Как найти скорость куба

Подсказка: 1) Расставим силы действующие на куб и груз. На куб, в направлении движения, действует сила натяжения нити. А на груз, кроме силы тяжести, действует сила упругости нити (натяжения нити). По второму закону Ньютона — результирующая сила сообщает телам ускорение.

2) Груз находится на высоте H, это позволит нам определить время его движения (зная ускорение), столько же времени (до удара) движется и куб.

3) И последнее, если куб сместится по горизонтали на некоторое расстояние, то груз сместится на то же расстояние вниз, следовательно, горизонтальное ускорение куба равно вертикальному ускорению груза.

Успехов в решении задачи. Опубликуйте решение.

2018-11-09   

На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит куб, опираясь на плоскость одним из ребер. Угол между гранью куба и горизонтальной плоскостью составляет $45^{ circ}$. Такое положение куба явно неустойчиво, и от самого слабого толчка куб переворачивается. Найти угловую скорость куба в момент» когда его боковая грань ударяется о горизонтальную плоскость. Ребро куба равно $a$, масса — $m$.

Решение:

На куб действуют следующие внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры, обе направленные по вертикали. В горизонтальном направлении па куб не действуют никакие силы, а значит, горизонтальная составляющая импульса центра куба должна быть постоянной во времени. Поскольку эта составляющая в начальный момент была равна нулю, она остается равной нулю все время. Это означает, что центр куба будет перемещаться только в вертикальном направлении. Искомую угловую скорость $omega$ определим из условия

$frac{1}{2}mv^{2} + frac{1}{2} I omega (конечная, кинетическая quad энергия quad (начальнаяquad былаquad равна quadнулю)) = mg frac{a}{2} ( sqrt{2} — 1) (разность quad начальной quad и конечной quad потенциальной quad энергии) $, (1)

где $v$ — скорость центра масс куба, $I$ — момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, $omega$ — угловая скорость к>ба относительно той же оси в конечный момент.

Чтобы определить угловую скорость $omega$, следует сначала установить зависимость между $v$ и $omega$ в конечный момент и найти соответствующее выражение для $I$.

Линейная скорость ребра, скользящего по горизонтальной поверхности, в системе отсчета, которая движется вертикально вместе с центром куба, равна произведению $omega$ на половину диагонали квадрата, являющегося боковой гранью куба:

$v_{1} = omega frac{1}{2} a sqrt{2}$.

В конечный момент скорость $v_{1}$ направлена под углом $45^{ circ}$ к горизонтали. Вертикальная составляющая $v^{ prime}$ скорости $v$ равна при этом

$v^{ prime} = frac{1}{2} sqrt{2} v_{1} = frac{1}{2} omega a$.

Очевидно, такое же значение имеет скорость $v$:

$v = frac{1}{2} omega a$.

Определим теперь момент инерции $I$. Ясно, что момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, равен по величине моменту инерции тонкой квадратной пластины (масса которой равна массе куба и сторона равна ребру куба) относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через ее середину.

Мысленно поделим пластину на очень малые элементы массой $m_{i}$. Согласно рис., имеем

$I = sum_{i} m_{i}r_{i}^{2} = sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) = sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} + sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$.

Из соображений симметрии

$sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$. Значит, $I = 2 sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$.

Отметим, что $sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$ означает момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с осью у. Этот момент, очевидно, равен моменту инерции стержня (масса которого равна массе пластины, а длина равна ее стороне) относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярной к нему. Момент инерции стержня равен $ma^{2}/12$, поэтому

$I = 2 frac{1}{12} ma^{2} = frac{1}{6} ma^{2}$,

Это равенство можно получить также на основании теоремы Штейнера и анализа размерностей. Момент инерции тела равен

$I = sum_{i} m_{i}r_{i}^{2}$.

Если массу каждого элемента увеличим в $k$ раз, то момент увеличится в $k$ раз. Следовательно, можно записать $I sim m$.

Аналогично если размер каждого элемента $r_{i}$ увеличить в $l$ раз, то момент инерции $I$ возрастет в $l^{2}$ раз, а все линейные размеры пластины увеличатся пропорционально $l$. Значит, $I sim a^{2}$.

Обобщая эти две зависимости, получим

$I sim alpha ma^{2}$. (2)

Величина $ma^{2}$ имеет размерность момента инерции, поэтому коэффициент пропорциональности $alpha$ должен быть безразмерным, ибо единственными параметрами, характеризующими механические свойства пластины, являются $m$ и $a$.

Поделим теперь пластину на четыре части, как показано на рис. Момент инерции каждой из четырех частей относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости рисунка, обозначим через $I_{1}$. Тогда

$I = 4I_{1}$, но по теореме Штейнера $I_{1} = I^{ prime} + frac{m}{4} d^{2}$,

где $I^{ prime}$ — момент инерции каждой из четырех частей относительно собственного центра. Согласно уравнению (2),

$I^{ prime} = alpha frac{m}{4} left ( frac{a}{2} right )^{2}$,

откуда

$alpha ma^{2} = 4 left [ alpha frac{m}{4} left ( frac{a}{2} right )^{2} + frac{m}{4} left ( frac{ sqrt{2} }{4} right )^{2} a^{2} right ]$.

Тогда $alpha = 1/6$, а2

$I = frac{1}{6} ma^{2}$.

Подставляя в уравнение (1) зависимость $v$ от $omega$, а также полученное выражение для $I$, найдем

$omega = sqrt{ frac{12g}{5a} ( sqrt{2} — 1 )}$.

Кубы (кубики) – это сленговое название единиц измерения рабочего объема мотора мотоцикла. Один кубик подразумевает один кубический сантиметр рабочего объема двигателя.

Какая скорость на 125 кубов?

Максимальная скорость Модели с мотором объемом 125 -140 см³ в среднем развивают максимальную скорость до 100 км/ч. Питбайки со 190- кубовым мотором быстрее – могут разогнаться до 120 км/ч. Мотоцикл. «Малокубатурники» с двигателем объемом 125 -150 см³ развивают скорость 100-120 км/ч.

Какая максимальная скорость у 400 кубового мотоцикла?

Максимальная скорость равняется всего 135 км/ч, поэтому данный мотоцикл подходит для спокойной, но уверенной езды. Коробка передач механическая пятиступенчатая, привод на заднее колесо выполнен через карданный вал.

Что значит Кубы?

Куба (исп. Cuba) — островное государство в Карибском море. Куба (исп. Cuba) — крупнейший остров Республики Куба.

Какая максимальная скорость у 250 кубового мотоцикла?

Максимальная скорость составляет 140 км/час.

Чем отличается 125 кубов от 140?

Собственно разница по двигателям такая: 125 — низовой трактор, 140 — ровный середнячок, 150(160) — верховой двигатель. Все логично, так как кубатура изменяется диаметром поршня, вот и получается, что у 160 кубов практически поршень равен ходу, а это максимальная мощь, а не тяга.

Какая скорость у 150 кубов?

Тогда вам идеально подойдет среднеразмерный мотороллер. Максимальная скорость 150 -кубовых скутеров составляет 85-130 км/ч, а их грузоподъемность достигает 140-160 кг.

Сколько едет мотоцикл 600 кубов?

Разгон до 100 км занимает 3 секунды, а максимальная скорость составляет 260 км/час.

Сколько едет мотоцикл 1000 кубов?

Разгон до 100 км/ч происходит за 3,1 с. Максимальная скорость мотоцикла 299 км/ч.

Сколько лошадиных сил в 1000 кубов?

Двигатель

Какой расход у 200 кубового мотоцикла?

Максимальная скорость мотоцикла 100 км/час при этом расход топлива составляет 2,4 л/100 км.

Сколько стоит мотоцикл 250 кубов?

GR2 250 Enduro LITE 21/18 (2020 г.) 185 990 руб. GR2 250 Enduro OPTIMUM 21/18 (2020 г.) 200 990 руб.

Сколько ест мотоцикл на 100 км?

Расход топлива Средний мотоцикл расходует 5—7 л топлива на 100 км. Расход изменяется в зависимости от скорости, характера дороги и стиля вождения.

Какой самый мощный мотоцикл?

Ну а из крупносерийных самый мощный мотоцикл – это, конечно же, Suzuki Hayabusa GSX1300R. Его 197 л.с. может и не так удивляют, как у двух предыдущих моделей, но этого достаточно, чтобы развить скорость до 330 км/ч.

Что дает объем двигателя на мотоцикле?

Чем больше объем одного цилиндра, тем больше обычно момент, а двигатель более заточен под тяговую езду. И наоборот, чем меньше объем одного цилиндра, тем меньше обычно крутящий момент, а двигатель более оборотистый.

Какой 600 кубовый мотоцикл лучше купить?

Дорожные байки на 600 кубов В этом случае стоит взглянуть на «классику» и 600 кубовые мотоциклы могут здесь предложить следующий выбор: Honda CBF600, а если конкретнее, то простой CB600FA и подвид «Hornet». Это достаточно сильно модифицированное и улучшенное поколение хорошо знакомой всем байкерам 90-ых «си-бихи».

Какая максимальная скорость у 110 кубов?

Объем: 110 куб. см. Макс. скорость 50 км/ч.

Сколько едет питбайк 150 кубов?

Разгоняется пит при весе 83 кг до 90 км/ч. Расход топлива по грунтовым дорогам – примерно 3 л/100 км.

Сколько сил у 125 кубов?

Техническая характеристика модели К-125М

Какая максимальная скорость у 200 кубового мотоцикла?

Сравнительная таблица характеристик разных мотоциклов

Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 5 >> Глава 3. Интегральное исчисление векторов

Поток из куба; теорема Гаусса

Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, z, ребро куба в направлении х равно Δx:, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно Δу, а в направлении z равно Δz. Мы хотим найти поток векторного поля С через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5). Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен

Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением С_х в центре грани [эту точку мы обозначили (1)], умноженным на площадь грани ΔyΔz:

Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен

Величины С_х(1) и С_х(2), вообще говоря, слегка отличаются. Если Δx достаточно мало, то можно написать

Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит (Δx)² и высшие степени Δx, и в пределе малых Δx ими запросто можно пренебречь.  Значит, поток  сквозь грань 2 равен

Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем

А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем,  что

Сумма производных в скобках как раз есть v·С, a ΔxΔyΔz=ΔV (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба

где S — произвольная  замкнутая поверхность, V — объем внутри нее.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:

Социальные комментарии Cackle