{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер — это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота — это ребра прямоугольного параллелепипеда.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
- формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- примеры задач
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}
a — длина прямоугольного параллелепипеда
b — ширина прямоугольного параллелепипеда
c — высота прямоугольного параллелепипеда
Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
{S_{бок} = 2(ac+bc)}
a — длина прямоугольного параллелепипеда
b — ширина прямоугольного параллелепипеда
c — высота прямоугольного параллелепипеда
Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Задача 1
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.
Решение
Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2
Ответ: 76 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Для проверки ответа используем калькулятор .
Задача 3
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.
Решение
Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.
S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2
Ответ: 1158 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.
Решение
В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.
S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2
Ответ: 126 см²
Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .
Площадь поверхности параллелепипеда
Содержание:
- Что такое площадь поверхности параллелепипеда
- Формула нахождения полной площади
- Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Примеры решения задач
Что такое площадь поверхности параллелепипеда
Определение
Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.
Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула нахождения полной площади
В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: (S_{пар}=S_{AA_1D_1D}+S_{DD_1C_1C}+S_{CC_1B_1B}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1})
Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:
(S_{пар}=2cdotleft(S_{AA_1D_1D}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}right))
Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:
(S_▭=acdot b)
У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA1. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.
Таким образом:
(S_{ABCD}=acdot b)
(S_{AA_1D_1D}=acdot c)
(S_{BB_1A_1A}=bcdot c)
Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:
(S_{пар}=2cdotleft(acdot b+acdot c+bcdot cright))
Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.
Для этого есть три взаимосвязанные формулы:
- (S_{бок}=P_{осн}cdot h,) где (P_{осн}) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
- (S_{бок}=2cdot acdot c+2cdot bcdot c), где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
- (S_{бок}=2cdot ccdot(a+b).)
Примеры решения задач
Задача
Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: AB = 3, A1B = 6, AD = 5.
Решение
Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA1. Так как длина диагонали A1B известна, сделать это нетрудно.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
(A_1B=sqrt{{AA_1}^2+{AB}^2})
Соответственно, ({AA_1}=sqrt{{A_1B}^2-{AB}^2}=sqrt{6^2-3^2}=sqrt{36-9}=sqrt{25}=5)
Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
(S=2cdot(ABcdot AD+ABcdot AA_1+ADcdot AA_1)=2cdot(3cdot5+3cdot5+5cdot5)=2cdot(15+15+25)=2cdot55=110)
Ответ: S=110.
Задача 2
Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: Sпов=96, Sбок=60, b=6.
Решение
Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:
(S=acdot b)
Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:
(S_{пов}-S_{бок}=2cdot acdot b+2cdot acdot c+2cdot bcdot c-2cdot acdot c-2cdot bcdot c=2cdot acdot b)
Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:
(2cdot acdot b=S_{пов}-S_{бок})
(a=frac{S_{пов}-S_{бок}}{2cdot b}=frac{96-60}{2cdot6}=frac{36}{12}=3)
Ответ: a=3.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 7)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
- В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
- Противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$а$ — длина;
$b$ — ширина;
$с$ — высота(она же боковое ребро);
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем.
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.
$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
Куб
$а$ — длина стороны.
$V=a^3;$
$S_{бок}=4а^2;$
$S_{п.п}=6а^2;$
$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.
$V={1}/{3}S_{осн}·h$
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
Площадь треугольника.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
В основании лежит четырехугольник.
- Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны. - Ромб.
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами. - Трапеция.
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции. - Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Пример:
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.
Решение:
Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.
Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник
$V={S_{прямоугольника}·h}/{3}={a·b·h}/{3}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.
Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).
$СС_1=АА_1=4$
$V={А_1В_1·A_1D_1·СС_1}/{3}={8·12·4}/{3}=128$
Ответ: $128$
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Площадь поверхности параллелепипеда
Алик Беникович Айрапетян
Эксперт по предмету «Калькуляторы»
Задать вопрос автору статьи
На этой странице вы узнаете, как выглядят формулы для расчёта полной и боковой площади поверхности параллелепипеда. Также на страницу добавлен онлайн-калькулятор для расчёта площади прямоугольного параллелепипеда.
Определение 1
Параллелепипед является разновидностью призмы, основания которой представляют собой параллелограммы. Также параллелепипедами называют призмы, в основании которых лежат многогранники, а все грани являются параллелограммами.
Наиболее знакомый всем вид параллелепипеда — это прямоугольный параллелепипед. Все его грани являются прямоугольниками.
Для расчёта полной площади прямоугольного параллелепипеда введите значение сторон и высоты в поля для ввода.
Площадь поверхности параллелепипеда через стороны
Для прямоугольного параллелепипеда площадь поверхности определяется по формуле:
$S = 2 cdot (a cdot b + b cdot h + a cdot h)$, здесь
$a, b$ — стороны основания параллелепипеда;
$h$ — высота параллелепипеда.
Разберём пример на нахождение полной площади параллелепипеда.
Пример 1
Задача
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см и $b = 7$ см, а его высота $h$ равна $4$ см. Чему равна полная площадь поверхности параллелепипеда?
Решение:
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
$S = 2 cdot (3 cdot 4 + 7 cdot 4 + 3 cdot 7) = 122$ кв. см.
Результаты совпадают с решением онлайн-калькулятора, а значит, ответ найден верно.
Также используя следующий онлайн-калькулятор, вы сможете рассчитать площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда через стороны
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда определяется по формуле:
$S = 2 cdot h cdot (a + b)$, где
$h$ — длина ребра параллелепипеда;
$a, b$ — стороны основания.
Рассчитаем для примера площадь боковой поверхности для параллелепипеда из предыдущей задачи.
Пример 2
Задача
$a = 3$ см, $b = 7$ см, а высота $h = 4$ см. Чему равна боковая площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
Решение:
$S_б = 2 cdot 4 cdot (3 + 7) = 80$ кв. см.
Решение соответствует решению, полученному с помощью онлайн-калькулятора, а значит, ответ правильный.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 18.06.2019