Как найти синус между прямыми в параллелепипеде

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д13 № 318479

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер AB=16, AD=12, AA_1=9. Найдите синус угла между прямыми CD и A_1C_1.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер AB=8, AD=6, Найдите синус угла между прямыми CD и A_1C_1.

Отрезки DC и D₁C₁ лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A₁C₁ и DC равен углу между прямыми A₁C₁ и D₁C₁.

Из прямоугольного треугольника A₁C₁D₁ по получаем:

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

Ответ: 0,6.

Аналоги к заданию № 318474: 318477 318479 318481 … Все

Прототип задания

Источник

Условие

Прямоугольный параллелепипед имеет следующие длины ребер AB=7, AD=24, AA_1=18. Найдите синус угла между прямыми CD и A_1C_1.

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок:

Угол между прямыми DC и A_1C_1 совпадает с углом между прямыми DC и AC, так как AC parallel A_1C_1.

sinangle ACD= frac{AD}{AC}= frac{24}{sqrt{24^2+7^2}}= frac{24}{sqrt{625}}= frac{24}{25}= 0,96.

Ответ

0,96

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие онлайн-курсы для подготовки к ЕГЭ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Источник

Перед вами очередная статья с параллелепипедами. Представленные задания просты, вычислений никаких нет или их минимум. Рассматриваются кубы и прямоугольные параллелепипеды. Важно грамотно выполнить построения и знать элементарные свойства. Например, в данных заданиях используются:

1. В равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам.
2. Диагонали граней куба равны.
3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
4. Необходимо понимание понятия — скрещивающиеся прямые.

Напомню какая призма является правильной.

Правильная призма – это призма основания которой — правильные многоугольники, боковые рёбра расположены под прямым углом к основаниям. Например, правильная треугольная призма – это прямая призма, основания которой равносторонние треугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это прямая призма, основания которой являются квадратами. Понятно, что такая призма является прямоугольным параллелепипедом.

Правильная шестиугольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными шестиугольниками. Рассмотрим задачи:

315130. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К — середина ребра АA₁, точка L — середина ребра A₁B₁, точка M — середина ребра A₁D₁. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим его вершины и точки K, M и L.

Так как данные точки являются серединами ребёр, то отрезки KM, ML, KL будут равны между собой. Это означает, что треугольник KML равносторонний. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов. Таким образом, угол MLK равен 60⁰.

Ответ: 60

316554. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми АD₁ и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим вершины и данные отрезки, также построим отрезок АВ₁.

Отрезки АD₁, B₁D₁и АD₁являются диагоналями граней куба, то есть все они равны, значит треугольник АD₁B₁ является равносторонним. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов.

Таким образом, угол между прямыми АD₁ и B₁D₁ равен 60⁰.

Ответ: 60

318474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA₁ = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A₁C₁.

Построим отрезки CD и A₁C₁:

В данной задаче имеем скрещивающиеся прямые, то есть сами они не имеют общей точки пересечения. Но этот угол между скрещивающимся прямыми определяется. Как?

Простыми словами: если вы мысленно представите в пространстве две непараллельные прямые, то всегда существует такой перпендикуляр, который их соединяет. Так вот, если мы параллельным переносом сдвинем одну прямую к другой по этому перпендикуляру до пересечения этих прямых, то полученный между ними угол и будет тем самым искомым углом.

В кубах и параллелепипедах, где прямые проходят через рёбра и диагонали такие углы определить несложно. А вот в части С присутствуют задания со скрещивающимися прямыми на порядок сложнее.

Вернёмся к нашей задаче.

Мысленно сдвинем отрезок CD вдоль перпендикуляра СC₁ до пересечения с прямой A₁C₁. Получается, что необходимо найти синус угла между A₁C₁ и C₁D₁. Это мы можем сделать воспользовавшись определением синуса в прямоугольном треугольнике А₁C₁D₁. Найдём:

По определению синуса:

Ответ: 0,6

318475. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC. Найдите острый угол между диагоналями BD₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD₁ и CA₁:

Сразу отметим, что диагонали BD₁ и CA₁ являются диагоналями прямоугольника A₁BCD₁, то есть они равны между собой и равны диагонали AC₁ (так как призма правильная четырехугольная).

Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

A₁С = D₁B

A₁O = ОС и D₁O = ОB

A₁O = ОС = D₁O = ОB

В условии сказано, что AC₁ = 2BC, значит имеем BD₁= CA₁ = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:

BO = ОС = BC и A₁O = ОD₁ = A₁D₁

то есть треугольники BОС и A₁OD₁ равносторонние.

Таким образом, угол острый между диагоналями равен 60⁰.

Ответ: 60

В данных заданиях используется теорема Пифагора, для нахождения углов необходимо владеть понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3.

Посмотреть решение

245360. Найдите расстояние между вершинами A и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3.

Посмотреть решение

245361. Найдите угол ABD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

245362. Найдите угол C₁BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 4. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

245363. Найдите угол DBD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA₁ = 5. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

284357. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁ = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA₁.

Посмотреть решение

284363. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁ = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA₁.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Ответ:параллельны

Объяснение:

может быть что-то такое

Решение в скане…………..

Ответ:

Объяснение:#1 за допомогою кутника накреслить перпендикуляр на відстані 2,4 см ( середина)

#2 усередині

#3 на одній із сторін

#4 медіана ділить сторону( основу) навпіл, отже половини основ будуть рівні, тоді ребра також будуть рівні, бо виходять із однієї точки і закінчуються на рівних половинах основи

ΔRKT∞ΔRET (<R общий и <RKE=<KTE по условию)
Следовательно RT/RK=KT/KE=RK/RE
17/10=10/RE
RE=100/17=5 15/17

<AME=90⇒x=ME=√(AE²-AM²)=√(169-25)=√144=12
ΔMAE∞ΔCAB (<A-общий и <AME=<ACB по условию)
AM/AC=ME/CB
5/(5+10)=12/y
y=(15*12)/5=36

Источник

Тема 2.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Прямоугольный параллелепипед

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен
48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Показать ответ и решение

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному
ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна . Тогда

48
2 ⋅6⋅x = 48 ⇒ x = -- = 4
12

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и . Найдите его диагональ.

Показать ответ и решение

Пусть .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD () имеем:
.

Из прямоугольного треугольника BB1D ( ∘
∠B = 90 ) по теореме Пифагора 2 2 2
B1D = BD + BB 1 .

Подставляя BD2 из первого равенства во второе, получим:

Показать ответ и решение

Так как то По теореме
Пифагора

∘----2-----2 ∘ -2---2-
B1C = B1C 1 + CC 1 = 12 + 9 = 15.

Следовательно,

B1C1 12
sin ∠B1CC1 = B1C--= 15 = 0,8.

Показать ответ и решение

Искомый объем равен половине объема прямоугольного параллелепипеда
следовательно, он равен

1 1
V = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅AA1 = 2 ⋅6⋅5⋅4= 60.

Показать ответ и решение

Многогранник, объем которого необходимо найти, является прямоугольной
треугольной пирамидой, высота которой равна BB1, а основание представляет
собой прямоугольный треугольник ABC. Следовательно, этот объем равен

1 1 1 1
VB1ABC = 3 ⋅BB1 ⋅2 ⋅AB ⋅BC = 3 ⋅6⋅ 2 ⋅9⋅7= 63.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что CC1 =9,
AB = 2, Найдите длину диагонали BD1.

Показать ответ и решение

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями и длина его диагонали
равна

∘ -2---2--2-
d= a + b +c .

Следовательно,

∘ -2---2---2
BD1 = 9 + 2 + 6 = 11.

От прямоугольного параллелепипеда отсекли многогранник, вершинами которого являются точки
Найдите объём оставшейся части, если объём отсечённой части равен 8.

Показать ответ и решение

Запишем выражение для объёма пирамиды D1ACD, который по условию равен 8:

1
VD1ACD = 3 ⋅DD1 ⋅SACD = 8 ⇒ SACD ⋅DD1 = 24

Заметим, что Найдём объём всего параллелепипеда:

Тогда объём оставшейся части равен

Показать ответ и решение

Способ 1.

Заметим, что объем многогранника, вершинами которого являются
точки в два раза меньше объема прямоугольного
параллилепипеда, поскольку это призма с основанием, в два раза меньше, чем у
параллелепипеда.

Тогда — искомый объём, — объём параллелепипеда:

Способ 2.

Полученный многогранник представляет из себя прямую призму с основаниями
AA D
1 и BB C,
1 объём которой вычисляет ся по формуле

Дан прямоугольный параллелепипед . Во сколько раз объем пирамиды AA1BD
меньше объема этого параллелепипеда?

Показать ответ и решение

Пусть AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда объем параллелепипеда равен

Так
как (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании
лежит прямоугольник), то объем пирамиды

1- 1- 1- 1-
Vpir = 3 ⋅ SABC ⋅ AA1 = 3 ⋅2xy ⋅ z = 6xyz.

Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны 185, 185 и 37; а ребра другого равны 185, 37 и 37. Во сколько раз
объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Показать ответ и решение

Отношение их объемов равно:

V1 = 185⋅185-⋅37= 185 =5.
V2 185⋅37⋅37 37

В прямоугольном параллелепипеде : √ ---
AB1 = 13 , AD1 = 5 , √ --
AC = 2 5 . Чему равна
сумма всех ребер параллелепипеда?

Показать ответ и решение

Так как – прямоугольный параллелепипед, то A1C1 – проекция M C1 на
, тогда по теореме Пифагора

2 2 2
M C1 = M A1 + A1C1 ,

при
этом по теореме Пифагора

откуда

√ --
M C12 = a2 + 17a2 = 18a2 ⇒ M C1 = 3a 2.

Так как – прямоугольный параллелепипед, то по теореме Пифагора

√ ---
M D2 = M A2 + AD2 = a2 + 16a2 = 17a2 ⇒ M D = a 17.

Аналогично по теореме Пифагора

√ --
C1D2 = C1D12 + D1D2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ C1D = a 5.

Таким образом,

√ -- √ --- √ --
PC1MD = C1M + M D + C1D = 3a 2 + a 17 + a 5,

тогда

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит
прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, M M1 ) параллельны боковым ребрам
призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в
одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть
– длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника . Так как
M N KP – прямоугольник, то есть , то . Заметим также, что вообще говоря
, а PK = AD .
Пусть – сторона шестиугольника. Его угол равен 120 ∘ , следовательно, по теореме косинусов:

√ --
BF 2 = a2 + a2 − 2a ⋅ a ⋅ cos120 ∘ = 3a2 ⇒ M P = a 3.

Заметим также, что ∘
∠M AB = 30 , следовательно, в треугольнике M AB :

M B 1
sin 30∘ = ----- ⇒ M B = --a.
AB 2

Следовательно, .
Значит, M N KP – прямоугольник со сторонами a√3-- и .

Площадь правильного шестиугольника равна √ --
3--3-a2
2 , следовательно, объем призмы

√ --
3 3 2
Vprism = --2--a h,

а
объем параллелепипеда

√ -- √ --
Vparallel = a 3 ⋅ 2a ⋅ h = 2 3a2h

Следовательно,

Vprism 3
------- = --= 0,75.
Vparallel 4

Показать ответ и решение

Так как AD = DC , то грани AA1D1D и DD1C1C равны, следовательно, и их диагонали
равны, значит, . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся
пополам, то . Рассмотрим : в нем M N является средней
линией, следовательно, она равна половине основания A1C1 , которое в свою очередь является
диагональю квадрата , следовательно, равно √ -- √ --
3 2 ⋅ 2 = 6 . Следовательно, M N = 3 .