Как найти символы кристоффеля - AvtoShod.ru - решение различных проблем

In mathematics and physics, the Christoffel symbols are an array of numbers describing a metric connection.^[1] The metric connection is a specialization of the affine connection to surfaces or other manifolds endowed with a metric, allowing distances to be measured on that surface. In differential geometry, an affine connection can be defined without reference to a metric, and many additional concepts follow: parallel transport, covariant derivatives, geodesics, etc. also do not require the concept of a metric.^[2]^[3] However, when a metric is available, these concepts can be directly tied to the «shape» of the manifold itself; that shape is determined by how the tangent space is attached to the cotangent space by the metric tensor.^[4] Abstractly, one would say that the manifold has an associated (orthonormal) frame bundle, with each «frame» being a possible choice of a coordinate frame. An invariant metric implies that the structure group of the frame bundle is the orthogonal group O(p, q). As a result, such a manifold is necessarily a (pseudo-)Riemannian manifold.^[5]^[6] The Christoffel symbols provide a concrete representation of the connection of (pseudo-)Riemannian geometry in terms of coordinates on the manifold. Additional concepts, such as parallel transport, geodesics, etc. can then be expressed in terms of Christoffel symbols.

In general, there are an infinite number of metric connections for a given metric tensor; however, there is a unique connection that is free of torsion, the Levi-Civita connection. It is common in physics and general relativity to work almost exclusively with the Levi-Civita connection, by working in coordinate frames (called holonomic coordinates) where the torsion vanishes. For example, in Euclidean spaces, the Christoffel symbols describe how the local coordinate bases change from point to point.

At each point of the underlying n-dimensional manifold, for any local coordinate system around that point, the Christoffel symbols are denoted Γⁱ_jk for i, j, k = 1, 2, …, n. Each entry of this n × n × n array is a real number. Under linear coordinate transformations on the manifold, the Christoffel symbols transform like the components of a tensor, but under general coordinate transformations (diffeomorphisms) they do not. Most of the algebraic properties of the Christoffel symbols follow from their relationship to the affine connection; only a few follow from the fact that the structure group is the orthogonal group O(m, n) (or the Lorentz group O(3, 1) for general relativity).

Christoffel symbols are used for performing practical calculations. For example, the Riemann curvature tensor can be expressed entirely in terms of the Christoffel symbols and their first partial derivatives. In general relativity, the connection plays the role of the gravitational force field with the corresponding gravitational potential being the metric tensor. When the coordinate system and the metric tensor share some symmetry, many of the Γⁱ_jk are zero.

The Christoffel symbols are named for Elwin Bruno Christoffel (1829–1900).^[7]

Note[edit]

The definitions given below are valid for both Riemannian manifolds and pseudo-Riemannian manifolds, such as those of general relativity, with careful distinction being made between upper and lower indices (contra-variant and co-variant indices). The formulas hold for either sign convention, unless otherwise noted.

Einstein summation convention is used in this article, with vectors indicated by bold font. The connection coefficients of the Levi-Civita connection (or pseudo-Riemannian connection) expressed in a coordinate basis are called Christoffel symbols.

Preliminary definitions[edit]

Given a coordinate system xⁱ for i = 1, 2, …, n on an n-manifold M, the tangent vectors

${displaystyle mathbf {e} _{i}={frac {boldsymbol {partial }}{{boldsymbol {partial }}x^{i}}}={boldsymbol {partial }}_{i},quad i=1,,2,,dots ,,n}$

define what is referred to as the local basis, with respect to the coordinate system xⁱ, of the tangent space to M at each point of its domain. These can be used to define the metric tensor:^{[further explanation needed]}

${displaystyle g_{ij}=mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{j}}$

and its inverse:

${displaystyle g^{ij}=left(g^{-1}right)_{ij}}$

which can in turn be used to define the dual basis:

${displaystyle mathbf {e} ^{i}=mathbf {e} _{j}g^{ji},quad i=1,,2,,dots ,,n}$

Some texts write $mathbf{g}_i$ for $mathbf {e} _{i}$ , so that the metric tensor takes the particularly beguiling form ${displaystyle g_{ij}=mathbf {g} _{i}cdot mathbf {g} _{j}}$ . This convention also leaves use of the symbol $e_{i}$ unambiguously for the vierbein.

Definition in Euclidean space[edit]

In Euclidean space, the general definition given below for the Christoffel symbols of the second kind can be proven to be equivalent to:

${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ij}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} ^{k}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot g^{km}mathbf {e} _{m}}$

Christoffel symbols of the first kind can then be found via index lowering:

${displaystyle Gamma _{kij}={Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} ^{m}g_{mk}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} _{k}}$

Rearranging, we see that (assuming the partial derivative belongs to the tangent space, which cannot occur on a non-Euclidean curved space):

${displaystyle {frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}={Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{k}=Gamma _{kij}mathbf {e} ^{k}}$

In words, the arrays represented by the Christoffel symbols track how the basis changes from point to point. If the derivative doesn’t lie on the tangent space, the right expression is the projection of the derivative over the tangent space (see covariant derivative below). Symbols of the second kind decompose the change with respect to the basis, while symbols of the first kind decompose it with respect to the dual basis. In this form, it’s easy to see the symmetry of the lower or last two indices:

${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ij}={Gamma ^{k}}_{ji}}$

and ${displaystyle Gamma _{kij}=Gamma _{kji},}$
from the definition of ${displaystyle mathbf {e} _{i}}$ and the fact that partial derivatives commute (as long as the manifold and coordinate system are well behaved).

The same numerical values for Christoffel symbols of the second kind also relate to derivatives of the dual basis, as seen in the expression:

${displaystyle {frac {partial mathbf {e} ^{i}}{partial x^{j}}}=-{Gamma ^{i}}_{jk}mathbf {e} ^{k},}$

which we can rearrange as:

${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}=-{frac {partial mathbf {e} ^{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} _{k}.}$

General definition[edit]

Christoffel symbols of the first kind[edit]

The Christoffel symbols of the first kind can be derived either from the Christoffel symbols of the second kind and the metric,^[8]

${displaystyle Gamma _{cab}=g_{cd}{Gamma ^{d}}_{ab},,}$

or from the metric alone,^[8]

${displaystyle Gamma _{cab}={frac {1}{2}}left({frac {partial g_{ca}}{partial x^{b}}}+{frac {partial g_{cb}}{partial x^{a}}}-{frac {partial g_{ab}}{partial x^{c}}}right)={frac {1}{2}},left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}right)={frac {1}{2}},left(partial _{b}g_{ca}+partial _{a}g_{cb}-partial _{c}g_{ab}right),.}$

As an alternative notation one also finds^[7]^[9]^[10]

${displaystyle Gamma _{cab}=[ab,c].}$

It is worth noting that [ab, c] = [ba, c].^[11]

Christoffel symbols of the second kind (symmetric definition)[edit]

The Christoffel symbols of the second kind are the connection coefficients—in a coordinate basis—of the Levi-Civita connection.
In other words, the Christoffel symbols of the second kind^[12]^[13] Γ^k_ij (sometimes Γ^k
_ij or {^k
_ij})^[7]^[12] are defined as the unique coefficients such that

${displaystyle nabla _{i}mathrm {e} _{j}={Gamma ^{k}}_{ij}mathrm {e} _{k},}$

where ∇_i is the Levi-Civita connection on M taken in the coordinate direction e_i (i.e., ∇_i ≡ ∇_{e_i}) and where e_i = ∂_i is a local coordinate (holonomic) basis. Since this connection has zero torsion, and holonomic vector fields commute (i.e. ${displaystyle [e_{i},e_{j}]=[partial _{i},partial _{j}]=0}$ ) we have

${displaystyle nabla _{i}mathrm {e} _{j}=nabla _{j}mathrm {e} _{i}.}$

Hence in this basis the connection coefficients are symmetric:^[12]

${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ij}={Gamma ^{k}}_{ji}.}$

For this reason, a torsion-free connection is often called symmetric.

The Christoffel symbols can be derived from the vanishing of the covariant derivative of the metric tensor g_ik:

${displaystyle 0=nabla _{l}g_{ik}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}-g_{mk}{Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{Gamma ^{m}}_{kl}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}-2g_{m(k}{Gamma ^{m}}_{i)l}.}$

As a shorthand notation, the nabla symbol and the partial derivative symbols are frequently dropped, and instead a semicolon and a comma are used to set off the index that is being used for the derivative. Thus, the above is sometimes written as

${displaystyle 0=,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Using that the symbols are symmetric in the lower two indices, one can solve explicitly for the Christoffel symbols as a function of the metric tensor by permuting the indices and resumming:^[11]

${displaystyle {Gamma ^{i}}_{kl}={frac {1}{2}}g^{im}left({frac {partial g_{mk}}{partial x^{l}}}+{frac {partial g_{ml}}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{kl}}{partial x^{m}}}right)={frac {1}{2}}g^{im}left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}right),}$

where (g^jk) is the inverse of the matrix (g_jk), defined as (using the Kronecker delta, and Einstein notation for summation) g^jig_ik = δ ^j_k. Although the Christoffel symbols are written in the same notation as tensors with index notation, they do not transform like tensors under a change of coordinates.

Contraction of indices[edit]

Contracting the upper index with either of the lower indices (those being symmetric) leads to

${displaystyle {Gamma ^{i}}_{ki}={frac {partial }{partial x^{k}}}ln {sqrt {|g|}}}$

where ${displaystyle g=det g_{ik}}$ is the determinant of the metric tensor. This identity can be used to evaluate divergence of vectors.

Connection coefficients in a nonholonomic basis[edit]

The Christoffel symbols are most typically defined in a coordinate basis, which is the convention followed here. In other words, the name Christoffel symbols is reserved only for coordinate (i.e., holonomic) frames. However, the connection coefficients can also be defined in an arbitrary (i.e., nonholonomic) basis of tangent vectors u_i by

${displaystyle nabla _{mathbf {u} _{i}}mathbf {u} _{j}={omega ^{k}}_{ij}mathbf {u} _{k}.}$

Explicitly, in terms of the metric tensor, this is^[13]

${displaystyle {omega ^{i}}_{kl}={frac {1}{2}}g^{im}left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}right),}$

where c_klm = g_mpc_kl^p are the commutation coefficients of the basis; that is,

${displaystyle [mathbf {u} _{k},,mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}mathbf {u} _{m}}$

where u_k are the basis vectors and [ , ] is the Lie bracket. The standard unit vectors in spherical and cylindrical coordinates furnish an example of a basis with non-vanishing commutation coefficients. The difference between the connection in such a frame, and the Levi-Civita connection is known as the contorsion tensor.

Ricci rotation coefficients (asymmetric definition)[edit]

When we choose the basis X_i ≡ u_i orthonormal: g_ab ≡ η_ab = ⟨X_a, X_b⟩ then g_mk,l ≡ η_mk,l = 0. This implies that

${displaystyle {omega ^{i}}_{kl}={frac {1}{2}}eta ^{im}left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}right)}$

and the connection coefficients become antisymmetric in the first two indices:

${displaystyle omega _{abc}=-omega _{bac},,}$

where

${displaystyle omega _{abc}=eta _{ad}{omega ^{d}}_{bc},.}$

In this case, the connection coefficients ω^a_bc are called the Ricci rotation coefficients.^[14]^[15]

Equivalently, one can define Ricci rotation coefficients as follows:^[13]

${displaystyle {omega ^{k}}_{ij}:=mathbf {u} ^{k}cdot left(nabla _{j}mathbf {u} _{i}right),,}$

where u_i is an orthonormal nonholonomic basis and u^k = η^klu_l its co-basis.

Transformation law under change of variable[edit]

Under a change of variable from ${displaystyle left(x^{1},,ldots ,,x^{n}right)}$ to ${displaystyle left({bar {x}}^{1},,ldots ,,{bar {x}}^{n}right)}$ , Christoffel symbols transform as

${displaystyle {{bar {Gamma }}^{i}}_{kl}={frac {partial {bar {x}}^{i}}{partial x^{m}}},{frac {partial x^{n}}{partial {bar {x}}^{k}}},{frac {partial x^{p}}{partial {bar {x}}^{l}}},{Gamma ^{m}}_{np}+{frac {partial ^{2}x^{m}}{partial {bar {x}}^{k}partial {bar {x}}^{l}}},{frac {partial {bar {x}}^{i}}{partial x^{m}}}}$

where the overline denotes the Christoffel symbols in the ${displaystyle {bar {x}}^{i}}$ coordinate system. The Christoffel symbol does not transform as a tensor, but rather as an object in the jet bundle. More precisely, the Christoffel symbols can be considered as functions on the jet bundle of the frame bundle of M, independent of any local coordinate system. Choosing a local coordinate system determines a local section of this bundle, which can then be used to pull back the Christoffel symbols to functions on M, though of course these functions then depend on the choice of local coordinate system.

For each point, there exist coordinate systems in which the Christoffel symbols vanish at the point.^[16] These are called (geodesic) normal coordinates, and are often used in Riemannian geometry.

There are some interesting properties which can be derived directly from the transformation law.

Relationship to parallel transport and derivation of Christoffel symbols in Riemannian space[edit]

If a vector $xi ^{i}$ is transported parallel on a curve parametrized by some parameter on a Riemannian manifold, the rate of change of the components of the vector is given by

${displaystyle {frac {dxi ^{i}}{ds}}=-{Gamma ^{i}}_{mj}{frac {dx^{m}}{ds}}xi ^{j}.}$

Now just by using the condition that the scalar product ${displaystyle g_{ik}xi ^{i}eta ^{k}}$ formed by two arbitrary vectors $xi ^{i}$ and ${displaystyle eta ^{k}}$ is unchanged is enough to derive the Christoffel symbols. The condition is

${displaystyle {frac {d}{ds}}left(g_{ik}xi ^{i}eta ^{k}right)=0}$

which by the product rule expands to

${displaystyle {frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}{frac {dx^{l}}{ds}}xi ^{i}eta ^{k}+g_{ik}{frac {dxi ^{i}}{ds}}eta ^{k}+g_{ik}xi ^{i}{frac {deta ^{k}}{ds}}=0.}$

Applying the parallel transport rule for the two arbitrary vectors and relabelling dummy indices and collecting the coefficients of ${displaystyle xi ^{i}eta ^{k}dx^{l}}$ (arbitrary), we obtain

${displaystyle {frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}=g_{rk}{Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{Gamma ^{r}}_{lk}.}$

This is same as the equation obtained by requiring the covariant derivative of the metric tensor to vanish in the General definition section. The derivation from here is simple. By cyclically permuting the indices in above equation, we can obtain two more equations and then linearly combining these three equations, we can express ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}}$ in terms of metric tensor.

Relationship to index-free notation[edit]

Let X and Y be vector fields with components Xⁱ and Y^k. Then the kth component of the covariant derivative of Y with respect to X is given by

${displaystyle left(nabla _{X}Yright)^{k}=X^{i}(nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}left({frac {partial Y^{k}}{partial x^{i}}}+{Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}right).}$

Here, the Einstein notation is used, so repeated indices indicate summation over indices and contraction with the metric tensor serves to raise and lower indices:

${displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$

Keep in mind that g_ik ≠ g^ik and that gⁱ_k = δ ⁱ_k, the Kronecker delta. The convention is that the metric tensor is the one with the lower indices; the correct way to obtain g^ik from g_ik is to solve the linear equations g^ijg_jk = δ ⁱ_k.

The statement that the connection is torsion-free, namely that

${displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,,Y]}$

is equivalent to the statement that—in a coordinate basis—the Christoffel symbol is symmetric in the lower two indices:

${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}={Gamma ^{i}}_{kj}.}$

The index-less transformation properties of a tensor are given by pullbacks for covariant indices, and pushforwards for contravariant indices. The article on covariant derivatives provides additional discussion of the correspondence between index-free notation and indexed notation.

Covariant derivatives of tensors[edit]

The covariant derivative of a contravariant vector field with components V^m is

${displaystyle nabla _{l}V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{l}}}+{Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$

By corollary, divergence of a vector can be obtained as

${displaystyle nabla _{i}V^{i}={frac {1}{sqrt {-g}}}{frac {partial left({sqrt {-g}},V^{i}right)}{partial x^{i}}}.}$

The covariant derivative of a covector field ω_m is

${displaystyle nabla _{l}omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{l}}}-{Gamma ^{k}}_{ml}omega _{k}.}$

The symmetry of the Christoffel symbol now implies

${displaystyle nabla _{i}nabla _{j}varphi =nabla _{j}nabla _{i}varphi }$

for any scalar field, but in general the covariant derivatives of higher order tensor fields do not commute (see curvature tensor).

The covariant derivative of a type (2, 0) tensor field A^ik is

${displaystyle nabla _{l}A^{ik}={frac {partial A^{ik}}{partial x^{l}}}+{Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$

that is,

${displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{Gamma ^{k}}_{ml}.}$

If the tensor field is mixed then its covariant derivative is

${displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{Gamma ^{m}}_{kl},}$

and if the tensor field is of type (0, 2) then its covariant derivative is

${displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Contravariant derivatives of tensors[edit]

To find the contravariant derivative of a vector field, we must first transform it into a covariant derivative using the metric tensor

${displaystyle nabla ^{l}V^{m}=g^{il}nabla _{i}V^{m}=g^{il}partial _{i}V^{m}+g^{il}Gamma _{ki}^{m}V^{k}=partial ^{l}V^{m}+g^{il}Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$

Applications[edit]

In general relativity[edit]

The Christoffel symbols find frequent use in Einstein’s theory of general relativity, where spacetime is represented by a curved 4-dimensional Lorentz manifold with a Levi-Civita connection. The Einstein field equations—which determine the geometry of spacetime in the presence of matter—contain the Ricci tensor, and so calculating the Christoffel symbols is essential. Once the geometry is determined, the paths of particles and light beams are calculated by solving the geodesic equations in which the Christoffel symbols explicitly appear.

In classical (non-relativistic) mechanics[edit]

Let $x^{i}$ be the generalized coordinates and ${displaystyle {dot {x}}^{i}}$ be the generalized velocities, then the kinetic energy for a unit mass is given by ${displaystyle T={tfrac {1}{2}}g_{ik}{dot {x}}^{i}{dot {x}}^{k}}$ , where ${displaystyle g_{ik}}$ is the metric tensor. If ${displaystyle Vleft(x^{i}right)}$ , the potential function, exists then the contravariant components of the generalized force per unit mass are ${displaystyle F_{i}=partial V/partial x^{i}}$ . The metric (here in a purely spatial domain) can be obtained from the line element ${displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$ . Substituting the Lagrangian L=T-V into the Euler-Lagrange equation, we get^[19]

${displaystyle g_{ik}{ddot {x}}^{k}+{frac {1}{2}}left({frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}+{frac {partial g_{il}}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{lk}}{partial x^{i}}}right){dot {x}}^{l}{dot {x}}^{k}=F_{i}.}$

Now multiplying by $g^{ij}$ , we get

${displaystyle {ddot {x}}^{j}+{Gamma ^{j}}_{lk}{dot {x}}^{l}{dot {x}}^{k}=F^{j}.}$

When Cartesian coordinates can be adopted (as in inertial frames of reference), we have an Euclidean metrics, the Christoffel symbol vanishes, and the equation reduces to Newton’s second law of motion. In curvilinear coordinates^[20] (forcedly in non-inertial frames, where the metrics is non-Euclidean and not flat), fictitious forces like the Centrifugal force and Coriolis force originate from the Christoffel symbols, so from the purely spatial curvilinear coordinates.

In earth surface coordinates[edit]

Given a spherical coordinate system, which describes points on the earth surface (approximated as an ideal sphere).

${displaystyle {begin{aligned}x(R,theta ,varphi )&={begin{pmatrix}Rcos theta cos varphi &Rcos theta sin varphi &Rsin theta end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

For a point x, R is the distance to the earth core (usually approximately the earth radius). θ and φ are the latitude and longitude. Positive θ is the northern hemisphere. To simplify the derivatives, the angles are given in radians (where d sin(x)/dx = cos(x), the degree values introduce an additional factor of 360 / 2 pi).

At any location, the tangent directions are ${displaystyle e_{R}}$ (up), ${displaystyle e_{theta }}$ (north) and ${displaystyle e_{varphi }}$ (east) — you can also use indices 1,2,3.

${displaystyle {begin{aligned}e_{R}&={begin{pmatrix}cos theta cos varphi &cos theta sin varphi &sin theta end{pmatrix}}\e_{theta }&=Rcdot {begin{pmatrix}-sin theta cos varphi &-sin theta sin varphi &cos theta end{pmatrix}}\e_{varphi }&=Rcos theta cdot {begin{pmatrix}-sin varphi &cos varphi &0end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

The related metric tensor has only diagonal elements (the squared vector lengths). This is an advantage of the coordinate system and not generally true.

