Синусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: синус угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.
В случае с рисунком, описанным выше: sinα=acsinalpha=frac{a}{c}
В треугольнике, один из углов которого равен 90 градусам, известен катет при угле αalpha и равен он 3 см3text{ см}. Также дано произведение длин катетов и равно 12 см212text{ см}^2. Найдите синус угла αalpha.
Решение
Сначала нужно найти длину неизвестного нам катета. Для этого воспользуемся данным нам произведением. Обозначим неизвестный катет за xx. Тогда, по условию задачи:
3⋅x=123cdot x=12
x=123=4x=frac{12}{3}=4
a=x=4a=x=4
По теореме Пифагора найдем гипотенузу:
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
42+32=c24^2+3^2=c^2
25=c225=c^2
c=5c=5
sinα=ac=45=0.8sinalpha=frac{a}{c}=frac{4}{5}=0.8
Ответ
0.80.8
Вычислите синус 45 градусов.
Решение
Для этого воспользуемся тригонометрической таблицей углов. Находим, что:
sin45∘=π4=0.785sin 45^circ=frac{pi}{4}=0.785
Ответ
0.7850.785
Если в задаче известен косинус угла и нужно найти его синус, то наличие известных длин катетов и гипотенузы не обязательны. Достаточно просто воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое имеет следующий вид:
sin2α+cos2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1
αalpha — любой угол.
Квадрат косинуса угла в треугольнике равен 0.8. Найдите синус данного угла.
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin2α+cos2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1
sin2α+0.8=1sin^2alpha+0.8=1
sin2α=0.2sin^2alpha=0.2
sinα=0.2sinalpha=sqrt{0.2}
sinα≈0.447sinalphaapprox0.447
Ответ
0.4470.447
Испытываете проблемы с вычислением синуса? Оформите задачу по математике на заказ у наших экспертов!
Тест по теме «Вычисление синуса»
— перевести градусы в радианы (* pi / 180), воспользоваться любым стандартным методом вычисления синуса, например, функцией sin из стандартной библиотеки или рядом Тейлора
— воспользоваться таблицей Брадиса для градусов, при необходимости выполнить интерполяцию
Не понял, что такое «градусная мера».
Если вы о величине угла в градусах, то для перевода в радианы достаточно вспомнить пропорции, класс 4 или 5.
180° = π рад
х° = ? рад
Ряд Тейлора для синуса:
sin(x) = x - x³/(3!) + x⁵/(5!) - x⁷/(7!) + x⁹/(9!) - ...В зависимости от того что важнее скорость вычисления или память — можно воспользоваться таким способом или табличным. Для микроконтроллеров это более-менее актуально, а для «больших» систем — не думаю что стоит так упарываться, только если не демку пишите, конечно.
Как найти синус, зная угол
Одной из фундаментальных основ точных наук является понятие о тригонометрических функциях. Они определяют простые отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Найти его, зная угол, можно большим количеством способов, включающих экспериментальные, вычислительные методы, а также использование справочной информации.
Вам понадобится
- — калькулятор;
- — компьютер;
- — электронные таблицы;
- — таблицы брадиса;
- — бумага;
- — карандаш.
Инструкция
Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для получения нужных значений на основании знания угла. Подобный функционал сегодня имеют даже самые простые устройства. При этом вычисления производятся с очень высокой степенью точности (как правило, до восьми и более знаков после запятой).
Примените программное обеспечение, представляющее собой среду для работы с электронными таблицами, запущенное на персональном компьютере. Примерами подобных приложений являются Microsoft Office Excel и OpenOffice.org Calc. Введите в любую ячейку формулу, состоящую из вызова функции вычисления синуса с нужным аргументом. Нажмите Enter. В ячейке отобразится искомая величина. Преимуществом электронных таблиц является возможность быстрого расчета значений функций для большого набора аргументов.
Узнайте приближенное значение синуса угла из таблиц Брадиса, если они имеются в наличии. Их недостатком является точность значений, ограниченная четырьмя знаками после запятой.
Найдите приближенное значение синуса угла, совершив геометрические построения. На листе бумаги вычертите отрезок. При помощи транспортира отложите от него угол, синус которого необходимо найти. Начертите еще один отрезок, пересекающий первый в некоторой точке. Перпендикулярно первому же отрезку проведите прямую линию, пересекающую два уже существующих отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Измерьте длину его гипотенузы и катета, противолежащего углу, построенному при помощи транспортира. Разделите второе значение на первое. Это и будет искомая величина.
Рассчитайте синус угла, используя разложение в ряд Тейлора. Если значение угла представлено в градусах, переведите его в радианы. Используйте формулу вида: sin(х) = х — (х^3)/3! + (х^5)/5! — (х^7)/7! + (х^9)/9! — … Для повышения скорости расчетов записывайте текущее значение числителя и знаменателя последнего члена ряда, производя вычисление следующего значения на основе предыдущего. Увеличивайте длину ряда для получения более точной величины.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.
Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).
Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.
Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co
Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.
Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.
Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.
Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.
Итак,
Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.
Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.
Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?
Дан треугольник АВС, угол С — прямой.
Стороны АВ, АС и ВС известны.
Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.
Другие углы можно найти, например, так:
если известен катет и гипотенуза
sinA = BC / AB,
sinB = AC / AB,
если известны два катета
tg A = BC / AC
tg B = AC / BC
Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.
Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.
Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.
sin 15° = 0,259
arcsin0,259 = 15°
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?
Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.
Еединичная окружность (единичный круг)
Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).
Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).
Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).
Координатные четверти отсчитываются так:
y
|
|
(II четверть) | (I четверть)
|
________________________ x
|0
|
(III четверть) | (IV четверть)
|
|
Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).
Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).
Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).
Например:
- углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
- углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
- углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
- углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.
Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.
Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.
Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.
Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.
Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.
Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.
Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.
Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.
Как найти синус угла, если известен косинус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
sin2a = 1 − cos2a
|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)
sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти косинус угла, если известен синус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 − sin2a
|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)
cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти синус угла, если известен котангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + ctg2 a = 1/sin2 a
sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)
|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)
Как найти косинус угла, если известен тангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + tg2 a = 1/cos2 a
cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)
|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)
Тригонометрическое тождество
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.
Основные тригонометрические тождества:
sin2a + cos2a = 1
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sin a
Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)
- arcsin — читается: арксинус;
- arcos — читается: арккосинус;
- arctg — читается: арктангенс;
- arcctg — читается: арккотангенс.
arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.
Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:
y = arcsin x sin y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:
y = arccos x cos y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Например,
sin 30° = 0,5
arcsin0,5 = 30°
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называется синусоидой.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
Источники информации:
- Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
- В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
- docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
- ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
- ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?
Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.
Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне.
А затем нужно применить теорему синусов.
Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B.
По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).
Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b;
A = arcsin[a * sin(B)/b].