданное положение механизма и нанесем на чертеж (рис. 143, б) скорости точки В и точки звена BD, совпадающей при данном положении механизма с точкой С. Восставляя перпендикуляры к скоростям в точках В и С, найдем в точке их пересечения мгновенный центр скоростей звена В.

2. При φ₁₂ = 90^o (рис. 143, в) перпендикуляры, восставленные в точках В и C к направлениям скоростей, становятся параллельными между собой и мгновенный центр скоростей уходит в бесконечность. При даином положении механизма распределение скоростей точек звена BD не соответствует такому, какое бывает при вращательном движении, угловая скорость звена равна нулю, линейные скорости всех точек звена одинаковы.

3. Третье заданное положение механизма изображено на рис. 143, г. Как и в предыдущих случаях, восставляем перпендикуляры к скоростям точки В и к прямой ВС. Перпендикуляры пересекаются в точке С, следовательно, при данном положении механизма мгновенный центр скоростей звена BD находится в точке С. Скорость той точки звена, которая совпадает с точкой С, в данное мгновение равна нулю. Рассматриваемое положение звена называется «крайним положением» (или «мертвым положением»), Картина распределения скоростей точек звена BD в данном положении такова, как будто оно вращается вокруг точки С.

Рис. 143

Ответ. 1) на пересечении линии AB и перпендикуляра, восставленного в точке C к линии ВС; 2) в бесконечности в направлении АВ; 3) в точке С.

Задача №6

Прямая движется в плоскости. Показать, что величина скорости той точки прямой, которая ближе всех отстоит от мгновенного центра скоростей, равна проекции скорости любой другой точки прямой на эту же прямую (рис. 144).

Рис. 144

Решение. Дано: прямая, мгновенный центр скоростей E_мцс и угловая скорость ω этой прямой. Опустив из точки E_мцс перпендикуляр на данную прямую, определим точку D (см. рис. 144) прямой, находящуюся на кратчайшем расстоянии от мгновенного центра скоростей. Скорость точки D равна υ_D=ω ^.E_мцс D и направлена перпендикулярно к E_мцсD, т. е. по данной прямой.

Возьмем на той же прямой какую-либо другую точку А. Скорость точки А перпендикулярна к АЕ_мцси равна

υ_A=ω ^.E_мцс A.

Как видно из чертежа,

а потому,

υ_A cos α = ω∙E_мцсD = υ_D.

Так как точку А мы выбрали на прямой совершенно произвольно, то, следовательно, полученное равенство справедливо для всякой точки прямой.

Ответ. Проекции скоростей всех точек прямой на эту прямую равны между собой.

Задача №7

Линейка эллипсографа AB (см. рис. 89 на стр. 139) совершает карданово движение, причем ползун А линейки движется по оси Оу, а ползун В—по оси Ох. При каком положении линейки скорость ползуна А вдвое больше скорости ползуна В?

Решение. Эту задачу, уже решенную нами ранее (см. № 43 на стр. 139, № 57 на стр. 160), можно просто решить, пользуясь мгновенным центром скоростей. Восставим перпендикуляры в точках A и В к направлениям их скоростей. Перпендикуляры пересекутся в точке E_мсц — мгновенном центре скоростей линейки (эти построения на рис. 88 не сделаны). Величины скоростей точек линейки пропорциональны расстоянию этих точек от точки Е_мцс. Чтобы выполнялось условие υ_А=2u_B, точка А должна отстоять от точки E_мсц вдвое дальше, чем точка В, а так как OAE_мсцB является прямоугольником, то х_B = 2у_A.
Ответ. х_B = 2у_A

При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касания

IV. При решении задач бывает полезно иметь в виду, что если какая-либо плоская фигура катится по другой плоской фигуре, лежащей с ней в одной плоскости (например, подвижная шестеренка катится по неподвижной), то скорость точки катящейся фигуры, находящейся в данное мгновение в соприкосновении с неподвижной фигурой, должна быть равна нулю, если, конечно, качение не сопровождается проскальзыванием или пробуксовыванием. А так как в каждое мгновение на фигуре, совершающей плоское движение, имеется только одна точка со скоростью, равной нулю (мгновенный центр скоростей), то, следовательно, он и находится в точке касания.

Пусть, например, колесо катится по прямолинейному рельсу (рис. 145). Рассмотрим движение колеса как составное, состоящее из переносного поступательного движения вместе с осью колеса О и относительного вращательного движения вокруг этой оси. На рис. 145, а изображены переносные скорости некоторых точек колеса, а на рис. 145, б—вращательные скорости тех же точек относительно центра колеса. В случае качения без скольжения и без буксования вращательная скорость точек, лежащих на ободе колеса, по модулю равна скорости оси, так как при повороте колеса на один полный оборот его ось переместится на 2πr, а точки обода опишут в их относительном вращательном движении окружности той же длины. Абсолютные скорости точек колеса изображены на рис. 145, в. Эти абсолютные скорости можно получить как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой касания колеса и рельса (рис. 145,г).

Мгновенный центр скоростей лежит на самой катящейся фигуре или на неизменно с ней связанной подвижной плоскости. Точку, совпадающую с мгновенным центром скоростей, но лежащую на неподвижной плоскости, по которой движется фигура, называют мгновенным центром вращений. В рассмотренном примере мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса, а мгновенный центр вращений—на рельсе.

Рис. 145

Задача №8

Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом (рис. 146, а): стержень IV посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси O₁ с угловой скоростью ω₄. На конце O₂стержня находится палец, на который свободно надето колесо II радиуса r₂. При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу III радиуса r₃. При этом благодаря трению колесо II вращает без скольжения колесо I радиуса r₁, свободно насаженное на ось O₁ и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу r₃ наружной неподвижной обоймы найти такое значение r_l, чтобы выполнялось соотношение , т. е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.

Решение. В этом плоском механизме колесо II катится без скольжения по неподвижному колесу III и мгновенный центр скоростей колеса II находится в точке их касания (рис. 146, б). Палец O₂ принадлежит стержню IV, и его скорость

υ_O2 = ω₄ (r₁+ r₂).

Та же точка O₂ принадлежит колесу II, что позволяет определить его угловую скорость:

Теперь нетрудно определить скорость точки В касания колес I и II. Эта точка отстоит от мгновенного центра скоростей на расстоянии 2_r2, т. е. в два раза дальше, чем точка O₂, поэтому и скорость ее вдвое больше:

Рис. 146

Та же точка В принадлежит колесу I (рис. 146, в) и для определения угловой скорости этого колеса надо поделить окружную скорость на его радиус:

откуда

Это отношение должно равняться 12, т. е.

Но нам задан радиус rs неподвижного обода III. Как видно из чертежа (см. рис. 146, a) r₃ = r₁ + 2r₂.
Решая совместно два последних соотношения, получим ответ.
Ответ.

Задача №9

Доказать теорему: если скорости υ_А и υ_B двух точек А и В плоской фигуры перпендикулярны к прямой АВ, соединяющей эти точки, то мгновенный центр скоростей делит отрезок А В на части, пропорциональные величинам скоростей внешним образом, когда скорости направлены в одну сторону, или внутренним образом, когда скорости направлены в противоположные стороны.

Доказательство. Движение фигуры плоское. Мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой АВ, так как скорости перпендикулярны к прямым, соединяющим их точки приложения с мгновенным центром скоростей (рис. 147, а). Вращение фигуры может происходить в данное мгновение лишь в одну сторону (на нашем рисунке—по часовой стрелке), поэтому’ мгновенный центр скоростей должен лежать по одну сторону от точек А и В, если их скорости направлены одинаково, и между ними, если скорости противоположны (рис. 147, б). В обоих случаях скорости точек пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей:

что и требовалось доказать.

Ответ.

Рис. 147

При плоском движении фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной

Центроиды**. В различные моменты времени мгновенный центр скоростей находится в различных точках. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. совокупность всех точек, в которых за время движения находился мцс, называют центроидой. Покажем, что центроида является непрерывной линией и мцс всегда перемешается из точки, в которой он в данное мгновение находится, в какую-нибудь соседнюю, смежную точку.

Пусть в мгновение t мцс находился где-либо в точке А, а через промежуток времени Δt переместился в точку B. В мгновение t₁=t + ∆t точка А уже не является мгновенным центром скоростей и имеет скорость υ_A = ω∙AB, направленную перпендикулярно к АВ. Если промежуток времени Δt мал, то скорость, приобретенная точкой А к моменту t+Δt, тоже должна быть мала, потому что скорости точек фигуры не могут изменяться скачками. При ∆t, стремящемся к нулю, скорость υ точки А тоже стремится к нулю, а так как угловая скорость ω фигуры нулю не равна, то, следовательно, к нулю стремится АВ, т. е. мгновенный центр скоростей во время движения фигуры перемещается непрерывно. Если мы отметим все точки фигуры, которые были или будут мгновенными центрами скоростей, то получим некоторую непрерывную кривую.

Положения мгновенных центров скоростей можно отметить и на подвижной плоскости х’Еу’, неизменно связанной с фигурой, и на неподвижной плоскости хОу. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на подвижной плоскости называют подвижной центроидой. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости (мгновенных центров вращений) называют неподвижной центроидой. В рассмотренном выше примере качения колеса по рельсу подвижной центроидой является обод колеса, а неподвижной центроидой—рельс.

Покажем, что при всяком плоском движении подвижная ueπτpo∙ ида катится без скольжения по неподвижной.

Предположим, что кроме точек фигуры имеется одна геометрическая точка, назовем ее следящей точкой, которая не принадлежит этой плоской фигуре и движется относительно нее, совпадая в каждое мгновение с мгновенным центром скоростей. Скорость следящей точки в ее движении по центроиде называют сменной скоростью мгновенного центра скоростей. Следовательно, подсменной скоростью мгновенного центра скоростей понимают ту скорость, с которой передается от мгновенного центра скоростей смежной по центроиде точке основное его свойство—иметь в данное мгновение скорость, равную нулю.

Во время движения фигуры следящая точка перемещается и относительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсолютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по подвижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая E₁E₁—подвижную. Предположим, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей пересекаются.

Рис. 148

В таком случае вектор абсолютной сменной скорости должен быть направлен по касательной к неподвижной центроиде, а вектор относительной сменной скорости по касательной к подвижной центроиде. По закону параллелограмма скоростей

Переносной скоростью называют абсолютную скорость той точки среды (в данном случае фигуры), с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка. В данном случае переносная скорость следящей точки есть скорость мгновенного центра скоростей. Следовательно

Мы доказали, что сменная скорость следящей точки по неподвижной центроиде геометрически равна ее сменной скорости по подвижной центроиде. Это означает, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей имеют общую касательную, т. е. не пересекаются, а лишь соприкасаются в этой точке. Наше предположение о пересечении центроид оказалось неправильным и рис. 148, а должен быть заменен рисунком 148, б. Из равенства абсолютной и относительной сменных скоростей следует, что за одни и те же промежутки времени следящая точка передвигается по подвижной и неподвижной центроидам на одинаковые расстояния, т. е., что при движении плоской фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.

Задача №10

Эллипсограф (рис. 149) состоит из линейки AB длиной l, ползуны А и В которой скользят в пазах крестовины. При движении линейки точки ее описывают эллипсы. Указать другой механизм, в котором отрезок AB=l совершает точно такое же движение.

Рис. 149

Решение. Движение линейки AB плоское, а следовательно, оно может быть осуществлено качением подвижной центроиды по неподвижной. Примем прорези крестовины за оси основной системы координат хОу. Подвижную систему координат х’Еу’ свяжем с линейкой, взяв за начало ее середину Е. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к скоростям точек А и В (см. задачу № 89), и, как видно из чертежа, находится на расстоянии OE_мцс= Z от точки О и на расстоянии от середины линейки, причем эти расстояния сохраняются при всяком положении линейки. Следовательно, подвижная центроида, т. е. геометрическое место Emuc относительно подвижной системы х’Еу’, есть окружность

радиуса с центром в Е, а геометрическое место Е_мцсотносительно основной системы хОу есть окружность

х² +y²=l²

радиуса I с центром в О.

Если мы сделаем две зубчатые шестерни с внутренним зацеплением радиусов l и и заставим меньшую из них бегать внутри неподвижной большей, то ее диаметр будет совершать такое же движение, какое совершает линейка AB эллипсографа. Такой механизм называют кругами Лагира. На этом примере читатель убедится, как знание теории может помочь при конструировании машин.

Ответ. Круги Лагира.

Заказать решение задач по теоретической механике

Скорости точек плоской фигуры можно определить графически планом скоростей

План скоростей. На рисунке 150, а изображена фигура, находящаяся в плоском движении и скорости υ_А и υ_В двух ее произвольных точек А и В. Напомним, что проекции скоростей этих точек на прямую AB равны между собой. От какой-либо точки О, не принадлежащей этой фигуре (рис. 150, б), отложим направленные отрезки и , проведем прямую, параллельную отрезку AB и спроецируем их на эту прямую. По основной теореме кинематики твердого тела в треугольнике Oab сторона ab перпендикулярна направлению АВ. Воспользуемся этим обстоятельством для графического построения, называемого планом скоростей и позволяющего определить скорости всех точек фигуры, если известна скорость одной точки А (рис. 150, в), и хотя бы только направление скорости другой точки В.

Построим план скоростей (рис. 150, г), приняв произвольную точку О за полюс плана скоростей, т. е. за центр плоского пучка абсолютных скоростей точек фигуры. Отложим от полюса луч Oa, равный в некотором масштабе скорости , проведем через полюс прямую, параллельную направлению скорости точки В, а из точки а до пересечения с ней —отрезок ab перпендикулярно направлению АВ, проведенному на фигуре (см. рис. 150, в). Направленный отрезок Ob изображает в том же масштабе вектор скорости точки В.

Пусть скорость точки К фигуры не известна ни по величине, ни по направлению. Соединим точку К с точками A и B фигуры, скорости которых известны (см. рис. 150, в). На плане скоростей (см. рис. 150, г) проведем от точки а линию, перпендикулярную направлению AK на фигуре. По только что доказанному, конец направленного отрезка Ok, изображающего скорость точки К, должен лежать на этом перпендикуляре.
Проведем от точки b плана скоростей прямую, перпендикулярную направлению BK на фигуре, и повторим наши рассуждения: конец направленного отрезка Ok должен лежать и на этом перпендикуляре.

Рис. 150

Следовательно, точка k плана скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек а и b к направлениям AK и BK, а отрезок Ok плана скоростей изображает скорость точки К фигуры.
Отсюда можно вывести следующий графический метод определения скоростей точек фигуры при плоском движении (см. рис. 150, в, г).
Если известна скорость одной точки А фигуры и направление скорости другой точки В, то для определения скорости всякой точки К фигуры надо:

1) от произвольной точки О (полюса плана скоростей) отложить направленный отрезок Oa, изображающий скорости точки А;
2) через полюс О провести направление, параллельное направлению скорости точки В;
3) от точки а плана скоростей провести прямую, перпендикулярную отрезку АВ, соединяющему точки Л и В фигуры, до пересечения в точке b с указанным в п. 2 направлением. Отрезок Ob изобразит скорость точки В;
4) от точки а плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку AK на фигуре, а от точки b плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку BK на фигуре до их пересечения в точке k. Отрезок Ok изобразит скорость точки К;
5) многоугольник abk … плана скоростей подобен многоугольнику A, B, K … фигуры и повернут относительно него на 90°, так как стороны их взаимно перпендикулярны.

Поскольку отрезки Oa, Ob, Ok, …, соединяющие полюс 0 с вершинами a, b, k, … плана скоростей, изображают абсолютные скорости точек А, В, К, • • •, очевидно, что отрезки ab, ak, bk, … изображают в том же масштабе относительные скорости этих точек.

Таким образом, план скоростей плоской фигуры представляет собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек плоской фигуры, а отрезки, соединяющие концы лучей,—относительные скорости соответствующих точек. План скоростей можно построить не только для неизменяемой фигуры, но и для целого механизма, как это показано при решении задачи № 93.

Задача №11

Определить скорости точек А, В и D механизма, изображенного на рис. 151, а, в положении φ = 30^o и при следующих данных: ω = 20 сек^-1, OA = 50 мм, OC=200 мм, АВ=250 мv, BD = 200 мм.

Рис. 151

Решение. Прежде чем строить план скоростей, нужно точно в масштабе построить план механизма при заданном положении. От точки О’ (рис. 151, б) откладываем перпендикулярно к OA в масштабе отрезок O’a=υ_А-= 20^.50=1000 мм/сек. На нашем рисунке принят масштаб: 1000 мм/сек = 25 мм. Скорость точки звена АВ, совпадающей при данном положении механизма с точкой С, направлена по АВ. Поэтому от полюса О’ отложим параллельно AB на правление этой скорости, а от точки а проведем перпендикуляр к этому направлению. В пересечении получим точку с. Отрезок acb плана скоростей подобен отрезку ACB механизма. Точку b плана находим по подобию, сохраняя те же пропорции.

Проводим от точки а направление перпендикулярно к AD, а от точки b — направление перпендикулярно к BD и в пересечении находим точку d.

Полученная на плане фигура acbd подобна фигуре ACBD механизма. Скорости точек механизма по величине и направлению изображаются отрезками, соединяющими полюс плана О’ с соответствующими точками плана скоростей.

Ответ. υ_А =1000 мм/сек, y_В = 450 мм/ сек, у_D= 1040 мм/сек.

Задача №12

Скорость топки А фигуры, движущейся в своей плоскости, изображена в заданном масштабе вектором υ_А (рис. 152, а). Указано направление скорости точки В. Определить графически скорости точек В и С.

Решение. Задачу решим тремя способами. Все эти три способа графические и результат зависит от точности выполнения чертежей.

1-й способ (по основной теореме кинематики твердого тела). Проведем прямую AB через точки А и В (рис. 152, б) и спроецируем на нее вектор скорости υ_А. От точки В по этой прямой отложим отрезок, равный проекции на нее υ_А и от конца этого отрезка восставим перпендикуляр до пересечения с направлением скорости точки В. Вектор скорости точки В определен.

Проведем прямую через точку А и С. Спроецируем на нее υ_A, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции, и от конца его восставим перпендикуляр к АС. Проведем прямую через точки В и С, спроецируем на нее υ_B, отложим от точки C отрезок, равный этой проекции и от его конца восставим перпендикуляр к ВС. Проводим вектор υ_C от точки C до пересечения перпендикуляров.

2-й способ (по плану скоростей) . От произвольной точки О отложим направленный отрезок Oa-υ_А (рис. 152, в). От той же точки О проведем прямую, параллельную вектору скорости точки В До пересечения с этой прямой в какой-то точке b проведем от точки а отрезок ab перпендикулярно АВ. Вектор скорости точки В представлен отрезком Ob.
От точки а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а от точки b, перпендикулярную ВС. Эти прямые пересекутся в какой-то точке с. Отрезок Oc по величине и направлению представляет скорость точки С.

3-й способ (по мгновенному центру скоростей). От точек A и В восставим перпендикуляры к направлениям скоростей до нх пересечения в мгновенном центре скоростей E_мцс .Соединим E_мцс с концом а вектора υ_А. Тангенс угла δ между отрезками Emuc Л и E_мцс а, соединяющими Emuc с началом Лис концом а вектора скорости какой-либо точки A фигуры, равен в принятом масштабе угловой скорости фигуры:

Проведя отрезок E_мцс b под углом δ к отрезку E_мцс В до Пересечения с заданным направлением вектора скорости υ_B, определим скорость.

Для определения скорости всякой точки C фигуры надо провести отрезок E_мцсC и под углом δ к нему отрезок E_мцсс до пересечения в точке с с перпендикуляром, восставленным в точке C к отрезку E_мцсC. Вектор скорости .

Ускорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюса

Ускорение точек фигуры при плоском движении*. Чтобы определить ускорение точки К плоской фигуры, надо продифференцировать равенства (114), выражающие скорость этой точки. Введем обозначения: х₁= х—х_Е и y₁= y—у_Fи перепишем эти равенства в следующем виде:

Дифференцируя, имеем

По формулам Эйлера (см. 89)

Подставляя, находим
(119)

В правых частях этих равенств согласно (95) вторые члены выражают проекции касательного, а третьи —проекции центростремительного ускорения точки К во вращательном движении фигуры относительно полюса Е. Они отличаются от известных нам равенств (95) только тем, что в данном случае ось вращения проходит не через начало координат О, а через полюс E (рис. 153).

Рис. 153

Эти равенства показывают, что проекции на какую-либо неподвижную ось ускорения каждой точки К фигуры равны алгебраической сумме проекций на эту ось трех его составляющих: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращении фигуры вокруг полюса E и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры.

Если вместо алгебраической суммы проекций мы пожелаем взять геометрическую сумму ускорений, то вектор ускорения точки K мы определим как сумму трех векторов: ускорения полюса Е, касательного ускорения точки К во вращательном движении фигуры вокруг полюса и центростремительного ускорения точки K в том же движении фигуры, т. е.

(104^//)

где, обозначив через r₁ расстояние данной точки от полюса Е, имеем

Задача №13

Электропоезд при отходе со станции движется по прямолинейному участку пути с ускорением 3 м/сек², причем колеса катятся без буксования и без скольжения. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса через 2 сек после отхода поезда, если радиус колеса 0,5 м.

Решение. Мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса в точке касания его с рельсом. Движение колеса рассмотрим как составное, состоящее из переносного (поступательного и прямолинейного) движения вместе с центром E колеса и относительного вращательного вокруг оси колеса (рис. 154).

Рис. 154

Скорость поезда, а следовательно, и скорость точки E через 2 сек при равноускоренном движении равна υ-a-rt = 6 м/сек.
Деля эту величину на расстояние точки E от мгновенного центра скоростей E_мцс, находим угловую скорость колеса в конце второй секунды:

Определим также угловое ускорение колеса:

Теперь мы располагаем всеми данными для определения ускорения точек колеса по формуле (104»). Ускорение мгновенного центра скоростей, как и всякой точки колеса, выражено суммой трех составляющих: 1) переносного ускорения ае, равного ускорению полюса Е, но приложенного в данной точке E_мцс (величина ускорения задана 3 м/сек²; если поезд движется влево, то и ускорение направлено горизонтально влево, см. рис. 154); 2) касательного ускорения точки при вращении колеса вокруг центра Е; эта составляющая равна εr = 6^.0,5 =3 м/сек². Если поезд движется влево, то колеcа вращаются против вращения часовой стрелки и эта составляющая ускорения в нижней точке колеса направлена вправо по касательной; 3) центростремительного ускорения, равного ω²r= 144^.0,5 = 72 м/сек² и направленного к центру колеса.

Направления этих двух составляющих у всех точек обода колеса различны. В наинизшей точке абсолютное ускорение найдем, складывая три его составляющие. Оно равно 72 м/сек² и направлено вверх. Абсолютная скорость мгновенного центра скоростей в данное мгновение равна нулю, абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей нулю не равно.
Ответ. а = 72 м/сек² и направлено вверх.

Обратим внимание на то, что точка фигуры (в данном случае колеса), в которой находится мгновенный центр скоростей, не имеет скорости (υ_мцс =0), но имеет ускорение (α_мцс≠0). Через весьма малый промежуток времени Δt эта же точка фигуры будет иметь некоторую скорость Δυ = α_мцсΔt, перпендикулярную к прямой, соединяющей ее с новым положением мгновенного центра скоростей, т. е. перпендикулярную к общей касательной к центроидам. То же направление всегда имеет и α_мцс.

Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры

Мгновенный центр ускорений при плоском движении

Итак, ускорения точек фигуры складываются из переносного ускорения в поступательном движении вместе с полюсом E и из относительного ускорения во вращательном движении вокруг полюса Е. В поступательном движении ускорения всех точек фигуры одинаковы и равны ускорению полюса Е. Во вращательном движении ускорения всех точек фигуры различны между собой. Если фигура в данное мгновение имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε, то ускорение какой-либо точки K, принадлежащей этой фигуре, по модулю равно:

и составляет с отрезком ЕK угол μ, тангенс которого

Таким образом, различные точки К фигуры имеют при вращении фигуры различные по величине и по направлению ускорения. На всей фигуре нет двух точек с одинаковыми векторами ускорений.

Вместе с тем на самой фигуре или на плоскости, вращающейся вместе с нею, во всякое мгновение есть одна точка, имеющая любой, наперед заданный нами, вектор ускорения a_r. В частности, всегда можно найти на плоскости фигуры такую точку, у которой в данное мгновение вектор ускорения в относительном вращательном движении равен и противоположен вектору ускорения в переносном поступательном движении, а следовательно, абсолютное ускорение этой точки равно нулю. Ее называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Мы будем приписывать ей индекс мцу.

Рис. 155

Чтобы определить положение мгновенного центра усорений Е_мцуна плоскости фигуры, отложим (рис. 155, а) от полюса E (за полюс может быть принята любая точка фигуры) отрезок EE_мцу определенной длины:

Пусть этот отрезок составляет с ускорением полюса E угол

Угол μ лежит в пределах между —90° и +90^o. Конечно, если ε > 0, то угол μ надо отмерять в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, если же ε < 0, то по ходу. Покажем, что конец этого отрезка (точка E_мцу) является мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Действительно, относительное и переносное ускорения этой точки равны по модулю

и, как видно из чертежа, противоположны по направлению. Следовательно, абсолютное ускорение найденной нами точки в данное мгновение равно нулю:

α_мцу = 0 (120)

Этим простым построением можно найти Е_мцу всякой фигуры, движущейся в своей плоскости.

Ускорения точек плоской фигуры относительно мгновенного центра ускорений являются абсолютными ускорениями

Рассмотрим движение плоской фигуры как составное, приняв за полюс мгновенный центр ускорений плоской фигуры. Тогда в правой части формулы 104′ (см. стр. 195), выражающей абсолютное ускорение произвольной точки К фигуры как сумму ее относительного и переносного ускорений, отпадет второе слагаемое (ускорение полюса) и величина абсолютного ускорения всякой точки фигуры выразится простой формулой:

где

или

(121)

Направление абсолютного ускорения каждой точки К этой фигуры составляет с отрезком прямой КЕмцу, соединяющим ее с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол μ, определяемый по тангенсу

(121^/)

Следовательно, картина распределения ускорений на время dt такова, как будто бы фигура вращается в своей плоскости вокруг Емцу с угловой скоростью ω и с угловым ускорением ε. Это не относится к их нормальным и касательным составляющим, как показано в задаче № 97.

В виду того, что угол μ между абсолютным ускорением точки фигуры и отрезком, соединяющим эту точку с Е_мцу, для всех точек фигуры один и тот же, надо сделать заключение, что Е_мцу находится на пересечении прямых, проведенных под углом к ускорениям точек фигуры (рис. 155, б). Если известны ускорения двух точек фигуры и угол μ, то надо от этих точек под углом μ к их ускорениям провести прямые до их пересечения в точке Е_мцу. В задаче № 96 дан аналитический способ определения Е_мцу.

Задача №14

Определить координаты мгновенного центра ускорений плоской фигуры, если известны ее угловая скорость, угловое ускорение, а также координаты х_Е и у_Е и проекции ускорений а_Ех и а_Еу одной из точек E этой фигуры.

Решение. Проекции ускорений каждой точки К связаны с координатами x_l = x—х_Е и у₁=у — у_Е. этой точки соотношениями 119 (см стр. 235). Ускорение мгновенного центра ускорений равно нулю, поэтому, заменяя в 119 х и у на х_мцу и Умиу и подставляя нули вместо а_х и а_у, получим:

Умножая первое из этих равенств на ω², а второе на —ε и складывая, найдем х_мцу, а умножая первое равенство на +ε, а второе на ω² и складывая, найдем ординату.

Ответ.

Задача №15

В планетарном механизме шестеренка радиуса R =100 мм (рис. 156, а) катится против хода часовой стрелки по неподвижной шестеренке радиуса R₁ = 480 мм , имея в данное мгновение угловую скорость ω = 2ceκ^-1 и угловое ускорение ε= 1,655 ceκ^-2. Найти построением мгновенный центр ускорений, его координаты (по формулам, выведенным в задаче № 96), найти полное, нормальное и касательное ускорения центра шестеренки О, мгновенного центра скоростей E_мцс и диаметрально противоположной точки А. Определить абсолютное нормальное и абсолютное касательное ускорения точки А.

Решение. Мгновенный центр скоростей находится в точке E_мцс касания шестерен. Окружность подвижной шестерни является подвижной центроидой, а окружность неподвижной шестерни —неподвижной центроидой Построим оси координат с началом в E_мцс, направив ось абсцисс влево, т. е. в ту сторону, куда передвигается точка касания центроид при качении подвижной центроиды по неподвижной. Ось ординат направим вниз (правая система).

Скорость центра О подвижной шестеренки определим по угловой скорости фигуры и по расстоянию точки О от мгновенного центра скоростей

Определим касательное ускорение точки О:

Точка О описывает окружность радиуса R+ R₁= 100 + 480 = 580 мм и вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности, описываемой точкой О. Величину нормального ускорения определим, поделив квадрат скорости точки О на радиус описываемой ею окружности

направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.

Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, построенного на этих составляющих и по модулю равен:

Зная ω, ε и ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сначала по схеме (110′), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновенного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).

Рис. 156

Полное абсолютное ускорение точки E_мцс равно геометрической сумме составляющих. Относительное касательное ускорение равно по величине и противоположно по направлению переносному касательному, их сумма равна нулю. Относительное нормальное направлено по одной прямой, но в противоположную сторону с переносным нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение точки E_мцс по величине равно

и направлено к точке О, т. е. по оси ординат в отрицательную сторону. Следовательно:

Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.

Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол μ:

По таблицам определяем

Повернув вектор ускорения а_мцу на этот угол против хода часовой стрелки (потому что в > 0), отложим в найденном направлении отрезок (рис. 156, а)

Конец E_мцу этого отрезка является мгновенным центром ускорений подвижной шестеренки в данное мгновение. Координаты этой точки в выбранной нами системе отсчета можно определить непосредственно по чертежу или же подсчитать по общим формулам, полученным при решении предыдущей задачи № 96,

Теперь для определения ускорения точки А надо знать только ее расстояние от E_мцу. Это расстояние легко определить по формуле аналитической геометрии или по теореме косинуса:

Извлекая корень, находим

Остается лишь подсчитать по формулам относительное нормальное ускорение

и отложить его от точки А по направлению к E_мцу, затем подсчитать относительное касательное ускорение

и отложить его перпендикулярно к E_мцу, сообразуясь со знаком. Полное относительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непосредственно подсчитать по формуле

и отложить вектор под углом μ (в нашей задаче +22^o30^,) к отрезку AE_мцу.

Движение плоской фигуры мы рассматривали как составное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг полюса, приняв за полюс мгновенный центр ускорений. При таком условии переносное ускорение и ускорение Кориолиса равны нулю и в схеме (110′) остается только одна ее часть. Полное относительное ускорение становится тождественным полному абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное нормальное ускорение и абсолютное касательное ускорение точки, мы должны спроецировать это полное ускорение точки на прямую, соединяющую эту точку с мгновенным центром скоростей (а не ускорений), и на прямую, ей перпендикулярную, т. е. надо спроецировать ускорение на главную нормаль к абсолютной траектории точки и на направление абсолютной скорости. Схема (ПО’) принимает вид:

Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала по теореме синусов угол между направлениями на E_мцс и E_мцy ν=12^o45′ и затем

Приняв E_мцy за полюс, мы достигли того, что абсолютное ускорение всякой точки фигуры стало равно ее относительному ycκopeнию. Но мы должны помнить, что нормальная и касательная составляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное движения точек. Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О в абсолютном движении описывает окружность радиусом R + R_{1 =}580 мм с центром в точке O₁, а в относительном движении движется вокруг E_мцy по дуге радиуса ОE_мцy, точка А в абсолютном движении описывает гипоциклоиду, а в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром E_мцy.

Понятия о мгновенном центре скоростей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но связанные с ними картины распределения скоростей и ускорений не отображают полностью реальное движение фигуры. Это происходит потому, что вводя эти понятия мы рассматривали движение лишь в данное мгновение, при данном положении тела, т. е. пытались рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования— времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.

План ускорений

Решение задач на тему: ускорение.

Задача №16

Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгновенного центра ускорений E_мцy и вектор ускорения одной точки А фигуры. Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отрезок АВ, точка E_мцy и вектор a_A.

Рис. 157

Решение. Проведя прямую АE_мцy, мы получим угол μ, который составляет ускорения всех точек фигуры с прямыми, соединяющими эти точки с E_мцy. Под таким же углом μ должен быть наклонен искомый вектор a_Вк отрезку ВE_мцy. Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем вектор a_A на угол μ до его совпадения с отрезком AE_мцy, когда конец повернутого вектора будет в точке A₁. Из точки А, параллельно AB проведем прямую A₁B₁ до пересечения в точке B₁ с BE_мцy. Из подобия треугольников ABE_мцy и A₁В₁Е_мцy заключаем, что отрезок BB₁ представляет модуль ускорения точки В а_В= BE_мцy в том же масштабе, в котором отрезок AA₁ выражает модуль ускорения а_А = AE_мцy. Для получения вектора ускорения точки В остается лишь повернуть отрезок BB₁ на угол μ.

Примечание. Метод, примененный при решении этой задачи, является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положение Е_мцу. Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном положении Е_мцу, лишь бы были известны ускорения двух точек фигуры, или ускорение одной точки, направление ускорения другой точки и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка АВ. Для этого отложим от Е_мцу направленные отрезки

Соединив точки а и b, мы получим треугольник ABE_мцу заштрихованный на чертеже и подобный треугольнику ABE_мцу. Действительно оба треугольника имеют по равному углу (AE_мцуB = aE_мцуb)> заключенному между пропорциональными сторонами, причем треугольник abE_мцу повернут относительно треугольника ABE_мцу на угол 180^o-μ. Заштрихованный треугольник называют планом ускорений фигуры, неизменно связанной с отрезком АВ. Существует определенное взаимное соответствие между фигурой и ее планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какие-либо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне определенный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относительно него на угол 180°—μ.

Заметим, что наше построение не нарушится, если при построении заштрихованного треугольника мы возьмем вершину не в E_мцу, а в любой точке е неподвижной плоскости. Точку е называют полюсом плана ускорений. Применение плана ускорений к определению ускорений точек фигуры показано в задаче № 99.

Задача №17

Фигура (рис. 158) движется в своей плоскости. По заданным ускорениям точек А и В определить ускорения точек D и С.

Рис. 158

Решение. От произвольной точки е вне фигуры откладываем направленные отрезки и . Проводим отрезок ab и от его концов две прямые: от точки а проводим прямую под углом BAD, а от точки b под углом ABD до их пересечения в точке d. Для определения положения точки с плана ускорений надо провести до их пересечения какие-либо две из трех следующих прямых: 1) от точки а прямой ab под углом ВАС, 2) от b прямой ab под углом ABC или 3) от точки d прямой ad под углом ADC. Эти прямые пересекаются в точке с плана ускорений. Направленные отрезки еа, eb, ес и ed представляют векторы абсолютных ускорений точек А, В, C и D, а отрезки ab, bс и т. д. соответствующие относительные ускорения этих точек. Для получения ускорения всякой точки фигуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного ускорения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).

Понятие об общем случае движения твердого тела

Движение свободного тела состоит из поступательного и сферического движений

Уравнение движения свободного тела

В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.

Движение свободного твердого тела может быть описано шестью

Рис. 159

уравнениями: тремя уравнениями (78) поступательного движения и тремя уравнениями (96) сферического движения:

x_E=x(t), y_E=y(t), z_E=z (t), ψ = ψ (t), φ = φ(t), = (t) (122)

Во всякое мгновение мы представляем движение тела как поступательное с некоторой скоростью (рис. 159, а) и вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью.

Поступательное движение тела со скоростью υ_E в свою очередь разложим на два поступательных движения, одно из которых происходит со скоростью υ_E1, направленной по мгновенной оси вращения, а другое —со скоростью υ_E2, направленной перпендикулярно ω.

Эту скорость υ_E2 поступательного движения мы представим как пару угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен υ_E2, а плечо . Тогда (рис. 159, в) одна из двух ω, составляющих эту пару, уравновесится с угловой скоростью, направленной по мгновенной оси вращения, проходящей через полюс E, и останется лишь вращение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии h. Кроме того, останется поступательное движение тела со скоростью υ_E1, происходящее в направлении вектора угловой скорости (рис. 159, г).

Следовательно, картина распределения скоростей твердого тела в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгновение вокруг некоторой оси и одновременно скользит вдоль нее. Эту ось называют мгновенной осью вращения—скольжения, или мгновенной винтовой осью.

Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле вполне аналогична динамическому винту (см. § 15), выражающему общий случай приведения системы сил, приложенной к твердому телу.
Движение свободного тела мы разложили. на поступательное движение, определяемое движением произвольной точки Е, принятой за полюс, и сферическое движение вокруг полюса E и представили уравнениями движения (122).

Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела мы получим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.

Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела..

Мгновенный центр скоростей
Мгновенный центр ускорений
Мгновенный центр вращения
Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
Трение
Пространственная система сил
Центр тяжести
Кинематика точки

Источник

Лекция 6

Краткое содержание: Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное и вращательное движения. Угловая скорость и угловое ускорение при плоском движении. Скорости точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей. Методы нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

Если в теле провести некоторую прямую О₁О₂, перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

1). Известен вектор скорости какой -либо точки A плоской фигуры и ее угловая скорость .
МЦС (точка P) находится на перпендикуляре к вектору , проведенном через точку A. Расстояние и откладывается в сторону, которую указывает вектор после поворота на угол в направлении дуговой стрелки . При этом получается, что скорость ()
2). Известны не параллельные друг другу скорости и двух точек плоской фигуры.
МЦС (точка P) находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точки A и B к скоростям этих точек. Угловая скорость плоской фигуры равна . Отметим, что для нахождения только положения МЦС достаточно знать лишь направления скоростей двух точек .
3). Известны параллельные друг другу скорости и точек A и B плоской фигуры, перпендикулярные отрезку AB, направленные в одну сторону и не равные по модулю ().
МЦС (точка P) находится в точке пересечения продолжения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов и . При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и B определяются из пропорции . Угловая скорость фигуры . Случай равенства () см. п. 6.

4). Известны параллельные друг другу скорости и точек A и B плоской фигуры, перпендикулярные отрезку AB, направленные в разные стороны.
МЦС (точка P) находится в точке пересечения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов и . При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и B определяются из пропорции: . Угловая скорость фигуры .
5). Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой.
МЦС (точка P) находится в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорости точек фигуры и неподвижной кривой, находящиеся в соприкосновении, равны между собой и, следовательно, равны нулю. Если известна скорость какой-либо точки A фигуры, то угловая скорость .
В лекции «Учет основных средств» также много полезной информации. 6). Известно, что скорости и двух точек плоской фигуры параллельны друг другу и не перпендикулярны отрезку AB.
МЦС в данный момент времени не существует или, другими словами, находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный момент равна нулю. Движение фигуры называется мгновенно-поступательным. Скорости всех точек фигуры равны . Аналогичный результат показан в п. 4.

Плоское движение тела

Определение скоростей точек тела

Уравнения плоского движения

Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей

Определение положения мгновенного центра скоростей

Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Решение задачи графоаналитическим способом

Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей

Определение ускорений точек тела

Ускорения точек плоской фигуры

Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

План скоростей

Порядок решения задач на тему: План скоростей

Примеры решения задач на тему: План скоростей

План ускорений

Примеры решения задач на тему: План ускорений

23/ Мгновенный центр скоростей

2 4/ Ускорение точек тела при плоском движении

Уравнения плоского движения твердого тела

Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении

Скорости точек тела при плоском движении

Пример 1.

Разложение плоского движения на поступательное и вращательное

Плоское движение и его уравнение

Задача №1

Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Скорость точки фигуры в плоском составном движении

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Задача №8

Задача №9

Задача №10

Скорости точек плоской фигуры можно определить графически планом скоростей

Задача №11

Задача №12

Задача №13

Мгновенный центр ускорений при плоском движении

Задача №14

Задача №15

План ускорений

Задача №16

Задача №17

Понятие об общем случае движения твердого тела

Уравнение движения свободного тела

Рекомендуемые материалы

Не пропустите также: