Как найти синус косинус тангенс полуокружности - AvtoShod.ru

В системе координат построим полуокружность радиуса (1) с центром в начале координат.

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В треугольнике (AOX):

Так как радиус полуокружности (R = AO = 1), то

sinα=AX;cosα=OX

Длина отрезка (AX) равна величине координаты (y) точки (A), а длина отрезка (OX) равна величине координаты (x) точки (A):

Следовательно, для углов

0°≤α≤180°

видно, что

−1≤cosα≤1;0≤sinα≤1

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для

0°;90°;180°

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0;sin90°=1;cos90°=0;tg90° не существует;sin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0.

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике (AOX). Если вместе они образуют

90°

, то оба выразим через

Если

sinα=AXAO;cosα=OXAO

, то

sin90°−α=OXAO;cos90°−α=AXAO

Видим, что справедливы равенства:

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

Рассмотрим тупой угол, который также выразим через

Справедливы следующие равенства:

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Эти формулы называются формулами приведения:

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Если в треугольнике (AOX) применить теорему Пифагора, получаем

AX2+OX2=1

. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем

Главное тригонометрическое тождество

Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус

(как уже отмечено, синус для углов

0°≤α≤180°

только 0 или положительный):

sin2α+cos2α=1;sin2α=1−cos2α;sinα=1−cos2α

— или величину косинуса угла, если дан синус:

sin2α+cos2α=1;cos2α=1−sin2α;cosα=±1−sin2α.

Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.

Источник

В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями
синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника.
Давайте вспомним их.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к прилежащему.

;

Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60
градусов. Давайте вспомним ее.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса,
тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.

Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус
которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом
координат.

Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О
давайте проведем произвольный луч h. Этот луч
пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h
и положительным направлением оси Ox обозначим за α.
Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h
совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч
h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М
перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный
треугольник ОМD.

Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности
равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны
x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы
получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α
равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для
углов в 90º и 180º.

Для любого угла синусом
угла называется
ордината точки
, а косинусом
угла абсцисса
точки

Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината
точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать
значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и
косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.

Задача. Может ли:

а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?

Решение.

а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны
принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не
может быть равна 4 и 5.

б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox,
то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината
точки может быть равна но не
может быть равна .

Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной
полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .

Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB.
Координаты точки B равны (0;1), значит, , .

Проводя аналогичные рассуждения, получим , .

Задача. Определить координаты точки , если:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

б)

в)

Ответ: ; ; .

Решим теперь обратную задачу.

Задача. Определить , , если:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

б)

в)

Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а
значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы
немного уточнили определение тангенса.

Тангенсом угла , называется
.

Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же
формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако,
если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0,
а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить
нельзя, поэтому
, – не существует. Таким образом, мы немного уточнили
определение котангенса.

Котангенсом угла , называется
.

Задача. Определить , , если:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

д)

Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу
синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º,
60º, 90º, 180º.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки

Тангенсом угла , называется
.

Котангенсом угла , называется
.

Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и
тангенсов для некоторых углов.

Источник

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

koordinaty na trigonometricheskoj okruzhnosti

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

chetverti (chasti) trigonometricheskoj okruzhnosti

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

( displaystyle angle text{AOB}=angle text{BOC}=angle text{COD}=angle text{DOA}=90{}^circ )

Тогда чему равна их сумма?

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

( displaystyle angle Atext{OC}=angle text{AOB}+angle text{BOC}=180{}^circ )

Что еще можно вытянуть? А вот что:

( displaystyle angle Atext{OD}=angle text{AOB}+angle text{BOC}+angle text{COD}=270{}^circ )

Отметим эти значения также на нашей окружности:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti cherez radiany i chislo pi

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

Через градусы
Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

( displaystyle 180{}^circ =pi ~рад.)

И все, больше знать ничего не надо!