${displaystyle {begin{aligned}g_{RR}=1qquad &g_{theta theta }=R^{2}qquad &g_{varphi varphi }=R^{2}cos ^{2}theta qquad &g_{ij}=0quad mathrm {else} \g^{RR}=1qquad &g^{theta theta }=1/R^{2}qquad &g^{varphi varphi }=1/(R^{2}cos ^{2}theta )qquad &g^{ij}=0quad mathrm {else} \end{aligned}}}$

Now the necessary quantities can be calculated. Examples:

${displaystyle {begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1cdot e_{R}&={begin{pmatrix}cos theta cos varphi &cos theta sin varphi &sin theta end{pmatrix}}\{Gamma ^{R}}_{varphi varphi }=e^{R}cdot {frac {partial }{partial varphi }}e_{varphi }&=e^{R}cdot {begin{pmatrix}-Rcos theta cos varphi &-Rcos theta sin varphi &0end{pmatrix}}=-Rcos ^{2}theta \end{aligned}}}$

The resulting Christoffel symbols of the second kind ${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}cdot {frac {partial e_{j}}{partial x^{i}}}}$ then are (organized by the «derivative» index i in a matrix):

${displaystyle {begin{aligned}{begin{pmatrix}{Gamma ^{R}}_{RR}&{Gamma ^{R}}_{theta R}&{Gamma ^{R}}_{varphi R}\{Gamma ^{theta }}_{RR}&{Gamma ^{theta }}_{theta R}&{Gamma ^{theta }}_{varphi R}\{Gamma ^{varphi }}_{RR}&{Gamma ^{varphi }}_{theta R}&{Gamma ^{varphi }}_{varphi R}\end{pmatrix}}&=quad {begin{pmatrix}0&0&0\0&1/R&0\0&0&1/Rend{pmatrix}}\{begin{pmatrix}{Gamma ^{R}}_{Rtheta }&{Gamma ^{R}}_{theta theta }&{Gamma ^{R}}_{varphi theta }\{Gamma ^{theta }}_{Rtheta }&{Gamma ^{theta }}_{theta theta }&{Gamma ^{theta }}_{varphi theta }\{Gamma ^{varphi }}_{Rtheta }&{Gamma ^{varphi }}_{theta theta }&{Gamma ^{varphi }}_{varphi theta }\end{pmatrix}}quad &={begin{pmatrix}0&-R&0\1/R&0&0\0&0&-tan theta end{pmatrix}}\{begin{pmatrix}{Gamma ^{R}}_{Rvarphi }&{Gamma ^{R}}_{theta varphi }&{Gamma ^{R}}_{varphi varphi }\{Gamma ^{theta }}_{Rvarphi }&{Gamma ^{theta }}_{theta varphi }&{Gamma ^{theta }}_{varphi varphi }\{Gamma ^{varphi }}_{Rvarphi }&{Gamma ^{varphi }}_{theta varphi }&{Gamma ^{varphi }}_{varphi varphi }\end{pmatrix}}&=quad {begin{pmatrix}0&0&-Rcos ^{2}theta \0&0&cos theta sin theta \1/R&-tan theta &0end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

These values show how the tangent directions (columns: ${displaystyle e_{R}}$ , ${displaystyle e_{theta }}$ , ${displaystyle e_{varphi }}$ ) change, seen from an outside perspective (e.g. from space), but given in the tangent directions of the actual location (rows: R, θ, φ).

As an example, take the nonzero derivatives by θ in ${displaystyle {Gamma ^{k}}_{j theta }}$ , which corresponds to a movement towards north (positive dθ):

These effects are maybe not apparent during the movement, because they are the adjustments that keep the measurements in the coordinates R, θ, φ. Nevertheless, it can affect distances, physics equations, etc. So if e.g. you need the exact change of a magnetic field pointing approximately «south», it can be necessary to also correct your measurement by the change of the north direction using the Christoffel symbols to get the «true» (tensor) value.

The Christoffel symbols of the first kind ${displaystyle {Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{Gamma ^{k}}_{ji}}$ show the same change using metric-corrected coordinates, e.g. for derivative by φ:

${displaystyle {begin{aligned}{begin{pmatrix}{Gamma _{R}}_{Rvarphi }&{Gamma _{R}}_{theta varphi }&{Gamma _{R}}_{varphi varphi }\{Gamma _{theta }}_{Rvarphi }&{Gamma _{theta }}_{theta varphi }&{Gamma _{theta }}_{varphi varphi }\{Gamma _{varphi }}_{Rvarphi }&{Gamma _{varphi }}_{theta varphi }&{Gamma _{varphi }}_{varphi varphi }\end{pmatrix}}&=Rcos theta {begin{pmatrix}0&0&-cos theta \0&0&Rsin theta \cos theta &-Rsin theta &0end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Notes[edit]

^ See, for instance, (Spivak 1999) and (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)
^ Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-000423-4 (See section 2.1)
^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation (1973) W. H. Freeman ISBN 0-7167-0334-3 (See chapters 8-11)
^ Misner, Thorne, Wheeler, op. cit. (See chapter 13)
^ Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2
^ David Bleeker, Gauge Theory and Variational Principles (1991) Addison-Wesely Publishing Company ISBN 0-201-10096-7
^ ^a ^b ^c Christoffel, E.B. (1869), «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 70: 46–70
^ ^a ^b Ludvigsen, Malcolm (1999), General Relativity: A Geometrical Approach, p. 88
^ Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Vector and Tensor Analysis. p. 480.
^ Struik, D.J. (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (first published in 1988 Dover ed.). p. 114.
^ ^a ^b Bishop, R.L.; Goldberg (1968), Tensor Analysis on Manifolds, p. 241
^ ^a ^b ^c Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Vector & Tensor Analysis. p. 480.
^ ^a ^b ^c «Christoffel Symbol of the Second Kind — from Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 2009-01-23.
^ G. Ricci-Curbastro (1896). «Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque». Mem. Acc. Lincei. 2 (5): 276–322.
^ H. Levy (1925). «Ricci’s coefficients of rotation». Bull. Amer. Math. Soc. 31 (3–4): 142–145. doi:10.1090/s0002-9904-1925-03996-8.
^ This is assuming that the connection is symmetric (e.g., the Levi-Civita connection). If the connection has torsion, then only the symmetric part of the Christoffel symbol can be made to vanish.
^ Einstein, Albert (2005). «The Meaning of Relativity (1956, 5th Edition)». Princeton University Press (2005).
^ Schrödinger, E. (1950). Space-time structure. Cambridge University Press.
^ Adler, R., Bazin, M., & Schiffer, M. Introduction to General Relativity (New York, 1965).
^ David, Kay, Tensor Calculus (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 (See section 11.4)

References[edit]

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin/Cummings Publishing, pp. See chapter 2, paragraph 2.7.1, ISBN 0-8053-0102-X
Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1965), Introduction to General Relativity (First ed.), McGraw-Hill Book Company
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1951), The Classical Theory of Fields, Course of Theoretical Physics, vol. 2 (Fourth Revised English ed.), Oxford: Pergamon Press, pp. See chapter 10, paragraphs 85, 86 and 87, ISBN 0-08-025072-6
Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66721-8
Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1970), Gravitation, New York: W.H. Freeman, pp. See chapter 8, paragraph 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
Ludvigsen, Malcolm (1999), General Relativity: A Geometrical Approach, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
Spivak, Michael (1999), A Comprehensive introduction to differential geometry, vol. 2, Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Vector & Tensor Analysis. Academic Publishers. ISBN 978-93-8059-905-2.
Struik, D.J. (1961). Lectures on Classical Differential Geometry (first published in 1988 Dover ed.). Dover. ISBN 0-486-65609-8.
P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
«Several Tensor Equations Shown In Full». www.tero.co.uk. Retrieved 2023-01-01.

Источник

Время на прочтение
8 мин

Количество просмотров 59K

Содержание

Что такое тензор и для чего он нужен?
Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
Криволинейные координаты
Динамика точки в тензорном изложении
Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
О свертках тензора Леви-Чивиты
Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
Нестандартное введение в динамику твердого тела
Движение несвободного твердого тела
Свойства тензора инерции твердого тела
Зарисовка о гайке Джанибекова
Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.

Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.

А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.

1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами

Те системы координат, что мы рассматривали до сих пор были косоугольными. Но их оси были прямыми линиями. Однако, крайне часто приходится работать в пространстве, координатные линии которого — кривые. Такая система координат называется криволинейной.

Простейший жизненный пример криволинейной системы координат — географические координаты — широта, долгота и высота над уровнем моря, по которой определяется положение объектов вблизи поверхности Земли. Криволинейные координаты широко применяются в астрономии. В механике примером таких координат могут служить обобщенные координаты механической системы, однозначно определяющие её положение в пространстве с учетом геометрии наложенных на систему связей. На этом и строится аналитическая механика.

Рис. 1. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве

Рассмотрим криволинейные координаты, заданные в трехмерном евклидовом пространстве (рисунок 1). Пусть положение точки задается в этих координатах вектором

$mathbf{q} = begin{bmatrix} q^1 \ q^2 \ q^3 end{bmatrix} quad (1)$

и декартовы координаты точки связаны с (1) соотношением

$vec{r} = vec{r}left(q^1, q^2, q^3right) quad (2)$

или, в компонентной форме

Рассмотрим частную производную $cfrac{partial vec{r} }{partial q^1}$ . Результат такого дифференцирования — это вектор, направленный по касательной к координатной линии q^1 . Дифференцируя (2) по всем криволинейным координатам получим тройку векторов

$vec{e}_1 = cfrac{partial vec{r} }{partial q^1}, quad vec{e}_2 = cfrac{partial vec{r} }{partial q^2}, quad vec{e}_3 = cfrac{partial vec{r} }{partial q^3} quad (4)$

Эти векторы задают базис так называемого касательного пространства. И в отличие от базиса в косоугольной системе координат, модуль и направление этих векторов будут изменятся при переходе от одной точки к другой. Мы получаем переменный базис, зависящий от положения в пространстве, заданного вектором (1). Такой базис называется локальным

Векторы (4) собирают в матрицу

$mathbf{J} = begin{bmatrix} cfrac{partial vec{r} }{partial q^1} && cfrac{partial vec{r} }{partial q^2} && cfrac{partial vec{r} }{partial q^3} end{bmatrix} = begin{bmatrix} cfrac{partial x^1 }{partial q^1} && cfrac{partial x^1 }{partial q^2} && cfrac{partial x^1 }{partial q^3} \ cfrac{partial x^2 }{partial q^1} && cfrac{partial x^2 }{partial q^2} && cfrac{partial x^2 }{partial q^3} \ cfrac{partial x^3 }{partial q^1} && cfrac{partial x^3 }{partial q^2} && cfrac{partial x^3 }{partial q^3} end{bmatrix} quad (5)$

которая называется матрицей Якоби, и по сути определяется как производная от одного вектора по другому вектору. В нашем случае

$mathbf{J} = cfrac{partial vec{r}}{partial vec{q}}$

Легко догадаться, что если функция (2) линейна относительно компонент вектора vec{q} , то её можно выразить матричным соотношением

$vec{r} = mathbf{A}_{01} vec{q}$

то мы рассматриваем косоугольную систему координат, и матрица Якоби будет равна матрице преобразования от косоугольных координат к декартовым

$mathbf{J} = mathbf{A}_{01}$

Теперь, любой вектор, заданный в пространстве (тензор ранга (1, 0)) можно представить через его контравариантные компоненты в криволинейной системе координат

$vec{a} = a^i , vec{e}_i = a^i , cfrac{partial vec{r} }{partial q^i} quad (6)$

Однако, компоненты вектора, из-за переменного базиса, будут зависеть от положения в пространстве точки приложения вектора. Кроме того, для того чтобы представление (6) существовало, надо чтобы векторы, составляющие базис были не компланарны. Из курса векторной алгебры нам известно, что векторы некомпланарны, если их смешанное произведение отлично от нуля. Отсюда возникает условие, которому должен удовлетворять определитель матрицы Якоби

Данный определитель как раз определяет смешанное произведение векторов базиса.

