Как найти синус по числовой окружности

В статье мы рассмотрим, как найти значения:

(cosfrac{π}{6}),       (sin⁡(-frac{7π}{3})),     (cosfrac{3π}{4}),     (sin⁡(-frac{27π}{2}))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Для начала внимательно прочтите статью о числовой окружности. Вы должны научиться находить точки на окружности в числах с Пи.

Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:

Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа (frac{π}{6}). Обозначим на числовой окружности точку со значением (frac{π}{6}).

Если построить все точно и крупно, то можно убедиться, что абсцисса этой точки будет равна (0,866…) , что соответствует числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Значит, что (cos⁡(frac{π}{6}) = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin(frac{π}{6}) ⁡=frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:

И обычно на них не наносят значения в десятичных ((0,1); (0,2); (0,3) и т.д.), а сразу отмечают стандартные значения для синуса и косинуса: (frac{1}{2} =0,5); (frac{sqrt{2}}{2} ≈0,707); (frac{sqrt{3}}{2}≈0,866), причем, как со знаком плюс, так и минус. Почему стандартные значения синуса и косинуса именно (frac{1}{2}),(frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{sqrt{3}}{2}) вы можете узнать из этого видео.

Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?

Алгоритм прост:

1. Начертите круг и оси косинусов и синусов.
2. Отметьте на круге число, синус и косинус которого надо найти. Если с этим возникают проблемы, прочитайте здесь о том, как расставлять числа на числовой окружности. 
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Найдите синус и косинус для числа (-frac{7π}{6}).
Решение:(-frac{7π}{6}=-frac{6π}{6}-frac{π}{6}=-π-frac{π}{6}) , то есть, чтобы отметить на окружности точку (-frac{7π}{6}) сначала находим число (-π) и от него в отрицательную сторону откладываем дугу длиной (frac{π}{6}).

Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:

Получается, что (sin⁡(-frac{7π}{6})=frac{1}{2}), (cos⁡(-frac{7π}{6})=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример. Вычислите (sinfrac{5π}{2}) и (cosfrac{5π}{2}).
Решение:  (frac{5π}{2}=frac{4π+π}{2}=frac{4π}{2}+frac{π}{2}=2π+frac{π}{2}).

Точка (frac{5π}{2}) совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin⁡frac{5π}{2}=1). А если провести перпендикуляр из точки (frac{5π}{2}) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в (0). Поэтому (cosfrac{5π}{2}=0).

И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье «Как запомнить тригонометрический круг»).

Пример. Найдите а) (sin⁡frac{3π}{2}), б) (cos⁡frac{3π}{4}), в) (sin⁡(-frac{π}{3})) .
Решение: а) Чертим круг, оси и отмечаем число (frac{3π}{2}). Обращаем внимание на ось синусов и понимаем, что точка совпала с (-1), получается (sin⁡frac{3π}{2}=-1).
б) (frac{3π}{4}=frac{4π}{4}-frac{π}{4}=π-frac{π}{4}) — отмечаем число на круге. Проводим перпендикуляр до оси косинусов и вспоминаем, что точки со знаменателем (4) находятся посередине. Мы еще попали и в отрицательную часть оси косинусов, получается (cos⁡frac{3π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}).
в) (-frac{π}{3}) – отмечаем число на круге. Видим, что перпендикуляр к оси синусов попал в точку близкую к (-1), значит (sin⁡(-frac{π}{3})=-frac{sqrt{3}}{2}).

Как видите не обязательно рисовать, очень красивую или очень большую окружность — вы можете определить нужное вам значение, быстро набросав круг. И ничего не надо учить!

Если вы хотите еще примеров с вычислением синусов и косинусов без тригонометрической таблицы, то прочтите эту статью.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (frac{8}{sin⁡(-frac{27π}{4}) cos⁡(frac{31π}{4})}) .
Решение.    (-frac{27π}{4}=-frac{28π}{4}+frac{π}{4}=-7π+frac{π}{4}).
(frac{31π}{4}=frac{32π}{4}-frac{π}{4}=8π-frac{π}{4}).

(sin⁡(-frac{27π}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}),      (cos⁡(frac{31π}{4})=frac{sqrt{2}}{2}).

(frac{8}{sin⁡(-frac{27π}{4}) cos⁡(frac{31π}{4})})(=) (frac{ 8}{-frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{sqrt{2}}{2}})(=-8:frac{2}{4}=-8cdotfrac{2}{1}=-16).

Ответ: (-16).

Смотрите также:
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °
30 °
45 °
60 °
90 °

sin α
0
1 2
2 2
3 2
1

cos α
1
3 2
2 2
1 2
0

tg α
0
3 3
1
3
нет

ctg α
нет
3
1
3 3
0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы?

В статье мы рассмотрим, как найти значения:

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .

Для начала внимательно прочтите статью о числовой окружности . Вы должны научиться находить точки на окружности в числах с Пи .

Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:

— косинус числа равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус числа равен ординате точки на числовой окружности

Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа (frac<π><6>). Обозначим на числовой окружности точку со значением (frac<π><6>).

Если построить все точно и крупно, то можно убедиться, что абсцисса этой точки будет равна (0,866…) , что соответствует числу (frac<sqrt<3>><2>) , а ордината равна (0,5), то есть (frac<1><2>).

Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс часто называют «ось косинусов», а ординат – «ось синусов».

И обычно на них не наносят значения в десятичных ((0,1); (0,2); (0,3) и т.д.), а сразу отмечают стандартные значения для синуса и косинуса: (frac<1> <2>=0,5); (frac<sqrt<2>> <2>≈0,707); (frac<sqrt<3>><2>≈0,866), причем, как со знаком плюс, так и минус. Почему стандартные значения синуса и косинуса именно (frac<1><2>),(frac<sqrt<2>><2>) и (frac<sqrt<3>><2>) вы можете узнать из этого видео .

Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?

1. Начертите круг и оси косинусов и синусов.
2. Отметьте на круге число, синус и косинус которого надо найти. Если с этим возникают проблемы, прочитайте здесь о том, как расставлять числа на числовой окружности.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Найдите синус и косинус для числа (-frac<7π><6>).
Решение:(-frac<7π><6>=-frac<6π><6>-frac<π><6>=-π-frac<π><6>) , то есть, чтобы отметить на окружности точку (-frac<7π><6>) сначала находим число (-π) и от него в отрицательную сторону откладываем дугу длиной (frac<π><6>).

Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:

Точка (frac<5π><2>) совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin⁡frac<5π><2>=1). А если провести перпендикуляр из точки (frac<5π><2>) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в (0). Поэтому (cosfrac<5π><2>=0).

И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье « Как запомнить тригонометрический кру г »).

Пример. Найдите а) (sin⁡frac<3π><2>), б) (cos⁡frac<3π><4>), в) (sin⁡(-frac<π><3>)) .
Решение: а) Чертим круг, оси и отмечаем число (frac<3π><2>). Обращаем внимание на ось синусов и понимаем, что точка совпала с (-1), получается (sin⁡frac<3π><2>=-1).
б) (frac<3π><4>=frac<4π><4>-frac<π><4>=π-frac<π><4>) — отмечаем число на круге. Проводим перпендикуляр до оси косинусов и вспоминаем, что точки со знаменателем (4) находятся посередине. Мы еще попали и в отрицательную часть оси косинусов, получается (cos⁡frac<3π><4>=-frac<sqrt<2>><2>).
в) (-frac<π><3>) – отмечаем число на круге. Видим, что перпендикуляр к оси синусов попал в точку близкую к (-1), значит (sin⁡(-frac<π><3>)=-frac<sqrt<3>><2>).

Как видите не обязательно рисовать, очень красивую или очень большую окружность — вы можете определить нужное вам значение, быстро набросав круг. И ничего не надо учить!

Если вы хотите еще примеров с вычислением синусов и косинусов без тригонометрической таблицы, то прочтите эту статью.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. 1. 1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
      2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
      3. И синус, и косинус принимают значения от до .
      4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
      5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
      6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
      7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Например:

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

,
.

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

,
,

где — целое число.

То же самое можно записать в радианах:

,
.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

По определению:

В результате получим следующую таблицу.

	0
	0				не существует				0
	не существует				0				не существует

Синус и косинус на единичной числовой окружности

1. Синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике
2. Основное тригонометрическое тождество
3. Синус и косинус угла на числовой окружности
4. Знаки синусов и косинусов
5. Синусы и косинусы углов πk/2
6. Синусы и косинусы углов π/4+πk/2
7. Синусы и косинусы углов π/6+πk/2
8. Синусы и косинусы углов π/3+πk/2
9. Примеры

п.1. Синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. sinα=$frac{a}{c} $ Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cosα=$frac{b}{c} $

Например:

B ΔABC, ∠C = 90°, a = 2, b = 4. Найдем синус и косинус ∠A.
По теореме Пифагора гипотенуза равна (c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{2^2+4^2}=2sqrt{5})
Получаем: $$ sinA=frac{a}{c}=frac{2}{2sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{5}}, cosA=frac{b}{c}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}} $$

п.2. Основное тригонометрическое тождество

Из теоремы Пифагора следует: $$ a^2+b^2=c^2Rightarrow frac{a^2+b^2}{c^2}=1Rightarrowleft(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=1Rightarrow sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $$ sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$

п.3. Синус и косинус угла на числовой окружности

Числовая окружность расположена в декартовой прямоугольной системе координат. Отметим на числовой окружности точку M, где луч OM составляет с положительным направлением оси OX угол α. Найдем координаты точки M. Рассмотрим ΔMOK. ∠MKO=90°, ∠MOK=α OM=1 – гипотенуза По определению синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем: begin{gather*} cosalpha=frac{OK}{OM}=frac{x}{1}=x\ sinalpha=frac{MK}{OM}=frac{y}{1}=y end{gather*}

Каждому углу α на числовой окружности соответствует точка, координаты которой: $$ x=cosalpha, y=sinalpha $$

Уравнение числовой окружности по определению: x² + y² = 1
Откуда снова получаем основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1

п.4. Знаки синусов и косинусов

п.5. Синусы и косинусы углов (frac{pi k}{2})

Базовыми точками на числовой окружности для углов, кратных прямому углу (углы (frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 0°, 90°, 180°, 270° (left(0, frac{pi}{2}, pi, frac{3pi}{2}right)). Все остальные точки (например, 360°, 900° или –540°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности. Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

α	0°	90°	180°	270°
0	π/2	π	3π/2
x	cosα	1	0	–1	0
y	sinα	0	1	0	–1

п.6. Синусы и косинусы углов (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})

Базовыми точками на числовой окружности для угла 45° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 45°, 135°, 225°, 315° (left(frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}, frac{5pi}{4}, frac{7pi}{4}right)). Все остальные точки (например, 405°, 945° или –585°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности. Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

Как видно из чертежа, для этих углов синус и косинус по модулю равны и отличаются только по знаку. Найдем модуль из тригонометрического тождества.
Обозначим для угла (45^{circ} sin45^{circ}=cos45^{circ}=mgt 0.) Тогда
$$ sin^2 45^{circ}+cos^2 45^{circ}=1Rightarrow m^2+m^2=1Rightarrow 2m^2=1Rightarrow m^2=frac12 overset{mgt 0}{Rightarrow} m=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат (frac{sqrt{2}}{2} text{и} frac{sqrt{2}}{2}), только с разными знаками.

α	45°	135°	225°	315°
π/4	3π/4	5π/4	7π/4
x	cosα	(frac{sqrt{2}}{2})	(-frac{sqrt{2}}{2})	(-frac{sqrt{2}}{2})	(frac{sqrt{2}}{2})
y	sinα	(frac{sqrt{2}}{2})	(frac{sqrt{2}}{2})	(-frac{sqrt{2}}{2})	(-frac{sqrt{2}}{2})

п.7. Синусы и косинусы углов π/6+πk/2

Базовыми точками на числовой окружности для угла 30° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{6}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 30°, 120°, 210°, 300° (left(frac{pi}{6}, frac{2pi}{3}, frac{7pi}{6}, frac{5pi}{3}right)). Все остальные точки (например, 390°, 960° или –420°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности. Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

Известно, что (sin 30^{circ}=frac12). Тогда из основного тригонометрического тождества: $$ cos30^{circ}=sqrt{1-sin^230^{circ}}=sqrt{1-frac14}=frac{sqrt{3}}{2}. $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат из чисел (frac12 text{и} frac{sqrt{3}}{2}) в разном порядке и с разными знаками. Чтобы различать их «на глаз», заметим, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Т.е, отрезок короче будет равен по модулю (frac12), а длиннее (frac{sqrt{3}}{2}).

α	30°	120°	210°	300°
π/6	2π/3	7π/6	5π/3
x	cosα	(frac{sqrt{3}}{2})	(-frac12)	(-frac{sqrt{3}}{2})	(frac12)
y	sinα	(frac12)	(frac{sqrt{3}}{2})	(-frac12)	(-frac{sqrt{3}}{2})

п.8. Синусы и косинусы углов π/3+πk/2

Базовыми точками на числовой окружности для угла 60° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{3}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 60°, 150°, 240°, 330° (left(frac{pi}{3}, frac{5pi}{6}, frac{4pi}{3}, frac{11pi}{6}right)). Все остальные точки (например, 390°, 960° или –420°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности. Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

Известно, что (cos60^{circ}=sin 30^{circ}=frac12). Тогда из основного тригонометрического тождества: $$ sin60^{circ}=sqrt{1-cos^2 60^{circ}}=sqrt{1-frac14}=frac{sqrt{3}}{2}. $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат из чисел (frac12 text{и} frac{sqrt{3}}{2}) в разном порядке и с разными знаками. Чтобы различать их «на глаз», заметим, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Т.е, отрезок короче будет равен по модулю (frac12), а длиннее (frac{sqrt{3}}{2}).

α	60°	150°	240°	330°
π/3	5π/6	4π/3	11π/6
x	cosα	(frac12)	(-frac{sqrt{3}}{2})	(-frac12)	(frac{sqrt{3}}{2})
y	sinα	(frac{sqrt{3}}{2})	(frac12)	(-frac{sqrt{3}}{2})	(-frac12)

п.9. Примеры

Пример 1.
а) Найдите косинус угла α, если известно, что (sinalpha=0,8, fracpi2 lt alpha lt pi)
Угол находится во второй четверти, значит, косинус отрицательный:
(cosalpha=-sqrt{1-sin^2alpha}=-sqrt{1-0,8^2}=-sqrt{0,36}=-0,6)

б) Найдите синус угла, если известно, что (cosalpha=frac{5}{13}, -fracpi2 lt alpha lt 0)
Угол находится в четвертой четверти, значит синус отрицательный:
(sinalpha=-sqrt{1-cos^2alpha}=-sqrt{1-frac{5}{13}^2}=-sqrt{frac{144}{169}}=-frac{12}{13})

Пример 2. Сравните числа
а) sin10° и sin320°
Угол 10° находится в 1-й четверти, sin⁡10° > 0
Угол 320° находится в 4-й четверти, sin⁡320° < 0
Получаем: sin⁡320° < 0 < sin10°
sin⁡10° > sin320°.

б) cos115° и sin85°
Угол 85° находится в 1-й четверти, sin85° > 0
Угол 115° находится во 2-й четверти, cos115° < 0
Получаем: cos115° < 0 < sin85°
cos115° < sin85°.

в) (sinfrac{8pi}{7}) и (cosfrac{11pi}{25})
(pilt frac{8pi}{7}lt frac{3pi}{2}Rightarrow) угол (frac{8pi}{7}) находится в 3-й четверти, (sinfrac{8pi}{7}lt 0)
(0lt frac{11pi}{25}lt frac{pi}{2}Rightarrow) угол (frac{11pi}{25}) находится в 1-й четверти, (cosfrac{11pi}{25}gt 0)
Получаем: (sinfrac{8pi}{7} lt 0lt cosfrac{11pi}{25})
(sinfrac{8pi}{7}lt cosfrac{11pi}{25})

Пример 3. Заданы точки на числовой окружности. Найдите их координаты

Пример 4. Найти sin⁡t,cos⁡t для данных t.

(a) t=frac{13pi}{4})

Отнимем полный оборот: (frac{13pi}{4}-2pi=frac{13-8}{4}pi=frac{5pi}{4}) Угол кратный (fracpi4), его синус и косинус по модулю равны (frac{sqrt{2}}{2}), знаки определяются расположением угла. (piltfrac{5pi}{4}ltfrac{3pi}{2}Rightarrow) угол находится в 3-й четверти, синус и косинус отрицательные. Получаем: begin{gather*} sinfrac{13pi}{4}=sinfrac{5pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}\ cosfrac{13pi}{4}=cosfrac{5pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2} end{gather*}

(б) t=frac{11pi}{2})

Отнимем 2 полных оборота: (frac{11pi}{2}-2cdot 2pi=frac{11-8}{2}pi=frac{3pi}{2}) Угол кратный (fracpi2), находится на оси Y, в нижней точке числовой окружности. Получаем: begin{gather*} sinfrac{11pi}{2}=sinfrac{3pi}{2}=-1\ cosfrac{11pi}{2}=cosfrac{3pi}{2}=0 end{gather*}

(в) t=frac{17pi}{6})

Отнимем полный оборот: (frac{17pi}{6}-2pi=frac{17-12}{6}pi=frac{5pi}{6}) Угол типа (fracpi6), в котором синус и косинус – это пара из (frac12) и (frac{sqrt{3}}{2}), фактическое значение определяется по чертежу, исходя из того, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Знаки определяются по расположению угла в четверти: (fracpi2ltfrac{5pi}{6}ltpiRightarrow) угол находится во 2-й четверти. Из чертежа получаем: Косинус – длинный отрицательный Синус – короткий положительный Таким образом: begin{gather*} sinfrac{17pi}{6}=sinfrac{5pi}{6}=frac12\ cosfrac{17pi}{6}=cosfrac{5pi}{6}=-frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

(г) t=-frac{4pi}{3})

Добавим полный оборот: (-frac{4pi}{3}+2pi=frac{-4+6}{3}pi=frac{2pi}{3}) Угол типа (fracpi3), в котором синус и косинус – это пара из (frac12) и (frac{sqrt{3}}{2}), фактическое значение определяется по чертежу, исходя из того, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Знаки определяются по расположению угла в четверти: (fracpi2ltfrac{2pi}{3}ltpiRightarrow) угол находится во 2-й четверти. Из чертежа получаем: Косинус – короткий отрицательный Синус – длинный положительный Таким образом: begin{gather*} sinleft(-frac{4pi}{3}right)=sinfrac{2pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}\ cosleft(-frac{4pi}{3}right)=cosfrac{2pi}{3}=-frac12 end{gather*}

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.