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

treugolnik na trigonometricheskoj okruzhnosti

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

( y=sin alpha )
( x=cos alpha )

sinus i kosinus na trigonometricheskoj okruzhnosti

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла;
Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

( sin 30{}^circ =0,5)

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1) или, что то же самое,

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот.

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

( frac{1}{4}+co{{s}^{2}}30{}^circ =1)

( displaystyle co{{s}^{2}}30{}^circ =frac{3}{4})

( displaystyle cos 30{}^circ =pm sqrt{frac{3}{4}}=pm frac{sqrt{3}}{2})

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60{}^circ ) и ( displaystyle 45{}^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60{}^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60{}^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30{}^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

( displaystyle sin 30{}^circ =cos 60{}^circ )

( displaystyle sin 60{}^circ =cos 30{}^circ )

Тогда так как ( displaystyle sin 30{}^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60{}^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}), то и ( displaystyle sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ +co{{s}^{2}}45{}^circ =2si{{n}^{2}}45{}^circ =1)

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ =co{{s}^{2}}45{}^circ =1/2)

Откуда: ( displaystyle sin 45{}^circ =cos 45{}^circ =sqrt{1/2}=frac{sqrt{2}}{2})

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0{}^circ =0), ( displaystyle cos 0{}^circ =1), ( displaystyle sin 90{}^circ =1), ( displaystyle cos 90{}^circ =0).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text{t}g alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }), ( displaystyle ctg alpha =frac{cos alpha }{sin alpha })

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

tablitsa znachenij trigonometricheskih funktsij

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

( displaystyle ctg 0=frac{cos 0}{sin 0}=frac{1}{0}=?????)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 1

…вот такой:

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 2

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

trigonometricheskaya okruzhnost znaki raznyh chetvertej

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

trigonometricheskaya okruzhnost ugly bolshe 360 gradusov

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

trigonometriya otritsatelnye ugly okruzhnost

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly cherez polozhitelnye

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

trigonometricheskaya okruzhnost polozhitelnye i otritsatelnye ugly

В целом правило можно сформулировать вот так:

Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

sinus ot otritsatelnogo kosinus ot otritsatelnogo na okruzhnosti

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}),

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Тогда если ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=text{x}),

то и ( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{x})

( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{cos} text{ }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{tg }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{ctg} text{ }!!alpha!!text{ })

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

bolshaya tablitsa trigonometriya znacheniya

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

( displaystyle sinleft( -x right)=-sin x)
( displaystyle tgleft( -x right)=-tgleft( x right))
( displaystyle cosleft( -x right)=cosleft( x right))

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Например:

( displaystyle sinleft( -855{}^circ right)=-sin855{}^circ),

( displaystyle cosleft( -855{}^circ right)=cos855{}^circ).

Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: ( displaystyle 2pi k) (по ( displaystyle 360) градусов), а для тангенса – ( displaystyle pi k) (( displaystyle 180) градусов).

Например:

( displaystyle sin 855{}^circ =sinleft( 2cdot 360{}^circ +135{}^circ right)=sin 135{}^circ )( displaystyle tg 225{}^circ =tgleft( 180{}^circ +45{}^circ right)=tg 45{}^circ )

Если оставшийся «уголок» меньше ( displaystyle 90) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

…так, чтобы оставшийся угол ( displaystyle beta ) был больше нуля и меньше ( displaystyle 90) градусов.

Например:

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла.

Если же ты выбрал запись через ( displaystyle 90) или ( displaystyle 270) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Источник

В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Из точки О проведём луч m, который пересекает построенную полуокружность в точке М с координатами х; у.
Обозначим угол между лучом m и положительной полуосью абсцисс буквой α.

Если угол α острый, то в прямоугольном треугольнике МОН длина катета ОН равна значению абсциссы точки М, то есть х, длина катета МН равна ординате точки М, то есть у, а длина гипотенузы ОМ равна единице.

В прямоугольном треугольнике МОН синус острого угла α равен отношению противолежащего катета МН к гипотенузе ОМ:
⁡ sin α = (МН)/(ОМ/) = y/1 = y
То есть синус острого угла α равен ординате у точки М:
sin⁡α = y
В прямоугольном треугольнике МОН косинус острого угла α равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОМ:
cos⁡α = ОН/ОМ = x/1 = x
То есть косинус острого угла α равен абсциссе х точки М:
cos⁡α = x
Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус угла определяется по тем же формулам.
Таким образом, для любого угла α из промежутка от 0 до 180 градусов синусом угла α называется ордината соответствующей точки М единичной полуокружности, а косинусом угла α – абсцисса данной точки:
если 0°≤ α ≤180°, то
sinα = y,
cosα = x,
где (x; y) – координаты соответствующей точки единичной полуокружности.
Так как абсциссы всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от минус единицы до единицы, то справедливо неравенство: –1 ≤ cos⁡α ≤1
Так как ординаты всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от нуля до единицы, то справедливо неравенство: 0 ≤ sin⁡α ≤1
Тангенсом угла альфа называется отношение синуса альфа к косинусу альфа:
tg α = sin⁡α/cos⁡α
Котангенсом угла альфа называется отношение косинуса альфа к синусу альфа:
ctg α = cos⁡α/sin⁡α
Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, равного нулю градусов. Для этого рассмотрим луч ОА. Он пересекает единичную полуокружность в точке А. Ордината точки А равна нулю, значит синус нуля градусов равен нулю: sin⁡0° = 0. Абсцисса точки А равна единице, значит косинус нуля градусов равен одному: cos⁡0° = 1. Чтобы найти значение тангенса угла, равного нулю градусов, разделим значение синуса этого угла на значение косинуса. Тангенс угла, равного нулю градусов, равен нулю: tg 0° = sin⁡ 0°/cos⁡0° = 0/1 = 0. Котангенс угла, равного нулю градусов не определён, так как синус угла, равного нулю градусов, равен нулю и в формуле котангенса знаменатель обращается в нуль: ctg α = cos⁡0°/sin⁡0° = 1/0 – значение не определено
Рассмотрев лучи ОВ и ОС, получим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов девяносто градусов и сто восемьдесят градусов:
sin⁡ 90° = 1, cos⁡ 90° = 0,
tg 90° — не определён
сtg 90° = 0
sin⁡ 180° = 0, cos⁡ 180° = –1,
tg 180° = 0
сtg 180° — не определён

Источник

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. 1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  3. И синус, и косинус принимают значения от до .
  4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — 360 градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в $180^{circ}$ , точка с координатами — углу в $90^{circ}$ . Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha .

Например:

$cosmkern 2mu 60^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2};$

$cosmkern 2mu 0^{circ}=1;$
$sinmkern 2mu 45^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2};$
$sinmkern 2mu 240^{circ}=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}.$

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу alpha , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла alpha ) и по (это синус угла alpha ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 pi радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол $-30^{circ}$ — это угол величиной в $30^{circ}$ , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

,
.

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол $732^{circ}$ — это два полных оборота по часовой стрелке и еще $12^{circ}$ . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через $360^{circ}$ . То есть:

$cosmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=cosmkern 2mualpha$ ,
$sinmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=sinmkern 2mualpha$ ,

где — целое число.

То же самое можно записать в радианах:

,
.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

По определению:

$tgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sinmkern 2mualpha}{displaystyle cosmkern 2mualpha},$

$ctgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cosmkern 2mualpha}{displaystyle sinmkern 2mualpha}.$

В результате получим следующую таблицу.

0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2 pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5 pi}{displaystyle 6}$
0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			не существует			$-frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0
не существует			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0	$-frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			не существует

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Построение тригонометрической окружности

Углы на тригонометрической окружности

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Углы больше 360 градусов

Отрицательные углы

Формулы приведения

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Не пропустите также: