Как найти синус зная арккосинус - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Определение

Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]

[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]

Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],

[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],

[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],

[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Рассмотрим важное определение:

Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.

[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]

[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]

Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Правила суммы выглядят так:

Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],

Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].

Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

[-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha]	[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]	[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]	[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha]	[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}]	[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}]	[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha]

Таблица 1.

Примеры 1 — 2

Нужно найти косинус арктангенса из 5.

Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]

Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]

Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]

Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]

Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул 1

Используя тождества получим:

[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]

[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]

Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно

[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]

[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]

[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]

Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.

В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.

Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.

В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Доказательство формул 2

Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)].
Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].

Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:

[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]

Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

[begin{aligned} &arcsin a=left{begin{array}{l} arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ -arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \ &arcsin a=left{begin{array}{l} operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0 end{array}right. end{aligned}]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

[begin{aligned} &arccos a=left{begin{array}{l} arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=left{begin{array}{l} operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 end{aligned}]

Выражения для арктангенса:

[begin{aligned} &operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l} arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ -arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

[begin{aligned} &operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l} arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]

Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].

Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Пример 3

Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]

Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].

Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]

Можно использовать и следующую формулу:

[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

Пример 4

Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:

[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]

Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:

[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]

[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]

Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:

[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.

Источник

Хотя синус арккосинуса ( sin arccos x) несложно найти через тригонометрическую единицу, более простое и наглядное решение можно получить через геометрическую интерпретацию синуса и косинуса, определение арккосинуса и теорему Пифагора.

По определению арккосинуса, если

Но в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$[cos alpha = frac{a}{c}.]$

Нам нужен синус этого же угла альфа. А он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$[sin alpha = frac{b}{c}.]$

Противолежащий катет находим по теореме Пифагора:

$[b = sqrt {{c^2} - {a^2}} ]$

Отсюда

$[sin (arccos x) = frac{{sqrt {{c^2} - {a^2}} }}{c},]$

где

$[x = frac{a}{c}.]$

Примеры

1) Найти sin (arccos (1/3)).

В этом примере x=1/3, отсюда прилежащий катет a=1, гипотенуза c=3. Находим противолежащий катет b:

$[b = sqrt {{3^2} - {1^2}} = sqrt 8 = 2sqrt {2.} ]$

Отсюда

$[sin (arccos frac{1}{3}) = frac{{2sqrt 2 }}{3}.]$

2) Найти sin (arccos (3/5)) (или sin (arccos 0,6)).

Арккосинус трех пятых — это число, косинус которого равен 3/5. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, прилежащий катет а=3, гипотенуза с=5. Отсюда противолежащий катет — 4. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Отсюда

$[{text{sin }}left( {{text{arccos }}left( {{text{3}}/{text{5}}} right)} right) = frac{4}{5}.]$

Источник

Содержание:

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции

На единичной окружности найдем точки ординаты которых равны Этим точкам соответствуют углы и и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток то на нем функция возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа из промежутка существует единственное число такое что Так на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно — это угол равный ( рис.93)

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку синус которого равен (рис. 94).

Этот угол обозначают Так, поскольку и

Пример №1

Вычислите:

Решение:

так как

Пример №2

Найдите значение выражения:

Решение:

так как

(рис. 95, б).

Заметим, что ( рис.95) Так как углы, соответствующие точкам и где с ординатами и отличаются только знаком, то для любого числа (рис. 96).

Пусть тогда
Так как точки имеют противоположные ординаты, то
Поскольку то по определению арксинуса Так как то для любого числа
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как

Отметим, что областью определения выражения является отрезок Если то выражение не имеет смысла.

Например, выражения не имеют смысла, так как
Выражение не имеет смысла, так как
Из определения арксинуса числа следует, что если

Например,

Рассмотрим промежуток на котором функция возрастает и принимает все значения от до 1. Для любого числа из промежутка существует единственное число такое, что

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку косинус которого равен (рис. 97).

Этот угол обозначают

Например: поскольку и

Пример №3

Вычислите:

Решение:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

так как ( рис. 98.а)

( рис.98.б)

Заметим, что ( см.98)

Пусть Так как точки имеют противоположные абсциссы, то Поскольку то по определению арккосинуса Так как для любого числа (рис. 99).

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как
Областью определения выражения является отрезок Если то выражение не имеет смысла.

Так, выражения не имеют смысла, поскольку

Выражение не имеет смысла, так как
Из определения арккосинуса числа следует, что если и

Например,

На промежутке монотонности функции существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку тангенс которого равен (рис. 100).

Этот угол обозначают Так, поскольку и

Пример №5

Вычислите:

Решение:

так как и

Для любого числа верно равенство (рис. 101).

Пример №6

Найдите значение выражения

Решение:

Так как
Из определения арктангенса числа следует, что при

Например,

На промежутке монотонности функции существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку котангенс которого равен (рис. 102).

Этот угол обозначают Например, поскольку

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №7

Вычислите:

Решение:

так как

Для любого числа верно равенство (рис. 103).

Пример №8

Найдите значение выражения

Решение:

Так как

Из определения арккотангенса числа следует, что если и

Например,

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Решение:

а) Верно, так как

б) верно, так как

в) неверно, так как

г) неверно, так как

Пример №10

Вычислите:

Решение:

Пример №11

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №12

Оцените значение выражения

Решение:

По определению арктангенса числа

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим:

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Решение:

а) По определению арксинуса числа это угол, синус которого равен

б) По определению арккосинуса числа это угол, косинус которого равен

Пример №14

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №15

Вычислите

Решение:

Пример №16

Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой при Поскольку то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как

Пример №17

Найдите значение выражения

Решение:

Так как при при

Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенства
Формулы приведения
Синус, косинус, тангенс суммы и разности
Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
Функция y=sin x и её свойства и график
Функция y=cos x и её свойства и график
Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики

Источник

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Обратные функции тригонометрии

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Группировка основных понятий

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]

Нахождение значения аргумента

Определение Арксинуса

Пример №1

Пример №2

Определение Арккосинуса

Пример №3

Пример №4

Определение Арктангенса

Пример №5

Пример №6

Определение Арккотангенса

Пример №7

Пример №8

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Пример №13

Пример №14

Пример №15

Пример №16

Пример №17

Не пропустите также: