Как найти скачок функции в точке разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.

Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.

Классификация точек разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа

и слева
.

Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий

то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.

Если пределы равны, однако функция не существует

то имеем устранимый разрыв первого рода.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.

Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ

если они разные и не равны бесконечности.

При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале.
2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки.
3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.
Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.

Рассмотрим несколько задач по данной теме.

Задача 1.
Найти точки разрыва функции
а)

Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая

Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.

Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже

——————————————————-

б)

Решение:
Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя

Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева

Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.

Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.

——————————————————-

в)

Решение:
Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.

——————————————————-

Задача 2.
Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.

а)

Решение:
Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва

По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2

График функции на интервале который нас интересует приведен далее

——————————————————-

б)

Решение:
Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.

Исследуем на непрерывность вторую точку

По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.

Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.

По условию задания построим график функции.

Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.

Точки разрыва

Функция    называется непрерывной в точке  a, если она определена в этой точке и    (1)   Условие непрерывности (1) можно также записать в виде    (2)         Функция    непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Если же непрерывность функции нарушается в некоторой точке, то такая точка называется точкой разрыва. Точки разрыва можно классифицировать по величине модуля разности между односторонними пределами, который называют скачком функции при переходе через точку  a. Если этот скачок равен нулю, но функция    не определена в точке  a, то такая точка называется точкой устранимого разрыва. Например, функция    не определена в нуле, однако ее предел в этой точке существует и равен 1. Поэтому для устранения разрыва достаточно доопределить функцию    при  x = 0, исходя из соображений непрерывности:       В случае произвольной функции  , для которой точка  a  является точкой устранимого разрыва, нужно расширить область определения функции, включив в нее точку  a  и полагая       Если скачок функции в точке  a  имеет конечное значение, то эту точку называют точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке  a  равен бесконечности, если какой-либо односторонний предел равен бесконечности. В этом случае говорят о точке разрыва второго рода.

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

• Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

• Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

• Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

• Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² — 25)/(y — 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Непрерывность функции и точки разрыва

1. Приращение аргумента и приращение функции
2. Непрерывность функции в точке
3. Непрерывность функции на промежутке
4. Односторонние пределы
5. Классификация точек разрыва
6. Точки разрыва первого рода
7. Точки разрыва второго рода
8. Алгоритм исследования функции на непрерывность
9. Примеры

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

Приращением аргумента называют разность $$ triangle x= x-x_0 $$ где x — произвольное число, которое мало отличается от начальной точки (x_0). Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Например:

Пусть (y=3x-1) (x_0=1, x=1,1 ) Тогда begin{gather*} triangle x=x-x_0=0,1\ triangle y=(3x-1)-(3x_0-1)=\ =3(x-x_0 )=3triangle x=0,3 end{gather*} В данном случае приращение функции всегда в 3 три раза больше приращения аргумента. Чем меньше будет (triangle x), тем меньшим будет (triangle y). Если записать через предел: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=0 $$

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если в этой точке малому приращению аргумента (triangle x=x-x_0) соответствует малое приращение функции (triangle y=f(x)-f(x_0)): $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=lim_{xrightarrow x_0}triangle y=0 $$

На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если для любого (varepsilongt 0) существует такое (delta(varepsilon)gt 0), что для любого (x, |x-x_0|ltdelta) выполняется (|f(x)-f(x_0)|ltvarepsilon:) $$ forall varepsilongt 0 existsdelta=delta(varepsilon)gt 0: forall x, |x-x_0|ltdeltaRightarrow |f(x)-a|ltvarepsilon $$

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль (|x-x_0|) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка (x_0) входит в δ-окрестность.

Проанализируем предел приращения функции: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y= lim_{triangle xrightarrow 0}left(f(x)-f(x_0)right)= lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-lim_{triangle xrightarrow 0}f(x_0)=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0) end{gather*} т.к. (f(x_0)) — величина постоянная и от (triangle x) не зависит.
Для непрерывной функции: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y =0 Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0)=0Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что (triangle xrightarrow 0Leftrightarrow x-x_0rightarrow 0Leftrightarrow xrightarrow x_0)
получаем (lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0).)

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке: $$ lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

Функция (y=f(x)) непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.

п.4. Односторонние пределы

Односторонний предел – это предел числовой функции при приближении к предельной точке с определенной стороны (слева или справа).
Обозначение односторонних пределов: begin{gather*} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=a — text{левый предел}\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=b — text{правый предел} end{gather*}

Рассмотрим гиперболу (y=frac{1}{x-2}).

У этой гиперболы две асимптоты (y=0) и (x=2). Точка (x_0=2) не входит в область определения. Если мы будем приближаться к (x_0=2) слева, начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2}=-infty $$

Если же мы будем приближаться к (x_0=2) справа, начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2}=+infty $$ Левый и правый пределы в точке (x_0=2) для данной гиперболы не равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2} ne lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2} $$

Теперь рассмотрим параболу (y=x^2-2)
Областью определения параболы является вся числовая прямая (xinmathbb{R})

В этом случае, если приближаться к (x_0=2) слева, мы получаем: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2)=2 $$ И если приближаться (x_0=2) справа, мы тоже получаем: $$ lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2) =lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2) $$

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если одновременно выполняются следующие три условия:
1) точка (x_0) принадлежит области определения функции (xin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) равен значению функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

Точка (x_0) будет точкой разрыва для функции (y=f(x)), если выполняется хотя бы одно из условий:
1) точка (x_0) не принадлежит области определения функции (xnotin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) не равны или бесконечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) nelim_{xrightarrow x_0 +0}f(x) text{или} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=pminfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) не совпадает со значением функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0) $$

Точки разрыва	1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны	Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны (f(x_0))
Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой
2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует

п.6. Точки разрыва первого рода

Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ НО:
либо точка (x_0) НЕ принадлежит области определения функции (xnotin D);
либо предел НЕ равен значению функции в точке (x_0): (lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0))

Например:

(y=frac{x^2-4}{x-2}, x_0=2) Эта функция эквивалентна системе $$ y=frac{x^2-4}{x-2} Leftrightarrow begin{cases} y=x+2\ xne 2 end{cases} $$ При этом (lim_{xrightarrow 2-0}(x+2)=lim_{xrightarrow 2+0}(x+2)=4) В точке (x_0=2notin D) функция имеет устранимый разрыв.

Разрыв можно устранить (функцию можно «склеить»), отдельно задав «гладкое» значение в особой точке: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} $$ В таком случае система станет эквивалентна всей прямой, т.е. станет непрерывной функцией: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} Leftrightarrow y=x+2 $$

Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке (x_0) конечны, но не равны: $$ begin{cases} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=aneinfty\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=bneinfty\ ane b end{cases} $$ Такой разрыв также называют скачком.
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ triangle y=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)- lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=b-a $$

Например:

(y= begin{cases} x+1, xlt 2\ 3-x^2, xgeq 2 end{cases} , x_0=2) Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}f(x)= lim_{xrightarrow 2-0}(x+1)=3\ lim_{xrightarrow 2+0}f(x)= lim_{xrightarrow 2+0}(3-x^2)=-1 end{gather*} Пределы не равны, но конечны. Функция в точке (x_0=2) делает скачок вниз. Величина скачка: $$ triangle y=-1-3=-4 $$

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Например:

(y=e^frac1x, x_0=0) (x_0=0ne D) — точка не входит в ОДЗ Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}e^frac1x=e^{frac{1}{-0}}=e^{-infty}=0\ lim_{xrightarrow +0}e^frac1x=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен. Точка (x_0=0) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) ( y=frac{x+3}{x-1} )
ОДЗ: (x-1ne 0Rightarrow xne 1)
(x_0=1notin D) — точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x+3}{x-1}=frac{1-0+3}{1-0-1}=frac{4}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1+0}frac{x+3}{x-1}=frac{1+0+3}{1+0-1}=frac{4}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=1) — точка разрыва 2-го рода.

б) ( y=frac{x}{sqrt{x+2}-2} )
ОДЗ: ( begin{cases} x+2geq 0\ sqrt{x+2}-2ne 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ sqrt{x+2}ne 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ xne 2 end{cases} )
(x_0=-2) — левая граница ОДЗ
(x_1=2notin D)- точка не входит в ОДЗ
Точки (x_0) и (x_1) — подозрительные на разрыв

Исследуем (x_0=-2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} — text{предел не существует}\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{-2+0}{sqrt{-2+0+2}-2}=frac{-2}{-2}=1 end{gather*} Один из односторонних пределов не существует.
Точка (x_0=-2) — точка разрыва 2-го рода.

Исследуем (x_1=2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} =frac{2-0}{sqrt{2-0+2}-2}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{2+0}{sqrt{2+0+2}-2}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=2) — точка разрыва 2-го рода.

в) ( y=frac{tgx}{3x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13\ lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.

г) ( y= begin{cases} x+1, xlt 3\ x^2+3, xgeq 3 end{cases} )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
(x_0=3)- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 3-0}y=lim_{xrightarrow 3-0}(x+1)=3+1=4\ lim_{xrightarrow 3+0}y=lim_{xrightarrow 3+0}(x^2+3)=3^2+3=12 end{gather*} Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка (x_0=3) — точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: (lim_{xrightarrow 3+0}y-lim_{xrightarrow 3-0}y=12-4=8)

Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) ( y=frac{2x^3-x^2}{7x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{2x^3-x^2}{7x}=frac{x^2(2x-1)}{7x}=frac{x(2x-1)}{7}) $$ y=frac{2x^3-x^2}{7x}Leftrightarrow y= begin{cases} frac{x(2x-1)}{7}\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{x(2x-1)}{7}=0, lim_{xrightarrow +0}frac{x(2x-1)}{7}=0 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=0).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{2x^3-x^2}{7x}, xne 0\ 0, x=0 end{cases} $$ б) ( y=frac{1-cos4x}{x^2} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{1-cos4x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{frac{(2x)^2}{4}}=8left(frac{sin2x}{2x}right)^2) $$ y=frac{1-cos4x}{x^2}Leftrightarrow y= begin{cases} 8left(frac{sin2x}{2x}right)^2\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8, lim_{xrightarrow +0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=8).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{1-cos4x}{x^2}, xne 0\ 8, x=0 end{cases} $$