Теперь вычислим ковариантные компоненты вектора vec{a} . Для этого, в самой первой статье цикла, мы умножали вектор скалярно на соответствующий вектор базиса

$vec{a} = a_i = vec{a} cdot vec{e}_1 = a^i , (vec{e}_i cdot vec{e}_1) = a^i , cfrac{partial vec{r} }{partial q^i} cdot cfrac{partial vec{r} }{partial q^i}$

В той же, первой статье, мы определили, что ковариантные компоненты вектора связаны с контравариантными через метрический тензор $g_{ij}$

$a_j = a^i g_{ij}$

Сравнивая два последних выражения мы получаем определение метрического тензора в криволинейных координатах

$g_{ij} = cfrac{partial vec{r} }{partial q^i} cdot cfrac{partial vec{r}}{partial q^j}$

которое можно представить в матричной форме

$mathbf{g} = mathbf{J}^T , mathbf{J}$

Эту связь можно представить и в тензорной форме, но для этого придется ввести явно метрику для декартовых координат $hat{g}_{kl}$

$hat{g}_{kl} = begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \ 0 && 1 && 0 \ 0 && 0 && 1 end{bmatrix}$

Тогда, преобразование декартовой метрики в криволинейную будет выглядеть так

$g_{ij} = J_i^k , J_j^p , g_{kl} quad (8)$

Выражение (8) вводит метрический тензор для криволинейных координат. Этот тензор зависит от положения точки в пространстве, поэтому говорят что он задан локально или определяет локальную метрику

Определившись с метрикой, мы можем записать правила преобразования контравариантных координат в ковариантные

$a_j = g_{ij} , a^i quad (9)$

и ковариантных координат в контравариантные

$a^k = a_i g^{ik} quad (10)$

В тензорном исчислении операции опускания (9) и поднятия (10) индексов называют «жонглированием» индексами.

Выписав соотношения (9) и (10) мы подразумевали, что матрицы $g_{ij}$ и $g_{ij}$ взаимно обратимы. Это возможно лишь в том случае, если

$det |g_{ij}| ne 0$

Данное условие выполняется для криволинейных координат, если матрица Якоби не вырождена, и это непосредственно следует из (8), так как

$det |g_{ij}| = det |J_i^k J_j^l g_{kl}| = det|J_i^k| , det|J_j^l| = J^2 ne 0$

то есть условие (7) выполняемое для всех точек пространства — достаточное условие невырожденности локальной метрики.

Рассмотрение вырожденнных метрик, это отдельный и сложный вопрос, поэтому мы ограничимся метриками, в которых матрица метрического тензора обратима, то есть выполняется условие

$g_{ik} , g^{kj} = delta_i^j$

где

$delta_i^j = begin{cases} 1, quad i = j \ 0, quad i ne j end{cases}$

единичный тензор, называемый дельтой Кронекера. Видно, что его компоненты представлены единичной матрицей с размерностью, соответствующей размерности пространства.

2. Взаимный базис

Введем векторы $vec{e}^{, 1}, , vec{e}^{,2}, , vec{e}^{,3}$ , получаемые из векторов исходного базиса путем поднятия индекса

$vec{e}^{,j} = g^{ji} , vec{e}_i quad (11)$

Теперь возьмем и умножим (11) скалярно на вектор $vec{e}_k$

$vec{e}^{,j} cdot vec{e}_k = g^{ji} , vec{e}_i cdot vec{e}_k$

но, мы знаем, что $vec{e}_i cdot vec{e}_k = g_{ik}$ — метрический тензор, поэтому, приходим к уравнению

$vec{e}^{,j} cdot vec{e}_k = g^{ji} , g_{ik}$

$vec{e}^{,j} cdot vec{e}_k = delta_k^j quad (12)$

Если мы возьмем, например, вектор $vec{e}^{,1}$ , то в силу (12) он перпендикулярен векторам $vec{e}_2$ и $vec{e}_3$ (его скалярное произведение с ними равно нулю), а скалярное произведение этого вектора на $vec{e}_1$ — равно единице

Дальше возьмем и умножим (11) скалярно на $vec{e}^{,k}$

$vec{e}^{,j} cdot vec{e}^{,k} = g^{ji} , vec{e}_i cdot vec{e}^{,k}$

и в силу (12) это дает контравариантный метрический тензор

$vec{e}^{,j} cdot vec{e}^{,k} = g^{jk} quad (13)$

Система векторов $vec{e}^{, 1}, , vec{e}^{,2}, , vec{e}^{,3}$ тоже образует базис, который называют взаимным или сопряженным с базисом $vec{e}_{, 1}, , vec{e}_{,2}, , vec{e}_{,3}$ .

Снова рассмотрим вектор vec{a} . Из соотношений (10) и (11) следует цепочка преобразований

$vec{a} = a^i , vec{e}_{,i} = a_j , g^{ji} , vec{e}_{,i} = a_j , vec{e}^{,j} quad (13)$

Умножим (13) скалярно на $vec{e}^{,k}$

$vec{a} cdot vec{e}^{,k} = a_j , vec{e}^{,j} cdot vec{e}^{,k} = a_j , g^{jk} = a^k$

приходим к заключению, что любой вектор может быть разложен как по базису $vec{e}_{,i}$ — тогда его компоненты будут контравариантные, так и по базису $vec{e}^{,i}$ — компоненты будут ковариантными

$vec{a} = a^i , vec{e}_{,i} = a_i , vec{e}^{,i}$

При этом, ковариантные компоненты — это скалярные произведение вектора на векторы базиса $vec{e}_{,i}$ , а контравариантные компоненты — скалярные произведения вектора на векторы базиса $vec{e}^{,i}$

$a_i = vec{a} cdot vec{e}_{,i}, quad a^i = vec{a} cdot vec{e}^{,i} quad (15)$

что ещё раз иллюстрирует взаимность этих базисов.

Тут надо отметить, что векторы базиса $vec{e}_{,i}$ получаются естественным путем — они касательны соответствующим координатным линиям и им можно приписать геометрический смысл. Что касается базиса $vec{e}^{,i}$ , то его векторы не направлены по касательной координатным линиям, а перпендикулярны парам векторов касательного базиса. Такой базис иногда принято называть неголономным

3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент

Допустим, что мы работаем в криволинейной система координат, определенной вектором vec{q} . Перейдем к другой системе координат, положение точек которой определяется вектором vec{p} , таким, что преобразование от старой системы координат к новой определяется уравнениями

Будем считать преобразование (16) обратимым, то есть допустим существование функции

Для этого требуется, чтобы определитель матрицы Якоби

$A_j^i = frac{partial p^i}{partial q^j} quad (18)$

был отличен от нуля

Тогда существует матрица B_j^i , обратная матрице (18), такая, что

Матрица B_j^i является матрицей Якоби для преобразования (17). Тогда можно вычислить векторы нового базиса

$vec{e}_{,i}^{,'} = frac{partial vec{r}}{partial p^i} = frac{partial vec{r}}{partial q^j} , frac{partial vec{q^j}}{partial p^i} = frac{partial vec{r}}{partial q^j} , B_i^j$

Получаем связь между старым базисом и новым

$vec{e}_i^{,'} = vec{e}_k , B_i^k quad (19)$

$vec{e}_i = vec{e}_k^{,'} , A_i^k quad (20)$

Разложим вектор vec{a} в новом базисе

$vec{a} = a^{'i} , vec{e}_{,i}^{,'}$

и используя соотношение (19), напишем

$vec{a} = a^{'i} , B_i^k vec{e}_{,k} = a^k , vec{e}_{,k} quad (21)$

С учетом того, что векторы базиса линейно независимы, приравниваем коэффициенты при них в (21)

$a^k = a^{'i} , B_i^k$

Теперь умножим обе части (21) на A_k^j

$a^k , A_k^j = a^{'i} , B_i^k , A_k^j$

Учтем, что

$a^k , A_k^j = a^{'i} , delta_i^j = a^j$

То есть, получаем формулу обратного преобразования контравариантных компонент

$a^{'j} = a^k , A_k^j quad (22)$

Из (22) и (19) можно заключить следующее

Контравариантные компоненты вектора преобразуются оператором, обратным оператору преобразования базиса

Действительно, чтобы получить векторы нового базиса, мы использовали матрицу B_i^k по формуле (19). Чтобы получить контравариантные компоненты заданного в новом базисе вектора мы используем матрицу A_k^j

А теперь посмотрим, как преобразуется вектор, заданный своими ковариантными компонентами

$a_j^{,'} = vec{a} cdot vec{e}_j^{,'} = vec{a} cdot vec{e}_j , B_i^j = a_j , B_i^j quad (23)$

Из (23) видно, что

Ковариантные компоненты вектора преобразуются тем же оператором, которым осуществляется преобразование базиса

Формулы (19), (22) и (23) и сформулированные определения, вынесенные в цитатный блок дают формальное определение контравариантных и и ковариантных координат и иллюстрируют разницу между ними. Можно сформулировать утверждение

Тензор ранга (1,0) преобразуется оператором обратным, используемому при преобразовании базиса, а тензор ранга (0,1) преобразуется тем же самым оператором, что используется при преобразовании базиса.

4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода

Предположим, что мы хотим продифференцировать вектор, заданный произвольными координатам по какой-то из координат. Что мы должны сделать? Давайте попробуем выполнить эту операцию

$frac{partial vec{a}}{partial q^j} = frac{partial}{partial q^j}(a^i , vec{e}_i) = frac{partial a^i}{partial q^j} , vec{e}_i + a^i frac{partial vec{e}_i}{partial q^j} quad (24)$

На каком основании мы выписали производную от базисного вектора? А на том основании, что базис в криволинейных координатах зависит от них, а значит его производная от координаты отлична от нуля. Ну и ладно, эта производная тоже будет вектором, а значит её можно разложить по локальному базису, например вот так

$frac{partial vec{e}_i}{partial q^j} = Gamma_{ij}^k , vec{e}_k quad (25)$

Найдем коэффициенты разложения в (25). Для этого, возьмем ковариантный метрический тензор и продифференцируем его по указанной координате

$frac{partial g_{ij}}{partial q^k} = frac{partial vec{e}_i}{partial q^k} cdot vec{e}_j + vec{e}_i cdot frac{partial vec{e}_j}{partial q^k} quad (26)$

Подставим (25) в (26)

$frac{partial g_{ij}}{partial q^k} = Gamma_{ik}^m , (vec{e}_m cdot vec{e}_j) + Gamma_{jk}^m , (vec{e}_m cdot vec{e}_i)$

Здесь очевидно присутствие компонент метрического тензора, поэтому выполняем замену

$frac{partial g_{ij}}{partial q^k} = Gamma_{ik}^m , g_{mj} + Gamma_{jk}^m , g_{mi} quad (27)$

Прежде чем начать работать с (27), скажем, что искомые коэффициенты разложения симметричны относительно нижних индексов, так как проведя прямое дифференцирования базисного вектора приходим к выражению

$frac{partial vec{e}_i}{partial q^j} = frac{partial^2 vec{r}}{partial q_i partial q_j} = Gamma_{ij}^k , vec{e}_k$

откуда, в силу непрерывности рассматриваемых функций, заключаем, что

$Gamma_{ij}^k = Gamma_{ji}^k quad (28)$

Теперь, в (27) переставим индексы i и k

$frac{partial g_{kj}}{partial q^i} = Gamma_{ki}^m , g_{mj} + Gamma_{ji}^m , g_{mk} quad (28)$

А теперь, переставим в (27) индексы j и k

$frac{partial g_{ik}}{partial q^j} = Gamma_{ij}^m , g_{mk} + Gamma_{kj}^m , g_{mi} quad (29)$

Теперь сложим (29) и (30) учтя при этом симметричность (28)

$frac{partial g_{kj}}{partial q^i} + frac{partial g_{ik}}{partial q^j} = Gamma_{kj}^m , g_{mj} + Gamma_{ij}^m , g_{mk} + Gamma_{ji}^m , g_{mk} + Gamma_{kj}^m , g_{mi}$

$frac{partial g_{kj}}{partial q^i} + frac{partial g_{ik}}{partial q^j} = Gamma_{kj}^m , g_{mj} + 2,Gamma_{ij}^m , g_{mk} + Gamma_{kj}^m , g_{mi} quad (31)$

Вычитаем (27) из (31), снова учитывая (28)

$frac{partial g_{kj}}{partial q^i} + frac{partial g_{ik}}{partial q^j} - frac{partial g_{ij}}{partial q^k} = Gamma_{ki}^m , g_{mj} + 2 , Gamma_{ij}^m , g_{mk} + Gamma_{kj}^m , g_{mi} - Gamma_{ik}^m , g_{mj} - Gamma_{jk}^m , g_{mi}$

$frac{partial g_{kj}}{partial q^i} + frac{partial g_{ik}}{partial q^j} - frac{partial g_{ij}}{partial q^k} = 2 , Gamma_{ij}^m , g_{mk} quad (32)$

Умножаем (32) на $cfrac{1}{2} , g^{mk}$ , и получаем окончательно

$Gamma_{ij}^m = frac{1}{2} , g^{mk}left( frac{partial g_{kj}}{partial q^i} + frac{partial g_{ik}}{partial q^j} - frac{partial g_{ij}}{partial q^k} right) quad (33)$

Выражение (33) определяет так называемый символ Кристоффеля 2-го рода. Тогда

$frac{partial vec{a}}{partial q^j} = frac{partial a^m}{partial q^j} cdot vec{e}_m + a^i , Gamma_{ij}^m , vec{e}_m = left(frac{partial a^m}{partial q^j} + a^i , Gamma_{ij}^m right)cdot vec{e}_m quad (34)$

Выражение, стоящее в скобках в (34) называется ковариантной производной контравариантных компонент вектора

$nabla_j , a^m = left(frac{partial a^m}{partial q^j} + a^i , Gamma_{ij}^m right) quad (35)$

Исходя из (35) мы должны понимать, что пытаясь дифференцировать по криволинейной координате, мы обязаны учитывать зависимость базиса от координат. Если метрика не зависит от положения точки приложения вектора в пространстве, то (35) превращается в частную частную производную, ибо все символы Кристоффеля равны будут нулю, из-за того что метрический тензор не зависит от координат. В любой косоугольной системе координат, и в их частном случае — декартовых координатах, символы Кристоффеля, согласно (33) равны нулю. А значит, согласно (35) ковариантрая производная от вектора по координате будет совпадать с его частной производной по этой координате, к чему мы приучены вобщем-то давно. Но если бы (33) был тензором, то он, будучи равен нулю, остался бы нулевым в любой другой системе координат. Но в криволинейных координатах (33) нулю не равны. А значит символы Кристоффеля не являются тензором. При преобразовании системы координат меняются компоненты, но не сущность тензора. Нулевой тензор должен быть таковым в любой системе координат.

Заключение

Первичные теоретические основы разобраны. Со следующей статьи мы уйдем в практику использования тензорного исчисления для решения конкретных задач. Спасибо Вам за оказанное мне внимание и доверие.

Продолжение следует…

Источник

Конструировать в физике и геометрии

В математике и физике, символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическое соединение. Метрическое соединение — это специализация аффинного соединения с поверхностями или других коллекторов, снабженных метрикой, позволяющей измерять расстояния на эта поверхность. В дифференциальной геометрии аффинная связь может быть определена без ссылки на метрику, и следуют многие дополнительные концепции: параллельный перенос, ковариантные производные, геодезические и т. Д. Также не требуют понятия метрики. Однако, когда доступна метрика, эти концепции можно напрямую привязать к «форме» самого коллектора; эта форма определяется тем, как касательное пространство присоединяется к котангенциальному пространству с помощью метрического тензора. Абстрактно можно сказать, что с многообразием связан (ортонормированный ) пакет кадров, где каждый «кадр » является возможным выбором координаты кадр. Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа пакета кадров является ортогональной группой O (p, q). В результате такое многообразие обязательно является (псевдо- ) римановым многообразием. Символы Кристоффеля дают конкретное представление о связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. Д., Затем могут быть выражены с помощью символов Кристоффеля.

В общем, существует бесконечное количество метрических связей для данного метрического тензора ; однако существует уникальное соединение, свободное от скручивания, соединение Леви-Чивита. В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивита, работая в системе координат (называемой голономными координатами ), где торсионный исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как базисы местных координат изменяются от точки к точке.

В каждой точке лежащего в основе n-мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются как Γ jk для i, j, k = 1, 2, …, Сущ. Каждая запись этого массива размером n × n × n является вещественным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются как компоненты тензора , но при общих преобразованиях координат (диффеоморфизмы ) они не преобразуются. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связи; только некоторые следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O (m, n) (или группой Лоренца O (3, 1) для общей теории относительности).

Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана может быть полностью выражен в терминах символов Кристоффеля и их первых частных производных. В ОТО связь играет роль гравитационного силового поля, а соответствующий гравитационный потенциал является метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор обладают некоторой общей симметрией, многие из Γ jk равны нулю.

Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900

Содержание

1 Примечание
2 Предварительные определения
3 Определение в евклидовом пространстве
4 Общее определение
- 4.1 Символы Кристоффеля первого рода
- 4.2 Символы Кристоффеля второго вид (симметричное определение)
  - 4.2.1 Сжатие индексов
- 4.3 Коэффициенты связи в неголономном базисе
- 4.4 Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)
5 Закон преобразования при изменении переменной
6 Взаимосвязь параллельного переноса и вывода символов Кристоффеля в римановом пространстве
7 Связь с безиндексной нотацией
8 Ковариантные производные тензоров
- 8.1 Контравариантные производные тензоров
9 Приложения к общей теории относительности
10 Приложения в классической (нерелятивистской) механике
11 См. также
12 Примечания
13 Справочная информация s

Примечание

Приведенные ниже определения действительны как для римановых многообразий, так и для псевдоримановых многообразий, например, для общей теории относительности, при этом проводится тщательное различие между верхним и нижним индексами (контрвариантные и ко-варианты индексы). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.

В данной статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании, при этом векторы выделены жирным шрифтом. Коэффициенты связи связи Леви-Чивиты (или псевдоримановой связи), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля.

Предварительные определения

Учитывая систему координат x для i = 1, 2,…, n на n-многообразии M, касательные векторы

ei = ∂ ∂ xi = ∂ i, i = 1, 2,…, n { displaystyle mathbf {e} _ {i} = { frac { partial} { partial x ^ {i}}} = partial _ {i}, quad i = 1, , 2, , dots, , n} ${displaystyle mathbf {e} _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}=partial _{i},quad i=1,,2,,dots,,n}$

определяют то, что называется локальным базисом касательного пространства к M в каждой точке своего домена. Их можно использовать для определения метрического тензора :

gij = ei ⋅ ej { displaystyle g_ {ij} = mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}} ${ displaystyle g_ {ij} = mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}}$

и обратное ему:

gij = (g — 1) ij { displaystyle g ^ {ij} = left (g ^ {- 1} right) _ {ij}} ${displaystyle g^{ij}=left(g^{-1}right)_{ij}}$

, которое, в свою очередь, может использоваться для определения двойственного базиса:

ei = ejgji, i = 1, 2,…, n { displaystyle mathbf {e} ^ {i} = mathbf {e} _ {j} g ^ {ji }, quad i = 1, , 2, , dots, , n} ${displaystyle mathbf {e} ^{i}=mathbf {e} _{j}g^{ji},quad i=1,,2,,dots,,n}$

В некоторых текстах пишется gi { displaystyle mathbf {g} _ {i}} $mathbf{g}_i$ для ei { displaystyle mathbf {e} _ {i}} $mathbf {e} _ {i}$ , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму gij = gi ⋅ gj { displaystyle g_ {ij} = mathbf {g} _ {i} cdot mathbf {g} _ {j}} ${ displaystyle g_ {ij} = mathbf {g} _{i}cdot mathbf {g} _{j}}$ . Это соглашение также оставляет использование символа ei { displaystyle e_ {i}} $e_{i}$ однозначно для vierbein.

Определение в евклидовом пространстве

в Евклидово пространство, можно доказать, что приведенное ниже общее определение символов Кристоффеля второго рода эквивалентно:

Γ kij = ∂ ei ∂ xj ⋅ ek = ∂ ei ∂ xj ⋅ gkmem { displaystyle { Gamma ^ {k}} _ {ij} = { frac { partial mathbf {e} _ {i}} { partial x ^ {j}}} cdot mathbf {e} ^ {k} = { frac { partial mathbf {e} _ {i}} { partial x ^ {j}}} cdot g ^ {km} mathbf {e} _ {m}} ${displaystyle {Gamma ^{k}}_{ij}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} ^{k}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^ {j}}}cdot g^{km}mathbf {e} _{m}}$

символы Кристоффеля первый вид затем может быть найден через понижение индекса :

Γ kij = Γ mijgmk = ∂ ei ∂ xj ⋅ emgmk = ∂ ei ∂ xj ⋅ ek. { displaystyle Gamma _ {kij} = { Gamma ^ {m}} _ {ij} g_ {mk} = { frac { partial mathbf {e} _ {i}} { partial x ^ {j }}} cdot mathbf {e} ^ {m} g_ {mk} = { frac { partial mathbf {e} _ {i}} { partial x ^ {j}}} cdot mathbf { e} _ {k}.} ${displaystyle Gamma _{kij}={Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} ^{m}g_{mk}={frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} _{k}.}$

Переставив, мы видим, что:

∂ ei ∂ xj = Γ kijek = Γ kijek { displaystyle { frac { partial mathbf {e} _ {i}} { partial x ^ {j}}} = { Gamma ^ {k}} _ {ij} mathbf {e} _ {k} = Gamma _ {kij} mathbf {e} ^ {k}} ${displaystyle {frac {partial mathbf {e} _{i}}{partial x^{j}}}={Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{k}=Gamma _{kij}mathbf {e} ^{k}}$

На словах массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как основание изменяется от точки к точке. Символы второго типа раскладывают изменение по базису, а символы первого типа — по дуальному базису. Эти выражения не работают как определения, когда такие разложения невозможны — в частности, когда направление изменения не лежит в касательном пространстве, что может происходить на изогнутой поверхности. В этой форме легко увидеть симметрию нижних или последних двух индексов:

Γ kij = Γ kji { displaystyle { Gamma ^ {k}} _ {ij} = { Gamma ^ {k}} _ {ji}} ${ displaystyle { Gamma ^ {k}} _ {ij} = { Gamma ^ {k}} _ {ji}}$

и Γ kij = Γ kji { displaystyle Gamma _ {kij} = Gamma _ {kji}} ${displaystyle Gamma _{kij}=Gamma _{kji}}$

из определения ei { displaystyle mathbf {e} _ {i}} ${displaystyle mathbf {e} _{i}}$ и тот факт, что частные производные коммутируют (при условии, что многообразие и система координат хорошо себя ведут ).

Те же числовые значения для символов Кристоффеля второго типа также относятся к производным двойного базиса, как видно из выражения:

∂ ei ∂ xj = — Γ ijkek { displaystyle { frac { partial mathbf {e} ^ {i}} { partial x ^ {j}}} = — { Gamma ^ {i}} _ {jk} mathbf {e} ^ {k}} ${displaystyle {frac {partial mathbf {e} ^{i}}{partial x^{j}}}=-{Gamma ^{i}}_{jk}mathbf {e} ^{k}}$

который мы можем переставить как:

Γ ijk = — ∂ ei ∂ xj ⋅ ek { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk} = — { frac { partial mathbf {e} ^ {i} } { partial x ^ {j}}} cdot mathbf {e} _ {k}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}=-{frac {partial mathbf {e} ^{i}}{partial x^{j}}}cdot mathbf {e} _{k}}$

Общее определение

Символы Кристоффеля первого рода

Символы Кристоффеля первый тип может быть получен либо из символов Кристоффеля второго рода и метрики,

Γ cab = gcd Γ dab, { displaystyle Gamma _ {cab} = g_ {cd} { Gamma ^ {d} } _ {ab} ,,} ${displaystyle Gamma _{cab}=g_{cd}{Gamma ^{d}}_{ab},,}$

или только по метрике

Γ cab = 1 2 (∂ gca ∂ xb + ∂ gcb ∂ xa — ∂ gab ∂ xc) = 1 2 (gca, b + gcb, a — gab, c) = 1 2 (∂ bgca + ∂ agcb — ∂ cgab). { displaystyle Gamma _ {cab} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial g_ {ca}} { partial x ^ {b}}} + { frac { частичный g_ {cb}} { partial x ^ {a}}} — { frac { partial g_ {ab}} { partial x ^ {c}}} right) = { frac {1} {2 }} , left (g_ {ca, b} + g_ {cb, a} -g_ {ab, c} right) = { frac {1} {2}} , left ( partial _ { b} g_ {ca} + partial _ {a} g_ {cb} — partial _ {c} g_ {ab} right) ,.} ${displaystyle Gamma _{cab}={frac {1}{2}}left({frac {partial g_{ca}}{partial x^{b}}}+{frac {partial g_{cb}}{partial x^{a}}}-{frac {partial g_{ab}}{partial x^{c}}}right)={frac {1}{2}},left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}right)={frac {1}{2}},left(partial _{b}g_{ca}+partial _{a}g_{cb}-partial _{c}g_{ab}right),.}$

В качестве альтернативного обозначения также можно найти

Γ cab = [ab, c]. { displaystyle Gamma _ {cab} = [ab, c].} $Gamma _ {cab} = [ab, c].$

Следует отметить, что [ab, c] = [ba, c].

символы Кристоффеля второго рода ( симметричное определение)

Символы Кристоффеля второго типа являются коэффициентами связи (в координатной основе) связи Леви-Чивита. Другими словами, символы Кристоффеля второго рода Γ ij (иногда Γ. ijили {. ij}) определяются как уникальные коэффициенты, такие как

∇ iej = Γ kijek { displaystyle nabla _ {i} mathrm {e} _ {j} = { Gamma ^ {k}} _ {ij} mathrm {e} _ {k}} ${displaystyle nabla _{i}mathrm {e} _{j}={Gamma ^{k}}_{ij}mathrm {e} _{k}}$

где ∇ i — связь Леви-Чивита на M, взятая в координатном направлении e i (т. е. ∇ i ≡ ∇ ei) и где e i = ∂ i — локальная координата (голономный ) базис. Поскольку эта связь имеет ноль, кручение и голономные векторные поля коммутируют (т.е. [ei, ej] = [∂ i, ∂ j] = 0 { displaystyle [e_ {i}, e_ {j }] = [ partial _ {i}, partial _ {j}] = 0} ${displaystyle [e_{i},e_{j}]=[partial _{i},partial _{j}]=0}$ ) у нас есть

∇ iej = ∇ jei { displaystyle nabla _ {i} mathrm { e} _ {j} = nabla _ {j} mathrm {e} _ {i}} ${displaystyle nabla _{i}mathrm {e} _{j}=nabla _{j}mathrm {e} _{i}}$

Следовательно, в этом базисе коэффициенты связности симметричны:

Γij= Γ ji.

По этой причине кручение -свободное соединение часто называют симметричным.

Символы Кристоффеля могут быть получены из обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора gik:

0 = ∇ lgik = ∂ gik ∂ xl — gmk Γ mil — gim Γ mkl = ∂ gik ∂ xl — 2 gm (k Γ mi) l. { displaystyle 0 = nabla _ {l} g_ {ik} = { frac { partial g_ {ik}} { partial x ^ {l}}} — g_ {mk} { Gamma ^ {m}} _ {il} -g_ {im} { Gamma ^ {m}} _ {kl} = { frac { partial g_ {ik}} { partial x ^ {l}}} — 2g_ {m (k} { Gamma ^ {m}} _ {i) l}.} ${displaystyle 0=nabla _{l}g_{ik}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}-g_{mk}{Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{Gamma ^{m}}_{kl}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}-2g_{m(k}{Gamma ^{m}}_{i)l}.}$

В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, а вместо него точка с запятой и запятая используются для обозначения индекса, который используется для производной. Таким образом, приведенное выше иногда записывается как

0 = g i k; l = g i k, l — g m k Γ m i l — g i m Γ m k l. { displaystyle 0 = , g_ {ik; l} = g_ {ik, l} -g_ {mk} { Gamma ^ {m}} _ {il} -g_ {im} { Gamma ^ {m}} _ {kl}.} ${ displaystyle 0 = , g_ {ik; l} = g_ {ik, l} -g_ {mk} { Gamma ^ {m}} _ {il} -g_ {im} { Gamma ^ {m}} _ {kl}.}$

Используя то, что символы симметричны в двух нижних индексах, можно явно решить для символов Кристоффеля как функции метрического тензора, переставив индексы и пересуммировав:

Γ ikl = 1 2 гим (∂ gmk ∂ xl + ∂ gml ∂ xk — ∂ gkl ∂ xm) = 1 2 гим (gmk, l + gml, k — gkl, м), { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {kl } = { frac {1} {2}} g ^ {im} left ({ frac { partial g_ {mk}} { partial x ^ {l}}} + { frac { partial g_ { ml}} { partial x ^ {k}}} — { frac { partial g_ {kl}} { partial x ^ {m}}} right) = { frac {1} {2}} g ^ {im} left (g_ {mk, l} + g_ {ml, k} -g_ {kl, m} right),} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{kl}={frac {1}{2}}g^{im}left({frac {partial g_{mk}}{partial x^{l}}}+{frac {partial g_{ml}}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{kl}}{partial x^{m}}}right)={frac {1}{2}}g^{im}left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}right),}$

где (g) — это обратная матрица матрицы (gjk), определяемый как (с использованием дельты Кронекера и нотации Эйнштейна для суммирования) gg ik = δ k. Хотя символы Кристоффеля записаны в той же нотации, что и тензоры с индексной нотацией, они не преобразуются, как тензоры при изменении координат.

Сжатие индексов

Сужение верхний индекс и любой из нижних индексов (нижние индексы симметричны) приводят к

Γ iki = ∂ ln ⁡ | г | ∂ xk { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {ki} = { frac { partial ln { sqrt {| g |}}} { partial x ^ {k}}}} ${displays tyle {Gamma ^{i}}_{ki}={frac {partial ln {sqrt {|g|}}}{partial x^{k}}}}$

где g = det gik { displaystyle g = det g_ {ik}} ${displaystyle g=det g_{ik}}$ — определитель метрического тензора. Эта идентичность может использоваться для оценки дивергенции векторов.

Коэффициенты связи в неголономном базисе

Символы Кристоффеля чаще всего определяются в координатном базисе, что является принятым здесь соглашением. Другими словами, имя символы Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т.е. голономных ) кадров. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т.е. неголономном) базисе касательных векторов uiс помощью

∇ u i u j = ω k i j u k. { displaystyle nabla _ { mathbf {u} _ {i}} mathbf {u} _ {j} = { omega ^ {k}} _ {ij} mathbf {u} _ {k}.} ${displaystyle nabla _{mathbf {u} _{i}}mathbf {u} _{j}={omega ^{k}}_{ij}mathbf {u} _{k}.}$

Явно, с точки зрения метрического тензора, это

ω ikl = 1 2 gim (gmk, l + gml, k — gkl, m + cmkl + cmlk — cklm), { displaystyle { omega ^ {i}} _ {kl} = { frac {1} {2}} g ^ {im} left (g_ {mk, l} + g_ {ml, k} -g_ {kl, m} + c_ { mkl} + c_ {mlk} -c_ {klm} right),} ${displaystyle {omega ^{i}}_{kl}={frac {1}{2}}g^{im}left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}right),}$

где c klm = g mpckl- коэффициенты коммутации базиса; то есть

[uk, ul] = cklmum { displaystyle [ mathbf {u} _ {k}, , mathbf {u} _ {l}] = {c_ {kl}} ^ {m} mathbf {u} _ {m}} ${displaystyle [mathbf {u} _{k},,mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}mathbf {u} _{m}}$

где uk- базисные векторы, а [,] — скобка Ли. Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между соединением в таком кадре и соединением Леви-Чивита известна как тензор перекручивания.

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)

Когда мы выбираем базис Xi≡ uiортонормированный : g ab ≡ η ab = ⟨X a, X b ⟩ затем g mk, l ≡ η mk, l = 0. Из этого следует, что

ω ikl = 1 2 η im (cmkl + cmlk — cklm) { displaystyle { omega ^ {i}} _ {kl} = { frac {1} {2}} eta ^ {im} left (c_ {mkl} + c_ {mlk} -c_ {klm} right)} ${ displaystyle { omega ^ {i}} _ {kl} = { frac {1} {2}} eta ^ {im} left (c_ {mkl } + c_ {mlk} -c_ {klm} right)}$

и коэффициенты связи становятся антисимметричными в первых двух индексах :

ω abc = — ω bac, { displaystyle omega _ {abc} = — omega _ {bac} ,,} ${displaystyle omega _{abc}=-omega _{bac},,}$

где

ω abc = η ad ω dbc. { displaystyle omega _ {abc} = eta _ {ad} { omega ^ {d}} _ {bc} ,.} ${displaystyle omega _{abc}=eta _{ad}{omega ^{d}}_{bc},.}$

В этом случае коэффициенты связи ω bc называются коэффициентами вращения Риччи .

Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом:

ω kij: = uk ⋅ (∇ jui), { displaystyle { omega ^ {k}} _ { ij}: = mathbf {u} ^ {k} cdot left ( nabla _ {j} mathbf {u} _ {i} right) ,,} ${displaystyle {omega ^{k}}_{ij}:=mathbf {u} ^{k}cdot left(nabla _{j}mathbf {u} _{i}right),,}$

где uiортонормированное неголономный базис и u = η ulего сооснование.

Закон преобразования при изменении переменной

При изменении переменной из (x 1,…, xn) { displaystyle left (x ^ {1}, , ldots, , x ^ {n} right)} ${ displaystyle left (x ^ {1}, , ldots, , x ^ {n} right)}$ до (x ¯ 1,…, x ¯ n) { displaystyle left ({ bar {x}} ^ {1 }, , ldots, , { bar {x}} ^ {n} right)} ${displaystyle left({bar {x}}^{1},,ldots,,{bar {x}}^{n}right)}$ , символы Кристоффеля преобразуются как

Γ ¯ ikl = ∂ x ¯ i ∂ xm ∂ xn ∂ x ¯ к ∂ xp ∂ x ¯ l Γ mnp + ∂ 2 xm ∂ x ¯ k ∂ x ¯ l ∂ x ¯ я ∂ xm { displaystyle {{ bar { Gamma}} ^ {i}} _ {kl } = { frac { partial { bar {x}} ^ {i}} { partial x ^ {m}}} , { frac { partial x ^ {n}} { partial { bar {x}} ^ {k}}} , { frac { partial x ^ {p}} { partial { bar {x}} ^ {l}}} , { Gamma ^ {m}} _ {np} + { frac { partial ^ {2} x ^ {m}} { partial { bar {x}} ^ {k} partial { bar {x}} ^ {l}}} , { frac { partial { bar {x}} ^ {i}} { partial x ^ {m}}}} ${displaystyle {{bar {Gamma }}^{i}}_{kl}={frac {partial {bar {x}}^{i}}{partial x^{m}}},{frac {partial x^{n}}{partial {bar {x}}^{k}}},{frac {partial x^{p}}{partial {bar {x}}^{l}}},{Gamma ^{m}}_{np}+{frac {partial ^{2}x^{m}}{partial {bar {x}}^{k}partial {bar {x}}^{l}}},{frac {partial {bar {x}}^{i}}{partial x^{m}}}}$

где верхняя черта обозначает символы Кристоффеля в x ¯ i { displaystyle { bar {x}} ^ {i}} ${displaystyle {bar {x}}^{i}}$ система координат. Символ Кристоффеля выполняет преобразование не как тензор, а как объект в пакете jet. Более точно, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на связке струй связки реперов M, независимо от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого связки, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M, хотя, конечно, эти функции затем зависят от выбора локальной системы координат.

Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля исчезают в точке. Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии.

. Есть некоторые интересные свойства, которые могут быть получены непосредственно из закона преобразования.

Для линейного преобразования неоднородная часть преобразования (второй член в правой части) одинаково обращается в нуль, а затем Γ ijk { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}}$ ведет себя как тензор.
Если у нас есть два поля соединений, скажем, Γ ijk { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}}$ и Γ ~ ijk { displaystyle {{ tilde { Gamma}} ^ {i}} _ {jk}} ${displaystyle {{tilde {Gamma }}^{i}}_{jk}}$ , то их разность Γ ijk — Γ ~ ijk { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk} — {{ tilde { Gamma}} ^ {i}} _ {jk}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}-{{tilde {Gamma }}^{i}}_{jk}}$ — тензор, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как меняются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля.
Если символ Кристоффеля несимметричен относительно его нижних индексов в одной системе координат, то есть Γ ijk ≠ Γ ikj { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk} neq { Gamma ^ {i}} _ {kj}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}neq {Gamma ^{i}}_{kj}}$ , то они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля равны нулю в точке, если только нижние индексы не симметричны. Это свойство было указано Альбертом Эйнштейном и Эрвином Шредингером независимо друг от друга.

Связь с параллельным переносом и выводом символов Кристоффеля в римановом пространстве

Если вектор ξ i { displaystyle xi ^ {i}} $xi ^{i}$ переносится параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром s { displaystyle s}на Риманово многообразие, скорость изменения компонент вектора определяется выражением

d ξ ids = — Γ imjdxmds ξ j. { displaystyle { frac {d xi ^ {i}} {ds}} = — { Gamma ^ {i}} _ {mj} { frac {dx ^ {m}} {ds}} xi ^ {j}.} ${displaystyle {frac {dxi ^{i}}{ds}}=-{Gamma ^{i}}_{mj}{frac {dx^{m}}{ds}}xi ^{j}.}$

Теперь просто используя условие, что скалярное произведение gik ξ i η k { displaystyle g_ {ik} xi ^ {i} eta ^ {k}} ${displaystyle g_{ik}xi ^{i}eta ^{k}}$ , образованный двумя произвольными векторами ξ i { displaystyle xi ^ {i}} $xi ^{i}$ и η k { displaystyle eta ^ {k}} ${displaystyle eta ^{k}}$ без изменений достаточно, чтобы вывести символы Кристоффеля. Условие:

dds (gik ξ i η k) = 0 { displaystyle { frac {d} {ds}} left (g_ {ik} xi ^ {i} eta ^ {k} right) = 0} ${displaystyle {frac {d}{ds}}left(g_{ik}xi ^{i}eta ^{k}right)=0}$

которые по правилу продукта расширяются до

∂ gik ∂ xldxlds ξ i η k + gikd ξ ids η k + gik ξ id η kds = 0. { displaystyle { frac { partial g_ { ik}} { partial x ^ {l}}} { frac {dx ^ {l}} {ds}} xi ^ {i} eta ^ {k} + g_ {ik} { frac {d xi ^ {i}} {ds}} eta ^ {k} + g_ {ik} xi ^ {i} { frac {d eta ^ {k}} {ds}} = 0.} ${displaystyle {frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}{frac {dx^{l}}{ds}}xi ^{i}eta ^{k}+g_{ik}{frac {dxi ^{i}}{ds}}eta ^{k}+g_{ik}xi ^{i}{frac {deta ^{k}}{ds}}=0.}$

Применение правила параллельного переноса для двух произвольных векторов и перемаркировка фиктивных индексов и сбор коэффициентов ξ i η kdxl { displaystyle xi ^ {i} eta ^ {k} dx ^ {l}} ${displaystyle xi ^{i}eta ^{k}dx^{l}}$ (произвольно), получаем

∂ gik ∂ xl = grk Γ ril + gir Γ rlk. { displaystyle { frac { partial g_ {ik}} { partial x ^ {l}}} = g_ {rk} { Gamma ^ {r}} _ {il} + g_ {ir} { Gamma ^ {r}} _ {lk}.} ${displaystyle {frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}=g_{rk}{Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{Gamma ^{r}}_{lk}.}$

Это то же самое, что и уравнение, полученное путем требования обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе общих определений. Отсюда простой вывод. Циклически переставляя индексы ikl { displaystyle ikl}в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить Γ ijk { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk}} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}}$ в терминах метрического тензора.

Связь с безиндексной нотацией

Пусть X и Y будут векторными полями с компонентами X и Y. Тогда k-я компонента ковариантной производной Y относительно X задается формулой

(∇ XY) k = X i (∇ i Y) k = X i (∂ Y k ∂ xi + Γ kim Y m). { displaystyle left ( nabla _ {X} Y right) ^ {k} = X ^ {i} ( nabla _ {i} Y) ^ {k} = X ^ {i} left ({ frac { partial Y ^ {k}} { partial x ^ {i}}} + { Gamma ^ {k}} _ {im} Y ^ {m} right).} ${displaystyle left(nabla _{X}Yright)^{k}=X^{i}(nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}left({frac {partial Y^{k}}{partial x^{i}}}+{Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}right).}$

Здесь Используется нотация Эйнштейна, поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с метрическим тензором служит для увеличения и уменьшения индексов:

g (X, Y) = X i Y i = gik X i Y k = gik X я Y к. { displaystyle g (X, Y) = X ^ {i} Y_ {i} = g_ {ik} X ^ {i} Y ^ {k} = g ^ {ik} X_ {i} Y_ {k}.} ${displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$

Имейте в виду, что g ik ≠ g и что g k = δ k, дельта Кронекера. По соглашению метрический тензор — это тензор с нижними индексами; правильный способ получить g из g ik — решить линейные уравнения gg jk = δ k.

Утверждение, что соединение не скручено, а именно, что

∇ XY — ∇ YX = [X, Y] { displaystyle nabla _ {X} Y- nabla _ {Y} X = [X, , Y]} ${displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,,Y]}$

эквивалентно утверждение, что в координатном базисе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам:

Γ ijk = Γ ikj. { displaystyle { Gamma ^ {i}} _ {jk} = { Gamma ^ {i}} _ {kj}.} ${displaystyle {Gamma ^{i}}_{jk}={Gamma ^{i}}_{kj}.}$

Безиндексные свойства преобразования тензора задаются откатами для ковариантных индексов и pushforwards для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дается дополнительное обсуждение соответствия между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.

Ковариантные производные тензоров

Ковариантная производная векторного поля V равна

∇ l V m = ∂ V m ∂ x l + Γ m k l V k. { displaystyle nabla _ {l} V ^ {m} = { frac { partial V ^ {m}} { partial x ^ {l}}} + { Gamma ^ {m}} _ {kl} V ^ {k}.} ${ displaystyle nabla _ {l} V ^ {m} = { frac { partial V ^ {m}} { partial x ^ {l}}} + { Gamma ^ {m}} _ { kl} V ^ {k}.}$

По следствию, дивергенция вектора может быть получена как

∇ i V i = 1 — g ∂ (- g V i) ∂ xi. { displaystyle nabla _ {i} V ^ {i} = { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { partial left ({ sqrt {-g}} , V ^ {i} right)} { partial x ^ {i}}}.} ${displaystyle nabla _{i}V^{i}={frac {1}{sqrt {-g}}}{frac {partial left({sqrt {-g}},V^{i}right)}{partial x^{i}}}.}$

Ковариантная производная скалярного поля φ равна

∇ i φ = ∂ φ ∂ xi { displaystyle nabla _ {i} varphi = { frac { partial varphi} { partial x ^ {i}}}} ${displaystyle nabla _{i}varphi ={frac {partial varphi }{partial x^{i}}}}$

и ковариантная производная поля ковектора ω m равно

∇ l ω m = ∂ ω m ∂ xl — Γ kml ω k. { displaystyle nabla _ {l} omega _ {m} = { frac { partial omega _ {m}} { partial x ^ {l}}} — { Gamma ^ {k}} _ { ml} omega _ {k}.} ${displaystyle nabla _{l}omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{l}}}-{Gamma ^{k}}_{ml}omega _{k}.}$

Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает

∇ i ∇ j φ = ∇ j ∇ i φ { displaystyle nabla _ {i} nabla _ {j} varphi = nabla _ {j} nabla _ {i} varphi} ${ displaystyle nabla _ { i} nabla _ {j} varphi = nabla _ {j} nabla _ {i} varphi}$

для любого скалярного поля, но в целом ковариантные производные тензорных полей высшего порядка не коммутируют (см. тензор кривизны ).

Ковариантная производная поля A типа (2, 0) тензор равна

∇ l A ik = ∂ A ik ∂ xl + Γ iml A mk + Γ kml A im, { displaystyle nabla _ {l} A ^ {ik} = { frac { partial A ^ {ik}} { partial x ^ {l}}} + { Gamma ^ {i}} _ {ml } A ^ {mk} + { Gamma ^ {k}} _ {ml} A ^ {im},} ${displaystyle nabla _{l}A^{ik }={frac {partial A^{ik}}{partial x^{l}}}+{Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$

то есть

A ik; l = A i k, l + A m k Γ i m l + A i m Γ k m l. { displaystyle {A ^ {ik}} _ {; l} = {A ^ {ik}} _ {, l} + A ^ {mk} { Gamma ^ {i}} _ {ml} + A ^ { im} { Gamma ^ {k}} _ {ml}.} ${displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{Gamma ^{k}}_{ml}.}$

Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна

A ik; l знак равно A ik, l + A mk Γ iml — A im Γ mkl, { displaystyle {A ^ {i}} _ {k; l} = {A ^ {i}} _ {k, l} + {A ^ {m}} _ {k} { Gamma ^ {i}} _ {ml} — {A ^ {i}} _ {m} { Gamma ^ {m}} _ {kl},} ${displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{Gamma ^{m}}_{kl},}$

и если тензорное поле имеет тип (0, 2), то его ковариантная производная равна

A ik; l = A i k, l — A m k Γ m i l — A i m Γ m k l. { displaystyle A_ {ik; l} = A_ {ik, l} -A_ {mk} { Gamma ^ {m}} _ {il} -A_ {im} { Gamma ^ {m}} _ {kl}.} ${displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{Gamma ^{m}}_{kl}.}$

Контравариантные производные тензоров

Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную с помощью метрического тензора

∇ l V m = gil ∇ i V м знак равно gil ∂ я В м + gil Γ ким V К = ∂ l V m + gil Γ ким V k { displaystyle nabla ^ {l} V ^ {m} = g ^ {il} nabla _ {i} V ^ {m} = g ^ {il} partial _ {i} V ^ {m} + g ^ {il} Gamma _ {ki} ^ {m} V ^ {k} = partial ^ {l} V ^ {m} + g ^ {il} Gamma _ {ki} ^ {m} V ^ {k}} ${displaystyle nabla ^{l}V^{m}=g^{il}nabla _{i}V^{m}=g^{il}partial _{i}V^{m} +g^{il}Gamma _{ki}^{m}V^{k}=partial ^{l}V^{m}+g^{il}Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$

Приложения к общей теории относительности

Символы Кристоффеля часто используются в теории Эйнштейна. общая теория относительности, где пространство-время представлено изогнутым 4-мерным многообразием Лоренца со связью Леви-Чивита. Уравнения поля Эйнштейна, которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи, поэтому вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. Как только геометрия определена, пути частиц и световых лучей вычисляются путем решения геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.

Приложения в классической (нерелятивистской) механике

Пусть xi { displaystyle x ^ {i}} $x ^ {i}$ — обобщенные координаты, а x ˙ i { displaystyle { dot {x}} ^ {i}} ${displaystyle {dot {x}}^{i}}$ — обобщенные скорости, тогда кинетическая энергия для единицы массы определяется как T = 1 2 gikx ˙ ix ˙ к { displaystyle T = { tfrac {1} {2}} g_ {ik} { dot {x}} ^ {i} { dot {x}} ^ {k}} ${displaystyle T={tfrac {1}{2}}g_{ik}{dot {x}}^{i}{dot {x}}^{k}}$ , где gik { displaystyle g_ {ik}} ${displaystyle g_{ik}}$ — это метрический тензор. Если V (xi) { displaystyle V left (x ^ {i} right)} ${ displaystyle V left (x ^ {i} right)}$ , потенциальная функция, существует, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы F я знак равно ∂ V / ∂ xi { displaystyle F_ {i} = partial V / partial x ^ {i}} ${displaystyle F_{i}=partial V/partial x^{i}}$ . Метрика (здесь в чисто пространственной области) может быть получена из линейного элемента d s 2 = 2 T d t 2 { displaystyle ds ^ {2} = 2Tdt ^ {2}} ${ displaystyle ds ^ {2} = 2Tdt ^ {2}}$ . Подставляя лагранжиан L = T — V { displaystyle L = TV} L=T-V в уравнение Эйлера-Лагранжа, мы получаем

gikx ¨ k + 1 2 (∂ gik ∂ xl + ∂ gil ∂ xk — ∂ glk ∂ xi) x ˙ lx ˙ k = F i. { displaystyle g_ {ik} { ddot {x}} ^ {k} + { frac {1} {2}} left ({ frac { partial g_ {ik}} { partial x ^ {l }}} + { frac { partial g_ {il}} { partial x ^ {k}}} — { frac { partial g_ {lk}} { partial x ^ {i}}} right) { dot {x}} ^ {l} { dot {x}} ^ {k} = F_ {i}.} ${displaystyle g_{ik}{ddot {x}}^{k}+{frac {1}{2}}left({frac {partial g_{ik}}{partial x^{l}}}+{frac {partial g_{il}}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{lk}}{partial x^{i}}}right){dot {x}}^{l}{dot {x}}^{k}=F_{i}.}$

Теперь умножаем на gij { displaystyle g ^ {ij}} $g^{ij}$ , получаем

x ¨ j + Γ jlkx ˙ lx ˙ k = F j. { displaystyle { ddot {x}} ^ {j} + { Gamma ^ {j}} _ {lk} { dot {x}} ^ {l} { dot {x}} ^ {k} = F ^ {j}.} ${ displaystyle { ddot {x}} ^ {j} + { Gamma ^ {j}} _ {lk} { dot {x}} ^ {l} { dot {x}} ^ {k} = F ^ {j}.}$

Когда можно принять декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), у нас есть евклидовы метрики, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится к второму закону движения Ньютона. В криволинейных координатах (принудительно в неинерциальных системах отсчета, где показатели неевклидовы и не плоские) фиктивные силы, такие как Центробежная сила и сила Кориолиса, происходят от символов Кристоффеля, так что из чисто пространственных криволинейных координат.

См. Также

Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
Доказательства с использованием символов Кристоффеля
Дифференцируемое многообразие
Список формул в римановой геометрии
Исчисление Риччи
Риман– Тензор Кристоффеля
Уравнения Гаусса – Кодацци
Пример вычисления символов Кристоффеля

Примечания

Ссылки

Абрахам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978), «Основы механики», Лондон: Бенджамин / Каммингс Паблишинг, стр. См. Главу 2, параграф 2.7.1, ISBN 0-8053-0102-X pa
Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
Бишоп, Р.Л. ; Голдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (Первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Choquet -Бруа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика, Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория полей, Курс теоретической физики, Том 2 (Четвертое пересмотренное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. Главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN 0-08-025072-6
Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66721-8
Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Уиллер, Джон Арчибальд (1970), Gravitation, New York: W.H. Freeman, pp. См. Главу 8, параграф 8.5, ISBN 0-7167-0344-0
Людвигсен, Малькольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию, Том 2, Опубликовать или исчезнуть, ISBN 0-914098-71-3
Chatterjee, U.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ. Академические издательства. ISBN 978-93-8059-905-2 .
Струик, Д.Дж. (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликованы в Дувре в 1988 г.). Дувр. ISBN 0-486-65609-8 .
П. Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

Источник

Note[edit]

Preliminary definitions[edit]

Definition in Euclidean space[edit]

General definition[edit]

Christoffel symbols of the first kind[edit]

Christoffel symbols of the second kind (symmetric definition)[edit]

Contraction of indices[edit]

Connection coefficients in a nonholonomic basis[edit]

Ricci rotation coefficients (asymmetric definition)[edit]

Transformation law under change of variable[edit]

Relationship to parallel transport and derivation of Christoffel symbols in Riemannian space[edit]

Relationship to index-free notation[edit]

Covariant derivatives of tensors[edit]

Contravariant derivatives of tensors[edit]

Applications[edit]

In general relativity[edit]

In classical (non-relativistic) mechanics[edit]

In earth surface coordinates[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Содержание

Введение

1. Матрица Якоби и локальная метрика. «Жонглирование» индексами

2. Взаимный базис

3. Преобразование криволинейных координат. Формальное определение ковариантных и контравариантных компонент

4. Ковариантная производная. Символы Кристоффеля 2-го рода

Заключение

Содержание

Примечание

Предварительные определения

Определение в евклидовом пространстве

Общее определение

Символы Кристоффеля первого рода

символы Кристоффеля второго рода ( симметричное определение)

Сжатие индексов

Коэффициенты связи в неголономном базисе

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)

Закон преобразования при изменении переменной

Связь с параллельным переносом и выводом символов Кристоффеля в римановом пространстве

Связь с безиндексной нотацией

Ковариантные производные тензоров

Контравариантные производные тензоров

Приложения к общей теории относительности

Приложения в классической (нерелятивистской) механике

См. Также

Примечания

Ссылки

Не пропустите также: