Как найти симметричный элемент в множестве - AvtoShod.ru

Раз для любого , то в частности,

▲.

п. 4. Симметричные элементы

Опр.5. Пусть * — бинарная операция на множестве А, — нейтральный относительно операции * элемент. Элемент называется симметричным к элементу относительно операции *, если .

При аддитивной форме записи операции симметричный к а элемент обозначается (-а) и называется противоположным элементу а.

При мультипликативной форме записи симметричный к а элемент обозначается и называется обратным к элементу а.

Примеры:

1. Множество классов вычетов по модулю 6. «+» — операция сложения. Нейтральный относительно «+» элемент — , противоположный к классу относительно «+» элемент — класс . Действительно, . Значит — = .

2. , «∙» — операция умножения. Нейтральный относительно «∙» элемент — . . Действительно,

Справедлива следующая теорема

Теорема.2. Пусть * — бинарная операция на множестве А, * — ассоциативна и существует — нейтральный относительно этой операции * элемент.

Тогда: а) если существует симметричный к элементу элемент, то он единственный;

б) .

Доказательство: а) Допустим, что существует два симметричных к элементу а элемента — . Тогда .

б)

— симметричный к элементу элемент, т. е. . ▲

п. 5. Определение группы

Опр.6. Пусть , * — бинарная операция на множестве . называется группой, если выполняются следующие условия (аксиомы группы):

1) , т. е. операция * ассоциативна;

2) , т. е. в множестве существует нейтральный относительно операции * элемент;

3) , т. е. для каждого элемента а множества существует в множестве симметричный к нему элемент .

Опр.7. Группа называется коммутативной (абелевой), если операция * коммутативна.

Опр.8. Группа называется конечной, если — конечное множество; при этом число элементов множества называют порядком группы .

Если — бесконечное множество, то группа называется бесконечной группой.

Свойства группы

1) Нейтральный элемент в группе единственный (теорема 1).

2) Каждый элемент группы имеет единственный симметричный к нему элемент (теорема 2).

3) . Симметричный к симметричному для элемента а элемент есть сам элемент а.

Доказательство: По определению симметричного элемента имеем, что . Тогда . ▲

4) В группе выполняются законы сокращения, т. е. и .

Доказательство: Пусть . Тогда

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Источник

Нейтральные элементы

Пусть

— бинарная операция на непустом множестве
А.

def.
Элемент е
из А
называется левым
нейтральным относительно
операции

,
если для любого а
из А
выполняется равенство е

а
= а.

def.
Элемент е
из А
называется правым
нейтральным относительно
операции

,
если для любого а
из А
имеем а

е
= а.

def.
Элемент е
из А
называется нейтральным
относительно
операции

,
если для любого элемента а
из А
верны равенства e

a
= a
= a

Теорема 1.
Если нейтральный элемент относительно
операции

существует, то он единственен.

Доказательство.

Следствие.
Если нейтральный элемент относительно
операции

существует, то все левые и правые
нейтральные элементы относительно

с ним совпадают.

Примеры.

1) Число 0 есть
нейтральный элемент относительно
сложения целых чисел. Число 1 есть
нейтральный элемент относительно
умножения целых чисел.

2) На множестве
Р(М)
относительно

нейтральный ;
относительно

нейтральный P(M).

Симметричные элементы

Пусть

– бинарная операция на множестве А,
обладающая нейтральным элементом е.

def.
Элемент v
из А
называется левым
симметричным
к элементу а

А
относительно операции

,
если v

a
= e.

def.
Элемент v
из А
называется правым
симметричным
к а
относительно операции

,
если а

v
= е.

def.
Элемент а’

А
называется симметричным
к элементу а

А относительно
операции

,
если а

a’
= е
= a’
a.
В этом случае элемент а
называется симметризуемым,
а элементы а
и а’
– взаимно
симметричными.

Примеры.

1) Относительно
сложения целых чисел симметричным к
данному целому числу является то же
число, взятое со знаком «минус».

2) Относительно
умножения рациональных чисел симметричным
к нулевому числу а
является

;
число нуль не имеет симметричного
относительного умножения.

Теорема 2.
Если операция

ассоциативна и элемент a
симметризуем, то существует единственный
элемент, симметричный к а.

Доказательство.

Следствие.
Если элемент a
имеет симметричный элемент а’
относительно ассоциативной операции

,
то все левые и все правые симметричные
к а
элементы совпадают с элементом а’.

Аддитивная и мультипликативная форма записи

Наиболее часто
используется аддитивная и мультипликативная
формы записи бинарной операции. При
аддитивной форме записи бинарную
операцию

называют сложением
и пишут а
+ b
вместо a

b,
называя элемент a
+ b
суммой
a
и b.
Элемент, симметричный элементу а,
обозначают (-а)
и называют противоположным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
сложения обозначают символом 0 и называют
нулевым
элементом
относительно сложения. При аддитивной
записи свойства ассоциативности и
коммутативности записывается в виде

a
+ (b
+ c)
= (a
+ b)
+ c,
a
+ b
= b
+ a.

При мультипликативной
форме записи бинарную операцию называют
умножением
и пишут a

b
(вместо а

b),
называется элемент a

b
произведением
а
и b.
Элемент, симметричный а,
обозначают а^-1
и называют обратным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
умножения обозначают через e
и 1 и называют единичным
элементом
или единицей
относительно умножения.
При мультипликативной записи свойства
ассоциативности и коммутативности
записываются в виде a

c)=(a

c,
a

b
= b

Свойство
дистрибутивности умножения относительно
сложения записываются в виде (a
+ b)

c
= a

c
+ b

c,
c

(a
+ b)
= c

a
+ c

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Основные определения

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.

Определение

Бинарным отношением, определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = {1, 2}%%. Тогда

$$
M^2 = big{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)big}
$$
Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим
$$
R = big{(2,1)big}
$$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется рефлексивным,
если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%.
$$
begin{array}{l}
forall ain M~~a~R~a text{ или}\
forall ain M~~(a,a) in R.
end{array}
$$

Примеры

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным, так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным,
если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,bin M~~a~R~b rightarrow b~R~a text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R rightarrow (b,a) in R.
end{array}
$$

Примеры

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = {a,b,c}%%. При этом %%R = big{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)big}%%. Для этого отношения имеем %%forall x,y in M ~~ (x,y) in R rightarrow (y,x) in R%%. По определению %%R%% симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным,
если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~c rightarrow a~R~c text{ или}\
forall a,b,cin M~~(a,b) in R land (b,c) in R rightarrow (a,c) in R.
end{array}
$$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условние %%forall a,b,cin M~~a > b land b > c rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным,
если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.

$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~a rightarrow a = b text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R land (b,a) in R rightarrow a = b.
end{array}
$$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если %%a geq b%% и %%b geq a%%, %%a = b%%.

Эквивалентное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением эквивалентности,
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка,
если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:

отношение %%R%% рефлексивно,
отношение %%R%% симметрично,
отношение %%R%% транзитивно,
отношение %%R%% антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.

Отрицание рефлексивности

По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%forall a in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%overline{forall a in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%overline{forall x P(x)} equiv exists x overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%forall a in M~~a~R~a equiv exists ain M~~a~nottext{R }~a%%, что и нужно.

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда

$$
exists a in M~~a~not R~a
$$
%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда

$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~not R~a
$$
%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда

$$
exists a, b, c in M a~R~b land b~R~c land a~not R~c
$$
%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда

$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~R~a land a neq b.
$$

Источник

Нейтральные элементы

Симметричные элементы

Аддитивная и мультипликативная форма записи

Основные определения

Определение

Пример

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

Примеры

Симметричное бинарное отношение

Примеры

Транзитивное бинарное отношение

Пример

Антисимметричное бинарное отношение

Пример

Эквивалентное бинарное отношение

Отношение частичного порядка

Построение отрицаний

Отрицание рефлексивности

Не пропустите также: