Как найти систему уравнений с двумя неизвестными

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).

(*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Теперь сложим уравнения.

Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения «x».

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».

Ответ: x = 1; y = 2

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

09
Окт 2015

Категория: Справочные материалы

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

2015-10-09
2019-08-08

Автор: egeMax |

комментариев 10

§ 2. Системы линейных уравнений

Решение многих задач сводится к решению систем линейных уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное числовое равенство.

Например, пара чисел `(2;3)` является решением системы уравнений

$$ left{begin{array}{l}2x+3y=13,\ x+5y=17,end{array}right.$$

а пара чисел `(1;1)` не является решением системы, т. к. эта пара не является решением каждого из уравнений системы.

Обозначим множество решений первого уравнения буквой `A`, а множество решений второго уравнения — `B`. Множество решений системы этих уравнений составляет пересечение множеств `A` и `B` (рис. 9). При этом возможны случаи, когда пересечение двух множеств является пустым (рис. 10) или совпадает с каждым из множеств `A` и `B` (рис. 11).

Графиком линейного уравнения `ax+by=c`, где `a^2+b^2>0`, является прямая. Следовательно, решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными для указанного случая сводится к нахождению на координатной плоскости общих точек двух прямых линий. А две прямые на плоскости могут:

1) пересекаться, т. е. иметь единственную общую точку;

2) быть параллельными, т. е. не иметь общих точек;

3) совпадать, т. е. иметь бесконечно много общих точек.

Значит, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными может либо иметь единственное решение, либо вообще не иметь решения, либо иметь бесконечное множество решений.

При решении систем применяют метод подстановки, метод сложения и метод введения новых переменных.

Покажем на конкретном примере, как применяется метод подстановки.

Теперь приведём пример, где применяется метод сложения.

Метод введения новых переменных позволяет упростить вид системы.

Покажем на конкретном примере, как применяется метод введения новых переменных.

Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, теперь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными.

С помощью способа сложения сводим систему трёх уравнений с тремя неизвестными к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Покажем это на примере.

При решении задач могут получаться системы уравнений с большим количеством неизвестных, их решение осуществляется аналогичным образом.

Пример:

Пример:
Пара значений (x=3);(y=-1) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо (x) и (y), оба уравнения превратятся в верные равенства (begin{cases}3-2cdot (-1)=5 \3 cdot 3+2 cdot (-1)=7 end{cases})

А вот (x=1); (y=-2) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» (begin{cases}1-2cdot(-2)=5 \3cdot1+2cdot(-2)≠7 end{cases})

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «(x=3); (y=-1)» пишут так: ((3;-1)).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

1. Способ подстановки.

1. Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

   (begin{cases}x-2y=5\3x+2y=7 end{cases})(Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3x+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)

2. Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

   (Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3(5+2y)+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)

3. Равносильными преобразованиями уравнений найдите  по очереди каждое неизвестное.

   (Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\15+6y+2y=7end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\8y=-8end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\y=-1end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5-2\y=-1end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=3\y=-1end{cases})

4. Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0))

   Ответ: ((3;-1))

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение. Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

(begin{cases}x-2y=5\3x+2y=7 end{cases})(Leftrightarrow) (begin{cases}x=5+2y\3x=7-2yend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}x=5+2y\x=frac{7-2y}{3}end{cases})

И сейчас нам нужно будет эту  дробь
подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

2. Способ алгебраического сложения.

1. Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:(begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end{cases}).

   (begin{cases}3y=13-2x\5x=5-2yend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}2x+3y=13\5x+2y=5end{cases})(Leftrightarrow)

2. Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты  при одном из неизвестных стали одинаковы (например, ((3) и (3)) или противоположны по значению (например, (5) и (-5)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на (2), а второе — на (3).

   (begin{cases}2x+3y=13 |cdot 2\ 5x+2y=5 |cdot 3end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}4x+6y=26\15x+6y=15end{cases})(Leftrightarrow)

3. Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

   

4. Найдите неизвестное из полученного уравнения.

   (-11x=11)     (|∶(-11))
   (x=-1)                

5. Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

   (3y=13-2x)
   (3y=13-2·(-1))
   (3y=15)
   (y=5)

6. Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0)).

   Ответ: ((-1;5))

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: (begin{cases}12x-7y=2\5y=4x-6end{cases})

Решение:

(begin{cases}12x-7y=2\5y=4x-6end{cases})		Приводим систему к виду (begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end{cases}) преобразовывая второе уравнение.
(begin{cases}12x-7y=2\-4x+5y=-6end{cases})		«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на (3).
(begin{cases}12x-7y=2\-12x+15y=-18end{cases})		Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
(0·x+8y=-16)		Делим уравнение на (8), чтобы найти (y).
(y=-2)		Игрек нашли. Теперь найдем (x), подставив вместо игрека (-2) в любое из уравнений системы.
(12x-7·(-2)=2) (12x+14=2) (12x=-12) (x=-1)		Икс тоже найден. Пишем ответ.

Ответ: ((-1;-2))

3. Графический способ.

1. Приведите каждое уравнение к виду линейной функции
    (y=kx+b).

   (begin{cases}3x-8=2y\x+y=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}2y=3x-8 |:2\y=6-xend{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases}y=frac{3}{2}x-4\y=-x+6end{cases})

2. Постройте  графики  этих  функций.  Как?  Можете  прочитать  здесь.

   

3. Найдите координаты ((x;y)) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде ((x_0;y_0 )).
   Ответ: ((4;2))

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений (x_0) и (y_0) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему (begin{cases}3x-8=2y\x+y=6end{cases}), мы получили ответ ((4;2)). Проверим его, подставив вместо икса (4), а вместо игрека (2).

(begin{cases}3cdot 4-8=2cdot 2\4+2=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases} 12-8=4\6=6end{cases})(Leftrightarrow)(begin{cases} 4=4\6=6end{cases})

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: (begin{cases}3(5x+3y)-6=2x+11\4x-15=11-2(4x-y)end{cases})

Решение:

Ответ: ((2;-1))

Скачать статью

План урока:

Уравнения с двумя переменными

График уравнения с двумя переменными

Система уравнений с двумя переменными

Способ подстановки

Метод сложения

Разложение левой части уравнения на множители

Линейное неравенство с двумя переменными

Нелинейные неравенства с двумя переменными

Системы неравенств с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными

Порою в ур-нии содержится не одна, а две переменных. Такие ур-ния мы уже изучали в 7 классе. Приведем несколько примеров уравнений с двумя переменными:

2х – 5у = 8

4t³– 6ht = h⁴

– 14z + 5v/z = 8

В абсолютном большинстве таких задач для обозначения переменных используют буквы х и у. Решение указывают в виде пары чисел, причем на первом месте пишут значение х, а на втором – значение у. Например, несложно убедиться, что пара чисел (– 1; 3) является решением ур-ния

х(х – у) = 4.

Для этого надо лишь вместо х подставить (– 1), а вместо у – число 3:

(– 1)(– 1 – 3) = 4

4 = 4

Получили верное равенство. Заметим, что пара (– 1; 3) является не единственным решением ур-ния. Например, пара (2; 0) также обращает ур-ние в верное рав-во:

2(2 – 0) = 4

4 = 4

У ур-ний с двумя неизвестными, как и у ур-ний с одной неизвестной, можно определить степень. Для этого надо представить их в таком виде, когда слева записан многочлен, а справа – ноль. Тогда степень ур-ния будет равна степени многочлена. Так как ур-ние содержит две переменных, то для обозначения такого многочлена используется запись Р(х; у).

Пример. Определите степень уравнения

х(х² + у) = х + 1

Решение. Раскроем скобки слева, а потом перенесем все слагаемые в одну сторону:

х(х² + у) = х + 1

х³ + ху = х + 1

х³ + ху – х – 1 = 0

В левой части стоит многочлен третьей степени (подробнее об определении степени полинома можно узнать из этого урока). Поэтому и степень ур-ния равна 3.

Ответ: 3

График уравнения с двумя переменными

Очень часто ур-ние с 2 переменными имеет бесконечное число решений. Их удобно изображать в виде графика, ведь каждой паре чисел (х₁; у₁) соответствует точка на координатной плоскости с координатами х₁ и у₁.

Проще всего строить график уравнения с двумя переменными в том случае, когда удается выразить переменную у через х. Например, пусть надо построить график ур-ния

6х + 3у = 9

Выразим неизвестную величину у через х, то есть попытаемся получить ф-цию у = у(х):

6х + 3у = 9

3у = 9 – 6х

у = 3 – 2х

Построим график ф-ции у = 3 – 2х. Он одновременно будет являться и графиком ур-ния 6х + 3у = 9:

Не всегда можно так преобразовать ур-ние, чтобы получилась ф-ция у = у(х). Действительно, по определению функции, каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение ф-ции. Однако рассмотрим пример ур-ния

х – у² = 0

Можно убедиться, что его обращают в верное рав-во пары чисел (1; 1) и (1; – 1):

1² – 1² = 0

1² – (– 1)² = 0

Получается, что одному значению х(х = 1) соответствует сразу 2 значения у (у = 1 и у = –1). Это значит, что графиком такого ур-ния не может являться ф-ция у = у(х)

В данном случае возможно выразить х через у. Перенесем слагаемое у² вправо:

х = у²

Получили «перевернутую ф-цию» х = х(у), где не у зависит от х, а х от у. Ф-ция является квадратичной, а потому ее графиком будет парабола:

Так как х и у в ф-ции поменялись местами, то ось параболы стала не вертикальной, а горизонтальной.

Встречаются случаи, когда из ур-ния невозможно получить ни ф-цию у(х), ни ф-цию х(у). Рассмотрим ур-ние

х² + у² = 25

Его решениями являются пары чисел (0; 5) и (0; – 5). То есть значению х = 0 соответствует два значения у (5 и – 5), поэтому не получиться записать ф-цию у(х). С другой стороны, решениями ур-ния являются также пары (5; 0) и (– 5; 0), то есть значению у = 0 также соответствует два значения х (– 5 и 5), поэтому и записать ф-цию х(у) не удастся. Вообще данное ур-ние является частным случаем ур-ния

х² + у² = R²

где R– некоторое постоянное число, или параметр. Оно называется уравнением окружности, потому что его графиком как раз и является окружность.

Докажем это утверждение. Пусть на координатной плоскости есть точка А с произвольными координатами (х; у):

Опустим из А перпендикуляр на ось Ох в точку В. Получили прямоугольный треугольник ОАВ. Его катет ОВ равен у, а катет АВ = х. По теореме Пифагора можно найти длину гипотенузы ОА, которая и является расстоянием от О до А:

ОА² = ОВ² + АВ² = х² + у²

Окружность радиусом R– это множество точек, удаленных от центра на расстояние R. То есть расстояние ОА равно R, то точка А лежит на окружности радиусом R c центром в О:

х² + у² = ОА² = R²

Таким образом, координаты любой точки, лежащей на расстоянии Rот центра, удовлетворяют ур-нию

х² + у² = R²

В частности, графиком ур-ния

х² + у² = 25

является окружность с радиусом 5 (так как 25 = 5²)

Система уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу. Разность двух чисел равна единице, а сумма их квадратов составляет 25. Чему равны эти два числа?

В задаче неизвестны два числа. Поэтому обозначим их за неизвестные величины х и у. Первое условие задачи, «разность чисел равна 1», можно записать ур-нием:

х – у = 1

Второе условие записывается так:

х² + у² = 25

Нам надо найти такие х и у, которые удовлетворяют одновременно обоим условиям задачи. То есть необходимо решить систему уравнений с двумя переменными:

Напомним, что в 7 классе мы уже изучали сис-мы ур-ний, однако рассматривались только случаи, когда все они являлись линейными. В рассматриваемом случае второе ур-ние линейным НЕ является (потому что переменные величины стоят во второй степени).

Для каждого ур-ния построим отдельный график. Точки их пересечения и будут соответствовать решениям сис-мы. Ур-ниех² + у² = 25 задает окружность. Ур-ние х – у = 1 будет совпадать с графиком линейной ф-ции у = х – 1:

Графики пересеклись в двух точках: (4; 3) и (– 3; – 4). Подставив их в сис-му, можно убедиться, что именно эти пары чисел являются решениями этой сис-мы.

Конечно, графический метод решения сис-м не всегда точный. Однако он позволяет оценить количество корней и их примерное расположение. Также графики помогают при изучении сис-м, содержащих параметры.

Пример. Найдите с помощью графиков решение сис-мы ур-ний

Решение. Построим графики каждого ур-ния. График первого ур-ния представляет собой параболу, а второй график – это прямая у = 4 – х:

Видно, что графики пересеклись в двух точках: (– 1; 5) и (4; 0). Убедиться в точности построения можно, просто подставив эти значения в решаемую сис-му.

Пример. При каком а сис-ма ур-ний

имеет ровно 3 решения?

Решение. Преобразуем 2-ое ур-ние сис-мы:

у – а + х² = 0

у = – х² + а

График ур-ния х² + у² = 9 представляет собой окружность радиусом 3. График у = – х² + а является параболой с ветвями, смотрящими вниз. Покажем на плоскости различные варианты взаимного расположения этих графиков при различных значениях параметра а:

Видно, что 3 точки пересечения у параболы и окружности может быть только в случае, если вершина параболы касается окружности в точке (0; 3). Для этого парабола должна определяться ур-нием у = – х²+ 3. Это значит, что только при значении а = 3 сис-ма имеет 3 решения.

Ответ: 3

Метод подстановки

Конечно, решать сис-му ур-ний графическим способом не очень удобно, так как часто можно получить лишь приближенный ответ. При изучении систем линейных уравнений с двумя переменными мы познакомились с двумя универсальными способами их решения: методы подстановки и сложения. К сожалению, для нелинейных сис-м нет универсальных методов их решения. Однако тот же способ подстановки иногда может помочь.

Его суть заключается в том, что в одном ур-нии надо выразить одну переменную через другую. В результате получится ф-ция у(х) или х(у), и ее можно будет подставить во второе ур-ние и тем самым получить ур-ние с одной неизвестной. Иногда такое действие называют исключением переменной.

Пример. Найдите решение сис-мы уравнений методом подстановки:

Решение. Сразу видно, что во втором ур-нии можно выразить у через х:

у – х² + 6 = 0

у = х² – 6

Подставим выражение у = х² – 6 в первое ур-ние:

2х² + х – 3у – 16 = 0

2х² + х – 3(х² – 6) – 16 = 0

Получилось ур-ние, в котором уже нет у! Его достаточно легко решить, ведь оно сводится к квадратному ур-нию:

2х² + х – 3(х² – 6) – 16 = 0

2х² + х – 3х² + 18 – 16 = 0

– х² + х + 2 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•(– 1)•2 = 1 + 8 = 9

х₁ = (– 1 – 3)/(– 2) = 2

х₂ = (– 1 + 3)/(– 2) = – 1

Получили два возможных значения х. Теперь выполним обратную подстановку:

у = х² – 6

у₁ = (– 1)² – 6 = – 5

у₂ = 2² – 6 = – 2

Итак, имеем две пары чисел, (– 1; – 5) и (2; – 2), которые являются решениями сис-мы ур-ний.

Ответ: (– 1; 5); (2; – 2)

Пример. При каких х и у справедлива сис-ма

Решение. Попробуем найти решение методом подстановки. Из второго ур-ния следует, что ни одна из переменных не равна нулю, ведь иначе бы произведение ху равнялось бы не 7, а нулю. Поэтому можно поделить второе ур-ние на х:

ху = 7

у = 7/х

У нас получилось выразить у через х. Подставим полученное выражение в первое ур-ние:

Заменим переменную х² на t:

t = x²

t + 49/t = 50

Умножим ур-ние на t. Так как х ≠ 0, то и t≠ 0,поэтому мы можем смело производить подобное умножение:

t² + 49 = 50t

t²– 50t + 49 = 0

Получили квадратное ур-ние. Можно честно решить его, однако мы поступим проще. По теореме Виета, произведение корней ур-ния должно равняться 49 (свободный член ур-ния), а в сумме они должны давать 50 (второй коэффициент ур-ния с противоположным знаком). Под эти условия подходят числа 1 и 49:

1 + 49 = 50

1•49 = 49

На всякий случай подставим их в квадратное ур-ние и убедимся, что они действительно являются его корнями:

1²– 50•1 + 49 = 1 – 50 + 49 = 0

49²– 50•49 + 49 = 2401 – 2450 + 49 = 0

Итак, имеем два корня: t₁ = 1 и t₂ = 49.

Теперь произведем обратную замену:

х² = t

х² = 1 или х² = 49

Имеем два квадратных ур-ния. Корнями первого являются числа

х₁= 1 и х₂ = – 1

У ур-ния х² = 49 корни – это числа

х₃ = – 7 и х₄ = 7

Получили четыре значения х. Для каждого из них можно вычислить соответствующее значение у по формуле у = 7/х:

при х = –1; у = 7/ – 1 = – 7

при х = 1; у = 7/1 = 7

при х = – 7; у = 7/– 7 = – 1

при х = 7; у = 7/7 = 1

В итоге имеем 4 пары решений: (– 1; – 7), (1; 7), (– 7; – 1) и (7; 1).

Ответ: (– 1; – 7), (1; 7), (– 7; – 1), (7; 1).

Метод сложения

Очевидно, что не всегда в ур-нии можно выразить одну переменную через другую. Такую ситуацию можно, например, наблюдать в сис-ме

Однако здесь в каждом ур-нии есть слагаемое 6у², взятое с разными знаками. За счет этого сис-му можно решить методом сложения, ведь при сложении левых частей ур-ний слагаемые 6у² и (– 6у²) сократятся, что позволит исключить переменную у из ур-ния. Для этого надо сложить по отдельности левые и правые части ур-ний и получить новое ур-ние:

(3х² – 6у² + 3х) + (– 2х² + 6у²) = –18 + 22

3х² – 6у² + 3х – 2х² + 6у² = 4

х² + 3х = 4

х² + 3х – 4 = 0

Получили ур-ние, не содержащее у. Его можно решить как обычное квадратное ур-ние:

D = b²– 4ас = 3² – 4•1•(– 4) = 9 + 16 = 25

х₁ = (– 3 – 5)/2 = – 4

х₂ = (– 3 + 5)/2 = 1

Нашли два значения х. Подставляя его второе ур-ние, получим

при х = – 4:

– 2•(– 4)² + 6у² = 22

6у² = 22 + 32

у² = 9

у₁ = 3 или у₂ = – 3

при х = 1:

– 2•1² + 6у² = 22

6у² = 22 + 2

у² = 4

у₃ = – 2 или у₄ = 2

Имеем 4 решения сис-мы (– 4; 3), (– 4; – 3), (1; – 2), (1; 2).

Мы рассмотрели простейший случай использования метода сложения уравнений, когда ур-ния сис-мы можно сложить сразу. Однако порою их надо сначала умножить на какие-то числа, и лишь потом складывать.

Пример. Укажите решение для сис-мы:

Решение. Сразу складывать эти ур-ния нет смысла, потому что при этом не исчезнет ни одна переменная. Напомним, что обе части любого ур-ния можно умножить на число, не равное нулю, и в результате получится равносильное ур-ние. Поэтому второе ур-ние умножим на (– 2):– 4х²+ 2у² = – 2

А вот теперь есть смысл сложить его с первым ур-нием, так как у них есть слагаемые 2у² с противоположными знаками:

(3х² – 2у²) + (– 4х² + 2у²) = 1 – 2

–х² = – 1

х² = 1

х = – 1 или х = 1

Полученные значения х будем подставлять в другое ур-ние, например, в 2х² – у² = 1 (на самом деле можно выбрать любое другое из ур-ний сис-мы).

При х = – 1:

2(– 1)² – у² = 1

у² = 1

у₁ = – 1 или у₂ = 1

Теперь подставим х = 1:

2•1² – у² = 1

у² = 1

у₃ = – 1 или у₄ = 1

В итоге получаем 4 решения: (– 1; – 1), (– 1; 1), (1; – 1) и (1; 1)

Ответ:(– 1; – 1), (– 1; 1), (1; – 1), (1; 1).

Порою метод сложения и метод подстановки следует использовать одновременно.

Пример. Решите систему методом сложения:

Решение: постараемся избавиться от слагаемых с буквенной частью ху. Для этого умножим второе ур-ние на (– 2):

– 2х – 2у – 2ху = 12

Сложим его с первым ур-нием:

(3х + у + 2ху) + (– 2х – 2у – 2ху) = – 6 + 12

х – у = 6

исключить переменную не удалось, однако мы получили линейное ур-ние. Выразим из него у:

у = х – 6

Теперь можно подставить это выражение, например, во второе ур-ние системы:

х + у + ху = – 6

х + (х – 6) + х(х – 6) = – 6

х² – 4х – 6 = – 6

х² – 4х = 0

х(х – 4) = 0

х = 0 или х – 4 = 0

х₁ = 0 или х₂ = 4

Подставим полученные результаты в выражение у = х – 6

у₁ = х₁ – 6 = 0 – 6 = – 6

у₂ = х₂ – 6 = 4 – 6 = – 2

Получили два решения: (0; – 6) и (4; – 2).

Ответ: (0; – 6) и (4; – 2).

Разложение левой части уравнения на множители

Если нельзя использовать ни метод подстановки, ни способ сложения, то могут помочь другие методы. Например, иногда в одном ур-нии справа можно оставить ноль, а слева – разложить многочлен на множители.

Пример. Решите систему:

Решение. В верхнем ур-нии можно выполнить следующие преобразования:

9х² – у² = 3х – у

(3х – у)(3х + у) = (3х – у)

(3х – у)(3х + у) – (3х – у) = 0

Можно заметить, что в левой части находится разность двух выражений, содержащих множитель (3х – у). Этот множитель можно вынести за скобки, при этом вместо второго выражения останется только единица, ведь его можно переписать как (3х – у)•1 (при умножении на единицу любое выр-ние остается неизменным):

(3х – у)(3х + у) – (3х – у)•1 = 0

(3х – у)(3х + у – 1) = 0

(а откуда -1?)

Вспомним, что произведение равно нулю, если один из его сомножителей нулевой. Поэтому

3х – у = 0 или 3х + у – 1 = 0

у = 3х или у = 1 – 3х

Получили два возможных варианта выражения для у. Будем подставлять их во второе ур-ние:

при у = 3х

х² + у = ху

х² + 3х = х•3х

– 2х² + 3х = 0

х(– 2х + 3) = 0

х = 0 или – 2х + 3 = 0

х₁ = 0 или х₂ = 1,5

Найдем значение у, учитывая, что у = 3х:

у₁ = 3х₁ = 3•0 = 0

у₂ = 3х₂ = 3•1,5 = 4,5

Имеем решения (0; 0) и (1,5; 4,5). Далее рассмотрим второй случай, когда у = 1 – 3х:

х² + у = ху

х² + (1 – 3х) = х(1 – 3х)

х² + 1 – 3х = х – 3х²

Перенося слагаемые влево, получаем квадратное ур-ние:

х² + 1 – 3х – х + 3х² = 0

4х² – 4х + 1 = 0

D = b²– 4ас = (– 4)² – 4•4•1 = 0

Получаем, что у квадратного ур-ния есть лишь один корень:

х₃ = – b/2а = 4/8 = 0,5

Найдем соответствующее ему значение у:

у₃ = 1 – 3х₃ = 1 – 3•0,5 = – 0,5

Получили третье решение: (0,5; – 0,5).

Ответ: (0; 0); (1,5; 4,5);(0,5; – 0,5).

Системы ур-ний часто используются при решении геометрических задач.

Пример. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см². Известно, что один из его катетов больше другого на 5 см. Каков периметр треугольника?

Решение. Традиционно катеты обозначают буквами а и b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = 0,5•ab

Отсюда следует ур-ние:

0,5ab = 150

Будем считать, что катет а больше, чем b. Тогда из условия можно записать

а = 5 + b

Итак, получается система:

Очевидно, что систему можно решить подстановкой а = 5 + b

0,5ab = 150

0,5ab = 150

0,5(5 + b)b = 150

(5 + b)b = 300

b² + 5b – 300 = 0

Решая это квадратное ур-ние, легко получить два значения b: 20 и (– 15). По смыслу задачи длина катета должна измеряться положительным числом, а потому b = 20. Второй катет на 5 см меньше, то есть он равен 20 – 5 = 15 см. Длину гипотенузы с можно найти по теореме Пифагора:

с² = а² + b² = 20² + 15² = 625

c = 25

Периметр треугольника – это сумма его сторон, она равна 25 + 20 + 15 = 60 см.

Ответ: 60 см.

Линейное неравенство с двумя переменными

Изучение неравенств с двумя переменными начнем с простейших из них – линейных неравенств. Их можно получить из линейных ур-ний, поставив вместо знака «=» один из четырех знаков сравнения.

Приведем примеры линейных неравенств с двумя переменными:

5х + 7у – 2 > 0

– 18,4x + 45,325y + 54,36 < 0

– 67х – 12у + 4 ⩾ 0

Линейные ур-ния и линейные нер-ва тесно связаны друг с другом. Напомним, что графиком линейного ур-ния

ах + by + c = 0

является прямая. Эта прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. Для всех точек одной их них выполняется нер-во

ах + by + c< 0

а для всех точек другой полуплоскости справедливо нер-во

ах + by + c> 0

Пример. Отметьте на координатной прямой все решения неравенства с двумя переменными

3х + 2у < 6

Решение. Заменим знак «<»на знак «=» и получим ур-ние 3х + 2у = 6. Преобразовав его, мы получим функцию у(х)

3х + 2у = 6

2у = 6 – 3х

у = 3 – 1,5х

Построим этот график:

Видно, что прямая разбила плоскость на две части. Но в какой из них выполняется нер-во 3х + 2у < 6? Для ответа на этот вопрос достаточно взять координаты любой точки из одной из полуплоскостей и подставить их в нер-во. Конечно, проще всего взять точку (0; 0), в ней нер-во справедливо:

3•0 + 2•0 < 6

0 < 6

Поэтому область, в которой находится начало координат, можно заштриховать. Тем самым мы покажем, что на ней выполняется данное в условии нер-во:

Обратите внимание, что саму прямую 3х + 2у = 6 мы нарисовали пунктиром. Тем самым мы показали, что точки плоскости, лежащие непосредственно на этой прямой, НЕ входят в решение нер-ва, ведь оно является строгим.

Пример. Покажите все решения нер-ва

– 2х + у + 4⩽ 0

Решение. Снова заменим знак сравнения в нер-ве на знак «=»:

– 2х + у + 4 = 0

у = 2х – 4

Получили график прямой. Сразу отметим, что в точке (0; 0) заданное нер-во НЕ выполняется:

– 2•0 + 0 + 4 ⩾ 0

а потому заштриховывать надо будет полуплоскость, к которой НЕ относится начало координат:

Здесь сама прямая – 2х + у + 4 = 0 отображена непрерывной линией. Тем самым показано, что ее точки входят в решение нер-ва, которое является нестрогим.

Нелинейные неравенства с двумя переменными

В случае с нелинейными нер-вами действует тот же принцип. Необходимо заменить знак сравнения на знак «=» и получить ур-ние, после чего построить график ур-ния. Он разобьет плоскость на несколько областей, в пределах которых исходное нер-во либо справедливо, либо нет.

Пример. Покажите множество решений нелинейного неравенства с двумя переменными

у – х² + 5 > 0

Решение. Рассмотрим ур-ние

у – х² + 5 = 0

Перенеся часть слагаемых вправо, можно получить функцию

у = х² – 5

Построим ее график. Он представляет собой параболу, которая разбивает плоскость на две области:

Для определения того, выполняется ли нер-во в той или иной области, достаточно рассмотреть по одной точке в каждой из областей. Начнем с внутренней области. К ней относится начало координат, точка (0; 0). Подставив х = 0 и у = 0 в нер-во, мы увидим, что оно выполняется:

0 – 0² + 5 > 0

5 > 0

Во второй области выполняется обратное нер-во у – х² + 5 < 0. В этом можно убедиться, взяв, например, точку (3; 0).

0 – 3² + 5< 0

– 4 < 0

В рассмотренном примере мы проверяли каждую из двух областей, хотя в случае линейных нер-в достаточно изучить лишь одну полуплоскость – в другой нер-во автоматически «меняло знак». Но, оказывается, что в случае с нелинейными нер-вами это правило может и не выполняться. Убедимся в этом на одном примере:

Пример. Отметьте на координатной плоскости множество решений нер-ва

х⁴ + 2х²у + у²> 0

Решение. Изучим ур-ние

х⁴ + 2х²у + у² = 0

В левой части стоит квадрат суммы слагаемых х² и у:

(х² + у)² = (х²)² + 2х²у + у² = х⁴ + 2х²у + у²

С учетом этого ур-ние можно переписать так:

(х² + у)² = 0

х² + у = 0

у = – х²

Построим график и определим, какое нер-во выполняется в полученных областях. В области I возьмем точку (0; – 1). При ее подстановке в исходное нер-во получаем:

0⁴ + 2•0²(– 1) + (– 1)²> 0

1 > 0

Однако и в области II выполняется то же самое нер-во. Это можно увидеть на примере точки (0; 1):

0⁴ + 2•0²•1 + 1²> 0

1 > 0

Получается, что решениями нер-ва являются точки обеих областей. То есть надо заштриховать всю координатную плоскость, кроме самой кривой у = – х² , которую мы покажем из-за этого штрихпунктирной линией:

Отдельно отметим, что возможны случаи, когда график ур-ния разбивает плоскость не на две, а на большее кол-во областей. В качестве примера можно привести нер-во

ху – 5> 0

Ему соответствует ур-ние ху – 5 = 0

Из него можно получить функцию у = 5/х, графиком которой является гипербола. Этот график образует 3 области. Будем действовать как и раньше – выберем из каждой области по одной точке и посмотрим, выполняется ли на нем нер-во ух – 5 > 0. Из области I возьмем точку (– 5; – 5):

ху – 5 = (– 5)•(– 5) – 5 = 25 – 5 > 0

Из II области выберем точку (5; 5):

ху – 5 = 5•5 – 5 = 20 > 0

Наконец, из III области возьмем точку (0; 0):

ху – 5 = 0•0 – 5 = 0 – 5 < 0

Системы неравенств с двумя переменными

Пусть надо решить систему неравенств с двумя переменными

Покажем графически решения для каждого отдельного нер-ва. Так как графиком ур-ния х² + у² = 9 является окружность радиусом 3, то решением первого нер-ва является круг:

Нер-во х – у > 0 является линейным. Его решением будет полуплоскость:

Теперь совместим два полученных решения. Решением системы нер-в будет пересечение заштрихованных областей. Ведь именно здесь оба нер-ва системы будут выполняться одновременно. Это пересечение представляет собой полукруг (он заштрихован квадратиками):

Пример. Постройте решение системы нер-в

Решение. Построим графики ур-ний х² – у = 2 и у² – х = 2. Первый из них будет являться параболой у = х² – 2. Второй же будет выглядеть, как парабола, повернутая на 90°. Это будет функция х = у² – 2:

В том, что мы выбрали правильную область на плоскости, можно убедиться, просто подставив одну из ее точек, в частности (0; 0), в систему: